Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Departamento de Matematica

Casa Central

Eduardo Valenzuela D.Ronny Vallejos A.Patricio Videla J.

MAT 041 – PROBABILIDAD Y ESTADISTICAProyecto – 27.11.2015

Definicion 1 Sea T una variable aleatoria continua con funcion de densidad fT , que corresponde al tiem-po de funcionamiento (o de vida) de un ıtem. La Funcion de Confiabilidad se define como la probabili-dad de que un ıtem funcione adecuadamente hasta un tiempo t, con t > 0; esto es:

R(t) = P[T > t]

=

∫ ∞

tfT (s) ds

= 1 − FT (t)

Ademas:

lımt→0R(t) → 1

lımt→∞R(t) → 0

La variable aleatoria T esta caracterizada por sus funciones de densidad, fT , distribucion, FT , y confiabi-lidad o sobrevivencia, R(t).

1. La Funcion de Riesgo, h(t), de fundamental importancia en el analisis de confiabilidad y sobreviven-cia, tambien es conocida con el nombre de tasa de fallas, razon de riesgo, razon de falla, funcion deazar o fuerza de mortalidad, entre otros. ¿Investigue como se define esta funcion?, ¿que representa?

2. Existen relaciones entre las funciones: FT , fT , R(t) y h(t). Por ejemplo:

FT (t) = P[T ≤ t]

=

∫ t

0fT (s) ds

= 1 − R(t)

Complete la siguiente tabla, donde se presentan las relaciones entre las funciones FT , fT , R(t) y h(t):

– FT (t) fT (t) R(t) h(t)

FT (t) –∫ t

0fT (s) ds 1 − R(t)

fT (t) –

R(t) –

h(t) –

3. Escogiendo los parametros distribucionales a su gusto, grafique las funciones de densidad, confiabili-dad y riesgo de las distribuciones: Exponencial, Gamma, Weibull y Normal.

LATEX 2ε \ EHC – 27 de noviembre de 2015

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4. Considerando los sistemas compuestos por cuatro y cinco componentes, respectivamente, cuyos tiem-pos de vida en cada una de las componentes Ci se encuentran medidos en anos y sus configuracionesse muestran a continuacion:

(a) Sub-sistema 1. (b) Sub-sistema 2. (c) Sub-sistema 3.

a. Calcule la confiabilidad RS j(t) de asociada al j-esimo sistema ( j = 1, 2, 3) en termino de lasconfiabilidades Ri(t), i = 1 . . . , n j de cada componente.

b. Suponga que las distribuciones de probabilidad del tiempo de vida de los componentes son Expo-nenciales cuya media, en anos, es expresada por el subındice del componente.i. Calcule la confiabilidad de cada sistema a los 5 anos. Interprete cada uno de sus resultados.ii. En una misma grafica, trace la confiabilidad de cada sistema en funcion del tiempo con un

mınimo de 10 anos de evolucion. Desde lo visto en dicha figura, ¿que sistema le parece masconfiable? Justifique su respuesta.

c. Suponga que las distribuciones de probabilidad del tiempo de vida de los componentes son Weibullcon parametro de escala 1/9 y parametro de forma 2/3.i. Calcule la confiabilidad de cada sistema a los 2 anos. Interprete cada uno de sus resultados.ii. En una misma grafica, trace la confiabilidad de cada sistema en funcion del tiempo con un

mınimo de 15 anos de evolucion. Desde lo visto en dicha figura, ¿que sistema le parece masconfiable? Justifique su respuesta.

d. Suponga que en cada una de las configuraciones, el funcionamiento de las componentes C1 esta100 % garantizado por el 1er. ano de funcionamiento, por lo que el tiempo, en anos, hasta la fallade un componente de estas caracterısticas esta dada por:

fC1(t) =2t3 I(t)(1,∞)

Todas las componentes restantes del sistema tienen un tiempo de vida, en anos, modelado por unadistribucion exponencial de media 2.i. Para cada configuracion entregada, calcule la confiabilidad a los 2 anos.ii. Graficamente, determine cual de las tres configuraciones es la mas confiable a largo plazo.

De la configuracion elegida, calcule, grafique e interprete su tasa de falla.

FechaMaxima de Entrega: Lunes 21 de Diciembre de 2015,en el horario del respectivo paralelo.

IMPORTANTE: Trabajo NO CONVALIDABLE

LATEX 2ε \ EHC – 27 de noviembre de 2015