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Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de Barcelona

Nombre: Arturo Jiménez ArellanoCatedrático: Jorge Alcala

ÍndicePág.

Tarea 7 3Tarea 8 9Tarea 9 14Tarea 10 17Tarea 11 19Tarea 12 27Bibliografía 34Coautores 34

TAREA 7

Explique los mecanismos de deformación por maclado. Haga una descripción cristalográfica de la deformación producida por dichos mecanismos en donde se haga uso de la definición de plano de habito y los vectores s y n.

Introducción a las maclas

El segundo más importante mecanismo por el cual los metales se deforman es el proceso conocido por maclado. El maclado resulta cuando una porción del cristal asume una orientación que está relacionada con la orientación del resto de la red sin maclar de una manera simétrica. La porción maclada del cristal es una imagen a espejo del cristal original. El plano de simetría es llamado plano de maclado (twinning plane).

Fig. 4-25 Clásica figura de una macla (twinning). El plano de maclado es perpendicular al papel. Si un esfuerzo cortante es aplicado, el cristal se emparejará con respecto al plano de maclado. La región de la derecha queda sin deformarse. A la izquierda de este plano se han cortado de tal manera que la red sea una imagen a espejo. En una red simple como esta, cada átomo en una región de maclado se mueve por un corte homogéneo una distancia proporcional a su distancia del plano de maclado. En la fig. 4-25b, los círculos abiertos representan átomos que no se han movido, los círculos punteados indican las posiciones originales en la red de átomos los cuales han cambiado de posición, y los círculos negros son las posiciones finales de estos átomos en la región maclada. Remarcar que el emparejamiento es visible en una superficie pulida por la diferencia de elevación y el contraste de la región deformada y no.1

Las maclas pueden ser producidas por deformación mecánica o por recocido seguido de una deformación plástica. El primer tipo es conocido como maclas mecánicas y las últimas como maclas recocidas. Las maclas mecánicas son producidas en metales bcc y hcp sobre rápidas cargas y temperaturas bajas. Los fcc no se suele considerar que presenten maclas mecánicas, aunque las aleaciones de oro-plata se deforman por maclado a bajas temperaturas y el cobre produce maclas con deformación de tracción a 4 K y por golpes a tasas rápidas. las maclas se pueden formar en cuestión de microsegundos, mientras que la deformación por deslizamiento toma varios milisegundos antes de que una banda de deslizamiento se forme. Bajo ciertas condiciones, las maclas

1 Dieter, 1988

pueden se escuchadas para que hagan un chillido. Si el maclado ocurre durante un essayo de tensión, producirá endentaduras en la curva tensión deformación.

Descripción del mecanismo de deformación por maclado

Primero , se dará una introducción de la notación formal para el caso de maclado para poder explicar mejor su mecanismo en una etapa posterior.

Notación Formal

Hay un sistema de notación formal que describe al maclado. La figura 11.2 ilustra una esfera de material, la mitad de arriba la cual ha sufrido un corte de maclado. Hay dos planos que se mantienen sin distorcionar. El primer plano sin distorsión, K1, es el plano de maclado (i.e., el plano de espejo). El segundo plano sin distorsionar es el K2. La dirección de corte es la primera dirección característica, η1 , la segunda dirección característica , η2 ,que está en K2 y es perpendicular a la intersección de K1, y K2.El plano que contiene , η1 , η2 , y las normales a K1, y K2 es el plano de corte. La tabla 11.1 da los elementos reportados para varios metales.

Fig.11.2. Hemisferio cortado homogéneamente. Los dos planos no distorsionado K1 y K2 . La dirección de corte es la η1 .La segunda dirección característica η2 , es la dirección en K2 que es perpendicular a la intersección entre los dos planos K1 y K2 .2

Descripción del mecanismo de maclado

El maclado al igual que el deslizamiento ocurre por el movimiento de dislocaciones. La mayoría de las estructuras cristalina sufren deformación por maclado en el cual la red dentro de un elemento de volumen especifico de una forma biconvexa sufre una deformación de corte simple, homogéneamente atómica y especifica cristalográficamente, γT (=s/h), que transforma la red interior en una imagen espejo del exterior, con respecto al tan nombrado plano de composición K1 para un corte en la dirección η1 como se muestra en la figura 20a. Figura 21 muestra una colección de maclas en un cristal de Zn. Hay un número de diferencias geométricamente importante entre una macla y un deslizamiento. Si cada plano atómico está separado por una distancia a y sufriera un deslizamiento por el pasaje de una dislocación resultaría en una deformación homogénea de γ=b/a pero el

2 William F.Hosfard

volumen deslizado seguiría coherente e indistinguible con el exterior. En el caso de maclado, como se muestra en la fig. 20b, para el caso de un metal bcc, la red de un volumen cortado homogéneamente se asume una relación a espejo con respecto al exterior a través del plano de composición {1 1 2}.

Fig. 20 . (a) Elementos de maclado cristalograficos, plano de composición K1, dirección de maclado η1 , deformación de corte γT (=s/h), (b) maclado en bcc logrado por simple corte en el plano {1 1 2} en la dirección〈1 1 1〉.

Las deformaciones por corte en las maclas ,governadas por las propiedades simétricas específicas de la red son unidireccionales y siempre son menos que el caso correspondiente de un deslizamiento homogéneo en cada plano. El caso especial del corte de maclado homogéneo mostrado en la fig. 20b para la red BCC donde un simple corte traslada todos los átomos en su posición propia. En muchos casos el corte por macla sólo transformara una subred relativa al exterior, y trasladando los otros átomos dentro de la región maclada requerirá que de manera general los átomos internos cambien a lo cual se le llama shuffles.

Durante ensayo de tracción cuando hay una caída repentina ocurre cuando una macla es formada y causa que la curva tensión deformación este serruchada. La figura 11.15 es de una curva de tensión-deformación del cadmio.

Fig.11.15. Curva de tensión-deformación del cadmio. Cada endentadura corresponde a la formación de una macla.

Corte en maclado

Para las maclas listadas en la tabla 11.1, K2 y η2 tienen las mismas formas que K1 y η1. En estos casos, el maclado puede ser observado como un corte creando una imagen a espejo en una célula ortorrómbica, como se muestra en la figura 11.3. Esta forma simple de maclado puede ser analizada como a continuación: dejemos que el plano de maclado, K1, sea (0 1 -1) y que la dirección de maclado, η1, sea [011]. En la figura 11.3, los cortes son proyectados en el plano (100). Donde la porción izquierda superior del cristal sufre de un corte de maclado, el punto A se mueve a una nueva posición, E. La deformación, γ, es definida como AE /EF. La longitud, EF, puede ser relacionada con w y con h remarcando

que el triangulo EFB es similar al triangulo DBC, así que EFDC

=EB /DB. Substituyendo w =

DC, h = EB. Se tiene que γ=AE /EF, por lo que simplificando se tiene,

γ=wh

− hw

(eq.11.1)

Entonces, K2=(011) y η2=[0−11 ]. El ángulo de reorientación, θ, de la dirección [010] y del plano (001) está dado por

tan( θ2 )= hw

Maclado en metales fcc

El maclado en metales fcc ocurre en los planos K1= {1 11 } en las direcciones η1= ⟨1 1−2 ⟩. Los movimientos atómicos son mostrados en las figuras 11.5 y 11.6. Esta claro que K1= {1 1−1 } y η1= ⟨1 12 ⟩. La deformación por corte puede ser calculada con

γ=wh

− hw

(eq.11.1)

Substituyendo w=a √2 y h=a, γ=a √2a

− a(a√2)

=0.707. El ángulo de orientación de la

dirección [001] es de la ecuación (11.2) θ=2 arctan( hw )=2 arctan ( 1

√2¿¿)=70.5.3

3 William F. Hosford, 2009

Fig.11.5 Desplazamiento atómico en (1 1 1) <11-2> para el maclado en sistema fcc.

Fig. 11.6. Plano de vista de (1 1 1) <11-2> de maclado en fcc. La proyección de los átomos se hace sobre el plano de corte.

Maclado en BCC

Figura 11.7 es el plano (110) en un metal bcc. La mitad superior derecha a sufrido una tensión de maclado en el sistema (-1 1 2)[1 -1 1). La deformación es γ=√2/2 y produce una elongación de tracción paralela a [001]. Entonces la deformación es igual en magnitud a aquella en el fcc, pero de signo contrario. Sin embargo, hay otra importante diferencia,. En los cristales fcc, todas las distancias de vecinos cercanos cerca del límite de maclado son correctas, es decir cada átomo cerca del límite tiene 12 vecinos cerca a la misma distancia. En bcc algunas de las distancias de los vecinos cercanos entre los átomos cerca del límite no son correctas.

Fig 11.7. (A) Vista del plano (100) en un crital bcc que muestra maclado en el sistema (-1 -1 2)(1 -1 -1) en mitad derecha superior. Los átomos en varias unidades son indicadas. Aquellos en un plano (110) son mostrados en cuadros, donde los que están un plano adelante y otro plano hacia atrás son indicados por círculos. (B) Muestras los elementos de maclado. (C) Distancias de los vecinos más próximos. Las distancias entre A y G son muy pequeñas.

Tabla 11.2 Valores de h,w y deformación cortante

TAREA 8

Haga un escrito de entre 1000 y 2000 palabras en donde se responda a la pregunta: ¿Que es la tensión de maclado y bajo qué condiciones de trabajo en frío (deformación plástica previa) y temperatura es esta tensión inferior a la que produce movimiento de dislocaciones en cristales fcc y bcc?Justifique su respuesta mediante un estudio bibliográfico.

Introducción

La deformación plástica en algunos materiales puede producirse debido a la formación de maclas. La tensión de maclado es una fuerza de cizalladura que produce desplazamientos atómicos de tal manera que de un lado de un plano (plano de maclado), los átomos están situados como si fueran imágenes especulares de las posiciones de los átomos del otro lado.4

4 Dieter, 1988

Cada átomo de la región maclada se mueve por cizallamiento homogéneo una distancia proporcional a su distancia desde el plano de la macla.Una macla es visible debido a la elevación producida por la deformación y a la diferencia en orientación cristalográfica entre ambas regiones; aún después de pulir y atacar la superficie.

Existen varios aspectos fundamentales que diferencian al deslizamiento del maclaje. En el deslizamiento, la orientación por arriba y por debajo del plano es la misma, mientras que en el maclaje se observa un cambio de orientación de los átomos. Se considera que el deslizamiento ocurre en múltiplos del espaciamiento atómico, mientras que en el maclado los movimientos atómicos son menores a una distancia atómica. El deslizamiento ocurre sobre planos relativamente anchos, mientras que en una región maclada cada plano atómico está involucrado en la deformación.

Las maclas se pueden formar en tiempos muy cortos, del orden de microsegundos, mientras que para el deslizamiento hay un retraso de tiempo de varios milisegundos.El maclado ocurre en planos cristalográficos bien definidos y en una dirección específica que depende de la estructura cristalina.

El maclado no es un mecanismo de deformación plástica importante en materiales que poseen muchos sistemas de deslizamiento posibles. El maclado ocurre generalmente:

1. Cuando los sistemas de deslizamiento son restringidos 2. Cuando algo incrementa la tensión de cizallamiento resuelta crítica en los

sistemas de deslizamiento de modo que la tensión de maclado sea más baja que la tensión de deslizamiento.

La cantidad de deformación plástica generada por maclado es considerablemente menor a la creada por el desplazamiento.

Tipos de maclado

El maclado puede ser producido por una deformación mecánica o como resultado de un proceso de recocido seguido de una deformación plástica.

La tensión de maclado y la tensión de deslizamiento en el trabajo en frío y su dependencia con la temperatura

Aunque no hay un criterio definido como apropiado para el maclado. Es tentador asumir que un criterio de tensión de corte crítica como la ley de Schmid para el deslizamiento. De hecho, a sido asumido en la mayoría de los tratamientos analíticos. Sin embargo. Desviaciones de un criterio de tensión de corte critico podrían ser devidos a la necesidad de que un deslizamiento nuclee en una macla, o a la sensibilidad de la macla a la tensión normal al plano de macla. Discutiendo este problema, es importante reconocer que la tensión necesaria para nuclear una macla podría ser un poco más alto que para su propagación. La razón para una tensión de nucleación alta no es difícil de racionalizar. Cuando una macla es iniciada, la proporción superficie/volumen es muy alta, y el trabajo para producirla superficie debe provenir del trabajo mecánico realizado. Para pequeñas maclas dw /df será muy alto, donde dw es el incremento de trabajo y df es el incremento

de fracción volumen, así que τ=( 1γ )dw /df debe ser muy alto.La nucleación depende de la

tensión normal, pero que la tensión para la propagación de una macla no debería.

El tamaño de grano tiene dos efectos en el maclado de policristales. El tamaño de la primera macla formada depende del tamaño. Por lo que entre más pequeño sea el grano mayor tensión se requerirá para producir la macla. Si el deslizamiento o el maclado ocurren cuando una carga es aplicada depende de cual tiene la menor tensión. El maclado mecánico es raro en la mayoría de los metales fcc y los bcc excepto a bajas temperaturas o altas tasas de deformación. Esto implica que disminuyendo la temperatura y aumentando las tasas de deformación se tiende a aumentar la tensión necesaria para deslizamiento más que la tensión requerida para una macla.5

Otra cosa a tener en cuenta es la composición.La maclas son más comunes en metales fcc y en aleaciones de baja energía de falla de apilamiento.

A pesar de que la actividad de dislocación está directamente asociada con maclado, el movimiento por deslizamiento es mucho más sensible a la tasa de deformación y a la temperatura, mientras que el maclado es menos sensible a estos parámetros. La figura 37(b) muestra la tensión de deformación como una función de temperatura para algunos metales, y claramente muestra que la tensión de maclado es insensible a la temperatura sobre el rango considerado. Esta tendencia es actualmente sujeta a debate ya que los resultados han sido conflictivos. En el review de la macla mecánica, Christian y Mahajan [111] proponen que los metales BCC tienen una dependencia negativa de la tensión de maclado en la temperatura, mientras que los FCC tienen una dependencia positiva y débil con respecto a la temperatura. 6

5 W.F.Hosford , pg. 1826 J.P. Hirth and L.Kubin

7

7 Hull, 197

En metales que tienen estructuras cristalinas BCC y HCP, el maclado mecánico ocurre a temperaturas bajas y altas velocidades de aplicación de carga, condiciones en las cuales el proceso de deslizamiento está restringido. Los metales con estructura FCC ordinariamente no se deforman mediante maclado mecánico, aunque en las aleaciones de Oro-Plata pueden generarse maclas fácilmente cuando se deforman a baja temperatura y se pueden producir maclas en el cobre cuando se deforma a 4K y alta velocidad de aplicación de carga.

Los metales y aleaciones con estructura FCC normalmente se deforman por deslizamiento pero a grandes deformaciones y baja temperatura ocurre maclado mecánico. Se genera el maclado mecánico cuando la tensión en la estructura cristalina es muy alta, es decir, cuando la tensión de maclado es menor que la tensión de corte crítica resuelta. En la siguiente tabla de muestran algunos valores para la tensión crítica de corte que permite el deslizamiento para algunos metales, la tensión de maclado debe ser menor a estos valores.

La deformación por maclado puede tener lugar si se le aplica al material, de manera previa, una cantidad apreciable de endurecimiento producido por trabajo o endurecimiento por deformación. Las deformaciones de la red necesarias para producir una macla son pequeñas, pero esta cantidad de deformación debe ser menor que la producida en los sistemas de deslizamiento.

Para continuar la deformación plástica se requiere de mayor cantidad esfuerzo que el aplicado al inicio de la deformación.

Una de las condiciones necesarias que se deben cumplir para que exista la deformación por maclado es que la tensión de cizalladura resuelta debe ser mayor que una tensión crítica mínima (τRSS>τMIN) y de acuerdo a la teoría de dislocación, la tensión mínima debe ser más grande que γ/b, donde γ es el valor de la energía de falla de apilamiento y b es el vector de Burges.

Ha habido muchos intentos para determinar factores estructurales que influyen en los valores de la tensión de maclado, hay series de ecuaciones semi-empíricas que tratan de determinar la tensión de maclado, por ejemplo la ecuación propuesta por Haasen y King (ecuación 1):

(1)

donde γ es valor de la energía de falla de apilamiento, n' es el factor de concentración de tensiones conectado con, por ejemplo, dislocaciones de apilamiento en barreras de Lomer–Cottrell, G es el módulo elástico de corte, N es densidad de dislocaciones promedio, b' es la longitud del vector de dislocación de maclado.

De acuerdo a la ecuación 1 la tensión de maclado es fuertemente dependiente de la energía de falla de apilamiento γ así como de la densidad de dislocaciones.Si la densidad de dislocaciones es baja, la primera parte de la ecuación en donde está involucrada γ debe controlar el valor de la tensión cortante.

Cuando el material se somete a un proceso de trabajo en frío se producen grandes deformaciones plásticas y un aumento en la densidad de dislocaciones, entonces la segunda parte de la ecuación 1 se vuelve más importante y tendrá mayor influencia en el valor de la tensión de maclado.

TAREA 9

Indique los planos y direcciones de deslizamiento en los que se encuentra experimentalmente movimiento de dislocaciones en cristales bcc. ¿Cómo influencia la temperatura sobre la activación de los diferentes planos y porqué?

El proceso por el cual una deformación plástica es producida por un movimiento de una dislocación de llama deslizamiento, el plano cristalográfico a través del cual atraviesa una línea de dislocación es llamado plano de deslizamiento y la dirección del movimiento

se llama dirección de deslizamiento, el conjunto de plano y dirección de deslizamiento forman el sistema de deslizamiento.La siguiente figura muestra los planos de deslizamiento:

Fig. muestra los planes y direcciones de un BCC.8

Los planos de deslizamiento son normalmente aquellos que tienen la mayor densidad de átomos. En los metales con estructura bcc (por ejemplo, Fe, Mo, Ta, Vd, Cr, W, Nb y Na) el deslizamiento ocurre en las dirección de mayor empaquetamiento <111>, la cual corresponde al vector de Burges más pequeño en donde hay dislocación perfecta ½<111> Los planos cristalográficos de deslizamiento son {110}, {112} and {123}, cada uno de estos planos contiene la dirección de deslizamiento <111>. La tabla se muestran los sistemas de deslizamiento para los metales con estructura cúbica centrada en el cuerpo, al total presenta 28 sistemas de deslizamiento.

8 www.ims.uconn.edu/~alpay/.../Topic7-StrengtheningMechanisms.pp

Tabla. Planos de deslizamiento en BCC. Primera columna planos de deslizamiento a temperatura ambiente, planos de deslizamiento a bajas temperaturas y tercera columna planos de deslizamiento a altas temperaturas o bajas tasas de deformación.9

En los metales bcc, el plano de deslizamiento no ha sido bien definido a escala macroscópica pero a nivel microscópico se sugiere que el deslizamiento ocurre en los planos {112} y {110} y este último es preferido a bajas temperaturas.

Las altas temperaturas permiten que las dislocaciones en un material asciendan. Los átomos se mueven de un lado a otro de la línea de dislocación debido al fenómeno de difusión, haciendo que la dislocación se mueva en dirección perpendicular y no paralela al plano de deslizamiento. La dislocación se escapa entonces de las imperfecciones de a red, continuando su deslizamiento y causando una deformación adicional, incluso a bajos esfuerzos aplicados.

Hay ciertos metales que presentan planos adicionales de deslizamiento con el incremento de la temperatura, el hecho de que haya ciertos planos de deslizamiento a una temperatura más alta es porque requieren una energía de activación mayor para producirse. Para explicar el deslizamiento en una dislocación, Cottrell propuso la idea de que la deformación plástica es una transición entre un estado de no deslizamiento y un estado de deslizamiento, al proceso de deslizamiento se le opone una barrera de Energía ∆E, para minimizar la energía del proceso, el material deslizado crecerá a expensas de la región en donde no hay deslizamiento, mediante el avance de una región de intercara. Para algunos planos de deslizamiento será mayor la energía de activación requerida.

El hecho de que en algunos metales bcc se prefiera el deslizamiento a bajas o altas temperaturas también tiene que ver con la tensión de cizalladura resuelta, la cual es resultado de aplicar un esfuerzo de tracción o compresión y su magnitud depende de la tensión aplicada, de la orientación del plano y de la dirección de deslizamiento del plano.Taoka encontró que la dependencia de la temperatura con la tensión de cizalladura cortante para el deslizamiento en el plano {112} es mayor que para el deslizamiento en el plano {110} en una aleación Fe-3%Si, entonces el deslizamiento en el plano {110} predomina a baja temperatura y en el plano {112} a alta.

9 Lothe, 1982

Erikson indicó que el esfuerzo para mover una dislocación a una velocidad dada incrementa más rápidamente con el descenso de temperatura para un plano {112} que para el plano {110} en el Fe-Si.

TAREA 10

Indique mediante dibujos esquemáticos todos los posibles sistemas de deslizamiento (plano y dirección) de los tipos prismático, basal y piramidal en cristales hexagonales.

Una variedad de sistemas de deslizamiento han sido observados en cristales hcp como se muestra en la tabla 9-3. La observación de ¿11−20>¿ y ¿11−23>¿ como direcciones de deslizamiento es consistente con las predicciones en la tabla 9-1.10

Tabla 9-1. Vector de Burgers de dislocaciones estables en varias estructuras cristalinas.

Tabla 9-3 Sistema de deslizamiento para metales HCP

10 Lothe, 1982, pag. 277

Se ha observado poco la observación de la dirección¿0001>¿, las cuales aparecen para el berilio a altas temperaturas

El deslizamiento para todos los sistemas en los cristales hexagonales ocurre en la dirección <11ˉ 20>.

El sistema de deslizamiento prismático es {1 0 1 0} con dirección ¿1 1−2 0>¿, el vector de Burgers es b = a <11-20>. Es el modo de deformación más activo en los granos cristalinos.

El modo basal de deslizamiento es en el plano (0 0 0 1) con dirección <1 1 -2 0>. En este caso el vector de Burgers es b=a/3 <11 -2 0 >.

La activación de otros modos de deformación es necesaria para acomodar la deformación a lo largo del eje <c> de los granos. En particular se ha observado:

La activación del modo piramidal <c+a> de deslizamiento o {1 0 1 1}<1 1 2 3>, asociado a dislocaciones b = (a/ c) <1 1 2 3> que deslizan sobre los planos piramidales {1 0 -1 1} .11

La siguiente figura indica los planos de deslizamiento basal, prismático y piramidal (2).

12

11 Callister, 200712 Dieter, 1988

TAREA 11

Haga un escrito de entre 1000 y 2000 palabras en donde compare los valores de la tensión cortante que produce movimiento de dislocaciones (tensión de Peierls) en cristales fcc con aquellos existentes en cristales bcc. Haga énfasis en explicar estas diferencias en base a la movilidad relativa de las dislocaciones de tornillo en uno y otro tipo de cristales. justifique el escrito en base a un estudio bibliográfico.

La naturaleza cristalina de la red misma provee alguna resistencia al movimiento de dislocaciones. Esta fricción de la red o tensión de Peierls. La tensión de Peierls va desde alrededor de 10-5 G en los fcc y metales hcp a los 5 x 10-3 G en los metales bcc, hasta altos valores en metales muy covalentes.13 A continuación se dará una breve introducción al tema de tensión de Peierls y después se explicará a detalle la misma.

Mobilidad de dislocación

La facilidad con la cual puede ser deformado a cierta tensión es mucho menor que la resistencia teórica (τ t=μb /2 πa¿es muy notable y es debido a la movilidad de dislocaciones. Lafig. 3.3 muestra que una dislocación que se mueve a través de una red este se mueve de una posición de red simétrica a otra y en cada posición se encuentra en equilibrio neutral, porque las fuerzas de cada lado están balanceadas. Mientras las dislocaciones se mueven en estas posiciones de red simetricas algún imbalance de fuerzas atómicas debe existir, y el esfuerzo aplicado es requerido para superar esta fricción de la red.

13

La fricción de de la red depende sensiblemente con el ancho de la dislocación como lo muestra la ecuación de Peirls y Nabarro. La tensión de fricción es referida como la tensión de Peierls. Los 2 factores opuestos que afectan w son son:

1. La energía elástica del cristal, la cual está reducida por la dispersión de las deformaciones elásticas.

2. La energía de desajuste (“misfit energy”) el cual depende del número de átomos desalineados a través del plano de deslizamiento. Metales con estructuras compactas han ampliado las dislocaciones y entonces el w es grande.

Además, los planos compactos están más espaciados con fuerzas de alineamiento débiles entre ellas, es decir tienen un factor b/a pequeño. Estos metales tienen alta movilidad de dislocaciones y son intrínsecamente suaves. En contraste, las uniones direccionales en cristales tienden a producir dislocaciones estrechas, las cuales conllevan a dureza y fragilidad intrínseca. Ejemplos extremos son los cristales iónicos y cerámicos y los materiales covalentes como el diamante y el silicon. La transición de metales bcc presenta un comportamiento intermedio, es decir intrínsecamente dúctil arriba de la temperatura ambiente y frágil debajo. Las dislocaciones de borde más rápido que las de tornillo, porque el arrastre con fricción de jogs en tornillo, y la velocidad de ambos varia rápidamente con la tensión aplicada τ de acuerdo a la relación empírica de la forma

ν=( ττ 0

), tonde τ 0 es la tensión por unidad de velocidad y n es en índice el cual varía en

diferentes materiales. El índice n es bajo para los intrínsecamente (<o10), cristales covalentes como el ge, para cristales bcc aproximadamente 40, y 200 para los cristales intrínsecamente fcc.14

Otro factor a considerar: El tipo de enlace

Por otro lado debemos considerar el tipo de enlace dentro del material ya que el movimiento de dislocaciones depende mucho de este factor. El movimiento de dislocaciones es mucho más fácil en metales puros, en aleaciones las soluciones sólidas o los precipitados pueden hacer más difícil su movimiento. El movimiento de dislocaciones en sólidos covalentes es más difícil porque los enlaces tienen que ser rotos y reformados. En cuanto a los cristales iónicos el movimiento es fácil en algunos planos mientras que en otros no. La figura 17.1. muestra esquemáticamente esta situación para metales, cerámicos covalentes y iónicos.

14 R.E. Smallman, 1999

Deformación cíclica en BCC single crystals

Cristales puros bcc cuando son orientados para un deslizamiento simple es sabido que se comportan de manera diferente que los cristales fcc. Generalmente, el núcleo de las dislocaciones de tornillo en metales bcc no se disocia, y la naturaleza particular de la estructura del núcleo de la dislocación de tornillo en bcc induce una fricción de red muy alta (a tensión de Peirls). Efectos como la sensibilidad a la tasa de deformación, dependencia de la temperatura de la formación cíclica, movilidad relativa de las dislocaciones de tornillo y borde, al igual que la asimetría de del deslizamiento entre la tensión y la compresión son consecuencia del especial rol de las dislocaciones de tornillo en metales BCC.

A amplitudes de plasticidad baja, esencialmente no ocurre endurecimiento y la deformación cíclica es una manifestación de sólo el movimiento de dislocaciones de

borde. Sin embargo, a altas amplitudes de deformación, la deformación procede pro un movimiento a gran escala de las dislocaciones de tornillo y borde y culmina con la formación de una estructura celular, endurecimiento cíclico pronunciado así como cambios en la forma del cristal son observados debido al deslizamiento asimétrico de las dislocaciones de tornillo en tensión y compresión. Estas distinciones entre fatiga de deformación alta y baja son peculiares de los critales bcc.

Las siguientes diferencias entre fcc y bcc indican causar las distintas respuestas:

1. A 295 K y a bajas amplitudes de deformación plástica, deslizamiento térmicamente activado de dislocaciones así como la multiplicación son fuertemente suprimidas en la ferrita bcc.

2. Mientras que los metales fcc son débilmente sensibles a la tasa de deformación.

Tensión de Peirls

El concepto de dislocación fue introducido para explicar la discrepancia entre la resistencia al corte teórico y aquella observada en los metales. Para que el concepto de dislocaciones sea valido es necesario mostrar (1) que el movimiento de una dislocación a través de una red cristalina requiere de una tensión mucho más pequeña que la tensión teórica, y (2) que el movimiento de dislocaciones produce un escalón o banda de deslizamiento en la superficie libre.

En una red perfecta todos los átomos arriba y abajo del plano de deslizamiento están en posiciones de mínima energía. Cuando una tensión cortante es aplicada en el cristal, una fuerza de igual magnitud pero en sentido opuesto al movimiento actuará en todos los átomos. Este modelo para deslizamiento es presentado en la fig. 4-14- Cuando hay una dislocación en el cristal, los átomos que se encuentran lejos de la dislocación están quietos en posiciones de energía mínima pero en la dislocación sólo un pequeño movimiento de los átomos es requerido.

Fig. 4-15 (a) Movimiento de átomos cerca de la dislocación; (b) movimiento de una dislocación de borde.

Dado que los átomos alrededor de las dislocaciones son colocados simetricamente en lados opuestos del demi-plano extra, fuerzas opuestas e iguales se oponen y ayudan al movimiento. Entonces, en esta primera aproximación no hay fuerza neta en la dislocación y la tensión requerida para mover la dislocación es cero. la continuación de este proceso mueve la dislocación a la derecha.

Fig. 4-16 (a) Cambio de energía de un estado sin deslizar a uno deslizado; (b) etapas en el crecimiento de una región deslizada.

Considerando que la deformación plástica es la transición de un estado sin deslizar a uno deslizado (fig.4-16a). Ya que el proceso se opone a una barrera de energía ∆E, en orden de facilitar el proceso, el material deslizado crecerá a expensas de la región sin deslizar por medio del avance de la región interfacial (dislocación). Para minimizar la energía para la transición, esperamos que el espesor de la interface, w, sea estrecho. La distancia w es el ancho de la dislocación, entre más baja sea la energía interfacial, más pequeño el ancho w, pero entre más ancho w, más baja es la energía elástica del cristal ya que el espacio atómico en la dirección de deslizamiento está cerca del espaciado de equilibrio. Entonces el ancho de equilibrio de las dislocaciones está determinado por un balance entre el cambio de estas dos energías opuestas.

El ancho de dislocación, w, es importante porque determina la fuerza requerida para mover la dislocación a través de la red cristalina. Esta fuerza es nombrada la fuerza de Peierls-Nabarro. La tensión de Peierls es la tensión cortante requerida para mover una dislocación a través de una red cristalina en una dirección particular.15

τ p≈2G1−υ

exp(−4 πζb )

donde a es la distancia entre planos de deslizamiento y b es la distancia entre átomos en la dirección de deslizamiento y ζ es el ancho de la propagación del núcleo en el plano de deslizamiento. Remarque que el ancho de dislocación aparece en el término exponencial en la ecuación (4-7), así que la tensión Peierls será muy sensitiva a la posición en el núcleo de la dislocación. Esta ecuación no puede ser usada para cálculos precisos. Sin embargo, es lo suficiente exacta para demostrar que la tensión necesaria para mover una dislocación en un metal es bastante baja.

Unas pequeñas observaciones hay que hacer. Primero, tenemos que remarcar que la tensión de Peierls es extremadamente sensible a la proporción (ζ/b) o (d/b) para valores fijos de constantes G y ν. Entonces una dislocación de borde es más móvil que una dislocación de tornillo con un mismo vector de Burgers en el mismo material ya que una dislocación de borde es más ancha (más grande ζ) que la dislocación de tornillo.

↑ζ →↑movilidad→↓τ p

16

Sistema cristalino Plano de deslizamientoFCC {1 1 1}BCC {1 1 0}/{1 1 2}

Tabla. Sistemas de deslizamiento de la dislocación de tornillo

En general, entre más grande sea la componente en una dislocación mixta más ancho será el núcleo de la dislocación, y entonces más grande será su movilidad. En un dado cristal, los sistemas de deslizamiento de las dislocaciones corresponden a los valores más grandes de (d/b), d es el espaciado entre planos de deslizamiento, concretamente, los planos de deslizamiento tienden a tener el espaciado interplanar más grande, y la dirección de deslizamiento o vector de Burgers es a lo largo de la dirección del vecino más cercano (el más pequeño b). En sistemas metálicos compactos, los valores de (ζ/b) y (d/b) son grandes, y estos materiales generalmente son dúctiles. En comparación, cristales con células unitarias complejas como los cerámicos tienen de d/b muy pequeño, dando una tensión de Peierls grande. En estos materiales, el esfuerzo

15 Dieter, 198816 Hull and Bacon, 2001, pg. 50

4-7

cortante para el movimiento de dislocaciones no puede ser logrado antes que se fracture el sólido, entonces son frágiles.17

18

Barrera de Peierls

Peierls (1940), en un modelo elaborado por Nabarro (1947), modelo el potencial periódico en el plano de deslizamiento experimentado por una dislocación que recae en una dirección de bajo índice o de alta compacidad. En el modelo, se consideraba que las uniones a través del plano de deslizamiento interactuaban por un potencial atómico, mientras que el resto de la red era elástico. El modelo es de mucha utilidad ya que da un resultado analítico que elimina las divergencia del núcleo artificial de las dislocaciones de Volterra. Sin embargo, como lo discutió Hirth and Lothe (1982) y Bullough y Tewary (1979), el modelo es físicamente irreal (comparado al modelo atómico cilíndrico centrado en la dislocación) y que predice que las posiciones simétricas son posiciones de máxima energía en vez de mínima. Sin embargo, los cálculos atómicos indican que el potencial es aproximadamente equivalente a una forma sinusoidal de el resultado de Peierls-Nabarro. También, la predicción de Peierls-Nabarro de que la magnitud de la máxima energía es más grande para una dislocación de tornillo que para una de borde es soportado por las aproximaciones cálculos elásticos anisotrópicos y no lineales (PRINZ), respaldado también por los cálculos atómicos (SONDHI). Entonces, es de utilidad retener su resultado como una representación empírica de la barrera.

Para una dislocación desplazada por una distancia x de su posición de simetría (como en la figura 2), el potencial es

17 Handbook of materials modeling , 2005.Pg.79918 Hull and Bacon, 2001, pg. 51

donde a es el periodo, generalmente igual a b, y Wp es la energía de Peierls. La pendiente máxima de este potencial oscilatorio da la tensión de Peierls, σp , necesaria para sobrepasar la barrera a 0 K, pero la barrera es normalmente sobrepasada por la formación de un kink como se discutirá más abajo.

En el modelo original la forma explícita para Wp para una dislocación de borde era

donde ζ es el ancho de la propagación del núcleo en el plano de deslizamiento y d es el espaciado del plano de deslizamiento. Una forma equivalente sin el factor (1-ν) se aplica para una dislocación de tornillo. Esta forma no es verificada en cálculos atómicos, pero las tendencias cualitativas de una disminución marcada en σp o Wp con un incremento en la propagación del núcleo o d se conservan y sol útiles en predecir sistemas de deslizamiento en cristales. Ya que d y b aparecen en exponencial en la ecuación 18, la relación sugiere que el más pequeño b y el más grande d deberían corresponder al sistema de deslizamiento observado, in acuerdo con el experimento cuando la prolongación de la dislocación no es un fenómeno importante. Como una indicación del cambio de la energía de Peierls con el sistema de deslizamiento, la proporción de Wp para el sistema de deslizamiento más cercano, 〈1 1 0〉 - {1 1 1}, a el siguiente sistema de deslizamiento compacto, 〈1 1 0〉- {1 0 0}, es 0.36 para cristales fcc.

mientras que la forma empírica de la ecuación 18 es útil, tiene varias deficiencias ya que no incluye las variaciones esperadas de Wp con la temperatura o con componentes del tensor de tensiones diferentes a las tensiones de corte resuelto en el sistema de deslizamiento apropiado. Dobromyslov et al. (1984) obtuvieron evidencia experimental que la tensión de Peierls en el Mo varía linealmente con la tensión normal actuando en el plano de deslizamiento, en acuerdo con la última expectativa. Hasta el momento, no hay

W

LWp

Lsin2 x

a

(18)

suficientes resultados de las simulaciones atómicas que sugieran modificaciones empíricas a la ecuación 18 debido a estos efectos.

Una línea de dislocación que contiene kinks o escalones en línea de las dislocaciones se muestra en la figura 13. La configuración de un kink como B es determinado por un balance entre las fuerzas de tensión linear, las cuales tienden a hacer grande a w en la fig. 13 y entonces enderezar la línea, y las fuerzas asociadas con la barrera de Peierls, las cuales tienden a hacer el kink más abrupto. En el modelo de tensión linear simple de la ecuación 14, este balance de fuerzas da un ancho de kink w y la energía de formación del kink Wk dados en términos de la energía elástica total W/L por

Típicamente, W incrementa sucesivamente para metales bcc, cristales iónicos y critales covalentes con valores Wp ≈ 10-4, 10-3 y 10-2 W, Wk ≈ 0.01,0.05 y 0.1 μb3 y w≈ 70, 20 y 7a, respectivamente. Para metales fcc y hcp Wp es mucho más pequeño, así que los efectos de la barrera de Peierls son sólo importantes debajo de la temperatura ambiente.

Kinks son de tres tipos, kinks geométricos como B en la fig. 13 están presentes por necesidad geométrica desde que los segmentos AE se extiende una colina de Peierls. En el equilibrio térmico, una dislocación de línea contiene une concentración de kinks térmicos de (1/b)exp(-W∼ k/kT). Finalmente, ya que el movimiento de dislocaciones produce una compensación de b en la red completa, como se ilustra en la fig. 1, los kinks de intersección pueden ser producidos en cada dislocación si dos dislocaciones no paralelas intersectan.19

TAREA 12

Indique todos los sistemas de deslizamiento que se activan en ensayos uniaxiales de cristales fcc realizados en las orientaciones (111),(110) y (100). Justifique su respuesta geométricamente y a partir de la relación τ=s· (σ·n)

Primero introduciremos los sistemas de deslizamiento del sistema cristalino fcc:

El deslizamiento ocurre fácilmente en direcciones especificas en ciertos planos cristalográficos. Para describir el deslizamiento cristalográfico se necesita definir los siguientes conceptos:

19 Robert W. Cahn, 1996

Plano de deslizamiento: es el plano con mayor densidad atómica. Dirección de deslizamiento: es la dirección más compacta con un plano de

deslizamiento.Sistemas de deslizamiento: es la combinación de los planos y direcciones de

deslizamiento sobre el cual el movimiento de dislocaciones ocurre. Los sistemas de deslizamiento dependen de la estructura cristalina.20

Tabla de sistemas de deslizamiento para los sistemas fcc,bcc y hcp

En nuestro caso nos enfocaremos en los sistemas de deslizamiento del fcc, el cual contiene 12 sistemas de deslizamiento los cuales se muestran en la siguiente tabla 10.1.

20 A.D. Rollet, 2005

Para cada orientación se determino se determino su tensor de tensiones:

El tensor de la orientación (100), σ100, es :

σ 100=σ xx [1 0 00 0 00 0 0]

El tensor de la orientación (110), σ110, es :

σ 110=12σ xx [1 1 0

1 1 00 0 0]

El tensor de la orientación (111), σ111, es:

σ 111=13σ xx [1 1 1

1 1 11 1 1]

Para saber que sistemas de deslizamiento se activan al aplicar cada uno de los anteriores tensores, se aplica la relación τ=s (σ ∙n) , donde τ es la fuerza cortante, s será en nuestro caso la dirección de deslizamiento y n será la normal al plano. Todos aquellos sistemas donde τ ≠0 se activarán.

Utilizando Matlab se calcula para los 12 sistemas la tensión cortante correspondiente.

Orientación 100Sistema Plano Dirección de

desplazamiento

(s)/( 1

√2 )Dirección

normal (n)/

( 1

√3 )Tensión

cortante (τ ¿/

σ xx( 1

√2 ) .( 1

√3 )Desliza

1(1 1 1)

[0 -1 1][1 1 1]

0 Si2 [1 0 -1] 1 Si3 [-1 1 0] -1 Si4

(-1 -1 1)[0 1 1]

[-1 -1 1]0 No

5 [1 0 1] -1 Si6 [1 -1 0] -1 Si7

(-1 1 1)[0 -1 1]

[-1 1 1]0 No

8 [-1 0 -1] 1 Si9 [1 1 0] -1 Si

10(1 -1 1)

[0 1 1][1 -1 1]

0 No11 [1 0 -1] 1 Si12 [-1 -1 0] -1 Si

Orientación 110Sistema Plano Dirección de

desplazamient

o (s)/( 1

√2 )Dirección

normal (n)/

( 1

√3 )Tensión

cortante (τ ¿/

σ xx12 ( 1

√2 ) .( 1

√3 )Desliza

1(1 1 1)

[0 -1 1][1 1 1]

-2 Si2 [1 0 -1] 2 Si3 [-1 1 0] 0 No4 [0 1 1] -2 Si

(-1 -1 1) [-1 -1 1]5 [1 0 1] -2 Si6 [1 -1 0] 0 No7

(-1 1 1)[0 -1 1]

[-1 1 1]0 No

8 [-1 0 -1] 0 No9 [1 1 0] 0 No

10(1 -1 1)

[0 1 1][1 -1 1]

0 No11 [1 0 -1] 0 No12 [-1 -1 0] 0 No

Orientación 111Sistema Plano Dirección de

desplazamient

o (s)/( 1

√2 )Dirección

normal (n)/

( 1

√3 )Tensión

cortante (τ ¿/

σ xx13 ( 1

√2 ) .( 1

√3 )Desliza

1(1 1 1)

[0 -1 1][1 1 1]

0 No2 [1 0 -1] 0 No3 [-1 1 0] 0 No4

(-1 -1 1)[0 1 1]

[-1 -1 1]-2 Si

5 [1 0 1] -2 Si6 [1 -1 0] 0 No7

(-1 1 1)[0 -1 1]

[-1 1 1]0 No

8 [-1 0 -1] -2 Si9 [1 1 0] 2 Si

10(1 -1 1)

[0 1 1][1 -1 1]

2 Si11 [1 0 -1] 0 No12 [-1 -1 0] -2 Si

Con lo que resumiendo tenemos:

Orientación Número de sistemas activados

100 8110 4111 6

Para ver geométricamente cuales planos deslizan tenemos que tener en cuenta la ley de Schmith que dice que:

Sobre un material se aplica un esfuerzo cortante τ=F /A cuya fuerza forma un ángulo λ respecto a cierta dirección de desplazamiento.

El esfuerzo cortante efectivo o resultante a lo largo de dicha dirección de desplazamiento se debe sólo a la componente de la fuerza FR=F ∙cosλ .

La sección real de la muestra sobre la cual actúa es AR=A /cosϕ.Por ellos, el esfuerzo cortante efectivo o resultante a lo largo de dicha dirección de

deslizamiento será τ R=

F R

AR

= Fcosλ

( Acosϕ

)=σcosλcosϕ

.

Si τ R>τC , donde τ c es el esfuerzo cortante crítico (característico del material), la dislocación se desplazará dando lugar a una deformación.

Entonces de acuerdo a la descripción de esfuerzo cortante tendremos dos “filtros” para saber si el sistema se va a activar o no, el primero es ángulo ϕ si este es ϕ=90 entonces cos90º= 0 por lo que en ese plano no habrá posibilidad de que una dirección se active. En caso de que si haya la posibilidad tenemos el siguiente ángulo λ, el cual cumple con las mismas condición anterior.

Tomando en cuenta las anteriores consideraciones tenemos que ver los cuatro planos y cada una de las direcciones en los 3 casos.

Fig. Con las orientaciones y con los 12 sistemas. Para poder ver que sistema se activa se tiene que ver que el plano y la dirección no formen ángulos de 90º.

Fig. Geométricamente se puede ver para cada plano de deslizamiento con sus respectivas direcciones de desplazamiento cuales van a activarse dependiendo de la

dirección de la carga uniaxial.

Este resultado es muy coherente con la curva de flujo (flow curve) de un cristal fcc. Cuando el eje de tracción es paralelo a la dirección <011>, unos sistemas cargan más que otros y la región de fácil desliz (easy glide) es relativamente grande. Cuando el eje de

tracción está cerca de la dirección <100> o <111>, la tensión sobre varios sistemas no es muy diferente y las curvas de flujo muestran rápidas tasas de endurecimiento.

21

Fig. 4-34 Efecto de la orientación en la orientación del espécimen en la curva de cristales fcc.

Bibliografía

1. ROBERT W. Cahn y Peter Haasen, Physical metallurgy, 4a ed. North Holland: Elsevier Science, 1996, 1843. Vol. 3.

2.GEORGE E. Dieter, Mechanical metallurgy,SI Metric edition. UK: McGraw Hill, 1988, pag. 120.

3. WILLIAM F. Hosfard, Mechanical behavior of materials. UK: Cambridge, 2009, pag. 172.

4. A.D. Rollet et al. Polycrystal plasticity, multiple slip. 2005.

5. CALLISTER W. “Materials Science and Engineering. An introduction.” 7º ed. Ed. Wiley, USA: 2007. Pág. 168-171

6. T.BAJOR. et.al. “The influence of plastic strain on twinning stress in Cu-at 8%Al single crystals”, in Archives of Civil and Mechanical Engineering Vol. IV, No. 3, 2004, University of Mining and Metallurgy, Department of Structure and Mechanics of Solids, 30-059 Cracow,al. Mickiewicza 30/A2.

7. www.ims.uconn.edu/~alpay/.../Topic7-StrengtheningMechanisms.pp

8. JEHN LOTHE. Theory of dislocations, Estados Unidos: 2ª edición, 1982.9. J.P. Hirth and L.Kubin, Dislocations in solids, Amsterdam: 1era edición, Volumen 15, 2009.10. Handbook of material modeling. Amsternam:Springer, 2005.11. Hull and Bacon, Introduction to dislocations, Estados Unidos, 4a edición, Elsevier, 2001.

21 Dieter, 143

12. R.E. Smallman y R.J. Birshop, Modern Physical Metallurgy and Materials engineering, UK: 6a edición, Elsevier, 1999.

Coautores

Lucas muñozMinerva González López