Tarea # 4

1.- Una máquina que expende bebidas ligeras está regulada de modo que descargue un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de líquido servido está distribuido normalmente con una desviación estándar igual a 15 ml.

a) ¿Qué porcentaje de los vasos servidos contendrá más de 224 ml?b) Si su usan vasos con una capacidad de 230 ml, ¿cuántos de los siguientes

1000 servidos se espera que se derramen?c) ¿Bajo que valor estará el 25% de los vasos más vacíos?

2.- Si el conjunto de calificaciones de un examen de estadística tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 74 y una desviación estándar de 7.9. Obtener

a) La calificación aprobatoria más baja, si al 10% de los estudiantes con menor aprovechamiento se les otorga calificación de “NA”.

b) La calificación “B” más alta, si al 5% de los estudiantes se les otorga calificación de “MB”.

3.- El tiempo que tarda una persona en ser atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos, por lo menos en 4 de 6 veces que se toma el tiempo?

4.- Los alambres que se utilizan en cierta computadora deben tener una resistencia entre 0.12 y 0.14 ohms. La resistencia de los alambres producidos por la compañía A tienen una distribución normal con una media de 0.13 ohms y una desviación estándar de 0.005 ohms.

a) ¿cuál es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la producción de la compañía A satisfaga las especificaciones?

b) Si se utilizan cuatro de estos alambres para una computadora y los seleccionamos aleatoriamente de la producción de la compañía A, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos tres satisfagan las especificaciones?

5.- Se puede ajustar una máquina de refrescos de tal manera que llene los vasos con un promedio onzas por vaso, si el contenido de cada vaso tiene una distribución normal con una desviación estándar de 0.3 onzas, encuentra el valor de de tal manera que los vasos de 8 onzas solamente se derramen el 1% de las veces.

6.- El tiempo X que tarda en realizarse cierta tarea clave en la construcción de una casa es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 10 horas. El costo C para completar esta tarea está relacionado con el tiempo que tarda en completarse mediante la fórmula : C = 100 + 40X + 3X2. Calcula el valor esperado de C.

7.- Supóngase que X es una variable aleatoria con media igual a 5 y varianza igual a 3. Suponiendo que X está distribuida uniformemente en el intervalo (a, b). Determina los valores de a y b.

8.- Un investigador afirma que los ratones de un experimento sobrevivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas sean severamente restringidas y luego se enriquezcan con vitaminas y proteínas. Suponiendo que el tiempo de vida de estos ratones se distribuye normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, determina la probabilidad de que al seleccionar a uno de estos ratones su tiempo de vida sea

a) mayor a 32 mesesb) mayor que 37 meses pero menor que 49 meses.

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9.- Supóngase que la concentración de cierto contaminante se encuentra distribuida uniformemente en el intervalo de 4 a 20 ppm (partes por millón). Si se considera como tóxica una concentración superiora 15 ppm, ¿cuál es la probabilidad de que al tomarse una muestra la concentración de ésta resulte tóxica?

10.- El diámetro de los troncos de cierta clase de árbol en un bosque tiene una distribución normal con una media de 50 cm y una desviación estándar de 10 cm.a) Si se escoge un árbol de este tipo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro de su tronco se encuentre entre 45 cm y 55 cm?b) Si se miden los troncos de 8 árboles escogidos aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 6 de ellos tengan un diámetro entre 45 cm y 55 cm?c) Si se miden los diámetros de troncos hasta encontrar 3 que tienen un diámetro superior a 53cm, ¿cuál es la probabilidad de que se tengan que medir los diámetros de más de 7 troncos?

11.- Sea X una variable aleatoria con distribución normal con media 2 y varianza 0.25. Determina el valor de la constante k tal quea) P(1 < X < k) = 0.5b) P (2- k < X < 2 + k) = 0.996

12.- Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la v.a. T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla igual a 5.a) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos componentes funcione al menos 8 años?b) Si 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?

13.- La presión sanguínea diastólica en mujeres hipertensas tiene una distribución normal con media de 100 mmHg y desviación estándar de 14 mmHg.a) ¿Qué porcentaje de mujeres hipertensas tiene una presión diastólica entre 96 y 104 mmHg?b) ¿Por debajo de qué valor de la presión se encuentra el 95% de mujeres hipertensas?

14.- En una universidad hay un grupo de 5 alumnos que presentarán un examen de fisicoquímica. Se sabe que el tiempo promedio de duración del examen es una variable aleatoria que tiene distribución exponencial con una media de 80 minutos. Si el examen inició a las 9:00 am, calcula la probabilidad de que más de 1 pero menos de 5 estudiantes terminen el examen en el lapso comprendido entre las 10:05 y 10:15 a.m

15.- Suponga que la cantidad real de café instantáneo colocado por una máquina llenadora en frascos es una v.a. que tiene una distribución normal con una desviación estándar de 0.05 onzas. Si sólo el 3% de los frascos van a contener menos de 6 onzas de café, ¿cuál debe ser el contenido promedio de estos frascos?, es decir, ¿Cuál es la cantidad promedio de café que descarga la máquina?

SOLUCIÓN

1.- a) alrededor de 5.5% b) alrededor de 23 vasos c) 189.875 ml.

2.- a) 63.88 b) 86.99

3.- 0.3967

4.- a) 0.9544 b) 0.9883

5.- 7.301

6.- 1100

7.- a = 2, b = 8

8.- a) 0.898 b) 0.608

9.- 0.3125

10.- a) 0.383 b) 0.040075 c) 0.4594

11.- a) k = 2.03 b) k =1.44

12.- a) 0.2019 b) 0.2666

13.- a) 0.2282 b) 123.03 mmHg

14.- 0.02446

15.- 6.094