Pontificia Universidad Católica de Chile

Departamento Ingeniería de Minería

IMM2650 Métodos Matemáticos Aplicados a Ingeniería

Informe Tarea 1

IMM2650 Métodos Matemáticos

Aplicados a Ingeniería

Benjamín A. Lagos B.

Profesor: Mario Duran

Ayudante: Valeria Boccardo

Fecha: 03-09-2012

Introducción y Marco Teórico

En el siguiente informe se muestra el fenómeno de Runge, que consiste en la aparición de

oscilaciones en los extremos de los intervalos de una partición evaluados en un polinomio de

interpolación. Lo interesante del fenómeno es que demuestra que al aumentar el grado del

polinomio aumenta el error asociado a la interpolación para una función en particular.

Para estudiarlo, se presenta un análisis de 3 diferentes métodos de interpolación (Polinomio de

Lagrange, por subintervalos de 2ºgrado y Polinomio de Hermite cúbico) evaluados en 2 tipos de

particiones (equiespaciada y según los puntos de discretización de Tchebycheff) para la función de

Runge que es:

( )

[ ]

El polinomio interpolador de Lagrange para la función ( ) evaluado en los nodos (o puntos de la

partición) es de la forma:

( ) ∑ ( )

( )

Donde:

( ) ∏

La función interpoladora por subintervalos de 2º grado, evaluada en una partición de n elementos

, es de la forma:

( ) {

Donde los coeficientes se pueden determinar resolviendo el sistema:

( )

( )

(

)

O bien en su forma matricial:

[

] [

] [

( ) ( )

( )]

Donde:

( )

Finalmente el polinomio de interpolación de Hermite cúbico es de la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Donde imponiendo condiciones necesarias para que el polinomio sea de tercer grado se llega a:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

Definimos la partición equiespaciada P(a,b,n) en el intervalo [a,b] de n puntos como :

( ) { ( )

}

Definimos la partición TCHEBY(a,b,n) con los puntos de discretización de Tchebycheff entre [a,b]

de n puntos como :

( ) { (

) (

) }

El error de aproximación para alguno de los 3 métodos de interpolación I(x), lo calculamos como:

‖ ( ) ( )‖ ∫| ( ) ( )|

Donde la integral la calculamos numéricamente mediante la regla del trapecio:

∫| ( ) ( )|

( ) [| ( ) ( )| ∑ | ( ) ( )| | ( ) ( )|

]

Desarrollo y Análisis

La siguiente figura (grafico superior) muestra el gráfico ( ) evaluado en las particiones PL1(-

1,1,21) (verde) y PL2(-1,1,31)(rojo) y a continuación (gráfico inferior ) evaluado en las particiones

TCHEBY1(-1,1,21)(verde) y TCHEBY(-1,1,31) (rojo) . Ambos gráficos están comparados con la

función f(x) (Negro) evaluada en una partición equiespaciada de 100 puntos.

A continuación se muestra el gráfico del polinomio interpolador de Lagrange evaluado en la partición de Tchebycheff:

El error en cada caso se resume en la siguiente tabla:

PL1(-1,1,21) PL2 (-1,1,31) TCHEBY(-1,1,21) TCHEBY(-1,1,31)

Error de aproximación 6.4967 143.5162 0.0555 0.0121

Al comparar PL1 con PL2 uno esperaría que como el segundo contiene más nodos debería tener

menos error, ocurriendo exactamente lo contrario, lo que ilustra el fenómeno de Runge.

El problema se ve minimizado usando la partición con los nodos de Tchebycheff, disminuyendo el

error en casi 2 órdenes de magnitud para 21 puntos y en casi 5 órdenes de magnitud para 31

puntos.

Si bien en el segundo gráfico se aprecia una oscilación a la izquierda esta se debe a que la partición

de Tchebycheff no es simétrica.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

La siguiente figura (gráfico superior) muestra el gráfico de ( ) para las particiones

equiespaciada P1(-1,1,20) (Verde) y P2(-1,1,30) (Rojo), y a continuación (gráfico inferior) para las

particiones TCHEBY(-1,1,20) (Verde) y TCHEBY(-1,1,30) (Rojo). En ambos gráficos se grafica la

función f(x) (Negro) evaluada en una partición equiespaciada de 100 puntos.

El error en cada caso se resume en la siguiente tabla:

P1(-1,1,20) P2 (-1,1,30) TCHEBY(-1,1,20) TCHEBY(-1,1,30)

Error de aproximación 0.0011 6.2088e-004 0.0041 0.0016

Contrario al caso anterior, el spline cuadrático calculado según una partición equiespaciada tiene

menor error que si se hubiese ocupado la partición de Tchebycheff. Esto se explica ya que este

método de interpolación trabaja en torno al punto de la partición dado en un subintervalo

pequeño, lo que aumenta la precisión.

Por otro lado el fenómeno de Runge desaparece para el gráfico superior, comportándose la

interpolación como se esperaba (aumenta el número de nodos y disminuye el error).

Se ven unas pequeñas oscilaciones en el gráfico inferior explicadas también por la asimetría de la

partición de Tchebycheff.

En el gráfico inferior derecho se aprecia que a medida que la cantidad de nodos aumenta, la

partición de Tchebycheff se hace más simétrica (rojo).

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

La siguiente figura (gráfico superior) muestra el gráfico de ( ) para las particiones

equiespaciada P1(-1,1,20) (Verde) y P2(-1,1,30) (Rojo), y a continuación (gráfico inferior) para las

particiones TCHEBY(-1,1,20) (Verde) y TCHEBY(-1,1,30) (Rojo). En ambos gráficos se grafica la

función f(x) (Negro) evaluada en una partición P(-1,1,100).

El error en cada caso se resume en la siguiente tabla:

P1(-1,1,20) P2 (-1,1,30) TCHEBY(-1,1,20) TCHEBY(-1,1,30)

Error de aproximación 8.8257e-004 4.5542e-004 0.0033 0.0011

En este caso hemos encontrado la aproximación con menor error para ambos tipos de partición

que corresponde a la función de interpolación evaluada en P2 para las equiespaciadas y evaluada

en TCHEBY(-1,1,30) para las de Tchebycheff. Para el gráfico de arriba el error es casi imperceptible

exceptuando una pequeña oscilación llegando al borde superior del intervalo.

Al igual que en los casos anteriores, se ve una pequeña oscilación al comienzo y en cuanto a la

simetría, la función TCHEBY(-1,1,20) sigue siendo la que tiene más asimetría.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

-0.05 0 0.05

0.9

0.95

1

Conclusiones

En general es importante tener en cuenta que no siempre se cumple que al usar una función

interpoladora, mientras más nodos menos error. El fenómeno de Runge es un contraejemplo muy

claro. Lo bueno de todo esto es que existen particiones que minimizan el error, como es la

partición que usa los puntos de discretización de Tchebycheff.

Algo notable es que la mayoría de las funciones aproximaban bien en torno a 0 sobre todo la de

Lagrange evaluada en particiones equiespaciadas. Esto probablemente se debe a la simetría de la

función y de la partición.

Otro punto a considerar es cuál de estos métodos representa mayor cantidad de cálculo para

hacer un trade off entre la cantidad de error aceptado y la velocidad de cálculo en el computador.

La mejor aproximación encontrada fue la de la función interpoladora por subintervalos de 2º

grado, lo que no significa que funcione para todos los casos. Claramente dependerá de la función a

interpolar.

Bibliografía

Amparo Gil, Javier Segura, and Nico Temme. 2007. Numerical Methods for Special Functions. s.l. :

Society for Industrial and Applied Mathematics, 2007.