Tarea Mecánica cuántica
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MECANICA CUANTICA-I TAREA # 6 lunes 29/abril/2015 Fecha de entrega: lunes 11 de mayo de 2015. Despu´ es de esta fecha habr´ a un descuento de un punto por cada d´ ıa de atraso. Semestre 2015-2 Luis F. Urrutia (I) (I-1)Aplicando directamente los operadores J 2 y J z muestre que al sumar los momentos angulares L y K donde J = L + K, el ket |J, M 〉 = − k l + k |l, k; l − 1,k〉 + l l + k |l, k; l, k − 1〉, tiene J = l + k − 1,M = l + k − 1. (I-2) Para el caso l = 1, k = 1, obtenga expl´ ıcitamente todos los estados de momento angular total en t´ erminos de la base producto directo, sin emplear la Tabla de Coeficientes de Clebsh- Gordan. (II) (II-1) En la suma de momentos angulares l ⊕ k, encuentre la expresi´on de las matrices D (J ) M,M ′ en t´ erminos de D (l) m l ,m ′ l y D (k) m k ,m ′ k . (II-2) Para momento angular orbital (l entero) y partiendo del hecho el ket |θ, φ〉, que representa la direcci´ on ˆ n(θ, φ) en la notacion est´andard, puede obtenerse del ket |θ =0,φ =0〉 mediante una rotaci´ on, muestre que D (l) m,0 (α = φ, β = θ, γ = 0) = 4π 2l +1 Y * lm (θ, φ). (II-3) Use este resultado, m´ as las propiedades de ortogonalidad de los harm´onicos esf´ ericos para probar que dω D (J ) M,M ′ (α,β,γ )= δ J,0 δ M,0 δ M ′ ,0 dω = dα 2π dγ 2π d(cos β ) 2 donde J inicialmente es arbitario (entero o semientero). (III) (III-1) A partir de la formula general (3.8.33 del Sakurai ) para las matrices de rotaci´on de Wigner d (j ) m ′ ,m (β ) pruebe las siguientes relaciones: d (j ) m ′ ,m (β ) = d (j ) m,m ′ (−β ), d (j ) m ′ ,m (−β )=(−1) m ′ -m d (j ) m ′ ,m (β ), d (j ) m ′ ,m (β ) = d (j ) -m,-m ′ (β ), D (j ) m ′ ,m (α,β,γ ) * =(−1) m ′ -m D (j ) -m ′ ,-m (α,β,γ ).
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MECANICA CUANTICA-I
TAREA # 6lunes 29/abril/2015
Fecha de entrega: lunes 11 de mayo de 2015.Despues de esta fecha habra un descuento de un punto por cada dıa de atraso.
Semestre 2015-2 Luis F. Urrutia
(I)(I-1)Aplicando directamente los operadores J2 y Jz muestre que al sumar los momentos angulares
L y K donde J = L+K, el ket
|J, M〉 = −
√
k
l + k|l, k; l − 1, k〉+
√
l
l + k|l, k; l, k − 1〉,
tiene J = l + k − 1, M = l + k − 1.
(I-2) Para el caso l = 1, k = 1, obtenga explıcitamente todos los estados de momento angulartotal en terminos de la base producto directo, sin emplear la Tabla de Coeficientes de Clebsh-Gordan.
(II)
(II-1) En la suma de momentos angulares l⊕ k, encuentre la expresion de las matrices D(J)M,M ′ en
terminos de D(l)
ml,m′
l
y D(k)
mk,m′
k
.
(II-2) Para momento angular orbital (l entero) y partiendo del hecho el ket |θ, φ〉, que representala direccion n(θ, φ) en la notacion estandard, puede obtenerse del ket |θ = 0, φ = 0〉 mediante unarotacion, muestre que
D(l)m,0(α = φ, β = θ, γ = 0) =
√
4π
2l + 1Y ∗lm(θ, φ).
(II-3) Use este resultado, mas las propiedades de ortogonalidad de los harmonicos esfericos paraprobar que
∫
dω D(J)M,M ′(α, β, γ) = δJ,0δM,0δM ′,0 dω =
dα
2π
dγ
2π
d(cos β)
2
donde J inicialmente es arbitario (entero o semientero).
(III)(III-1) A partir de la formula general (3.8.33 del Sakurai ) para las matrices de rotacion de Wigner
d(j)m′,m(β) pruebe las siguientes relaciones:
d(j)m′,m(β) = d
(j)m,m′(−β), d
(j)m′,m(−β) = (−1)m
′−m d(j)m′,m(β),
d(j)m′,m(β) = d
(j)−m,−m′(β),
[
D(j)m′,m (α, β, γ)
]∗
= (−1)m′−mD
(j)−m′,−m (α, β, γ).
(III-2) Pruebe la relacion
∫
dω[
D(J)MM ′(R)
]∗ (
D(K)N,N ′(R)
)
= δJ,K′δM,NδM ′,N ′
(
1
2J + 1
)
.
(IV)Un operador tensorial esferico de rango k se definio como on objeto que transforma bajo rotaciones
como
D†(R)T (k)q D(R) =
∑
q′
(
D(k)qq′ (R)
)∗
T(k)q′
(IV-1) A partir de la forma infinitesimal de esta definicion pruebe que las relaciones de con-
mutacion de T(k)q con los generadores de momento angular son
[
Jz,T(k)q
]
= hqT (k)q ,
[
J±,T(k)q
]
= h√
(k ∓ q)(k ± q + 1) T(k)q±1.
(IV-2) Empleando estas relaciones de conmutacion puebe que si X(k1)q1 y X
(k2)q2 son operadores
tensoriales esfericos, entonces
T (k)q ≡
∑
q1,q2
〈k1, k2; q1, q2|k, q〉 X(k1)q1
X(k2)q2
tambien lo es.
(V)Resuelva los problemas # 24 y # 28 del capıtulo 3 del libro Modern Quantum Mechanics, J..J.
Sakurai, 1994.
