Analisis Funcional

Rafael Ordonez Cardales

Ciclo: I 2016

Tarea I

Universidad de Concepcion

Departamento de Ingenierıa Matematica

Doctorado en Ciencias Aplicadas con mencion en Ingenierıa Matematica

1

1. Sea Ω un abierto acotado de R2 con frontera suave Γ, y sea f ∈ [L(Ω)]2. El

Problema de Navier-Stokes, un problema de suma importancia en mecanica de

fluidos, consiste en encontrar un vector de velocidades u := (u1, u2)t y la presion

p de un fluido, tales que

−∆u +2∑j=1

uj∂u∂xj

+∇p = f en Ω, divu = 0 en Ω,

(1)

u = 0 en Γ,

∫Ω

p dx = 0.

Defina los espacios H := [H10(Ω)]2, Q := L2

0(Ω) :=q ∈ L2(Ω) :

∫Ωq dx = 0

, y

demuestre que la formulacion debil de (1) se reduce a encontrar (u, p) ∈ H × Q

tales que:

a(u; u, v) + b(v, p) = f(v) ∀v ∈ H

(2)

b(u, q) = 0 ∀q ∈ Q,

donde a : H× H× H→ R, b : H× Q→ R, y f : H→ R, estan definidas por

a(w; u, v) :=2∑i=1

∫Ω

∇ui · ∇vi dx+2∑

i,j=1

∫Ω

wj∂ui∂xj

vi dx,

b(v, p) := −∫

Ω

p divvdx, f(v) =

∫Ω

f · v dx.

Solucion. Sea Ω un abierto acotado de R2 con frontera suave Γ, y sea f ∈ [L(Ω)]2.

2

Multiplicando la ecuacion (1) por una funcion test v := (v1, v2) ∈ H obtenemos∫Ω

(−∆u +

2∑j=1

uj∂u∂xj

+∇p

)· v dx =

∫Ω

f · v dx

−∫

Ω

∆u · v dx+

∫Ω

(2∑j=1

uj∂u∂xj

)· v dx+

∫Ω

∇p · v dx =

∫Ω

f · v dx. (3)

Si ν := (ν1, ν2)t, el vector normal unitario exterior a Ω, entonces aplicando la

primera identidad de GREEN resulta

−∫

Ω

∆u · v dx =

∫Ω

∇u · ∇v dx−∫

Γ

∂u∂ν

v ds, (4)

Debido a que v ∈ H, la ecuacion (4) se reduce a

−∫

Ω

∆u · v dx =

∫Ω

∇u · ∇v dx =2∑i=1

∫Ω

∇ui · ∇vi . (5)

Por otro lado, aplicando la formula de integracion por partes se obtiene∫Ω

∇p · v dx =

∫Ω

(∂p

∂x1

,∂p

∂x2

)· (v1, v2) dx =

∫Ω

∂p

∂x1

v1 dx+

∫Ω

∂p

∂x2

v2 dx

= −∫

Ω

p∂v1

∂x1

dx+

∫Γ

pv1 ν1 ds−∫

Ω

p∂v2

∂x2

dx+

∫Γ

pv2 ν2 ds

=

∫Ω

−p

(2∑i=1

∂vi∂xi

)dx+

∫Γ

p(v1ν1 + v2ν2) ds

=

∫Ω

−p divv dx+

∫Γ

pvν ds,

por lo tanto ∫Ω

∇p · v dx =

∫Ω

−p divv dx. (6)

Reemplazando (6) y (5) en (3) se concluye que2∑i=1

∫Ω

∇ui · ∇vi +

∫Ω

(2∑j=1

uj∂u∂xj

)· v dx+

∫Ω

−p divv dx =

∫Ω

f · v dx

2∑i=1

∫Ω

∇ui · ∇vi +2∑

i,j=1

uj

∫Ω

uj∂ui∂xj· vi dx+

∫Ω

−p divv dx =

∫Ω

f · v dx.

3

Teniendo en cuenta esta ultima ecuacion definimos

a(w; u, v) :=2∑i=1

∫Ω

∇ui · ∇vi dx+2∑

i,j=1

∫Ω

wj∂ui∂xj

vi dx,

b(v, p) := −∫

Ω

p divvdx, f(v) =

∫Ω

f · v dx.

Finalmente, debido a que∫

Ωp dx = 0 y divu = 0, entonces p ∈ Q y

b(u, p) = −∫

Ω

p divu dx = 0

Por consiguiente b(u, q) = 0 para todo q ∈ Q. Con esto hemos demostrado que la

formulacion debil de (1) se reduce a encontrar (u, p) ∈ H×Q tales que se cumpla

(2)

2. Dado Ω abierto de Rn y p ∈ [1,+∞), se define

Lp(Ω) :=

f : Ω→ R : f medible y

∫Ω

|f |p dx <∞.

Puede probarse que Lp(Ω), provisto de la norma ‖f‖Lp(Ω) :=∫

Ω|f |p dx

1/p es

un espacio de Banach. Ademas f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lq(Ω), con 1p

+ 1q

= 1, se tiene

la desigualdad de Holder∫Ω

|fg| dx ≤ ‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lq(Ω).

Entonces, dado m ∈ N se define el Espacio de Sobolev de orden (m, p), como

Wm,p(Ω) := u ∈ D′(Ω) : ∂αu ∈ Lp(Ω) ∀α, |α| ≤ m ,

el cual se provee de la norma ‖u‖Wm,p(Ω) :=∑

|α|≤m ‖∂αu‖pLp(Ω)

1/p

. Demuestre

que Wm,p(Ω) es un espacio de Banach.

4

Solucion. Antes de darle solucion al ejercicio anterior primero probaremos el si-

guiente lema que sera de mucha utilidad

Lema. 1 Sean β ∈ NN, unn∈N y u, vβ ∈ Lp(Ω) tales que un → u y ∂βun → vβ

en Lp(Ω). Entonces ∂βu = vβ . En efecto. Sea β un multiındice y u ∈ C|β|(Ω),

entonces aplicando la integracion por partes |β| veces resulta

〈∂βu, ϕ〉 = (−1)|β|〈u, ∂ϕ〉. ∀ϕ ∈ D(Ω)

Luego

〈∂βu, ϕ〉 = (−1)|β|〈u, ∂ϕ〉

= (−1)|β|〈 lımn→∞

un, ∂ϕ〉

= lımn→∞

(−1)|β|〈un, ∂ϕ〉

= lımn→∞〈∂βun, ϕ〉

= 〈 lımn→∞

∂βun, ϕ〉

= 〈vβ, ϕ〉

Por lo tanto 〈∂βu, ϕ〉 = 〈vβ, ϕ〉, para todo ϕ ∈ D(Ω). Esto demuestra que

∂βu = vβ .

Continuemos con la solucion del ejercicio propuesto. Para ello considere vnnNuna secesion de Cauchy en Wm,p(Ω), entonces

‖vn − vk‖pWm,p(Ω) −→ 0 cuando n, k −→∞.

Luego ∑|α|≤m

‖∂αvn − ∂αvk‖pLp(Ω) −→ 0 cuando n, k −→∞. (7)

5

Sea X :=α ∈ NN : |α| ≤ m

. Entonces (7) implica que

‖∂αvn − ∂αvk‖Lp(Ω) −→ 0 cuando n, k −→∞,

es decir ∂αvn es de Cauchy en Lp(Ω) para todo α ∈ X .

Debido a que Lp(Ω) un espacio de Banach, entonces para todo α ∈ X existe un

vα ∈ Lp(Ω) tal que

‖∂αvn − vα‖Lp(Ω) −→ 0 cuando n −→∞. (8)

Finalmente, sea v ∈ Lp(Ω) tal que vn −→ v en Lp(Ω). Entonces aplicando el

Lema 1 junto con (8) resulta

‖v − vn‖pWm,p(Ω) =∑|α|≤m

‖∂αv − ∂αvn‖pLp(Ω)

=∑|α|≤m

‖vα − ∂αvn‖pLp(Ω) −→ 0

Por lo tanto ‖v − vn‖pWm,p(Ω) −→ 0 cuando n −→ ∞. Esto demuestra que

el Espacio de Sobolev de orden (m, p) es de Banach

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