Tarea 2 (IO-2)Modelación de Sistemas Estocásticos

Universidad Mayor

Prof. Jaime Carrasco Barra

Primavera 2015

Fecha de Entrega: Lunes 23 de Noviembre. Grupos: Máximo 3 integrantes.

1. Considere un sistema con dos cajas (servidores) en que cada cliente es primero atendidopor la caja 1, después por la caja 2, y luego se va. Los tiempos de atención en cadacaja son aleatorios y exponenciales con tasas �1 y �2 respectivamente. Suponga quecuando usted llega a tal sistema, la primera caja está libre y en la segunda hay dosclientes, uno siendo atendido (cliente A) y el otro en una cola esperando (cliente B).

(a) Encontrar pA := la probabilidad que el cliente A esté todavía siendo atendidocuando usted se traslada a la caja 2.

(b) Encuentre pB := la probabilidad que el cliente B todavía no abandone el sistema,cuando usted se traslada hacía la caja 2.

(c) Encuentre E [T ] := el tiempo esperado que usted gastará en salir del sistema.

2. Una fábrica produce Ai-pods a través de un proceso de Poisson de tasa ��Ai�podshora

�. Se

puede considerar que la bodega en que se almacenan los Ai-pods tiene espacio ilimitado.Clientes llegan a la fábrica de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa �

�clienteshora

�. Cada

cliente requiere de un ítem y se retira inmediatamente tanto con el Ai-pod o con lasmanos vacías debido a que no habían ítems disponibles.

Dado lo anterior se pide calcular en el largo plazo:

(a) Proporción de clientes que se retira con las manos vacías.

(b) Número promedio de Ai-pods en bodega.

(c) Tiempo promedio que un ítem se encuentra en la bodega.

(d) Considere ahora que cada cliente que se retira con las manos vacías supone uncosto $M al sistema. También, suponga que cada Ai-pod en bodega signi�ca uncosto de $A por hora sin ser vendido. Además, cada cliente que adquiere un Ai-pod representa un bene�cio de $B a la fábrica. Si la empresa puede regular latasa de producción �, plantee las ecuaciones que permitan encontrar el � óptimode producción.

1

3. Se requiere que los nuevos conductores aprueben exámenes escritos antes de someterlosa un examen de manejo en carretera. Estos exámenes suelen ser administrados por eldepartamento de policía de la ciudad. Los registros en la ciudad muestran que lleganconductores a dar el examen cada 1

�horas en promedio. El tiempo promedio necesario

para completar el examen es aproximadamente de 1�horas. Sin embargo, la llegada

real de los conductores que van a realizar el examen y el tiempo que cada uno empleaen el examen son totalmente aleatorios(exponenciales). Determine lo siguiente:

(a) Modele la situación como Proceso de Nacimiento y Muerte determinando explíci-tamente las tasas �n y �n.

(b) Muestre que las probabilidades estacionarias se distribuyen como una v.a. dePoisson con tasa � = �=�.

(c) Determine la cantidad promedio de sillas que el departamento de policía debeproporcionar en el salón donde se realizan los exámenes.

(d) La probabilidad de que la cantidad de conductores que van a realizar el examenno exceda el promedio de sillas proporcionadas en el salón.

(e) La probabilidad de que no se administren exámenes en cualquier día.

4. A una sucursal de un banco con un solo cajero llegan personas a atenderse de acuerdoa un proceso de Poisson a tasa �. Los clientes se atienden en orden de llegada y eltiempo de atención tiene una distribución exponencial a tasa �. Se ha detectado, sinembargo, que los clientes de esta sucursal son impacientes y que si después de un ciertotiempo de permanecer en la cola, no son atendidos, se van del sistema. Para efectos demodelar esta situación, suponga que cada cliente tiene un tiempo hasta que se agotasu paciencia que corresponde a una va exponencial a tasa �.

Calcule:

(a) Las tasas de transición �n y �n cuando hay n clientes en el sistema y luego en-cuentre una expresión para el número promedio de personas en el sistema L.

(b) La tasa promedio de salida de personas por impacientes �I .

(c) La tasa promedio de salidas de personas atendidas por el sistema �A.

(d) La tasa efectiva del sistema �ef donde

�ef :=

1Xn=0

�npn :

(e) El largo promedio de la cola Lq.

(f) El tiempo promedio de permanencia de un cliente cualquiera en el sistema W .

2