Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Departamento de Matemática

Matemática III

Sección 03

Ing. Eduardo Escapini

Ciclo 01/2015

INDICACIONES TAREA GRUPAL

OBJETIVO: Que los alumnos que cursan la materia, apliquen los conocimientos adquiridos sobre

sucesiones, series, integración en coordenadas polares, derivadas parciales, optimización y otros

conocimientos necesarios para resolver problemas de aplicación a la ingeniería, así como también

el uso de sistemas computacionales como recurso facilitador en el procedimiento de solución.

La presente tarea está compuesta por 6 problemas, de los cuales se le pide lo siguiente para

cada problema:

i. Resolver el problema a mano y con bolígrafo.

ii. Enfatizar los teoremas con los que resuelve el problema.

iii. Numerar los pasos de solución.

iv. Presentar los procedimientos y consideraciones para la solución de cada problema.

v. Presentar impresiones de capturas de pantalla, graficas en Excel, plantillas o cuadros

de Excel, u otras aplicaciones o programas utilizados, de ser necesarios.

vi. Detallar orden, limpieza y claridad.

La presentación del reporte debe contener como mínimo lo siguiente:

a) Portada.

b) Índice.

c) Enunciado de cada problema y solución.

d) Conclusiones (una por cada problema)

e) Bibliografía utilizada.

Metodología de Evaluación:

Resolver y entregar en grupos de 5 integrantes, del mismo curso y sección.

La presentación y solución de la tarea equivale al 50%.

El 50% restante corresponde a una defensa escrita, la cual se realizará el día viernes 26 de Junio,

en la última hora de la discusión general de ese día, dicha defensa la realizarán dos integrantes de

cada grupo en pareja, los cuales serán seleccionados por el profesor y se darán a conocer el día de

la defensa. Si una de las personas seleccionadas del grupo no está el día de la defensa, la defensa

valdría el 25% nada más (se pierden 25% de la nota global de esta actividad por irresponsabilidad).

El día viernes 12 de Junio entregarán una página con los nombres de los integrantes de cada

grupo a su instructor Jonathan Landaverde.

La fecha de entrega de la tarea se realizará el día miércoles 24 de Junio al inicio de la clase.

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Trabajo de Matemática III.

El trabajo es grupal, en grupos de tres integrantes. Fecha de entrega: 19 de junio.

El trabajo se entregará en un folder tamaño carta, con portada. Cada ejercicio deberá tener su enunciado,

seguido del procedimiento correspondiente y capturas de pantalla cuando sea pertinente e indicando

claramente la respuesta.

1. La relatividad especial propuesta por Albert Einstein es capaz de explicar el comportamiento

cinemático de los cuerpos en movimiento, especialmente aquellos cuerpos cuyas velocidades sean

cercanas a las de la luz. La teoría también permite describir la dinámica de los campos eléctrico y

magnético alrededor de cuerpos en movimiento. En la relatividad especial, tanto espacio como

tiempo están interrelacionados en una única entidad llamada espacio-tiempo. Albert Einstein en

su teoría de la relatividad propone que en un sistema en movimiento con respecto a un observador

se verifica una dilatación del tiempo; dicho de otro modo, el tiempo transcurre más despacio en el

sistema en movimiento. La Teoría de la relatividad especial estableció nuevas ecuaciones que

facilitan pasar de un sistema de referencia inercial a otro. Esto nos invita a pensar de que

“absolutamente todo proceso físico en la vida es relativo”

Dentro de la mecánica relativista se define a la energía cinética como:

𝐾𝐸 =𝑚0𝐶2

√1−𝑣2

𝐶2

− 𝑚0𝐶2, donde:

0m masa del objeto

v velocidad del objeto

c velocidad de la luz

Se le pide hacer lo siguiente:

a. Encuentre una representación en series para la energía cinética en función de la velocidad del

objeto

b. Proporcione una relación adecuada entre los valores de "𝒗" y "𝒄" para los cuales la serie del

literal anterior sea convergente (no examine la convergencia en las fronteras)

c. De muestre que para valores de 𝒄 ≫ 𝒗 se recurre en el concepto de energía cinética propuesto

por Isaac Newton definida por 2

0

1

2KE m v

d. Determine cuantos términos son necesarios expandir en la serie encontrada en el primer literal

para asegurar una precisión de 3 decimales para un cuerpo cuya masa es de 25 kg viajando a

una velocidad de 1,000 𝑚/𝑠.

2. Una empresa tiene dentro de sus planes de ampliación la construcción de una nueva pequeña

central hidroeléctrica que se conectara a la red nacional. Se debe de elegir muy cuidadosamente

entre 3 ríos disponibles, los que serán desviados para obtener un beneficio energético. La junta

directiva de la central se ha puesto en contacto con una empresa que proporcionara 3 turbinas tipo

Francis de diferente capacidad para poner a funcionar a la central. Los fabricantes han brindado

modelos cuadráticos para la salida que se pone a disposición en los generadores que acompañan a

cada turbina de acuerdo con los caudales admisibles de operación. A continuación se presenta el

detalle de cada turbina:

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TIPO DE TURBINA Caudal mínimo (𝐟𝐭𝟑/𝐬) Caudal máximo 𝐟𝐭𝟑/𝐬)

Francis lenta 250.0 1.110

Francis normal 250.0 1.110

Francis rápida 250.0 1.225

𝐸𝐹𝐿 = (170 − 1.6x10−6 𝐐𝐓𝟐)(0.1277𝐐𝐅𝐋 − 4.08x10−5 𝐐𝐅𝐋

𝟐 − 18.89)

𝐸𝐹𝑁 = (170 − 1.6x10−6 𝐐𝐓𝟐)(0.1358𝐐𝐅𝐍 − 4.69x10−5 𝐐𝐅𝐍

𝟐 − 24.51)

𝐸𝐹𝑅 = (170 − 1.6x10−6 𝐐𝐓𝟐)(0.1380𝐐𝐅𝐑 − 3.84x10−5 𝐐𝐅𝐑

𝟐 − 27.02)

Si las tres turbinas se podrán a funcionar al mismo tiempo, se le pide determinar lo siguiente:

a) Encuentre los valores para los flujos individuales (como funciones de QT) que maximicen la

producción total de energía.

b) Si tuviera que elegir entre 3 ríos cuyos caudales cuyos valores se presentan en la tabla final, ¿Qué

rio elegiría?

Nombre del rio Caudal promedio 𝐟𝐭𝟑/𝐬)

Rio Chixoy 900

Rio Motagua 1850

Rio Grijalva 5000

Tome en cuenta que nuestra función a maximizar es FL FN FRf definifa por E E E y la restricción

g definida por FL FL FN FR TOTALE Q Q Q Q

3. Demuestre que la serie de Fourier para 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 en el intervalo de [−𝜋, 𝜋] en el cual se supone

que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2𝜋)

4. Sea la función (tan( )) tan( ( ))

( )(arctan( )) arctan ( ( ))

sen x sen xf x

arcsen x g arcsen x

a. Utilice un sistema algebraico computacional para evaluar ( )f x para 1,0.1,0.01,0.001,0.0001x .

¿Parece tener f un límite cuando 0x ?

b. Utilice un sistema computacional para dibujar f cerca de x=0. ¿Parece tener f un límite cuando

0x ?

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c. Intente evaluar 0

lim ( )x

f x

con la regla de L´Hopital utilizando un sistema computacional para hallar

las derivadas del numerador y del denominador. Sí al aplicar la segunda vez la regla de L´Hopital y le

sigue dando una indeterminación, entonces siga con el siguiente literal.

d. Calcule por medio de un sistema computacional la serie de Taylor que representa al numerador y de

igual manera la serie de Taylor que representa al denominador y a partir de dichas series aplique el

teorema de L´Hopital para calcular el límite 0

lim ( )x

f x

.

e. Utilice algún sistema computacional para calcular el límite de forma directa para 0

lim ( )x

f x

5. Probar que 21 ... 2 cos2 4 6 2

nn n n n

y que 2... 21 3 5 7 2

nn n n n nsen

.

Puede iniciar la demostración utilizando la serie binomial sustituyendo la variable real por la unidad

imaginaria.

6. Realice los siguientes literales

a. Utilizando un sistema computacional realice el dibujo para 4 4 2 2x y x y y emplee

coordenadas polares para encontrar el área encerrada por la curva, dicha curva es simétrica con

respecto al eje x, al eje y, a la recta y=x y a la recta y=-x

b. Grafique en un sistema computacional las siguientes ecuaciones 2cos(3 )r y 21

4y x ,

luego encuentre el área encerrada por 2cos(3 )r y la parte superior a 21

4y x .