Maestra en TelecomunicacionesJorge Mario Londoo P.

2010-09-02

Taller Prctico

1. Ubicacin ptima de un concentrador inalmbrico.Se tienen un conjunto de nodos N={...,ni,...}. Para cada nodo se conocen sus coordenadas en el plano: ni = (xi, yi).a. Formular el problema de encontrar la ubicacin ptima del concetrador tal que se maximiza la mnima potencia de recepcin en todos los nodos.b. Qu tipo de problema es? Siempre es factible? Es posible aplicar la condicin de 1er orden para encontrar el punto ptimo?c. Suponer un conjunto de puntos en el plano (usse un rea de 100m x 100m) y plantee la solucin numrica del problema.

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2. El problema de asociacin con uno de varios concentradores inalmbricos.Igual que con el problema anterior se tienen un conjunto de nodos N con posiciones dadas en el plano. Se dispone tambin de un conjunto de concentradores C dispuestos en posiciones fijas del plano. Cada concentrador utiliza un canal distinto (y sin overlap), de forma que no hay interferencia entre concentradores.a. Un nodo solo se puede asociar a un concentrador que se encuentre dentro de su radio de alcance R.b. Interesa minimizar la congestin en cada concetrador. Para simplificar el problema asumir que el trfico de cada nodo es constante e igual para todos los nodos. Dar la formulacin del problema.c. Que tipo de problema es? Siempre es fctible? d. Illustrar un ejemplo diponiendo 3 concentradores y 50 nodos dispuestos aleatoriamente en el plano de rea 100x100. Asumir el radio de alcance R=50m.e. El modelo propuesto esta muy simplificado: No hay interferencia, el modelo de propacin es simplemente una circunferencia de radio constante, se supone que todos los nodos manejan el mismo trfico. Proponer una extensin al problema para permitir levantar una de estas simplificaciones. Qu caractersticas tiene el problema resultante?

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3. Se dispone de un modelo econmico que propone que la siguiente relacin entre el costo de un servicio y el nmero de abonados:

donde a,k son parmetros del modelo (constantes conocidas previamente), x es el precio del servicio (e.g. el valor del impulso) y f(x) es el nmero de abonados que adquieren el servicio a un precio x.Los costos del operador son directamente proporcionales al nmero de abonados: c(x)=bf(x). Aqu, b es otra constante conocida. Los ingresos a su vez son proporcionales al nmero de abonados y al tiempo que utilizan el servicio (nmero de impulsos). Asumiendo que cada abonado tiene un consumo mensual constante ci, los ingresos netos son:

Las utilidades son la diferencia entre los ingresos y los costos:

a. Plantear el problema de determinar el precio del servicio x, que mximiza las utilidades del operador.b. Clasificar este problema. Si admite solucin analtica, elaborar.c. Asumir unos parametros razonables (a, k, b, ci) y plantear la solucin numrica del problema.

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4. El siguiente grafo ilustra una red con la respectivas capacidades de los enlaces.

a. Formular el problema de flujo mximo entre los nodos 1 y 7.b. Determinar el corte mnimo y el flujo mximo.c. Hallar el problema dual correspondiente y su solucin.d. Explicar el significado de las variables duales.

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2

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37

6

5

3 2

7 2

5

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5. En clase se cubri el problema de flujo mximo entre una sola fuente y un destino (single commodity maximum flow). Una versin mucho ms general del problema de gran importancia en la planeacin de redes es el problema de flujo mximo con muchas fuentes y muchos destinos (multicommodity maximum flow). En este caso se definen:

Un conjunto de K pares de nodos (i,j) tal que i desea enviar un flujo a j. (En otras palabras K flujos o commodities).

La tilizacin total del link (i,j) es la suma de los distintos flujos que comparten el enlace y debe ser menor o igual a la capacidad del enlace:

a. Como se deben ajustar las ecuaciones de balance de flujo para contabilizar correctamente el balance de cada uno de los flujos?b. Formular el problema de maximizar la suma de los K flujos.c. Formular el problema dual.d. Asumir una red pequea (5-10 nodos) con sus capacidades. Resolver el problema primal y su dual para esta red.

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6. Un operador ha recolectado estadsticas de utilizacin de su red a lo largo de un periodo de tiempo. Esta informacin la tiene organizada en la forma de una matriz de trfico T=[tij] donde cada componente tij representa el trfico medio entre el nodo i y el nodo j.El uso de la mayora de algoritmos de enrutamiento convencionales lleva al problema de que solo se permite una ruta entre i y j. Esto es un inconveniente porque un enlace compartido por muchas rutas se puede congestionar fcilmente.a. Plantear el problema de balancear la carga de la red, es decir, encontrar rutas para todos los flujos que minimize la congestin en los enlaces.b. Asumir una red de tamao moderado (10-20 nodos) y una matriz de trfico como entrada. Obtener la solucin para el problema.

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