Ejercicio 1:Demostrar la veracidad de las siguientes proposiciones:    . Si Aa ⊂ B⇒ Bc⇒ Ac  emostración ean A,  conjuntos cualesquiera. Como por hipótesis A , entonces  D : S B ⊂ B    

 x , x .  ∀ ∈ A   ∈ B omo B , entonces ∃b  tal que b ∈ , es decir b . Sea c ∈ ,  C ⊃ A   ∈ B / A   ∈ Ac / Besto implica que c  y como c ∈ , c ∈ . Luego c , por lo que ∀c , c ,    ∈ Bc / B   / A ∈ Ac   ∈ Bc   ∈ Ac     y ∀b  tal que b ∈    ∈ B / , b . Así que B .  A   ∈ Ac c ⊂ Ac   . (A ) C ) A )  b − B ⋂ ( − B = ( ⋂C − B emostración Sea x A ) C ). Entonces x A ) y x C ). Entonces  D :   ∈ ( − B ⋂ ( − B ∈ ( − B ∈ ( − B

 pero x ∈ , y x  pero x ∈ . Luego x    , y por tanto (A ) C ) A ) .  x ∈ A / B   ∈ C / B ∈ A⋂C − B   − B ⋂ ( − B ⊂ ( ⋂C − B  ea w A ) . Entonces w A ) pero w ∈ , es decir, w  y w  pero w ∈ . Podemos decir  S ∈ ( ⋂C − B ∈ ( ⋂C / B     ∈ A ∈ C / B  ntonces que w  y que w . Así que w A ) C ), por lo que (A ) C )  e ∈ A − B ∈ C − B ∈ ( − B ⋂ ( − B   − B ⋂ ( − B

.A ) , y por definición de igualdad de conjuntos,  ⊂ ( ⋂C − B   (A ) C ) A )    − B ⋂ ( − B = ( ⋂C − B   . A B ) A ) A )  c ⋃ ( −C = ( ⋃ B − ( ⋃C  emostración Sea x  D :   ∈ A ) A ). Entonces x  pero x ∈ , por lo que x  o   ( ⋃ B − ( ⋃C ∈ A⋃ B / A⋃C   ∈ A  

, pero x ∈  y x ∈ . Pero no es posible que x  y que x ∈  a la vez, por lo que esto genera una   x ∈ B   / A / C ∈ A / A    ontradicción. Por tanto, B ) = A ) A ) .  c A⋃ ( −C / ( ⋃ B − ( ⋃C      . (A ) C ) A ) B )  d × B − ( ×D = ( −C × ( −D  emostración Sea (x, )  D :   y ∈ (A ) C ), entonces (x, )  pero (x, ) ∈ , es decir     × B − ( ×D   y ∈ A × B y / C ×D    

., y , x ∈ , y ∈ . Por tanto x A ), y B ), por lo que (x, )  x ∈ A   ∈ B   / C   / D ∈ ( −C   ∈ ( −D   y ∈ A ) B )  ( −C × ( −D  sí tenemos que   A A ) C ) A ) B ).  ( × B − ( ×D ⊂ ( −C × ( −D  ea (j, ) A ) B ), entonces j A ) y k B ), por lo que j  y j ∈ , y k   S k ∈ ( −C × ( −D   ∈ ( −C ∈ ( −D   ∈ A / C   ∈ B  

 y k ∈ . Luego podemos decir que (j, ) A ) y que (j, ) ∈ C ), es decir que (j, ) está  k ∈ B / D k ∈ ( × B k / ( ×D   k  .n  (A ) C ). Por lo tanto,  e × B − ( ×D   A ) B ) A ) C )  ( −C × ( −D ⊂ ( × B − ( ×D  

or definición de igualdad de conjuntos, (A ) C ) A ) B ).   P   × B − ( ×D = ( −C × ( −D   EJERCICIO 2 

emostrar que  (A ) )D ∩n

i=1i − B = (∩

n

i=1Ai − B  

rueba ea x (A ). Entonces x está en todos los conjuntos A , donde iP : S ∈  ∩n

i=1i − B i − B   ∈ I = {1, , .., }2 . n  

uego x , ∀i , y x ∈ . Por tanto x ) , por lo que   (A ) ) . L ∈ Ai   ∈ I   / B ∈ (∩n

i=1Ai − B   ∩

n

i=1i − B ⊂ (∩

n

i=1Ai − B  

ea w ) . Entonces w y w ∈ . Luego w está en cada conjunto A , por lo que  S ∈ (∩n

i=1Ai − B ∈∩

n

i=1Ai  / B i − B    

    ) (A ).(∩n

i=1Ai − B ⊂∩

n

i=1i − B  

or definición de igualdad de conjuntos, (A ) )  P  ∩n

i=1i − B = (∩

n

i=1Ai − B  

 EJERCICIO 3 

emostrar que  (A ) )D ∩n

i=1× Bi = A × (∩

n

i=1Bi  

rueba ea (a, ) (A ). Entonces (a, ) está en todos los productos cartesianos A , donde  P : S b ∈∩n

i=1× Bi b × Bi    

     Luego a  y b , ∀i , por lo que (a, ) , y así tenemos que i ∈ I = {1, , .., }2 . n . ∈ A ∈ Bi   ∈ I   b ∈ A ×∩n

i=1Bi    

    (A ) ).∩n

i=1× Bi ⊂ A × (∩

n

i=1Bi  

ea (j, ) ), entonces j  y k . Luego (j, ) está en todos los productos cartesianosS k ∈ A × (∩n

i=1Bi   ∈ A ∈∩

n

i=1Bi k  

    , ∀i , por lo que (j, ) (A ). Por tanto, ) (A ).  A × Bi   ∈ I   k ∈∩n

i=1× Bi A × (∩

n

i=1Bi ⊂∩

n

i=1× Bi  

or definición de igualdad de conjuntos, (A ) ) P ∩n

i=1× Bi = A × (∩

n

i=1Bi  

 EJERCICIO 4 ea f , tal que A . Encuentre su dominio A y el conjunto imagen f(A). Probar que f es 1  S : A→ B   ⊆ R − 1   de ser así, encontrar si inversa.  y     

    (1). f(x) 2x )/(1 x)  a = ( − 3 + 4  ominio A  D :   = R − {− /4}1  magen f(A)=I :   {(− , /2)}∞ 1  ⋃ {(1/2,+ )}∞    es 1 Sean x, . Si tenemos que f(x) (y), entonces  f − 1 :   y ∈ A = f   :  (2x )/(1 x)] (2y )/(1 y)][ − 3 + 4 = [ − 3 + 4  2x )(1 y) 2y )(1 x)( − 3 + 4 = ( − 3 + 4  x xy 2y y xy 2x2 + 8 − 3 − 1 = 2 + 8 − 3 − 1  x 2y y 2x2 − 1 = 2 − 1  4x 4y1 = 1  x = y   

(1)unción inversa espejando para x en  F : D :  1 x)y x( + 4 = 2 − 3  x(2y ) − y )2 − 1 = ( + 3  − y )/(2 2y ))x = ( + 3 * ( − 1  

or lo que f (x)P −1 = x )/(2 2x ))− ( + 3 * ( − 1    

(2). f(x) 1/2)(x/( x )) 1/2)  b = ( | | + 1 + (  ominio  D : A = R magen f(A) ]0, [  I :   = 1   es 1 ean x, . Si tenemos que f(x) (y), entonces  f − 1 : S y ∈ A = f   :  1/2)(x/( x )) 1/2) 1/2)(y/( y )) 1/2)( | | + 1 + ( = ( | | + 1 + (  ( y ) ( x )x | | + 1 = y | | + 1  x y| | + x = y x| | + y  x = y   

(2)unción inversa espejando para x en  F : D :  y /(1 )2 − 1 = x + x| |  2y )(1 )( − 1 + x| | = x  y2 − 1 + 2 x| | y − x| | = x  enemos 2 casos si x , entonces 2y (− )y − )  T :   < 0   − 1 + 2 x − ( x = x  y xy2 − 1 − 2 = 0  y(1 )2 − x = 1  

/(2y)x = 1 − 1  i x , entonces   S ≥ 0   y xy2 − 1 + 2 − x = x  y xy x2 + 2 − 2 = 1  x(y ) y2 − 1 = 1 − 2  

1 y)/(2(y ))x = ( − 2 − 1  or lo que f (x)P −1 = /(2x), si 0 /2  1 − 1   < x ≤ 1                   f (x) (1 x)/(2(x )), /2        −1 =   − 2 − 1 1 < x < 1   EJERCICIO 5 ada la función f , sean C,  y E, . Probar las siguientes propiedades.  D : A→ B   D ⊆ A F ⊆ B  

 . f(C ) (C) (D)  a ⋃D = f ⋃ f  i f es 1 Sea w  S − 1 :   ∈(C ), entonces w (x), para algún x , por lo que x  o x .   f ⋃D   = f   ∈ C ⋃D   ∈ C ∈ D  sí que w  (C) o w (D), es decir, w  A ∈ f ∈ f     ∈ (C) (D). Por tanto, (C ) (C) (D).   f ⋃ f f ⋃D ⊂ f ⋃ f  ea u (C) (D), entonces u (C) o u (D), por lo que u (v), para algún v  o v .  S ∈ f ⋃ f   ∈ f ∈ f   = f   ∈ C ∈ D  ntonces v , y por tanto f(v)  E ∈ C ⋃D   ∈ f(C ). Concluimos que     ⋃D (C) (D) (C ).  f ⋃ f ⊂ f ⋃D  or igualdad de conjuntos, f(C ) (C) (D).   P   ⋃D = f ⋃ f  

 .  f(C ) (C) (D)  b ⋂D = f ⋂ f  

i f es 1 Sea w (C ), entonces w (x), para algún x , por lo que x  y x .   S − 1 :   ∈ f ⋂D   = f   ∈ C ⋂D   ∈ C ∈ D  sí que w  (C) y w (D), es decir, w  A ∈ f ∈ f     ∈ (C (D). Por tanto, (C ) (C) (D).   f ⋂ f f ⋂D ⊂ f ⋂ f  ea u (C) (D), entonces u (C) y u (D), por lo que u (v), para algún v  y v .  S ∈ f ⋂ f   ∈ f ∈ f   = f   ∈ C ∈ D  ntonces v , y por tanto f(v)  E ∈ C ⋂D   ∈ f(C ). Concluimos que     ⋂D (C) (D) (C ).  f ⋂ f ⊂ f ⋂D  or igualdad de conjuntos, f(C ) (C) (D).   P   ⋂D = f ⋂ f  

   . f(C ) (C) (D)  c −D = f − f  i f es 1 Sea w  S − 1 :   ∈ (C ), entonces w (x), para algún x . Luego x  pero x ∈ ,  f −D   = f   ∈ C −D ∈ C / D  sto significa que w (C) pero w ∈ (D), por lo que w (C) (D), y por tanto concluimos que   e ∈ f / f   ∈ f − f    (C )  f −D ⊂ (C) (D).  f − f  ea u (C) (D). Entonces u (C) pero u ∈ (D). Luego u (v), para algún v  y v ∈ , por lo  S ∈ f − f ∈ f / f = f   ∈ C / D    ue v , y por tanto f(v) (C ). Concluimos que f(C) (D) (C ).  q ∈ C −D   ∈ f −D − f ⊂ f −D  or igualdad de conjuntos, f(C ) (C) (D).   P   −D = f − f  

 . f (E ) f (E) (F )d −1 ⋃ F = 

−1 ⋃ f−1    ea v  S ∈ , por lo que w  o w . f (E ), entonces v es la preimagen de algún w−1 ⋃ F     ∈ E⋃ F   ∈ E ∈ F  uego v (w) está en f (E) o en f  (F ), por lo que vL = f−1 −1 −1   ∈ . Por tanto, concluimosf (E) (F )−1 ⋃ f−1      ue f (E ) f (E) (F ) .q −1 ⋃ F ⊂  −1 ⋃ f−1    ea x  S ∈ entonces x   (E) o x   (F ), por lo que x es la preimagen de algún f (E) (F )−1 ⋃ f−1 , ∈ f −1 ∈ f −1    

 o z . Entonces z , y  x   (z) está en z ∈ E ∈ F ∈ E⋃ F   = f −1 y así concluimos quef (E )−1 ⋃ F ,   f (E) (F )  f (E ).−1 ⋃ f−1 ⊂   −1 ⋃ F     

.or definición de igualdad de conjuntos,  P   f (E) (F )  f (E )−1 ⋃ F = −1 ⋃ f−1    

 . f  (E )e −1 ⋂ F =  f (E) (F )−1 ⋂ f−1    ea v , por lo que w  y w . S ∈ f (E ), entonces v es la preimagen de algún w−1 ⋂ F     ∈ E⋂ F   ∈ E ∈ F  uego v (w) está en f (E) y en f  (F ), por lo que vL = f−1 −1 −1   ∈ . Por tanto, concluimosf (E) (F )−1 ⋂ f−1      ue f (E ) f (E) (F ) .q −1 ⋂ F ⊂  −1 ⋂ f−1    ea x  S ∈ entonces x   (E) y x   (F ), por lo que x es la preimagen de algún f (E) (F )−1 ⋂ f−1 , ∈ f −1 ∈ f −1    

 y z . Entonces z , y  x   (z) está en z ∈ E ∈ F ∈ E⋂ F   = f −1 y así concluimos quef (E )−1 ⋂ F ,   f (E) (F )  f (E ).−1 ⋂ f−1 ⊂   −1 ⋂ F     

.or definición de igualdad de conjuntos,  P   f (E) (F )  f (E )−1 ⋂ F = −1 ⋂ f−1    

 .  f  (E )   (E)   (F )f −1 − F = f −1 − f −1  ea v , por lo que w  pero w ∈ .S ∈ f (E ), entonces v es la preimagen de algún w−1 − F     ∈ E − F   ∈ E / F  uego v (w) está en f (E) pero no en f  (F ), por lo que v . Por tanto, concluimos queL = f−1 −1 −1   ∈ f (E) (F )−1 − f−1      

f (E) (F ) .  f (E )−1 − F ⊂  −1 − f−1    

ea x  S ∈entonces x   (E) pero x ∈   (F ), por lo que x es la preimagen de algún f (E) (F )−1 − f−1 , ∈ f −1 / f −1    

 y z ∈ . Entonces z , y  x   (z) está en z ∈ E / F ∈ E − F   = f −1 y así concluimos quef (E )−1 − F ,    f (E) (F )  f (E ).−1 − f−1 ⊂   −1 − F     

.or definición de igualdad de conjuntos,  P   f (E) (F )  f (E )−1 − F = −1 − f−1    

 . f(f  (E))  g −1 = E  upongamos que f es biyectiva. Sea z (f  (E)), y sea x , por lo que x   (w), para algún w (E).S ∈ f −1   ∈ E   = f     ∈ f−1  ntonces z   (w)  por lo que z . Luego f(f  (E)) .  E = f   ∈ E −1 ⊂ E     ea v . Entonces v (u), para algún u   (E), por lo que u   (v) y tenemos que v (f  (v)).S ∈ E = f   ∈ f −1   = f −1 = f −1

or tanto v (f  (E)). Concluimos que E  (f  (E)).P ∈ f −1 ⊂ f −1  or igualdad de conjuntos,  f(f  (E)) .P   −1 = E  

  EJERCICIO 6  adas las funciones f  y g , consideramos g .  D : A→ B : B→ C   ° f : A→ C  emuéstrese que  D :  

 . g  es 1 , si f,  son 1  a ° f − 1   g − 1  

 rueba Sean f,  funciones 1 . Entonces existe un b  que tiene a lo más una preimagen en A, y  P :   g − 1 ∈ B    xiste un c  tal que tiene a lo más una preimagen en B. Supongamos que f(a)  y que g(b) .  e ∈ C = b = c  aciendo la composición de g y f tenemos que (a) (f(a)) (b) , por lo que c tiene una  H : g ° f = g = g = c    nica preimagen a . Por tanto g  es 1 .  ú ∈ A ° f − 1  

 .  g  es sobreyectiva, si f, g son sobreyectivas.  b ° f      

 ean f,  funciones sobreyectivas. Entonces para todo b , existe un a  tal que b (a), y para  S g ∈ B   ∈ A = f    

.odo c  existe un b  tal que c (b)  t ∈ C ∈ B = gupongamos que f(a)  y que g(b) . Haciendo la composición de g y f g (a) (f(a)) (b) ,  S = b = c :   ° f = g = g = c  por lo que todo c  tiene una preimagen en A.    ∈ C  or tanto, g  es sobreyectiva.  P   ° f  

         

.Contrapositiva i  f,  no son funciones 1 , entonces g  no es 1  Prueba ean f,  funciones que no son 1b : S g − 1   ° f − 1 : S g −