Introduccin al Tratamiento de Seales Semestre 2015-2 Facultad de Ingeniera, UNAM -1-

Tarea 1

Introduccin al Tratamiento de Seales Grupo 01

Prof. M. C. Mauricio Nava Flores mauricio_nava@comunidad.unam.mx

Instrucciones:

i. Para resolver esta tarea ser necesario que diseen programas en FORTRAN. ii. Debern hacer algunas figuras con grficos. Pueden hacer los grficos en cualquier

software que sirva para ese propsito (Matlab, Octave, Scilab, Excel, Grapher, Gnuplot, ). iii. Debern enviar los programas fuente y los ejecutables, indicando si corren en arquitecturas

de 32 o 64 bits. iv. Debern entregar un breve reporte escrito en el que describan lo que hicieron. NO DEBEN

INCLUIR EN EL REPORTE, LOS LISTADOS DE LOS PROGRAMAS FUENTE! v. La tarea es para entregar una vez que se abarque el tema 1 en clase.

1. Obtener la expresin de la serie de Fourier en forma exponencial, a partir de la sustitucin de

las identidades ( )0cos n t y ( )0sin n t en la serie:

( ) ( ) ( )0 0 01

cos sin2 n nnax t a n t b n t

=

= + + 2. Obtener las expresiones para desarrollar en series de Fourier las siguientes seales:

a) ( )1; 0

1; 00; , 0,

tf t t

t

<

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3. Obtener las siguientes seales: a) ( )abr b) ( ) ( )a t b t c) ( )aar d) ( )bbr

considerando que ( )a t y ( )b t son las seales ilustradas a continuacin:

4. Obtener la transformada de Fourier continua de las siguientes seales:

a) ( )11;210;2

tf t

t

b) ( ) ; 00; 0

ate tf t

t

>=

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7. Dadas las siguientes seales continuas, peridicas y deterministas: a) ( ) ( ) ( )12 sin 25 sin 50x t t t = b) ( ) ( ) ( ) ( )12cos 10 3sin 100 cos 45y t t t t = + c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )34sin 250 cos 125 2sin 350 3cos 500z t t t t t =

I. Determinar las frecuencias mxima y de Nyquist de cada una de ellas.

II. Determinar los intervalos de muestreo 1t necesarios que se requieren para que puedan reconstruirse totalmente, a partir de sus muestras.

III. Corroborar el punto anterior, con ayuda de un programa, haciendo uso del teorema del muestreo.

IV. Aplicar otros intervalos de muestreo 2t tales, que slo se conserve la componente de menor frecuencia en cada seal y reconstruir las seales a partir de estas nuevas muestras, con la misma serie de interpolacin intrnseca en el teorema del muestreo (pueden usar el programa del punto anterior, adaptndolo a las nuevas seales).

Notas:

En todos los casos, las seales se observan en el intervalo: (seg). En los puntos III y IV debern graficar las seales originales contra las seales reconstruidas, en un

intervalo de tiempo adecuado, que les permita visualizar las semejanzas y/o diferencias entre ellas Aljense de los bordes!

Simular tiempo continuo con un intervalo de muestreo de .

8. A partir de las muestras de las seales discretas obtenidas del ejercicio anterior (puntos II y IV), calcular los coeficientes de Fourier y obtener con ellos sus espectros de frecuencias, comparndolos con los espectros de frecuencias reales o analticos (obtenidos a partir de la transformada de Fourier de las seales continuas).

a) Para las seales digitales generadas en el punto II del ejercicio 7, Los espectros son idnticos a los espectros calculados de forma analtica?, de no ser as, A qu se podran atribuir esas diferencias? Se vale especular!

b) Para las seales digitales generadas en el punto IV del ejercicio 7, Estn presentes todas las frecuencias de las seales en estos espectros?, de no ser as, Se podra decir que han filtrado las seales como consecuencia de haber elegido un intervalo de muestreo que no cumple con el teorema de Shannon Nyquist (teorema del muestreo)?

9. Desarrollar todas las seales discretas del punto II del ejercicio 7 en series de Fourier hasta que

se cumpla la condicin: 02

1 ;2

n ft

(n indica el nmero de armnico en la serie de Fourier y

2t es el intervalo de muestreo de la seal aplicado en el punto IV). a) Cuntos armnicos se requirieron para que se cumpliera la condicin indicada en cada

seal? b) Comparar grficamente las seales obtenidas por desarrollo en series de Fourier del

inciso anterior, con las seales discretas del punto IV del ejercicio 7 y con las seales discretas del punto II del ejercicio 7. Se podra decir que han filtrado las seales discretas del punto II a partir del desarrollo de series de Fourier?, de ser as, Qu tipo de filtro implementaron?

[ ]0,50t

1 ms

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10. Para cada una de las seales discretas, almacenadas en los archivos s1.dat, s2.dat, s3.dat y s4.dat:

a) Determinar la frecuencia fundamental y de plegamiento. b) Obtener una estimacin de la secuencia de autocorrelacin sesgada e insesgada (en

forma). c) Obtener los espectros de amplitudes. d) Obtener los espectros de potencias a travs de la transformada de Fourier de la

autocorrelacin (sesgada e insesgada) y a travs del teorema de Wiener.

11. Sea la seal ( ) ( ) [ ] ( )2sin 250 0,10x t t t seg= : a) Discretizar ( )x t con un muestreo adecuado, de acuerdo al teorema de Shannon

Nyquist y graficarla.

b) Realizar la operacin: [ ] [ ] [ ]*y n x n h n= , con [ ] 12 1,0, 1th n = y hacer un grfico

comparativo entre [ ]y n y ( )d x tdt

.

c) Realizar la operacin: ( ) ( ){ }{ }1 i x t F F , con 1i = ; 2 f = , a travs de la transformada de Fourier discreta y hacer un grfico comparativo entre el resultado de

dicha operacin y ( )d x tdt

.

d) Sacar conclusiones a partir de los grficos del inciso b) y c), as como del conocimiento terico que tienen acerca de las propiedades de la T. F.

12. Obtener curvas tericas de rendimiento en tiempo de ejecucin de la Transformada de Fourier Discreta, con respecto a la Transformada Rpida (fft), aplicndolas a la seal ( ) ( ) [ ] ( )2sin 500 ; 0,10x t t t seg= , discretizando con frecuencias de muestreo que van

desde 1000mf Hz= , hasta 100mf KHz= , con un incremento 1000mf Hz = .