Escuela de Matematicas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medelln.

Algebra Lineal Taller de repaso parcial 1

Taller de repaso

1. Supongamos que

v =

1001

y w =

0110

.a) Encontrar projv(w), projw(v), v, w y el angulo entre v y w.b) Son los vectores projv(w) y projw(v) linealmente independientes?

c) Encontrar vectores unitarios en las direcciones de v y w.

d) Encontrar un vector u no nulo y distinto de v tal que u y v sean lineamente dependientes.

e) Encontrar un vector z no nulo que sea ortogonal a v y w.

2. Consideremos los vectores

v1 =

1101

,v2 =

0110

y v3 =

1001

.a) De un sistema de ecuaciones lineales cuyo conjunto de soluciones sea gen {v1,v2,v3}. En otras palabras,

determine gen {v1,v2,v3} por medio de restricciones.b) Es gen {v1,v2,v3} = R3?

c) Determinar si el vector b =

1111

pertenece a gen {v1,v2,v3}.3. Balancear la ecuacion qumica

H2SO4 + Al(OH)3 Al2(SO4)3 + H2O.

4. Supongamos que v y w son vectores no nulos en Rn que son ortogonales. Demostar que v y w son linealmenteindependientes.

5. Supongamos que A y B son dos matrices simetricas de tamano n n. Demostrar que la matriz AB es simetrica siy solamente si AB = BA.

6. Consideremos

A =

[ 1 0 31 1 0

], B =

1 22 10 0

y u = 111

,a) Encontrar el angulo entre los vectores Au y BTu.

b) Determinar si la matriz AB es simetrica.

7. Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales con 5 ecuaciones y 3 variables. Que se puede decir delas soluciones de este sistema? Que se puede decir si se tiene un sistema de ecuaciones lineales con 3 variables y 5ecuaciones?

8. Supongamos que A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales con 3 ecuaciones y 3 incognitas.Se sabe que Rango(A) = 2. Cual o cuales de las siguientes afirmaciones son necesariamente correctas?

a) El sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones

b) El sistema de ecuaciones tiene una unica solucion.

c) El sistema de ecuaciones no tiene solucion.

d) Ninguna de las anteriores.

Escuela de Matematicas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medelln.

9. Considere el sistema de ecuaciones lineales

x1 + x2 x3 = 1,x1 + x3 = 5,

x1 + cx2 x3 = 1,

donde c es una constante.

a) Para cuales valores de c se tiene que el anterior sistema de ecuaciones tiene solucion unica?

b) Para cuales valores de c se tiene que el anterior sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones?

10. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x + y + z = 1,

x + 2y z = 2,x 5y + z = 5.

De una interpretacion geometrica de esta solucion, es decir, determine si la solucion de este sistema corresponde aun punto, una recta, un plano o todo R3.

11. De las definiciones de los siguientes conceptos.

a) Rango de una matriz.

b) Independencia lineal e independencia lineal de un conjunto de vectores en Rn.c) Forma escalonada de una matriz n n.d) Teorema del Rango.

12. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10kg del compuesto A, 10 kg del B y 20 kg del C; una unidad del fertilizante del tipo II requiere 30 kg del compuestoA, 40 kg del B y 50 kg del C; una unidad del fertilizante del tipo III requiere 20 kg del compuesto A, 10 kg del B y50 kg del C. Si hay disponible 250,000 kg del compuesto A, 200,000 kg del compuesto B y 550,000 kg del compuestoC. Se desea saber cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir si se usa todo el material qumicodisponible.

a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que permita resolver el problema. Defina claramente las variables autilizar.

b) Encuentre un intervalo, para cada variable libre, donde las soluciones tienen sentido.

c) Si se tiene la cantidad mnima del fertilizante del tipo III Cuantas unidades de cada tipo de fertilizante sepuede producir?

13. Considere la red de tuberas dada en la figura dada a continuacion (ver pagina 3), donde los flujos de agua estanmedidos en litros por hora.

a) Establezca y resuelva un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los flujos posibles en la red de tuberasde la figura anterior.

b) Si se cierran las tuberas AC y AD, es posible que el agua fluya respetando las direcciones indicadas en laanterior figura? Explique sus respuestas.

c) Suponiendo que las direcciones de los flujos se respetan, y que la tubera BC se cierra, halle los valores dex1, x2, x3, x4 y x5 de tal forma que se obtenga el mnimo flujo vehicular en la rama AC.

Escuela de Matematicas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medelln.