TAREA No. 6

1.- En una muestra aleatoria de 20 porciones similares de un cereal, el promedio del contenido de azúcar fue de 11.3 grs, con una desviación estándar de 2.45 grs. Suponiendo que el contenido de azúcar está distribuido en forma normal, construye un intervalo de confianza del 95% para la media de los contenidos de azúcar en porciones individuales de cereal.

2.- Se toma una muestra aleatoria de 12 pernos de corte en un estudio de la dureza Rockwell de la cabeza del perno. Se realizaron mediciones de tal dureza en cada uno de los 12 pernos, lo que dió un valor promedio de 48.5 con una desviación estándar de 1.5, suponiendo que las medidas se distribuyen en forma normal.

a) Construye un intervalo de confianza del 90% para la dureza Rockwell media.b) Construye un intervalo de confianza del 90% para x

2.

3.- El diámetro interno de un cojinete es una mediad crucial en su fabricación. Con base en una muestra aleatoria de 25 cojinetes, la media muestral fue de 3 cm y la desviación estándar fue de 0.005 cm.. Obtener intervalos de confianza del 95% y 99% para:

a) La media de la población.b) La varianza de la población.

4.- Un fabricante de baterías para automóvil asegura que sus baterías duran, en promedio, 3 años con una varianza de 1 año. Si 5 de estas baterías tienen duraciones de : 1.9, 2.4, 3, 3.5, y 4.2 años, construye un intervalo de confianza del 95% para x

2, suponga que la duración de las baterías se distribuye normalmente.

5.- Una compañía de taxis está tratando de decidir si compra la marca A o la marca B de neumáticos para su flotilla de automóviles. Para estimar la diferencia entre la duración de las dos marcas, se llevó a cabo un experimento con 12 neumáticos de cada marca, los neumáticos se usaron hasta que se gastaron completamente. Los resultados fueron:

Marca A: media = 36300 km, desviación estándar = 5000 kmMarca B: media = 38100 km, desviación estándar = 6100 km

Construye un intervalo de confianza para A - B del 95%. Supóngase que los datos provienen de dos poblaciones normales con varianzas iguales.

6.- Los siguientes datos representan los tiempos de duración (en minutos) de películas producidas por dos compañías cinematográficas:Compañía I: 103 94 110 87 98Compañía II: 97 82 123 92 175 88 118

Suponiendo distribución normal para ambas poblaciones, construye un intervalo de confianza del 98% para I

2 / II2.

7.- En un proceso químico, dos catalizadores están siendo comparados por su efecto en el resultado de la reacción del proceso. Se preparó una muestra de 13 lotes usando el catalizador I y una muestra de 11 lotes utilizando el catalizador II. En la primer muestra se encontró un rendimiento medio de 85 con una desviación estándar de 4, para la segunda muestra el rendimiento medio fue de 81 con una desviación estándar de 5. Construye un intervalo de confianza del 90% para I - II, suponiendo que están distribuidas en forma normal con varianzas iguales.

8.- Un genetista está interesado en la proporción de africanos que tienen cierto transtorno hemático. En una muestra aleatoria de 100 personas, se encontró que 24 tienen esa irregularidad. Construye un intervalo de confianza del 99% para la proporción de africanos varones que tienen esta afección.

9.-Los siguientes datos, expresados en días, representan el tiempo de recuperación de pacientes tratados al azar con uno de los medicamentos para tratar infecciones graves de la vejiga.

Medicamento A Medicamento B nA = 13 nB = 25

X A=17 X B=19

SA2 = 1.5 SB

2 = 1.8

Suponiendo que las dos poblaciones tienen distribuciones normales.a) ¿Puede suponerse que las varianzas poblacionales son iguales?, justifica tu respuesta.b) De acuerdo a la respuesta del inciso anterior, construye un intervalo de confianza del 99%

para A - B.

10.- Se afirma que una nueva dieta reducirá el peso de una persona en 4.5 kg en promedio, en un período de dos semanas. Los pesos de 7 mujeres que siguieron la dieta se registraron antes y después de un período de dos semanas.

Peso antes: 58.5 60.3 61.7 69 64 62.6 56.7Peso después: 60 54.9 58.1 62.1 58.5 59.9 54.4

Prueba la afirmación anterior calculando un intervalo de confianza del 95% para la diferencia media en peso. Supóngase que las diferencias de peso se distribuyen normalmente.

11.- Un antropólogo esta interesado en la proporción de individuos de dos tribus indígenas que presentan branquicefálea. Suponga que se toman muestras de cada una de las tribus y se descubre que 24 de 100 nativos de la tribu A y 36 de 120 de la tribu B poseen dicha característica. Construye un intervalo de 95% de confianza para PB – PA.

12.- Se seleccionó una muestra aleatoria de 500 fumadores de cigarrillos y se encontró que 86 tienen preferencia por la marca A. Obténgase un intervalo de 90% de confianza para la fracción de la población de fumadores que prefieren la marca A.

13.- Construye un intervalo de confianza del 98% para la proporción de piezas defectuosas producidas en un proceso, cuando se halla que una muestra aleatoria de tamaño 100 contiene 8 piezas defectuosas.

14.- Una agencia estatal tiene la responsabilidad de vigilar la calidad del agua para la cría de peces con fines comerciales. Esta agencia se encuentra interesada en comparar la variación de cierta sustancia tóxica en dos estuarios cuyas aguas se encuentran contaminadas por desperdicios industriales. En el primer estuario se seleccionaron 11 muestras y en el segundo 8, las mediciones en ppm se exponen en la siguiente tabla:

Estuario 1: 10 10 12 13 9 8 12 12 10 14 8Estuario 2: 11 8 9 7 10 8 8 10

Si se supone que el muestreo se hizo sobre dos poblaciones independientes y con distribución normal, obtener un intervalo de confianza del 98% para 1

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15.- La cantidad promedio que se coloca en un recipiente en un proceso de llenado se supone que es de 20 onzas. En forma periódica, se escogen al azar 25 recipientes y el contenido de cada uno de estos se pesa. Se juzga el proceso como fuera de control cuando la media muestral es menor o igual a 19.8 onzas o mayor de 20.2 onzas. Se supone que la cantidad que se vacía en cada recipiente se encuentra distribuida normalmente con una desviación estándar de 0.5 0nzas.

a) Enuncia las hipótesis nula y alterna que son apropiadas para esta situación.b) Obtener la probabilidad de cometer un error tipo I

16.- El propietario de un automóvil sospecha que la distancia promedio por galón que ofrece su auto es menor que la especificada por la agencia que se lo vendió, la cual asegura es de 30 millas por galón. El propietario observa la distancia recorrida por galón en nueve ocasiones y obtiene los siguientes datos:

28.3 31.2 29.4 27.2 30.8 28.7 29.2 26.5 28.1Después de una investigación el propietario concluye que la distancia por galón es una v.a. que se distribuye normalmente con una desviación estándar de 1.4 millas por galón.

a) Con esta información, ¿ se encuentra apoyada la sospecha del propietario?, usa = 0.01

b) Supóngase que la desviación estándar del rendimiento en distancia por galón no se conoce, pruébese la misma hipótesis.

17.- Un fabricante desea comparar la tensión de ruptura promedio de su hilo con la de su más cercano competidor. Las tensiones de ruptura de 100 hilos para cada marca se observaron bajo condiciones controladas. Las medias y desviaciones estándar de cada marca fueron:

X=108 Y=108 . 2 Sx=10 . 2 S y=12 .4Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos poblaciones normales e independientes con varianzas distintas, ¿hay evidencia para creer que existe una diferencia entre las tensiones

promedio de ruptura de los dos hilos? Usa = 0.02. Realiza una prueba de hipótesis para comprobar que la afirmación de la desigualdad de las varianzas es válida, usa = 0.1

18.- A finales de la década de los 70’s se descubrió que la sustancia carcionogénica nitrosodimetilamina (NDMA) se formaba durante el secado de la malta verde, la cual se empleaba para fabricar cerveza. A principios de los 80’s se desarrollo un nuevo proceso para el secado de la malta, el cual minimizaba la formación de NDMA. Se tomaron muestras aleatorias de una cerveza que se fabricó empleando ambos procesos de secado y, se tomaron los niveles de NDMA en partes por billón, se obtuvieron los siguientes resultados:Proceso anterior: 6 4 5 5 5 5 6 4 6 7 4Nuevo proceso: 2 1 2 1 0 3 2 1 0 1 3

a) Realiza una prueba de hipótesis para saber si es valido suponer la igualdad de las varianzas poblacionales, usa = 0.1

b) ¿Existe alguna razón para creer a un nivel de = 0.05 que ha disminuido la cantidad promedio de NDMA en más de 2 partes por billón con el empleo del nuevo proceso?

19.- La variación en el número de unidades diarias de cierto producto que elaboran dos trabajadores A y B debe ser la misma. Con base en muestras de tamaño nA =16 y nB = 21 días el valor obtenido en las desviaciones estándar muestrales es de SA = 8.2 unidades y SB = 5.8 unidades. Si los datos provienen de distribuciones normales, ¿existe alguna razón para creer que las varianzas poblacionales son iguales? Usa = 0.1

20.- Se enseño a dos grupos de niños de la escuela primaria a leer por dos métodos diferentes, 50 por cada método. Al terminar el período de instrucción, una prueba de lectura dio los siguientes

resultados: X=74 , Y=71 , Sx=9 y S y=10

, ¿puede concluirse que hay una diferencia real de aprendizaje entre los dos métodos? Usa = 0.05

21.- En un estudio de metabolismo de carbohidrato, se compara el crecimiento de la raíz de guisantes cultivados en agua a 6 C con el de las plantas cultivadas en una solución fructuosa a la misma temperatura. Se piensa que la varianza es mayor entre las plantas cultivadas en agua. Se dispone de la siguiente información:

Cultivo en agua Cultivo en fructuosa nx = 16 ny = 25 Sx = 0.53 Sy = 0.25

¿Puede concluirse que σ x2>σ y

2? Usa = 0.05

22.- Se afirma que más del 40% de las personas que padecen artritis ósea experimentaban cierto alivio con el uso de un ingrediente producido por una especie particular de almeja encontrada en las costas de Nueva Zelanda. Para probar esta afirmación, el extracto de almeja se le administrará a 7 pacientes artríticos. Si 3 o más de ellos tienen alivio, no se rechazará la hipótesis de que P = 0.4, de lo contrario se concluirá que P < 0.4

a) Calcula el valor de .b) Calcula suponiendo que en realidad P = 0.3

23.- Se ha desarrollado una nueva preparación para un cierto tipo de cemento que da como resultado un coeficiente de compresión de 5000 kg por cm2 y una desviación estándar de 120. Para probar la hipótesis de que = 5000 en contraposición de la alternativa de que < 5000, se verifica una muestra aleatoria de 50 piezas de cemento, se determina que la región crítica es X < 4970.

a) Calcula .b) Calcula para las alternativas = 4970 y = 4960

24.- Una muestra aleatoria de 36 refrescos de una máquina despachadora automática tiene un contenido promedio de 21.9 decilitros, con una desviación estándar de 1.42 decilitros Prueba la hipótesis de que = 22.2 decilitros en contraposición de que < 22.2, usa = 0.05

25.-En un experimento controlado de laboratorio, algunos científicos descubrieron que 25% de una camada de ratas sujetas a una dieta de 20% de grano de café desarrollaron tumores cancerosos. ¿Se tendrá alguna razón para creer que la proporción de ratas que desarrollan tumores de este tipo cuando se someten a una dieta como la mencionada se ha incrementado si el experimento se repitiera y 16 de 48 ratas desarrollaran tumores?, usa = 0.05.

26.- Una firma manufacturera de cigarros distribuye dos marcas. Si se encuentra que 56 de 200 fumadores prefieren la marca A y que 29 de 150 fumadores prefieren la marca B, ¿puede concluirse que la marca A aventaja en ventas a la marca B?, usa = 0.06.

27.- Se sabe que el contenido promedio de nicotina de una marca de cigarros tiene distribución aproximadamente normal con una varianza de 1.3 miligramos. Prueba la hipótesis de que σ 2=1 . 3 en contraposición de la alternativa de que σ

2≠1 . 3 , si una muestra aleatoria de 8 de estos cigarros tiene una desviación estándar de 1.8, usa = 0.05, supóngase distribución normal.

28.- Se afirma que una máquina despachadora de refrescos está fuera de control si la varianza de los contenidos excede 1.15 decilitros. Si una muestra aleatoria de 25 refrescos de esta máquina tiene una varianza de 2.03 decilitros, ¿ indica esto que la máquina esta fuera de control? usa = 0.05 y supóngase que los contenidos tienen distribución normal.

29.- Un Investigador político afirma que la fracción p1 de republicanos es mayor que la fracción p2 de demócratas que están a favor de la pena de muerte. Obtuvo muestras aleatorias de 200 republicanos y 200 demócratas y encontró que 46 republicanos y 34 demócratas estuvieron a favor de la pena de muerte. ¿Fundamenta esta evidencia un apoyo estadístico para la opinión del investigador?, usa = 0.05.