30 Captulo 1. Lenguaje Matemtico

Ejercicios Propuestos 1.6

1. Exprese las siguientes proposiciones uti-lizando los smbolos matemticos y lgi-cos usuales:

(a) No es cierto que si el doble de cua-tro es diecisis entonces el cuadra-do de cuatro es treinta y dos.

(b) El cuadrado de menos tres es nuevey es mayor que siete.

(c) Dos es positivo o menos dos es po-sitivo; pero ninguno de los dos esmayor que diez.

(d) Existe un nmero entero mayor quedos.

(e) Existe un nmero natural cuyo cua-drado sumado con tres es uno.

(f) Todo nmero real cumple que l espositivo o su inverso aditivo es posi-tivo, excepto el cero.

(g) El cuadrado de todo nmero real esmayor que el triple del nmero.

(h) La suma de dos nmeros naturaleses mayor que cada uno de ellos.

(i) Todo nmero real es igual a s mis-mo.

(j) Existen nmeros enteros pares ynmeros enteros impares.

(k) Hay nmeros reales que son negati-vos y positivos a la vez.

(l) El cero no es ni positivo ni negativo.

(m) El cuadrado de un nmero real ne-gativo es un nmero real positivo.

(n) El uno es neutro del producto en elconjunto de los nmeros reales.

() Todo nmero real distinto de cerotiene un inverso multiplicativo real.

(o) El producto de dos nmeros enterosnegativos es negativo.

(p) Todo nmero real es positivo, nega-tivo o cero.

(q) Para todo nmero natural existe unnatural mayor.

(r) Si un nmero real es positivo, enton-ces su inverso multiplicativo es posi-tivo.

(s) No siempre la resta de dos nmerosnaturales es un nmero natural.

(t) No existe un nmero real negativoque sea mayor o igual que todo n-mero negativo.

(u) El cuadrado de la suma de dos n-meros reales es el cuadrado del pri-mero, ms el doble del producto delprimero por el segundo, ms el cua-drado del segundo.

(v) La raz cuadrada positiva de un n-mero real positivo es aquel nmeroreal positivo cuyo cuadrado es el n-mero dado.

(w) Dado cualquier nmero real existeotro nmero real cuyo cuadrado esel nmero inicial.

2. Exprese en el lenguaje natural las si-guientes proposiciones:

(a) x N(x > 3).(b) x N y N(x > y ).(c) x R(x > 3 x2 > 8).(d) x R(x + 0 = x).(e) x R(x > 0 y R(y2 = x)).(f) x N y N(x < y z R(x 2x x + y >2y ).

(j) x R(x = 0 y R(x y = 1)).(k) x R(x N y N(x + y = 0)).(l) x R(x > 2 x + 1 > 3).

(m) x R(x > 1 x < 8).(n) x R(x = 2 x = 3).() (2 < 0 x R(x < 0)).

3. Dadas las proposiciones:

p: dos es par,

q: dos es impar,

r: tres es par,

s: tres es impar.

(a) Exprese en smbolos:

1) O bien dos es par o bien dos esimpar.

2) Si dos no es par entonces treses par y dos es impar.

3) No slo dos no es par sino quetampoco es impar.

4) El que tres sea par equivale aque no sea impar.

(b) Exprese en el lenguaje natural:

1) ( p q).2) (r s).3) ((p r ) ( q s)).

4. Dados los siguientes predicados:

p(x) : x es par,

q(x) : x es impar,

r (x) : x es mayor que cinco,

s(x) : x es menor que diez.

(a) Exprese en smbolos:

1) Todo nmero entero es mayorque cinco.

2) Existen nmeros enteros paresmayores que cinco.

3) Existen nmeros enteros entrecinco y diez.

(b) Exprese en el lenguaje natural:

1) x N(p(x) q(x)).2) x N( r (x) s(x)).3) x N(s(x) r (x)).

5. Sea A un conjunto, a un objeto de A y una operacin binaria en A.

Exprese en smbolos:

(a) es una operacin conmutativa enA.

(b) es una operacin asociativa en A.(c) a es neutro de por la derecha.(d) a no es neutro de por la izquierda.(e) No todo elemento operado por

consigo mismo resulta el mismo ele-mento.

(f) Hay dos elementos de A que noconmutan por .

6. Exprese los siguientes enunciados deteoremas, usando smbolos:

(a) La suma de las medidas de los n-gulos interiores de un tringulo es180.

(b) En un tringulo rectngulo, el cua-drado de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de los cate-tos.

(c) El cuadrado de un binomio es igualal cuadrado del primer trmino msel doble del producto del primer tr-mino por el segundo ms el cuadra-do del segundo trmino.

7. A partir del predicado x + 5 = y , obten-ga tres proposiciones diferentes antepo-niendo cuanticadores e interprtelas enel lenguaje natural.

32 Captulo 1. Lenguaje Matemtico

8. Sean a y b nmeros enteros y considere-mos las siguientes proposiciones:

p : a > 0,

q : b < 0,

r : a2 > 0,

s : b2 > 0.

Exprese las siguientes proposiciones enel lenguaje natural y determine su valorde verdad, sabiendo que p, q, r y s sonverdaderas:

(a) (p p) (b) (p r )(c) (q s) (d) (s q)(e) ( p r ) (f) ( r r )(g) (r s) (h) p(i) (r p) (j) (s p)(k) (r p) (l) (s p)(ll) (r p) (m) ( s p)(n) (q r ) (o) ( r q s)

9. Decida si cada una de las siguientes pro-posiciones son verdaderas o falsas:

(a) (2 < 1 2 es impar).(b) (2 = 3 2 es par).(c) (2 > 0 3 > 1).(d) (2 > 0 3 < 1).(e) ((2 < 1 2 > 0) 2 es impar).(f) (2 < 1 (2 es impar 3 > 1)).(g) ((2 < 1 2 > 0) 2 es impar).(h) (2 > 1 (2 es impar 3 > 1)).

10. Sea A = {1, 2, 3}. Determine el valor deverdad de las siguientes proposiciones:

(a) x A(x = 0).(b) x A(x > 1 x = 2).

(c) x A(x > 2 x2 = 3).(d) x A(x 5).(e) x A y A(y > x).(f) x A y A(x y ).(g) x A y A(x + y = 3).(h) x A y A(x + y A).(i) x A(x + 1 A).

11. Use contraejemplos para demostrar quecada una de las siguientes proposicionesson falsas:

(a) x R(x > 5 x > 6).(b) x R(x > 5 x < 6).(c) x R(x = 5).(d) x R y R(x < y x = y ).(e) x R y R(x < y x + 1

y ).

12. Determine el valor de verdad de las si-guientes proposiciones:

(a) x R(x2 x).(b) x R(2x = x).(c) x R(5x > 4x).(d) x R(x3 x x).(e) x R(x2 0).(f) x R(x2 0).

13. Si A = {1, 2, 3, 4}, determine el valor deverdad de las siguientes proposiciones:

(a) x A (x + 3 < 6).(b) x A (2x2 + x = 15).(c) x A y A ((x2 + y ) es par).(d) x A y A ((x2 + y ) es par ).(e) y A x A ((x2 + y ) es par ).(f) x A y A ((x2 + y ) es impar).

14. Demuestre todas las verdades lgicas delos Teoremas 1.1, 1.2 y 1.3.

1.6. Ejercicios Propuestos 33

15. Demuestre que las siguientes proposicio-nes no son lgicamente verdaderas.

(a) ((p q) (p q)).(b) ((p q) (p q)).(c) ((p q) (p q)).

16. Encuentre un conjunto A y predicadosp(x) y q(x), tales que la proposicin da-da sea verdadera:

(a) x A(p(x) q(x)).(b) x A( p(x) q(x)).

17. Encuentre un conjunto A y predicadosp(x) y q(x), tales que la proposicin da-da sea falsa:

(a) x A(p(x) q(x)).(b) x A(p(x) q(x)).

18. Encuentre un conjunto A y predicadosp(x), q(x) y r (x) tales que los siguientespares de proposiciones sean verdaderas:

(a) x A (p(x) q(x)) y x Ap(x).

(b) x A ( p(x) q(x)) y x A (q(x) r (x)).

19. Demuestre que las siguientes proposicio-nes no son lgicamente verdaderas:

(a) (x A(p (q(x) r (x))) (x A(p q(x)) x A(p r (x)))).

(b) ((x A(x) x A(x)) x A ((x) (x))).

(c) (x A(x) x A ((x))).

20. Demuestre que las siguientes proposicio-nes son contradicciones:

(a) ((p q) ( p q)).(b) ((p q) (p q)).(c) ((p q) ( p q)).

(d) ((x A p(x) x A(p(x) q(x)))).

21. Demuestre sin usar tablas de verdad lassiguientes equivalencias donde es unaproposicin lgicamente verdadera:

(a) (p ) p(b) (p ) .(c) (p (q )) (p q).(d) (p (q )) .(e) ((p (q )) p.(f) (p (q )) (p q).

22. Demuestre sin usar tablas de verdad, quelas siguientes proposiciones son lgica-mente verdaderas:

(a) ((p q) (q p)).(b) ((p p) (p p)).(c) ((p (p q)) (p q)).

23. Demuestre sin usar tablas de verdad, quelas siguientes proposiciones son contra-dicciones:

(a) ((p q) (q p)).(b) ((p p) (p p)).(c) ((p q) (p q)).

24. Simplique las siguientes proposiciones,es decir, obtenga proposiciones equiva-lentes a las dadas pero de menor largo:

(a) ((q r ) q).(b) (p (q p)).(c) (((p (q p)) q).(d) (((p q) (p q)) q).(e) (p (p p)).

25. Exprese las siguientes proposicionesusando solamente los conectivos e :(a) (p q).(b) ((p q) p).(c) (p q).

34 Captulo 1. Lenguaje Matemtico

(d) ((p q) (p r )).26. Niegue las siguientes proposiciones:

(a) (p p).(b) (s q).(c) ( p r ).(d) ( r r ).(e) ( r q s).

27. Niegue las siguientes proposiciones:

(a) x A(x = 0).(b) x A(x > 1 x = 2).(c) x A(x > 2 x2 = 3).(d) x A(x 5).(e) x A y A (y > x).(f) x A y A (x y ).(g) x A y A (x + y = 3).(h) x A y A (x + y A).(i) x A (x + 1 A).

28. Niegue las siguientes proposiciones:

(a) x R y R(xy = 0 (x =0 y = 0)).

(b) (x R(x > 2) x R(x = 1)).(c) x A y A z A p(x , y , z).(d) x A y A(p(x , y ) q(y )).(e) x A p(x) x A q(x).(f) x N y N (x + y es par (x

es par y es par)).29. Demuestre que p es consecuencia lgica

de las premisas indicadas en cada uno delos siguientes casos:

(a) q, (p q).(b) (p q), (q r ), (p r ).(c) (p q r ), (q r ), (q r ), r .

30. Demuestre que p no es consecuencia l-gica de las premisas indicadas:

(a) q, (p q).(b) (p q), (q r ), (q r ).(c) (p q r ), (q r ), (p q).

31. Analice la validez de los siguientes argu-mentos:

(a) Si hoy es Martes entonces maanaes Mircoles. Pero hoy no es Mar-tes. Luego maana no es Mircoles.

(b) O bien hoy es Lunes o bien es Mar-tes. Pero hoy no es Lunes. Luegohoy es Martes.

32. Analice la validez de los siguientes argu-mentos:

(a) Todo hombre es mortal. Hay anima-les que son hombres. Luego, hayanimales que son mortales.

(b) Hay mujeres sabias. Hay profesorasmujeres. Luego hay profesoras sa-bias.

33. Hay tres hombres: Juan, Jos y Joaqun,cada uno de los cuales tiene 2 profesio-nes. Sus ocupaciones son las siguientes:chofer, comerciante, msico, pintor, jardi-nero y peluquero.

En base a la siguiente informacin, de-termine el par de profesiones que corres-ponde a cada hombre:

(a) El Chofer ofendi al msico rindo-se de su cabello largo.

(b) El msico y el jardinero solan ir apescar con Juan.

(c) El pintor compr al comerciante unlitro de leche.

(d) El chofer cortejaba a la hermana delpintor.

(e) Jos deba $ 1.000 al jardinero.

1.6. Ejercicios Propuestos 35

(f) Joaqun venci a Jos y al pintor ju-gando ajedrez.

34. Se tienen los siguientes datos acerca deun crimen:

(a) La asesina de la seora Laura fueuna de sus tres herederas: Mara,Marta o Mercedes.

(b) Si fue Mara, el asesinato sucediantes de media noche.

(c) Si el asesinato fue despus de lasdoce, no puede haber sido Marta.

(d) El asesinato fue despus de las do-ce.

Quin asesin a la seora Laura?

35. Considere el conectivo DOS (p,q, r ) cuyainterpretacin est dada por la siguientetabla:

p q r DOS(p,q, r )

V V V F

V V F V

V F V V

V F F F

F V V V

F V F F

F F V F

F F F F

Encuentre una proposicin equivalente aDOS(p,q, r ) que contenga los conectivosusuales.

36. La disyuncin excluyente entre p y q de-notada por: (p q) se interpreta por:(p q) es verdadera si y slo si p es ver-dadera o q es verdadera, pero ambas noambas.

(a) Construya una tabla de verdad para(p q).

(b) Demuestre que (p q) (p q) (p q).

(c) Demuestre que p (q r ) ((p q) (p r )).

37. Encuentre una proposicin que conten-ga las letras p, q y r cuya tabla de verdadsea:

p q r

V V V F

V V F F

V F V V

V F F V

F V V F

F V F F

F F V V

F F F V