tarea4_2015
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Universidad Autnoma de Sinaloa Facultad de Ciencias Fsico-MatemÆticas Tarea #4 Estadstica II Profesor: Mara Gpe. Russell Fecha de entrega: MiØrcoles 22 de abril del 2015 1. Una moneda se lanza al aire 1000 veces, 560 de los lanzamientos cae Æguila y 440 sol. ¿Es razonable suponer que la moneda es justa? Justique su respuesta. 2. En una determinada ciudad, se supone que el nœmero de accidentes de automviles en un aæo determinado sigue una distribucin de Poisson. En los œltimos aæos el nœmero promedio de accidentes por aæo fue de 15, y este aæo fue de 10. ¿Se justica la armacin de que la tasa de accidentes ha disminuido?: 3. Un abuso notable en relacin a los niveles de signicancia de una prueba, es elegir a este despuØs de observar los datos y elegir de tal manera que se forza a rechazar (o aceptar) la hiptesis nula de interØs Para ver las verdaderas probabilidades de Error Tipo I y Error Tipo II de tales procedimientos, calcule el tamaæo y la potencia de las dos pruebas triviales siguientes: (a) Siempre rechazar H 0 , no importando lo que se obtiene de los datos (equivalente a la prÆctica de elegir el nivel para forzar a el rechazo de H 0 ) (b) Siempre aceptar H 0 , no importando lo que se obtiene de los datos (equivalente a la prÆctica de elegir el nivel para forzar a la aceptacin de H 0 ) 4. Sea X 1 ;X 2 ; una muestra aleatoria de tamaæo 2 de una distribucin exponencial, tal que f (x; )= 1 e x ;x> 0;> 0 0 en otros casos : Rechazamos H 0 : =2 vs H 1 : =1 si los valores observados de X 1 ;X 2 ; digamos x 1 y x 2 son tales que; f (x 1 ; 2) f (x 2 ; 2) f (x 1 ; 1) f (x 2 ; 1) 1 2 : Donde = f : =1; 2g : Encuentre el nivel de signicancia de la prueba y la funcin potencia de la prueba cuando H 0 es falsa. 5. Sea X una variable aleatoria con distribucin Poisson con media :Considere la hiptesis simple H 0 : = 1 2 vs H 1 : < 1 2 ; es decir; = :0 < 1 2 : Sea X 1 ;X 2 ;:::;X 12 una muestra aleatoria de tamaæo 12 de esta distribucin. Rechazamos H 0 si y solo si el valor observado Y = P 12 1 X i 2: Si () es la funcin potencia de la prueba encuentre 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 6 y 1 12 : Dibuje la grÆca de () : 6. Sea X 1 ;X 2 ;:::;X n una muestra aleatoria de tamaæo n de una poblacin N ; 2 : Deseamos probar la hiptesis H 0 : = 0 vs H 1 : 6= 0 : Sea =0:05 0 = 30:000 y n = 20: Obtenga la funcin potencia, usando = 5000: Evalue la funcin potencia para los valores de = 25000; 27500; 30000; 32500; y 35000: Dibujela la funcin potencia. 7. Asuma que los pesos de cierto cereal en cajas de 10 onzas es N ; 2 : Para la prueba H 0 : = 10:1 vs H 1 : > 10:1; tomamos muestras de tamaæo n = 16 y observamos que x = 10:4 y s =0:4: (a) ¿Se acepta o rechaza la hiptesis H 0 al nivel de signicancia =0:05? (b) ¿CuÆl es el p-valor aproximado de esta prueba? 8. Sea X; y Y variables aleatorias independientes con fdp N ( 1 ; 3 ) y N ( 2 ; 3 ) ; donde las medias 1 ; 2 y la varianza comœn 3 son desconocidas. Sean X 1 ;X 2 ;:::; X n y Y 1 ;Y 2 :::; Y m muestras aleatorias provenientes cada una de las distribuciones arriba mencionadas. Nos interesa probar la hiptesis H 0 : 1 = 2 vs H 1 : 1 6= 2 y 3 no especicado Suponga que n = m =8; x = 75:2; y = 78:6; P 8 i=1 (x i x) 2 = 71:2 y P 8 i=1 (y i y) 2 = 54:8: (a) ¿Aceptamos o rechamos la hiptesis H 0 : 1 = 2 ; al nivel de signicancia del 5%? (b) Obtenga el p-valor de la prueba. 1
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Universidad Autnoma de SinaloaFacultad de Ciencias Fsico-Matemticas
Tarea #4Estadstica II
Profesor: Mara Gpe. RussellFecha de entrega: Mircoles 22 de abril del 2015
1. Una moneda se lanza al aire 1000 veces, 560 de los lanzamientos cae guila y 440 sol. Es razonable suponerque la moneda es justa? Justique su respuesta.
2. En una determinada ciudad, se supone que el nmero de accidentes de automviles en un ao determinadosigue una distribucin de Poisson. En los ltimos aos el nmero promedio de accidentes por ao fue de 15, yeste ao fue de 10. Se justica la armacin de que la tasa de accidentes ha disminuido?:
3. Un abuso notable en relacin a los niveles de signicancia de una prueba, es elegir a este despus de observarlos datos y elegir de tal manera que se forza a rechazar (o aceptar) la hiptesis nula de inters Para verlas verdaderas probabilidades de Error Tipo I y Error Tipo II de tales procedimientos, calcule el tamao y lapotencia de las dos pruebas triviales siguientes:
(a) Siempre rechazar H0, no importando lo que se obtiene de los datos (equivalente a la prctica de elegir elnivel para forzar a el rechazo de H0)
(b) Siempre aceptar H0, no importando lo que se obtiene de los datos (equivalente a la prctica de elegir elnivel para forzar a la aceptacin de H0)
4. Sea X1; X2; una muestra aleatoria de tamao 2 de una distribucin exponencial, tal que
f (x; ) =
1 e x ; x > 0; > 00 en otros casos
:
Rechazamos H0 : = 2 vs H1 : = 1 si los valores observados de X1; X2; digamos x1 y x2 son tales que;
f (x1; 2) f (x2; 2)
f (x1; 1) f (x2; 1) 12:
Donde = f : = 1; 2g : Encuentre el nivel de signicancia de la prueba y la funcin potencia de la pruebacuando H0 es falsa.
5. Sea X una variable aleatoria con distribucin Poisson con media :Considere la hiptesis simple H0 : = 12 vsH1 : 10:1; tomamos muestras de tamao n = 16 y observamos que x = 10:4 y s = 0:4:
(a) Se acepta o rechaza la hiptesis H0 al nivel de signicancia = 0:05?
(b) Cul es el p-valor aproximado de esta prueba?
8. Sea X; y Y variables aleatorias independientes con fdp N (1; 3) y N (2; 3) ; donde las medias 1; 2 y lavarianza comn 3 son desconocidas. Sean X1; X2; : : : ; Xn y Y1; Y2 : : : ; Ym muestras aleatorias provenientescada una de las distribuciones arriba mencionadas. Nos interesa probar la hiptesis H0 : 1 = 2 vs H1 : 1 6= 2y 3 no especicado Suponga que n = m = 8; x = 75:2; y = 78:6;
P8i=1 (xi x)2 = 71:2 y
P8i=1 (yi y)2 =
54:8:
(a) Aceptamos o rechamos la hiptesis H0 : 1 = 2; al nivel de signicancia del 5%?
(b) Obtenga el p-valor de la prueba.
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