Tarea Lindo

Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda”

Área de TecnologíaUnidad Curricular: Investigación de Operaciones

TemaTema No. 1No. 1Modelación Matemática. Formulación de Modelos de Modelación Matemática. Formulación de Modelos de Modelación Matemática. Formulación de Modelos de Modelación Matemática. Formulación de Modelos de

Programación LinealProgramación Lineal

Facilitador:Dr. Juan J. Lugo Marín.

La Investigación de Operaciones surgió formalmente durante la Segunda Guerra Mundial, cuando había una gran necesidad de

administrar los escasos recursos. La Fuerza Aérea Británica formó el

Antecedentes de la Investigación de Operaciones

administrar los escasos recursos. La Fuerza Aérea Británica formó el primer grupo que desarrollaría métodos cuantitativos para resolver

estos problemas operacionales y bautizó sus esfuerzos como investigación operacional. Poco después, las fuerzas armadas

estadounidenses formaron un grupo similar, compuesto por científicos físicos e ingenieros, cinco de los cuales posteriormente fueron laureados con el premio Nobel. Los esfuerzos de estos grupos,

especialmente en el área de la detección por radar, se consideran vitales en el triunfo de la guerra aérea de Gran Bretaña.

Después de la Segunda Guerra Mundial, los administradores de la industria reconocieron el valor de aplicar técnicas similares a sus complejos problemas de decisión. Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados

Antecedentes de la Investigación de Operaciones

decisión. Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados y procedimientos correspondientes para solucionar problemas que surgían en áreas tales como la programación de refinerías de petróleo, la distribución de

productos, la planeación de producción, el estudio de mercado y la planeación de inversiones. Estos procedimientos de soluciones se hicieron posibles con el

advenimiento de computadoras de alta velocidad, porque la resolución del típico problema de investigación de operaciones requiere demasiados cálculos para ser

realizados prácticamente a mano. El uso de técnicas de administración ha aumentado con los avances en los cálculos hasta el punto en que actualmente

estas técnicas son empleadas rutinariamente en una computadora de escritorio para solucionar muchos problemas de decisión.

Administración/ investigación de operaciones: el uso de las matemáticas y las computadoras para ayudar a tomar decisiones

racionales frente a problemas de administración complejos.

Investigación de Operaciones - Definiciones

La definición de Churchman, Ackoff y Arroff: La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del

método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la

organización.

La definición de la Sociedad de Investigación de Operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente: La investigación de operaciones es el abordaje de la ciencia moderna a

los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los

negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en

Investigación de Operaciones - Definiciones

negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los

resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.

La investigación de operaciones también se puede definir como “la aplicación por grupos interdisciplinarios del método científico a problemas relacionados con el

control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización”

Paso 1: Planteamiento y conceptualización del Problema.

Investigación de Operaciones - Metodología

Paso 2: Formulación del Modelo.

Paso 3: Resolución del Modelo.

Paso 4: Validación del Modelo.

Paso 5: Implantación del Modelo

Investigación de Operaciones - Metodología

Paso 5: Implantación del Modelo

Como su nombre lo dice, la Investigación de Operaciones significa “hacer investigación sobre las operaciones”. Entonces, la investigación

Investigación de Operaciones – Áreas de Aplicación

“hacer investigación sobre las operaciones”. Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y

coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la organización es en su más amplio

significado y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa e áreas tan diversas como la manufactura, el

transporte, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, los servicios públicos, etc.

Que es un Modelo

��Un Modelo es producto de una abstracción deun sistema real, eliminado las complejidades yhaciendo suposiciones pertinentes, se aplicantécnicas matemáticas y se obtiene unarepresentación simbólica del mismo.

�� Un Modelo es unPatrón de Referencia.

Un Modelo es unaabstracción selectiva de

Autor: Natasha Sánchez

representación simbólica del mismo. abstracción selectiva dela realidad .

��El modelo se definecomo una función objetivay restricciones que seexpresan en términos delas variables (alternativas)de decisión del problema.

Sistema Supuesto

Sistema Real

Modelo

��Un modelo matemático son representacionesmatemáticas de situaciones reales que sepodrían usar para tomar mejores decisiones, obien, simplemente para entender mejor lasituacional real.

��Un modelo de decisióndebe considerarse como unvehículo para resumir unproblema de decisión enforma tal que haga posible

Que es un Modelo

situacional real.

��Un modelo matemático es una ecuación,desigualdad o sistema de ecuaciones odesigualdades, que representan determinadosaspectos del sistema físico representado en elmodelo. Los modelos de este tipo se utilizan engran medida en las ciencias físicas, en el campode la ingeniería los negocios y la economía.

forma tal que haga posiblela identificación yevaluación sistemática detodas las alternativas dedecisión del problema.Después se llega a unadecisión seleccionando laalternativa que se juzguesea la mejor entre todas lasopciones disponible.

��Modelos Determinísticos:Cuando se conoce con certeza el comportamiento delos parámetros involucrados en el Modelo, por lotanto tienen un bajo nivel de incertidumbre.

��Modelo de Simulación:Por lo general, toma la forma deun conjunto de suposicionesacerca de la operación del sistema,expresado como relacionesmatemáticas o lógicas entre los

Tipos de Modelo

Autor: Natasha Sánchez

��Modelo Probabilístico o Estocástico:En los que parte de la información necesaria no seconoce con certeza sino más bien se comporta de unamanera probabilística , poseen por lo tanto un altonivel de incertidumbre.

matemáticas o lógicas entre losobjetos de interés en el sistema. Adiferencia de las solucionesmatemáticas exactas disponiblescon la mayor parte de los modelosanalíticos, el proceso desimulación tiene que ver conejecutar el modelo a través deltiempo, por lo común en unacomputadora, para generarmuestras representativas de lasmedidas de desempeño.

Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal,

tanto en la función objetivo como restricciones del

Modelos de Programación Lineal

tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de

las herramientas más utilizadas en la Investigación de Operaciones debido a que por su naturaleza se facilitan los

cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad.

Decisiones de Fabricación o

Compra

Planeación de Producción Agregada


AplicacionesProblemas de

Dietas

Administración de Cartera de

Valores

Decisiones de Mezcla de Productos

Problemas de Mezclas

Función Objetivo:El objetivo Global de un problema

de decisión expresado en una forma

Variable de Decisión /variable/variable controlable:

Elementos de un Modelo de Programación Lineal

de decisión expresado en una forma matemática en términos de los

datos y de las variables de decisión.

controlable:Valores que se buscan determinar con

la solución del modelo

Restricciones (limitaciones):Requerimientos o Limitaciones

sobre los valores de variables en un modelo matemático

típicamente impuesto por condiciones externas.

Condiciones de No Negatividad: Condiciones del modelo que estipulan que las variables de

decisión deben tener sólo valores no negativos (positivos).

Vector Disponibilidad (valor del lado derecho):Aún el cambio más pequeño en el valor del lado derecho de una restricción puede ocasionar que la solución óptima cambie. Sin embrago, mientras el valor cambia dentro de algún intervalo alrededor de su valor original, el valor óptimo de la función objetivo cambia en forma lineal en proporción con

Elementos de un Modelo de Programación Lineal

Coeficientes Objetivos: Coeficientes que acompañan a

las variables en la Ecuación Objetivo.

Coeficientes tecnológicos: Coeficientes que acompañan a

las variables en las restricciones.

de su valor original, el valor óptimo de la función objetivo cambia en forma lineal en proporción con el cambio en el valor del lado derecho, de acuerdo al precio sombra. Incluso fuera de este intervalo,

para cada valor del lado derecho respecto del cual el programa lineal es factible, existe un precio sombra, que puede usarse para obtener el nuevo valor óptimo de la función objetivo.

Paso 1: Identificación de las variables de Decisión:

Pasos para formular un Modelo de Programación Lineal

El primer paso en la formulación del problema es identificar las variables de decisión, a menudo simplemente llamadas variables.

Los valores de estas variables, una vez determinados, proporcionan la solución al problema.

Cuando los valores de los elementos no se conocen todavía, a cada variable de decisión se le da un nombre simbólico. Se puede elegir el

nombre simbólico que recuerde la cantidad que la variable de decisión representa.

Paso 2: Identificación de los datos del problema:La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores para las

variables de decisión que ha identificado. Se requiere conocer cierta


variables de decisión que ha identificado. Se requiere conocer cierta información para ayuda a determinar esos valores.

A diferencia de las variables de decisión, cuyos valores usted puede controlar, usted no puede controlar directamente los valores de los datos.

Paso 3: Identificación de la función objetivo:En este paso en la formulación del problema es expresar el objetivo organizacional global en forma matemática usando las variables de decisión y los datos conocidos del problema. La

función objetivo, generalmente se crea en tres etapas: Establecer el objetivo en forma verbal

Donde sea adecuado descomponer el objetivo en una suma, diferencia o producto de cantidades individuales.

Expresar las cantidades individuales matemáticamente usando las variables de decisión y otros datos conocidos en el problema.

Paso 4. Identificación de las restricciones :El paso final en la formulación del problema es identificar estas


El paso final en la formulación del problema es identificar estas restricciones y escribirlas en forma matemática.

Las restricciones son condiciones que las variables de decisión deben satisfacer para construir una solución “aceptable”. Estas restricciones

por lo general surgen de:Limitaciones físicas

Restricciones impuestas por la administraciónRestricciones externas

Relaciones implicadas entre variablesRestricciones lógicas sobre las variables individuales

Ejemplo: EL PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS DE BLUBBERMAID, INC.

Decisiones de Mezcla de Productos


BlubberMaid, Inc, fabrica tresproductos de caucho: Airtex (materialesponjoso), Extendex (material elástico)y Resistex (material rígido). Los tresproductos requieren los mismos trespolímeros químicos y una base. Lacantidad de cada ingrediente usada porlibra del producto final se muestra enla tabla…

Ejemplo: EL PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS DE BLUBBERMAID, INC.

TABLA. INGREDIENTES USADOS EN LA PRODUCCIÓN DE AIRTEX, EXTENDEX Y RESISTEX

INGREDIENTE (oz/lb de producto)

PRODUCTO POLÍMERO A POLÍMERO B POLÍMERO C BASE

Airtex 4 2 4 6

Extendex 3 2 2 9

Resistex 6 3 5 2

BlubberMaid, Inc, tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de Airtex, 500 libras de Extendex y 400 librasde Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de lostres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras del polímero A, 425 libras del polímero B,


tres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras del polímero A, 425 libras del polímero B,650 libras del polímero C y 1100 libras de base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cadalibra de Extendex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del departamento deproducción, usted necesita determinar un plan de producción óptimo para esta semana.

Solución:

�Identificación de las variables de decisión.Siguiendo los pasos de la formulación de problemas, primero identifique las variables de decisión. Pregúntese lo quepuede controlar y la información que constituye un plan de producción, esto lo debe llevar a identificar las siguientesvariables:

A: el número de libras de Airtex por producir esta semanaE: el número de libras de Extendex por producir esta semanaR: el número de libras de Resistex por producir esta semana

�Identificación de la función objetivo.Para BlubberMaid, el objetivo lógico es determinar cuánto fabricar de cada producto para


Para BlubberMaid, el objetivo lógico es determinar cuánto fabricar de cada producto paramaximizar la ganancia total. Al aplicar la técnica de descomposición se llega a:

Ganancia Total=ganancia de Airtex+ ganancia de Extendex+ ganancia de Resistex

Como cada libra de Airtex produce una ganancia de $7, A libras de Airtex produce $7 A. Demanera similar, Extendex y Resistex contribuyen con $7E y $6R, respectivamente, a laganancia total. En términos de las variables de decisión y de los datos de ganancia, la funciónobjetivo es:

Maximizar 7 A + 7 E + 6 R

�Identificación de las restriccionesAplicar la técnica de agrupamiento lo debe conducir a identificar los siguientes tres grupos derestricciones:


restricciones:

1. Restricciones de recursos para asegurar que no se usen más de los tres polímeros y la base queestán disponibles.

2. Restricciones de demanda para asegurar que se cumplan los compromisos de la compañía.3. Restricciones lógicas para especificar que todas las cantidades de producción son no negativas.

RESTRICCIONES DE RECURSOSEste grupo consiste en cuatro restricciones: una para cada uno de los tres polímeros y una parala base. Para la disponibilidad limitada de 500 libras del polímero A:

Cantidad empleada del polímero A ≤ 500 libras

El uso de la descomposición lleva a:

Cantidad empleada del polímero A= (cantidad empleada para producir A libras de Airtex) + (cantidadempleada para producir E libras de Extendex) + (cantidad empleada para producir R libras de Resistex)


empleada para producir E libras de Extendex) + (cantidad empleada para producir R libras de Resistex)

Para determinar la cantidad del polímero A usada en la fabricación de cada producto, trabaje con un ejemploespecífico. Por ejemplo, fije A=100, E=300 y R=200. De acuerdo con los datos de la tabla 1:

Cantidad del polímero A empleada en Airtex = 4(100) = 400Cantidad del polímero A empleada en Extendex = 3(300) = 900Cantidad del polímero A empleada en Resistex = 6(200) = 1200

Entonces, en términos de las variables de decisión, podría pensar que la restricción apropiada para elpolímero A es:

4 A + 3 E + 6 R ≤ 500

Sin embargo, esta restricción no es correcta. La razón es que las unidades en la expresión de laizquierda están en onzas, pero las unidades de la derecha están en libras. Esta discrepancia puedecorregirse convirtiendo las unidades de cualquier lada a las del otro lado. Por ejemplo, al


corregirse convirtiendo las unidades de cualquier lada a las del otro lado. Por ejemplo, alconvertir las 500 libras disponibles del polímero A a 800 onzas (1 libra es igual a 16 onzas) seobtiene la siguiente restricción:

4 A + 3 E + 6 R ≤ 8000 (polímero A)

Siguiendo una lógica similar para los tres resultados de recursos restantes en estas restricciones:

2 A + 2 E + 3 R ≤ 6800 (polímero B)4 A + 2 E + 5 R ≤ 10400 (polímero C)6 A + 9 E + 2 R ≤ 17600 (base)

RESTRICCIONES DE DEMANDAEste grupo consiste en tres restricciones: una para el requerimiento mínimo sobre la


Este grupo consiste en tres restricciones: una para el requerimiento mínimo sobre lacantidad de cada uno de los tres productos. Estas restricciones son

A ≥ 1000 (Airtex)E ≥ 500 (Extendex)R ≥ 400 (Resistex)

RESTRICCIONES LÓGICASComo todas las cantidades de producción deben ser no negativas, se necesitan las siguientesrestricciones lógicas:

A, E, R ≥ 0

�Formulación completa y solución del problema de mezcla de productos de BlubberMaid, Inc.Como gerente del departamento de producción, usted junta todas las piezas, lo que resulta en elsiguiente modelo matemático del problema de programación lineal de BlubberMaid, Inc.


siguiente modelo matemático del problema de programación lineal de BlubberMaid, Inc.

Maximizar 7 A + 7 E + 6 RDependiendo de

RESTRICCIONES DE RECURSOSA ≥ 1000 (Airtex)

E ≥ 500 (Extendex)R ≥ 400 (Resistex)

RESTRICCIONES LÓGICASA E R ≥ 0

La solución óptima a este problema, calculada usando cualquier paquete de software de


La solución óptima a este problema, calculada usando cualquier paquete de software deprogramación lineal, es

A= 1000.00E= 533.33R= 400.00

Con una valor de función objetivo de 13 333.33. En otras palabras, el plan semanal óptimoes producir 1000 libras de Airtex, 533.33 libras de Extendex y 400 libras de Resistex,dando como resultado una ganancia neta de $13 333.33.

Decisiones de Fabricación o Compra

Ejemplo: EL PROBLEMA DE HACER O COMPRAR DE MTV STEEL COMPANY


MTV Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10,$12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamientosobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada piedel tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere1 onza de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C,respectivamente.Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como sólo se disponen de 40 horas de tiempode máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamentode producción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de máquinay 11000 onzas de material de soldar.

No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de lasinstalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel está considerando la compra de algunosde estos tubos a pro-veedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por


de estos tubos a pro-veedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 porpie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 2. Comogerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto ala cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón parasatisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la compañía.

TABLA2. DATOS PARA EL PROBLEMA DE HACER O COMPRAR DE MTV STEEL

TIPOPRECIO DE

VENTA ($/ft)DEMANDA

(ft)

TIEMPO DE MÁQUINA

(min/ft)

MATERIALPARA SOLDAR

(oz/ft)

COSTO DE PRODUCCIÓN

($/ft)

COSTO COMPRA

($/ft)

A 10 2000 0.50 1 3 6

B 12 4000 0.45 1 4 6

C 9 5000 0.60 1 4 7

Cantidad Disponible 40 hr 5500 oz

Solución:

�Identificación de las variables de decisión


�Identificación de las variables de decisiónEn este problema, tiene libertad para elegir cuántos pies de cada tipo de tubo producir y cuántospies comprar a Japón. Esto da como resultado las siguientes seis variables de decisión:

AP= el número de pies de tubo de tipo A por producirBP= el número de pies de tubo de tipo B por producirCP= el número de pies de tubo de tipo C por producir

AJ= el número de pies de tubo de tipo A que comprar a JapónBJ= el número de pies de tubo de tipo B que comprar a JapónCJ= el número de pies de tubo de tipo C que comprar a Japón

�Identificación de la función objetivo.Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es maximizar las


Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es maximizar lasganancias totales. Si aplicamos la descomposición se obtiene:

Ganancias Totales= (ganancias de la producción)+ (ganancias de los productos comprados aJapón)

Si aplicamos la descomposición a las ganancias de la producción tenemos:

Ganancias de la producción= (ganancias de producir el tubo de tipo A)+(ganancias de producir el tubo de tipo B)+(ganancias de producir el tubo de tipo C)

Cada una de estas ganancias, a su vez, se calcula como el ingreso menos el costo por pie. Porejemplo, como los tubos del tipo A se venden a $10 por pie pero su producción cuesta $3, laganancia neta es $7 por pie. Por tanto, la ganancia por producir AP pies de tubo del tipo A es 7 AP.


ganancia neta es $7 por pie. Por tanto, la ganancia por producir AP pies de tubo del tipo A es 7 AP.Un cálculo similar para los tubos de los tipos B y C tiene como resultado:

Ganancias de la producción= 7 AP+ 8 BP + 5 CP

Aplicando una descomposición y lógica similares a los productos comprados a Japón se tiene:Ganancias de los productos comprados a Japón= 4 AJ+ 6 BJ+ 2 CJ

Como esperaría, cada pie de tubo producido tiene como resultado una ganancia más alta que cadapie de tubo comprado del proveedor externo. La combinación de estos dos componentes deganancia resulta en la siguiente función objetivo global:

Maximizar 7 AP+ 8 BP+ 5 CP+ 4 AJ+ 6 BJ+ 2 CJ

La aplicación de la descomposición lleva a:


Tiempo de máquina= (tiempo de máquina usado para producir tubo de tipo A)+total usado (tiempo de máquina usado para producir tubo de tipo B)+

(tiempo de máquina usado para producir tubo de tipo C)

Recuerde de la tabla 2 que cada pie del tubo A requiere 0.5 minutos de tiempo de máquina. Por tanto, paraproducir AP pies se requiere 0.5AP minutos. De manera análoga, cada pie de tubo B requiere 0.45 minutos y cadapie de tubo C requiere 0.6 minutos. La restricción es:

0.5AP+ 0.45BP+ 0.6CP ≤ 40

Sin embargo, observe que la cantidad del lado izquierdo se expresa en minutos, mientras que la de la derecha seexpresa en horas. Una forma de corregir esta inconsistencia es convertir 40 horas en 40 * 60= 2400 minutos:

0.5AP+ 0.45BP+ 0.6CP ≤ 2400 (tiempo de máquina)

Regresando a la disponibilidad de material para soldar, la restricción asociada es:


El material para soldar total no debe exceder las 5500 onzas

Aplicando la descomposición y recordando que cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere1 onza de material para soldar, esta restricción de recursos es:

AP+ BP+ CP ≤ 5500 (material para soldar)

RESTRICCIONES DE DEMANDAEste grupo está constituido por tres restricciones, una para la demanda asociada con cada tipode tubo. Para el tubo A:

Número total de pies del tubo de tipo A= 2000 pies

Aplicando la descomposición:

Número total de pies =(número de pies de tipo A producidos)+

Modelos de Programación LinealModelos de Programación Lineal

Número total de pies =(número de pies de tipo A producidos)+del tubo de tipo A (número de pies de tipo A comprados a Japón)

= AP+ AJ

En consecuencia, la restricción de demanda del tubo de tipo A es:AP+ AJ = 2000 (demanda del tipo A)

Una lógica similar da como resultado las siguientes restricciones de demanda para los tubos detipo B y C:

BP+ BJ = 4000 (demanda del tipo B)CP+ CJ = 5500 (demanda del tipo C)

RESTRICCIONES LÓGICASLa única restricción lógica en este problema es que todas las variables deben ser no negativas.


�Formulación completa y solución del problema de fabricación o compra de MTV SteelCompanyUna vez que se unen todas las piezas, da por resultado el modelo de programación linealsiguiente para el problema de MTV Steel Company:

Maximizar 7AP+ 8BP+ 5CP+ 4AJ+ 6BJ+ 2CJDependiendo de

RESTRICCIONES DE DEMANDAAP + AJ = 2000 (demanda del tipo A)

BP + BJ = 4000 (demanda del tipo B)CP +CJ = 5500 (demanda del tipo C)

RESTRICCIONES DE RECURSOS

0.5AP+ 0.45BP+ 0.6CP ≤ 2400 (tiempo de máquina)AP+ BP+ CP ≤ 5500 (tiempo para soldar)


AP+ BP+ CP ≤ 5500 (tiempo para soldar)

RESTRICCIONES LÓGICASAP , BP , CP , AJ , BJ , CJ ≥ 0

La solución óptima a este problema, obtenida con un paquete de software de programación lineal, es:AP = 2000.000BP = 0.000CP = 2333.333AJ = 0.000BJ = 4000.000CJ = 2666.667

Con una ganancia neta de $55000. En otras palabras, MTV Steel debería producir 2000 pies de tubo de tipo A y 2333.333 pies detubo C e importar 4000 pies de tubo de tipo B y 2666.667 pies de tubo de tipo C de Japón.

Problemas de dietasEjemplo: EL PROBLEMA DE DIETAS DEL HOSPITAL GENERAL MOUNTAIN VIEW

El Departamento de Nutrición del Hospital General Mountain View prepara 30 menús de cena, uno para cada día del


El Departamento de Nutrición del Hospital General Mountain View prepara 30 menús de cena, uno para cada día delmes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas en escalope, espinacas y pastel de manzana. Como director delDepartamento de Nutrición, usted ha determinado que esta comida debe proporcionar 63000 miligramos (mg) deproteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramos de estacomida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la tabla 3.

TABLA 3. NUTRIENTES PROPORCIONADOS POR LAS DISTINTAS COMIDAS

NUTRIENTE (mg/100g)

PROTEÍNAS HIERRO TIACINA TIAMINA VITAMINA C GRASA

Espagueti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000

Pavo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000

Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900

Espinacas 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300

Pastel de Manzana 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300

Para evitar la demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300 gramos de espagueti, 300gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como director deldepartamento de nutrición, usted desea determinar la composición de una comida que satisface los requerimientosnutricionales y proporciona la mínima cantidad de grasas.


nutricionales y proporciona la mínima cantidad de grasas.

Solución:�Identificación de las variables de decisión.En este problema, usted puede controlar la cantidad de cada uno de los cinco alimentos que incluir en la comida, lo quelo lleva a definir las siguientes cinco variables:

SPAG= el número de 100 gramos de espagueti que incluirPAVO= el número de 100 gramos de pavo que incluirPAPA= el número de 100 gramos de papas que incluirSPIN= el número de 100 gramos de espinacas que incluirMANZ= el número de 100 gramos de espinacas que incluir

Por conveniencia, se ha escogido que las unidades de las variables se den en cientos de gramos porque ésas son lasunidades usadas en la tabla 3.

�Identificación de la función objetivo.Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es minimizar el contenido degrasas totales de la dieta. Aplicando los resultados de descomposición en lo siguiente:


grasas totales de la dieta. Aplicando los resultados de descomposición en lo siguiente:

Contenido de grasas totales= (grasa aportada por el espagueti)+(grasa aportada por el pavo)+(grasa aportada por las papas)+(grasa aportada por las espinacas)+(grasa aportada por el pastel de manzana)

Si usa los datos de la última columna de la tabla 3 y trabaja con un ejemplo específico debe llegara identificar el siguiente objetivo global:

Minimizar 5000SPAG+ 5000PAVO+ 7900PAPA+ 300SPIN+ 14300MANZ

�Identificación de las restriccionesLa aplicación de la técnica de agrupamiento lo conduce a los siguientes tres grupos derestricciones:


restricciones:1. Restricciones de nutrientes para asegurar que la comida proporciona la cantidad mínima

de cada nutriente.2. Restricciones de límite para asegurar que no se incluya demasiada cantidad de un tipo de

comida (por ejemplo, solicitar a un paciente que coma 1000 gramos de espinacas).3. Restricciones lógicas para asegurar que todas las variables sean no negativas.

REQUERIMIENTOS DE NUTRIENTESEste grupo consiste en cinco restricciones, una para asegurar la cantidad mínima de cada uno de

los cinco nutrientes. Considere el requerimiento de proteínas:Cantidad total de proteínas en la comida ≥ 63000 mg

Aplicando la descomposición:

Cantidad total de = (cantidad de proteínas del espagueti)+


Cantidad total de = (cantidad de proteínas del espagueti)+Proteínas en la comida (cantidad de proteínas del pavo)+

(cantidad de proteínas de las papas)+(cantidad de proteínas de las espinacas)+(cantidad de proteínas del pastel de manzana)

Refiérase a la primera columna de la tabla 3. Cada 100 gramos de espagueti contienen 5000 mgde proteínas. Por tanto, SPAG cien gramos de esta comida proporciona 5000SPAG mg deproteínas a la comida. De manera similar, usando los datos restantes de la primera columna de latabla 3 da como resultado la siguiente restricción para proteínas:5000SPAG+ 29300PAVO+ 5300PAPA+ 3000SPIN+ 4000MANZ ≥ 63000 (proteínas)

Aunque las unidades de las variables se expresan en cientos de gramos, las unidades de ambos


Aunque las unidades de las variables se expresan en cientos de gramos, las unidades de amboslados de la restricción anterior están en miligramos.

Usando las siguientes cuatro columnas de datos de la tabla 3 obtenemos las siguientesrestricciones similares para cada uno de los siguientes cuatro nutrientes:

1.1SPAG + 1.8PAVO + 0.5PAPA + 2.2SPIN + 1.2MANZ ≥ 10 (hierro)1.4SPAG + 5.4PAVO + 0.9PAPA + 0.5SPIN + 0.6MANZ ≥ 15 (niacina)0.18SPAG+ 0.06PAVO+ 0.06PAPA+ 0.07SPIN+ 0.15MANZ ≥ 1 (tiamina)

10PAPA+ 28SPIN+ 3MANZ ≥ 50 (vitamina C)

RESTRICCIONES DE LÍMITEEstas restricciones limitan la cantidad máxima de cada tipo de alimento en la comida.


Estas restricciones limitan la cantidad máxima de cada tipo de alimento en la comida.Teniendo en mente que las unidades de las variables están en cientos de gramos, surgen lassiguientes restricciones de límite:

SPAG ≤ 3PAVO ≤ 3PAPA ≤ 2SPIN ≤ 1

MANZ ≤ 1

RESTRICCIONES LÓGICASLa única restricción lógica en este problema es que todas las variables son no negativas.

�Formulación completa y solución del problema de dietas del Hospital General Mountain ViewToda esta información da como resultado el siguiente modelo de programación lineal para elproblema del Hospital General Mountian View:


problema del Hospital General Mountian View:Minimizar

5000SPAG+ 5000PAVO+ 7900PAPA+ 300SPIN+ 14300MANZ

Dependiendo deREQUERIMIENTOS DE NUTRIENTES

5000SPAG+ 29300PAVO+ 5300PAPA+ 3000SPIN+ 4000MANZ ≥ 63000 (proteínas)1.1SPAG+ 1.8PAVO+ 0.5PAPA+ 2.2SPIN+ 1.2MANZ ≥ 10 (hierro)1.4SPAG+ 5.4PAVO+ 0.9PAPA+ 0.5SPIN+ 0.6MANZ ≥ 15 (niacina)

0.18SPAG+ 0.06PAVO+ 0.06PAPA+ 0.07SPIN+ 0.15MANZ ≥ 1 (tiamina)10PAPA+ 28SPIN+ 3MANZ ≥ 50 (vitamina C)

RESTRICCIONES DEL LÍMITESPAG ≤ 3

PAVO ≤ 3


PAVO ≤ 3PAPA ≤ 2

SPIN ≤ 1MANZ ≤ 1

RESTRICCIONES LÓGICASSPAG, PAVO, PAPA, SPIN, MANZ ≥ 0

Con un contenido de grasa de 54800 miligramos. En otras palabras, la comida debería consistiren 300 gramos de espagueti, 283.3 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos deespinacas y 66.7 gramos de pastel de manzana.

Administración de cartera de valores

Ejemplo: EL PROBLEMA DE INVERSIÓN DE PENSION PLANNERS, INC.

Al gerente de cartera de PensionvPlanners, Inc. se le ha pedido invertir $1 000 000 de un gran fondo


Al gerente de cartera de PensionvPlanners, Inc. se le ha pedido invertir $1 000 000 de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigación de Inversiones ha identificado seis fondos mutuos

con estrategias de inversión variables, resultando en diferencia rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla 4.

TABLA 4. RIESGOS Y TASA ESPERADA DE RENDIMIENTOS DE SEIS FONDOS DE INVERSIÓN

FONDO

1 2 3 4 5 6

Precio ($/acción 45 76 110 17 23 22

Devolución esperada (%) 30 20 15 12 10 7

Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos.Para ese fin, la administración de Pension Planners, Inc. ha especificado las siguientes pautas:1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la cartera.


1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la cartera.2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la

cartera.3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo enmuchas alternativas diferentes. La gerencia de Pension Planners, Inc, ha especificado que lacantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3,respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.

Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar latasa esperada de retorno?

Solución:� Identificación de las variables de decisión.En este problema, usted puede controlar cuánto invertir en cada uno de los seis fondos mutuos, dando así


En este problema, usted puede controlar cuánto invertir en cada uno de los seis fondos mutuos, dando asíorigen a seis variables de decisión. Como siempre, debe especificar las unidades asociadas con cadavariable. Por ejemplo, para el fondo 1, podría definir cualquiera de las siguientes variables:

F1 = el número de acciones del fondo 1 por comprarF1 = el número de dólares por invertir en el fondo 1F1 = la fracción de la agenda por invertir en el fondo 1

Cada opción conduce a un modelo matemático diferente pero equivalente. Aquí se utiliza la última opción. Asíque, para cada uno de los fondos restantes, defina:

F2 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 2F3 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 3F4 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 4

F5 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 5F6 = la fracción de la cartera por invertir en el fondo 6


� Identificación de la función objetivo.Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es maximizar la tasa esperada de

rendimiento, esto es:

Si aplicamos la descomposición al numerador obtenemos:Rendimiento total esperado: (rendimiento esperado del fondo 1)+

(rendimiento esperado del fondo 2)+(rendimiento esperado del fondo 3)+(rendimiento esperado del fondo 4)+(rendimiento esperado del fondo 5)+(rendimiento esperado del fondo 6)

Para determinar el rendimiento esperado del fondo 1, trabaje con un ejemplo específico en el que10% de la cartera se invierte en el fondo 1, es decir, F1=0.10. En este caso, 0.10*1 000000=$100 000 de la cartera se invierte en el fondo 1. De acuerdo con los datos de la tabla 4,


000=$100 000 de la cartera se invierte en el fondo 1. De acuerdo con los datos de la tabla 4,se espera que este dinero devuelva 30% o 0.30*100000= $30 000. Por tanto, en términos deF1,

Rendimiento esperado del fondo 1= (cantidad invertida en el fondo 1)*(tasa de rendimiento del fondo 1)

= (F1* 1 000 000)* 0.30= 300 000F1

Usando una lógica similar para los cinco fondos restantes, llegamos aRendimiento total esperado= 300 000F1 + 200 000F2 + 150 000F3 +

120 000F4 + 100 000F5 + 70 000F6

Dividiendo esto entre la inversión total de $1 000 000 obtenemos la tasa de rendimiento y portanto la siguiente función objetivo:

Maximizar 0.30F1 + 0.20F2 + 0.15F3 + 0.12F4 + 0.10F5 + 0.07F6


Maximizar 0.30F1 + 0.20F2 + 0.15F3 + 0.12F4 + 0.10F5 + 0.07F6

� Identificación de las restriccionesAplicando la técnica de agrupamiento debe llegar a identificar los siguientes tres grupos de

restricciones:

1. Limitaciones de inversión para controlar la cantidad invertida en cada una de las trescategorías de riesgo.

2. Restricciones de diversificación para extender la inversión dentro de cada categoría deriesgo.

3. Restricciones lógicas.

RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE INVERSIÓNEste grupo consiste en tres subgrupos de restricciones, uno para cada categoría de riesgo, a saber:


Este grupo consiste en tres subgrupos de restricciones, uno para cada categoría de riesgo, a saber:1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la cartera. Como F1, F2

y F3 representan la fracción de la cartera por invertir en fondos de alto riesgo, la fracción de lacartera total invertida en fondos de alto riesgo es F1 + F2 + F3. Estas restricciones son

F1 + F2 + F3 ≥ 0.50 (mínimo en alto riesgo)F1 + F2 + F3 ≥ 0.75 (máximo en alto riesgo)

2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la cartera. Como F4 yF5 representan la fracción de cartera por invertir en fondos de mediano riesgo, la fracción de lacartera total invertida en fondos de mediano riesgo es F4 + F5. Estas restricciones son:

F4 + F5 ≥ 0.20 (mínimo en mediano riesgo)F4 + F5 ≤ 0.30 (máximo en alto riesgo)

3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos 5% de la cartera. ComoF6 es la fracción de la cartera invertida en fondos de bajo riesgo, esta restricción es:

F6 ≥ 0.05 (mínimo en bajo riesgo)



RESTRICCIONES DE DIVERSIFICACIÓNEste grupo de restricciones se utiliza para controlar el riesgo asegurando que la cantidad

invertida en los fondos pertenecientes a una categoría de riesgo dada esté dentro de latasa especificada, de la manera siguiente:

1. La cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1, 2 y 3 debe estar en la tasa 1:2:3. Estarestricción específica que la cantidad invertida en el fondo 2 sea el doble de la cantidadinvertida en el fondo 1:

F2 = 2F1

Si cambiamos el orden para que todas las variables estén a la derecha, se obtiene:- 2F1 + F2 = 0 (proporción de F1 a F2)


- 2F1 + F2 = 0 (proporción de F1 a F2)

De manera similar, la cantidad invertida en el fondo 3 debe ser tres veces la invertida en el fondo 1:F2 = 3F1

-3F1 + F3 = 0 (proporción de F1 a F3)

2. La cantidad invertida en los fondos 4 y 5 de mediano riesgo debe estar en la proporción de 1:2, esto es, lacantidad invertida en el fondo 5 debe ser el doble de la del fondo 4:

F5 = 2F4

Si cambiamos el orden para que todas las variables estén a la derecha, se obtiene:-2F4 + F5 = 0 (proporción de F4 a F5)

RESTRICCIONES LÓGICAS

Claro está que un conjunto de restricciones lógicas es que cada variable sea no negativa.


Claro está que un conjunto de restricciones lógicas es que cada variable sea no negativa.Asimismo, como es posible comprar acciones fraccionales de un fondo mutuo, a estasvariables se les permite tener cualquier valor fraccional, lo que resulta en un problemade programación lineal. Más aún, se requiere otra restricción lógica para asegurar que seinvierta la cartera total de precisamente $1 000 000. Como las variables de decisiónrepresentan la fracción de esta cartera por invertir en los diversos fondos, estarestricción es:

La fracción total de $1 000 000 invertida debe ser igual a 1 , o

F1+ F2+ F3+ F4+ F5+ F6 = 1.0 (agenda total)

� Formulación completa y solución del problema de inversión de Pension Planners, Inc.A continuación se muestra el modelo de programación lineal completo para los socios generales


A continuación se muestra el modelo de programación lineal completo para los socios generalesde Pension Planners, Inc:

Maximizar 0.30F1+ 0.20F2+ 0.15F3+ 0.12F4+ 0.10F5+ 0.07F6

Dependiendo de

RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE INVERSIÓNF1+ F2+ F3 ≥ 0.50 (mínimo en alto riesgo)F1+ F2+ F3 ≥ 0.75 (máximo en alto riesgo)

F4+ F5 ≥ 0.20 (mínimo en mediano riesgo)F4+ F5 ≥ 0.30 (máximo en mediano riesgo)


RESTRICCIONES DE DIVERSIFICACIÓN-2F1 + F2 = 0 (proporción de F1 a F2)-3F 1 + F3 = 0 (proporción de F1 a F3)


-3F 1 + F3 = 0 (proporción de F1 a F3)-2F4 + F5 = 0 (proporción de F4 a F5)

RESTRICCIONES LÓGICASF1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 = 1.0 (cartera total)F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 ≥ 0

La solución óptima para este problema que cualquier paquete de software de programación lineal produce es:F1 = 0.1250F2 = 0.2500F3 = 0.3750F4 = 0.0667F5 = 0.1333F6 = 0.0500

Cada una tasa de rendimiento de 0.168583. En otras palabras, la cantidad de dinero invertido en cada uno de los seisfondos es:

Cantidad en el fondo 1 = 0.1250 * 1 000 000 = $ 125 000


Cantidad en el fondo 2 = 0.2500 * 1 000 000 = $ 250 000Cantidad en el fondo 3 = 0.3750 * 1 000 000 = $ 375 000Cantidad en el fondo 4 = 0.0667 * 1 000 000 = $ 66 700Cantidad en el fondo 5 = 0.1333 * 1 000 000 = $ 133 300Cantidad en el fondo 6 = 0.0500 * 1 000 000 = $ 50 000Inversión Total = $ 1 000 000

con una tasa de rendimiento esperado de 16. 86% (o $ 168 600).Recuerde que las variables de decisión se definen como la fracción de la cartera a invertir, en vez de la cantidad de

dólares. Este enfoque tiene una ventaja clara. Si la cantidad de dólares de la cartera cambia, un eventoprobable, el modelo actual permanece inalterado. Simplemente necesita multiplicar las fracciones obtenidasen la solución anterior por el nuevo tamaño de la cartera para determinar las nuevas cantidades a invertiren cada uno de los seis fondos.

Problemas de MezclasEjemplo: EL PROBLEMA DE MEZCLADO DE GASOLINA DE HEXXON OIL COMPANY

Hexxon Oil Company obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de Mississippi, Nuevo


Hexxon Oil Company obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de Mississippi, NuevoMéxico y Texas. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto con dosaditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre,plomo y fósforo, como se muestra en la tabla 5. El costo de cada componente también sepresenta. Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo crudo de Mississipiresulta sólo en 0.35 de galón del producto final, que contiene 0.07% de azufre. De manerasimilar, cada galón de crudo de Nuevo México produce 0.40 de galón del producto final quecontiene 0.08% de sulfuro y cada galón de crudo de Texas resulta en 0.30 de galón delproducto final que contiene 0.10% de azufre. La gerencia ha establecido las siguientesespecificaciones para controlar las cantidades de azufre, plomo y fósforo:

1. Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre2. Cada galón debe tener entre 1.25 y 2.5 gramos de plomo3. Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gramos de fósforo4. La cantidad total de los aditivos no puede exceder de 19% de la mezcla


4. La cantidad total de los aditivos no puede exceder de 19% de la mezcla

Como gerente de producción, determine un plan de mezclado que produzca una gasolina aceptable al mínimo costo.

TABLA 5. COMPOSICIÓN Y COSTO DE LOS COMPONENTES DE MEZCLA

PETROLEOS CRUDOS ADITIVOS

Mississipi Nuevos México Texas 1 2

Azufre /%) 0.07 0.08 0.10 - -

Plomo (g/gal) - - - 7 6

Fósforo (g/gal) - - - 0.025 0.02

Costo ($/gal) 0.55 0.47 0.33 0.08 0.12

Solución:� Identificación de las variables de decisiónUsted puede controlar la cantidad de cada tipo de crudo y cada aditivo por mezclar al producir un


Usted puede controlar la cantidad de cada tipo de crudo y cada aditivo por mezclar al producir ungalón de gasolina. Esto lleva a las siguientes cinco variables de decisión:

XM = el número de galones de petróleo crudo de Mississippi usados para hacer un galón degasolina.

XN = el número de galones de petróleo crudo de Nuevo México usados para hacer un galón degasolina.

XT = el número de galones crudo de Texas usados para hacer un galón de gasolina.

A1 = el número de galones del aditivo 1 usados para hacer un galón de gasolina.A2 = el número de galones del aditivo 2 usados para hacer un galón de gasolina.

� Identificación de la función objetivoComo se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es minimizar el costo de los

componentes usados en la fabricación de cada galón de gasolina. La aplicación de la


componentes usados en la fabricación de cada galón de gasolina. La aplicación de ladescomposición nos lleva a:

Costo Total = (costo del petróleo crudo de Mississippi) +(costo del petróleo crudo de Nuevo México) +(costo del petróleo crudo de Texas) +(costo del aditivo 1) + (costo del aditivo 2)

Usando las variables y los costos asociados de la tabla 5 obtenemos la siguiente función objetiva:

Minimizar 0.55XM + 0.47XN + 0.33X T + 0.08 A1 + 0.12 A2

� Identificación de las restriccionesAplicando la técnica de agrupamiento debe llegar a la identificación de los siguientes tres grupos

de restricciones:


de restricciones:

1. Una restricción de producción para asegurar la producción de 1 galón de gasolina, porqueel plan de mezcla es para cada galón.

2. Restricciones de composición de mezclado para asegurar que la gasolina resultante cumplacon los requerimientos de azufre, plomo, fósforo y aditivos.

3. Restricciones lógicas.

RESTRICCIONES DE PRODUCCIÓNEsta restricción asegura que se produzca precisamente 1 galón de gasolina:

Cantidad de gasolina producida = 1 galón

Si aplicamos la descomposición llegamos a

Cantidad de gasolina = (cantidad producida del petróleo crudo de Mississippi)+


Cantidad de gasolina = (cantidad producida del petróleo crudo de Mississippi)+(cantidad producida del petróleo crudo de Nuevo México)+(cantidad producida del petróleo crudo de Texas)+(cantidad del aditivo 1)+ (cantidad del aditivo 2)

Recuerde que cada galón de crudo de Mississippi produce sólo 0.35 de galón de gasolina. Portanto, XM galones de este crudo producen 0.35XM galones de gasolina. De manera similar,como cada galón de petróleo crudo de Nuevo México produce 0.40 de galón de gasolina ycada galón de petróleo crudo de Texas resulta en 0.30 de galón de gasolina, estarestricción es

0.35XM + 0.40XN + 0.30XT + A1 + A2 = 1.0 (producción)

RESTRICCIONES DE COMPOSICION DE MEZCLADOEste grupo consiste en tres conjuntos de restricciones, uno por cada una de las limitaciones de azufre, plomo y

fósforo en la mezcla final. Por ejemplo, para el azufre:


fósforo en la mezcla final. Por ejemplo, para el azufre:

Proporción de azufre en la mezcla ≤ 0.0007 (esto es, ≤ 0.07%)

Aplicando la descomposición,

Sin embargo, de la restricción de producción anterior, la cantidad total de la mezcla es precisamente 1 galón, asíque lo único que se necesita calcular es la cantidad de azufre en la mezcla. Aplicando la descomposición,

Cantidad de azufre = (cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi)+en la mezcla (cantidad de azufre del petróleo crudo de Nuevo México)+

(cantidad de azufre del petróleo crudo de Texas)+(cantidad de azufre del aditivo 1)+(cantidad de azufre del aditivo 2)

De acuerdo con la tabla 5, cada galón de petróleo crudo de Mississippi produce 0.35 de galónde gasolina que contiene 0.07% de azufre. Por tanto, XM galones de este petróleo crudo


de gasolina que contiene 0.07% de azufre. Por tanto, X galones de este petróleo crudoproduce 0.35 XM galones que contienen 0.07% de azufre. Así

Cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi = 0.0007 * 0.35Xm

= 0.000245XM

Observando que los aditivos no aportan azufre, y aplicando una lógica similar a los otros dosresultados de petróleos crudos en la siguiente restricción de azufre:

0.35 * 0.0007XM + 0.40 * 0.0008XN + 0.30 * 0.001XT ≤ 0.0007 o0.000245XM + 0.00032XN + 0.0003XT ≤ 0.0007 (azufre)

Existen límites inferiores y superiores sobre las cantidades de plomo y azufre en la mezcla final.Aplicando el mismo razonamiento usado en el desarrollo de la restricción de azufre, seobtienen las siguientes cuatro restricciones para plomo y fósforo:


7 A1 + 6 A2 ≤ 2.50 (límite superior en plomo)7 A1 + 6 A2 ≥ 1.25 (límite inferior en plomo)

0.025 A1 + 0.02 A2 ≤ 0.0045 (límite superior en fósforo)0.025 A1 + 0.02 A2 ≥ 0.0025 (límite inferior en fósforo)

Finalmente, existe la limitación de que la mezcla contenga a lo más 19% de aditivos. Por tanto, eltotal de A1 y A2 debe ser de a lo más 0.19 de galón, resultando la siguiente restricciones:

A1 + A2 ≤ 0.19 (límite superior en aditivos)

RESTRICCIONES LÓGICASLa única restricción lógica es que todas las variables sean no negativas.


� Formulación completa y solución del problema de mezclas de la Hexxon Oil CompanyComo gerente de producción de Hexxon Oil Company, reúne toda esta información en el siguiente

modelo de programación lineal:

Minimizar 0.55XM + 0.47XN + 0.33XT + 0.08 A1 + 0.12 A2

Dependiendo de

RESTRICCIONES DE PRODUCIÓN

0.35XM + 0.40XN + 0.30XT + A1 + A2 = 1.0 (producción)

RESTRICCIONES DE COMPOSICION DE MEZCLADO


0.000245XM + 0.00032XN + 0.0003XT ≤ 0.0007 (azufre)7 A1 + 6 A2 ≤ 2.50 (límite superior en plomo)7 A1 + 6 A2 ≥ 1.25 (límite inferior en plomo)

0.025 A1 + 0.02 A2 ≤ 0.0045 (límite superior en fósforo)0.025 A1 + 0.02 A2 ≥ 0.0025 (límite inferior en fósforo)

A1 + A2 ≤ 0.19 (límite superior en aditivos)

RESTRICCIÓN LÓGICA

XM , XN , XT , A1 , A2 ≥ 0

La solución óptima a este problema, que resulta de usar cualquier paquete de software deprogramación lineal, es


XM = 0.0000XN = 1.3750XT = 0.8667A1 = 0.1400A2 = 0.0500

con una valor de función objetivo de 0.94945. En otras palabras, cada galón de producto final sefabrica mezclando y procesando 1.3750 galones de petróleo crudo de Nuevo México y 0.8667de galón de petróleo crudo de Texas con 0.14 de galón de aditivo 1 y 0.05 de galón de aditivo2, a un costo total de 94.945 centavos.

Planeación de Producción Agregada

Ejemplo: EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE NATIONAL STEEL CORPORATION


National Steel Corporation (NSC) produce un acero especial usado en las industrias de aviación y aeroespaciales.El departamento de ventas de NSC ha recibido pedidos de 2400, 2200, 2700 y 2500 toneladas de acero para cadauno de los siguientes 4 meses. NSC puede satisfacer estas demandas produciendo el acero, extrayéndolo de suinventario, o usando cualquier combinación de las dos alternativas.

Se proyecta que los costos de producción por tonelada de acero durante cada uno de los siguientes cuatromeses sean de $7400, $7500, $7600 y $7650. Como los costos suben cada mes, debido a las presionesinflacionarias, tal vez sea mejor que NSC produzca más acero del que necesita en un mes determinado y quealmacene el exceso. La capacidad de producción, sin embargo, no puede exceder las 4000 toneladas en ningúnmes. La producción mensual se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier aceroremanente se almacena en inventario a un costo de $120 por tonelada por cada mes que permanece allí. Estosdatos se resumen en la tabla 6

TABLA 6. DATOS PARA EL PROBLEMA DE PRODUCCIÓN-PLANEACIÓN DE NSC

MES

1 2 3 4

Demanda (tons) 2400 2200 2700 2500


Si el nivel de producción se incrementa de un mes al siguiente, entonces la compañía incurreen un costo de $50 por tonelada de producción incrementada para cubrir la mano de obraadicional y/o el tiempo extra. Cada tonelada de producción disminuida incurre en un costo de$30 para cubrir los beneficios de empleados no utilizados.El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el inventario quecomienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al menos 1500toneladas para cubrir la demanda anticipada. Formule un plan de producción para NSC queminimice los costos totales en los siguientes 4 meses.

Costo de Producción ($/ton) 7400 7500 7600 7650

Costo de inventario ($/ton/mes) 120 120 120 120

Solución:

�Identificación de las variables de decisión


�Identificación de las variables de decisiónEn este problema, usted tiene la libertad para elegir cuántas toneladas de acero producir cadames para satisfacer la demanda. Surgen cuatro variables:X1 = el número de toneladas de acero por producir durante el mes 1X2 = el número de toneladas de acero por producir durante el mes 2X3 = el número de toneladas de acero por producir durante el mes 3X4 = el número de toneladas de acero por producir durante el mes 4

A primera vista, usted podría pensar que éstas son todas las variables que se requieren. Con estasvariables, siempre puede determinar la cantidad en inventario. Por ejemplo, del diagramaesquemático de la figura 1, el inventario al final del primer mes es

Inventario al final del mes 1 = inventario inicial + cantidad de producción – demanda= 1000 + X1 – 2400


cantidad de producción(X1)

Inventario de inicio Inventario de terminación(l1=1000) (I2)

Demanda(D1=2400)

Figura 1. Relación entre niveles de inventario, producción y demanda

Mes 1

Sin embargo, escribir el inventario al final del segundo, tercero y subsecuentes meses es más complicado.Por ejemplo, para el mes 2:


Inventario al = inventario inicial+ cantidad de producción- demandafinal del mes 2 = (1000 + X1 – 2400) + X2 – 2200

Para simplificar, es conveniente crear otras cinco variables para representar los niveles de inventario alprincipio de cada mes:

I1 = inventario en toneladas al principio del mes 1I2 = inventario en toneladas al principio del mes 2I3 = inventario en toneladas al principio del mes 3I4 = inventario en toneladas al principio del mes 4I5 = inventario en toneladas al principio del mes 5

�Identificación de la función objetivoComo se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es minimizar los costostotales sobre el horizonte de planeación de 4 meses. Si aplicamos la descomposición para


totales sobre el horizonte de planeación de 4 meses. Si aplicamos la descomposición paraidentificar tres componentes de costo diferentes llegamos a

Costos totales = costos de producción+ costos de inventario+ costos del cambio enla producción

COSTOS DE PRODUCCIÓNAplicando nuevamente la descomposición se identifican los costos de producción como la sumade los costos de producción en cada uno de los 4 meses. Usando las variables de producción X1, X2,X3, X4, junto con los costos de producción por toneladas de la tabla 6, llegamos a

Costos de producción = 7400X1 + 7500X2 + 7600X3 + 7650X4

COSTOS DE INVENTARIOUna descomposición similar produce un costo de inventario total como la suma de los costos de inventariodurante cada uno de los cuatro meses. Como los niveles de inventario cambian solamente al final del mes,


durante cada uno de los cuatro meses. Como los niveles de inventario cambian solamente al final del mes,todos los inventarios al principio del mes incurren en un costo de $120 por tonelada para ese mes. Usando lasvariables I1, I2, I3, I4 llegamos a

Costos de inventario = 120I1 + 120I2 + 120I3 + 120I4

Observe que I5 no se incluye en esta porción porque el objetivo es minimizar los costos totales solamente enlos siguientes 4 meses, e I5 incurre en costos durante el quinto mes.

COSTOS DEL CAMBIO EN LA PRODUCCIONPara determinar los costos del cambio en la producción de un mes al siguiente, trabaje con un ejemploespecífico en el que, digamos X1 = 100 y X2 = 300. En este caso, existe un incremento de 300 – 100 = 200toneladas de acero del mes 1 al mes 2. Por tanto, a un costo de $50 por tonelada de incremento,

Costo del cambio en la producción = (300 – 100) * 50 = $10 000

Usando este ejemplo, podría escribir la siguiente expresión general:


Usando este ejemplo, podría escribir la siguiente expresión general:Costo del cambio en la producción = (X2 – X1) * 50

Sin embargo, ¿qué sucede si X1=300 y X2=100? Esto es, ¿qué pasa si el nivel de producción disminuye? En estecaso, la expresión anterior resulta en un costo de (100 – 300) * 50= -$10 000, es decir, una ganancia de $10000, que no tiene sentido. En vez de esto, a un costo de $30 por tonelada de decremento, la expresióncorrecta es

Costo del cambio en la producción = (300 – 100) * 30= $6000

En general, cuando el nivel de producción disminuye del mes 1 al mes 2, la expresión correcta esCosto del cambio en la producción = (X1 – X2) * 30

combinando con las expresiones para resultados de incremento y decremento se obtienen los siguientes costos del cambioen la producción del mes 1 al mes 2:

Costo del cambio en la producción = 50(X2 – X1), si X2 ≥ X1 (incremento)


Costo del cambio en la producción = 50(X2 – X1), si X2 ≥ X1 (incremento)30(X1 – X2), si X1 >X2 (decremento)

Como los valores de X1 y X2 son por ahora desconocidos, la cuestión es cómo combinar estos dos casos en una solaexpresión.

Una forma de abordar esto es creando variables de decisión adicionales cuyos valores son precisamente las cantidades deproducción incrementada y decrementada de un mes al siguiente. Esto es,

S1 = el número de toneladas de producción incrementada en el mes 1D1 = el número de toneladas de producción decrementada en el mes 1





Los valores de estas variables dependen de los niveles de producción. Por ejemplo, cuando X2=300 yX1=100, usted desea que S2 sea 200 y D2, 0. Si X2=100 y X1=300, desea que S2 sea 0 y D2, 200. Lasrestricciones que aseguran las relaciones adecuadas entre estas variables se identifican en la siguientesección.

Con estas nuevas variables, cuando S1 es positiva, D1 debe ser 0. De manera similar, cuando D1 es positiva, S1debe ser 0. Por tanto, los costos del cambio en la producción para el primer mes son 50S1+ 30D1. Porconsiguiente, los costos totales del cambio en la producción son:

Costos del cambio = (costo del cambio en la producción en el mes 1)+en la producción (costo del cambio en la producción en el mes 2)+

(costo del cambio en la producción en el mes 3)+


(costo del cambio en la producción en el mes 3)+(costo del cambio en la producción en el mes 4)+

= (50S1+ 30D1) + (50S2+ 30D2)+(50S3+ 30D3) + (50S4+ 30D4)

FUNCIÓN OBJETIVO COMPLETALa combinación de los tres componentes de costo da como resultado la siguiente función objetivoglobal:

Minimizar costos totales = 7400X1 + 7500X2 + 7600X3 + 7650X4 +120I1 + 120I2 + 120I3 + 120I4 +

50S1 + 30D1 + 50S2 + 30D2 + 50S3 + 30D3 + 50S4 + 30D4

�Identificación de las restriccionesAplicando la técnica de agrupamiento debe llegar a identificar los siguientes seis grupos derestricciones:


restricciones:

1. Restricciones de inventario inicial y final para asegurar los adecuados niveles de inventario deinicio y fin

2. Restricciones de limitación de producción para asegurar que la producción de cualquier mesdado no exceda de 4000 toneladas

3. Restricciones de equilibrio de inventario para asegurar la adecuada relación entre lasvariables de producción y las de inventario

4. Las restricciones de cambio en la producción para asegurar la adecuada relación entre lasvariables de producción y las de cambio en la producción

5. Restricciones de demanda para asegurar que se satisfagan las demandas cada mes6. Restricciones lógicas para asegurar que todas las variables son no negativas

RESTRICCIONES DE INVENTARIO INICIAL Y FINALEn palabras, las dos restricciones en este grupo son:

1. El nivel de inventario inicial es de 1000 toneladas


1. El nivel de inventario inicial es de 1000 toneladas2. El nivel de inventario final debe ser al menos de 1500 toneladas

Como I1 e I5 representan los inventarios inicial y final al principio y final del período de planeación de 4 meses, respectivamente, estasrestricciones son:

I1 = 1000 (inventario de inicio)I5 ≥ 1500 (inventario final)

RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE PRODUCCIÓNLa producción en cualquier mes no puede exceder las 4000 toneladas, así que las cuatro restricciones en este grupo son

X1 ≤ 4000 (límite en el mes 1)X2 ≤ 4000 (límite en el mes 2)X3 ≤ 4000 (límite en el mes 3)X4 ≤ 4000 (límite en el mes 4)

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