Tarea 2
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C´ alculo Diferencial e Integral II 16 de agosto de 2013 Tarea 2 1 Sumas Inferiores y Sumas Superiores 1.-Calcular Z 1 0 f y Z 1 0 f para a)f (x)= x 4 b) f (x)= x 2 - 1 2.-Demostrar el siguiente resultado: Sea I =[a, b] y sea c ∈ R tal que a<c<b, sea f : I → R una funci´ on acotada. Entonces f es integrable en I ⇔ f es integrable en I 1 =[a, c] como en I 2 =[c, b] en este caso Z b a f = Z c a f + Z b c f 3.-Demostrar que Z b 0 x p = b p+1 p +1 4.-Demostrar que si f es integrable sobre [a, b]y f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b], entonces Z b a f ≥ 0 5.-Demuestre que si f,g son funciones integrables sobre [a, b] entonces f + g es integrable sobre [a, b]y Z b a (f + g)= Z b a f + Z b a g 6.-De un contraejemplo que muestre que el reciproco del resultado del ejercicio 5 no se cumple 7.-Demuestre lo siguiente: Si f es integrable sobre [a, b] entonces para cualquier n´ umero c, la funci´ on cf es integrable sobre [a, b]y Z b a cf = c Z b a f 8.-Demuestre lo siguiente: Si f es integrable en [a, b] entonces tamb´ en lo es |f | y Z b a f ≤ Z b a |f | 9.-Demostrar que Z b a f (x)= Z b+c a+c f (x - c) 10.-Demostrar que Z cb ca f (t)= c Z b a f (ct) Prof. Esteban Rub´ en Hurtado Cruz 1 of 1
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Calculo Diferencial e Integral II 16 de agosto de 2013
Tarea 2 1
Sumas Inferiores y Sumas Superiores
1.-Calcular
∫ 1
0
f y
∫ 1
0
f para
a)f(x) = x4
b) f(x) = x2 − 12.-Demostrar el siguiente resultado:Sea I = [a, b] y sea c ∈ R tal que a < c < b, sea f : I → R una funcion acotada. Entonces
f es integrable en I ⇔ f es integrable en I1 = [a, c] como en I2 = [c, b]
en este caso ∫ b
a
f =
∫ c
a
f +
∫ b
c
f
3.-Demostrar que ∫ b
0
xp =bp+1
p + 1
4.-Demostrar que si f es integrable sobre [a, b] y f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b], entonces∫ b
a
f ≥ 0
5.-Demuestre que si f,g son funciones integrables sobre [a, b] entonces f + g es integrable sobre [a, b] y∫ b
a
(f + g) =
∫ b
a
f +
∫ b
a
g
6.-De un contraejemplo que muestre que el reciproco del resultado del ejercicio 5 no se cumple7.-Demuestre lo siguiente:Si f es integrable sobre [a, b] entonces para cualquier numero c, la funcion cf es integrable sobre [a, b] y∫ b
a
cf = c
∫ b
a
f
8.-Demuestre lo siguiente:Si f es integrable en [a, b] entonces tamben lo es |f | y∣∣∣∣∣
∫ b
a
f
∣∣∣∣∣ ≤∫ b
a
|f |
9.-Demostrar que ∫ b
a
f(x) =
∫ b+c
a+c
f(x− c)
10.-Demostrar que ∫ cb
ca
f(t) = c
∫ b
a
f(ct)
Prof. Esteban Ruben Hurtado Cruz 1 of 1
