Tc3 Informe Final

ECUACIONES DIFERENCIALES 100412_11

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD –

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO 3

“UNIDAD III CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES”

JAZMIN DUARTE LANDINEZ 63.396.305 RAMIRO ALEXIS OCAMPO 80.161.192

JHON MARIO OBANDO 79738083 CAMILO ARTURO RAMIREZ PEREZ COD 6.321.865

JULIAN ANTONIO LINARES DIAZ 3217280

FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS

TUTOR

ING. REMBERTO MORENO

AGOSTO DE 2010


INTRODUCCION Se presenta el proceso de construcción del polinomio de Taylor que aproxima una función cualquiera alrededor de un punto cualquiera del dominio (si el polinomio se desarrolla para describir el comportamiento de la función alrededor de cero recibe el nombre de polinomio o serie de Mac-Laurin). En este capítulo seguimos considerando funciones de n variables reales con valores en un espacio vectorial normado. Como esto involucra, en los resultados centrales relativos al desarrollo de Taylor, la consideración de polinomios con coeficientes vectoriales, el lector que no se encuentre cómodo considerando estos polinomios generalizados puede suponer que las funciones toman valores reales.


OBJETIVO GENERAL

Aplicar el tema de series y funciones matemáticas para la solución de las ecuaciones diferenciales.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Define las series de potencias

Reconoce funciones y series especiales

Relaciona las funciones y series especiales con las ecuaciones diferenciales.


EJERCICIOS

1) Encuentre la solución general mediante serie de potencias

a)

Como

y= + + + + + + + + + +

+ + + …

Reemplazando

y = + 0 +

Agrupar los términos que contienen y los que contienen

y=


Segunda solución

0

1

1

2

2

2

2 0

2 1

2 0

2 1

0 1

2 2 1

1 1

'' 0

'

'' ( 1)

( 1) 0

( 1) 0

( 2)( 1) 0

2 ( 2)( 1)

( 2)( 1)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n

y xy

y c x

y nc x

y n n c x

n n c x x c x

n n c x c x

n n c x c x

c n n c x c x

n n c 2 1

12

03

14

25

3 06

4 17

5 28

6 09

( 1)( 2)

1,(2)(3)

2,(3)(4)

3,(4)(5)

4,(5)(6) (2)(3)(5)(6)

5,(6)(7) (3)(4)(6)(7)

6,(7)(8) (4)(5)(7)(8)

7,(8)(9) (2)(3)(5)(6)(8)(9)

8

n

nn

c

cc

n n

cn c

cn c

cn c

c cn c

c cn c

c cn c

c cn c

n 7 110

03

13 1

3 6 3

0

,(9)(10) (3)(4)(6)(7)(9)(10)

, 1,2,3,...(2)(3)(5)(6)...(3 4)(3 3)(3 1)(3 )

,1,2,3...(3)(4)(6)(7)...(3 3)(3 2)(3 )(3 1)

1 ...(2)(3) (2)(3)(5)(6) (2)(3)...(3 1)(3

n

n

n

c cc

cc n

n n n n

cc

n n n n

x x xy c

n n

4 7 3 1

1

3 3 1

0 1

1 1

...) (3)(4) (3)(4)(6)(7) (3)(4)...(3 )(3 1)

1(2)(3)...(3 1)(3 ) (3)(4)...(3 )(3 1)

n

n n

n n

x x xc x

n n

x xy c c x

n n n n


b) X=±і tiene puntos singulares en X=±і

Solución 2 punto b)


Se deduce que

2) Una de las aplicaciones de física es la ecuación de Hermite y legendre,

averigüe para que sirven y además resuelva lo siguiente:

Aplicaciones de los Polinomios de Legendre en Física

Los polinomios de Legendre, igual que los de Hermite y Laguerre, son útiles en ramas de la Física como el Cálculo Numérico ya que permiten el cálculo de integrales definidas sin necesidad de resolver el integrando, tan sólo haciendo que los intervalos de integración vayan desde -1 a +1 (con el correspondiente cambio de variable). Esto es especialmente interesante en programas de cómputo que tratan de resolver una integral definida.

Los polinomios de Legendre son útiles en la expansión de funciones como

Donde r y r' son las longitudes de los vectores y respectivamente y γ es el ángulo entre los dos vectores. La expansión mantiene r > r'. Esta expresión esta usada, por ejemplo, para obtener el potencial de una carga puntual, que

se siente en un punto mientras la carga está localizada en el punto . La expansión usando polinomios de Legendre puede ser útil para integrar esta expresión sobre una carga continua distribuida.

http://es.wikipedia.org/wiki/Carga_puntual


Los polinomios de Legendre aparecen en la solución de una Ecuación de

Laplace de un potencial, , en una región del espacio de carga libre, usando el método de separación de variables, donde las condiciones limite

tienen simetría axial (no depende del ángulo azimuthal). Donde es el eje de

simetría y θ es el ángulo entre la posición del observador y el eje , la solución del potencial podría ser

y Están determinados de acuerdo con las condiciones limite de cada problema.

3. Halle los primeros cinco términos del desarrollo en series de Taylor alrededor de x=0 de la solución y(X) del siguiente problema de valor inicial

; Suponemos que la solución y(x) del problema es analítica en 0 entonces y(x) tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en 0

Los dos primeros valores de los términos de la serie son conocidos pues establecen las condiciones iníciales dadas.

y’’=1 y’=1 Entonces

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplace



http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctrico

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Separaci%C3%B3n_de_variables&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Azimuth


4. Investigue una aplicación de las series de Taylor y realice un ensayo o resumen del mismo.

Serie de Taylor

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos

similares fueron dados por Madhava of sangamagrama. A pesar de que hoy en

día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de

matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos

especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones

trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajo en esta área y publico varias

series de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presento una forma general para

construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue

presentado por Brook Taylor, de quien recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Collin Maclaurin, un profesor

de Edimburgo, quien publico el caso especial de las series de Taylor en siglo

XVIII.


La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es

infinitamente diferenciales en un entorno de números reales o complejos a, es

la serie de potencias:

Que pude ser escrito de una manera más compacta como:

Donde n! es el factorial de n y denota la n-èsima derivada de la f en el

punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y y son ambos

definidos como uno.

Ejercicio de Taylor aplicado a la Ingeniería Eléctrica


Buen número de las funciones que se conocen son desarrollables por medio de una serie de potencias, aquellas funciones que son desarrollables se llaman analíticas. Existen dos formas para desarrollar una función f(x):

La serie de Maclaurin donde

La serie de Taylor

donde Una aplicación práctica Las calculadoras tienen programadas las funciones trascendentes mediante series de potencias truncadas. Así, por ejemplo para determinar sen(0:1) la calculadora ejecuta:

Cuando se desea resolver una ED lo que se busca es determinar la función o más bien la fórmula de la función que satisface la ED. La estrategia que seguiremos ahora es la de determinar la serie que al ser sustituida en la ED la satisface.


CONCLUSION

Una serie de potencias alrededor de x=0 en una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

En el cual es a, y los coeficientes son constantes.

No todas las ecuaciones diferenciales se pueden desarrollar por

medio de los métodos tradicionales que se han mencionado en

las lecciones anteriores, por lo tanto es necesario recurrir a las

series y en especial a las series de potencias.


BIBLIOGRAFIA

Para la realización del presente trabajo, se tuvo en cuenta las siguientes

fuentes documentales:

Módulo Ecuaciones Diferenciales, autor CARLOS IVAN BUCHELI

Universidad nacional abierta y a distancia – UNAD escuela de

ciencias básicas, tecnología e ingeniería unidad de ciencias

básicas 2009

Enlaces web:

WIKIPEDIA Calculo (23 jun. 2010). Extraído el 5 de Julio de 2010 desde

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo

WORDLINGO Series de Taylor, www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Taylor_series

http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-ii/material-de-clase-1/cap7.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Taylor_series

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