Derivada de una función

“Aplicaciones de la

derivada primera”

Construyendo un Tablero……………. El equipo de fútbol de una escuela quiere hacer un

tablero de aglomerado rectangular

para colocar novedades y propuestas.

Dispone, para rodearlo, de 4 m. de varilla pintada con los colores del equipo,

y desea abarcar con ella la mayor superficie posible para pegar los carteles de sus anuncios.

¿Cuáles deberán ser la dimensiones del tablero para que esto suceda?

¿Cómo procedemos cuando no es posible analizar la función a partir

de su gráfica para optimizarla ?

En estos casos nos valdremos de lo aprendido hasta el momento y resolveremos la situación problemática mediante la aplicación de derivadas de primer y segundo orden. A éste procedimiento se lo conoce con el nombre de….….

Problemas de optimización

Hacemos un dibujo representando la situación problemática a resolver .

x

yTablero

Designamos con "x ", "y " las longitudes de los lados del rectángulo.

Planteamos la función que debemos maximizar o minimizar.

¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la función superficie del rectángulo?

S = x . y 2x + 2y = 4

Se debe maximizar la superficie “S” de un rectángulo

¡Muy bien!

Estás en condiciones de seguir

avanzando….

La función elegida 2x + 2y = 4 corresponde al perímetro del rectángulo

¿es la Función Perímetro la que deseamos

optimizar?

SI NO

Construyendo un Tablero……………. El equipo de fútbol de una escuela quiere hacer un

tablero de aglomerado rectangular

para colocar novedades y propuestas.

Dispone, para rodearlo, de 4 m. de varilla pintada con los colores del equipo,

y desea abarcar con ella la mayor superficie posible para pegar los carteles de sus anuncios.

¿Cuáles deberán ser la dimensiones del tablero para que esto suceda?

Tu respuesta no es correcta

Inténtalo de nuevo

No olvides que se desea obtener la máxima

superficie!!!

Planteamos una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

Como el perímetro del rectángulo debe ser 4 m., entonces la ecuación auxiliar es:

2x + 2y = 4 x + y = 2

Despejamos una variable de la ecuación

y = 2 – x

Sustituimos en la función a optimizar de modo que nos quede de una sola variable.

S = x . y = x . (2 – x)

S (x) = 2 x – x2

Determinamos el dominio de esta función.

¿Cuál es el Dominio de la función S?

x (0;2) x R

Muy Bien!!

continuemos….

Tu respuesta no es correcta

Inténtalo de nuevo

No olvides que el dominio

debe corresponderse con la

situación del problema

Obtenemos la primera derivada de la Función Superficie

S´ (x) = 2 – 2 x

Para determinar los valores críticos, y hallar los extremos locales, analizamos las dos

condiciones posibles:

x/S´ (x) = 0 x/no existe S´ (x)

Como pudiste comprobar, la función S´(x) está definida en el mismo Dominio que S(x), por lo tanto

existe ∀ x∈(0;2) y S´(x)=0 si x=1

En x=1 hay un punto crítico

¿Eres capaz de analizar si este valor es máximo o mínimo?

Al ser S(x) una función cuadrática, a partir de su gráfica en (0;2) podemos determinar cual es el valor máximo de la misma que se encuentra en la abscisa del vértice.

A partir del gráfico podemos observar que el máximo de S(x) se produce en x = 1, que es el vértice de la parábola, resultando S(1)= y = 1 , con lo que podemos decir que el tablero de mayor área es un cuadrado.

0 1 2 x

y

1S(x) = 2x- x2

continuemos….

Si usamos el criterio de la primera derivada podemos ver que:

para valores de x<1, la función S´(x) es positiva y entonces S(x) es creciente en el intervalo (0;1)

para valores de x>1, la función S´(x) es negativa y entonces S(x) es decreciente en el intervalo (1;2)

Ahora estás en condiciones de completar la siguiente oración seleccionando una opción……..

En x=1 hay un punto crítico, éste es un valor

Máximo Mínimo

Correcto!!!

Estás en condiciones de continuar….

Tu respuesta no es correcta

Inténtalo de nuevo

No olvides analizar que la

función crece hasta llegar a un

determinado valor y luego

comienza a decrecer

Si usamos el criterio de la segunda derivada podemos ver que:

si S´´<0, la función S(x) es cóncava hacia abajo

si S´´>0, la función S(x) es cóncava hacia arriba

Ahora estás en condiciones de completar la siguiente

oración seleccionando una opción……..

En x=1 hay un punto crítico, éste es un valor

Máximo Mínimo

Tu respuesta no es correcta

Inténtalo de nuevo

No olvides analizar que al ser una función

cóncava hacia arriba, seguro la función

crece hasta llegar a un determinado valor

y luego comienza a decrecer !!!

Muy Bien!!

S´´(x) = – 2 S´´(1

) =

– 2 < 0

x=1 es un valor

máximo!!!

Estás en condiciones de continuar….

Para tener en cuenta……• En caso que la función presente varios puntos

críticos, debemos evaluar la misma en cada uno de ellos.

• En caso que la función esté definida en un un intervalo cerrado, debemos evaluar la misma en los extremos del intervalo.

• Comparamos los valores obtenidos anteriormente y determinamos cuál verifica la condición planteada (de ser un valor máximo o mínimo de la función)

Verificamos que el valor obtenido cumpla con las condiciones dadas en el problema

Si x=1 entonces y=1.

Resolvimos el problema y estamos en condiciones de responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema

Las dimensiones del tablero rectangular que desean construir los jugadores de fútbol obteniendo la

mayor superficie y perímetro 4 m. resulta ser un cuadrado de lado 1.

Proponemos un problema para aplicar lo aprendido:

Se desea construir una pecera con forma de prisma de base cuadrada y

con una capacidad de 1 m3 de agua.

El vidrio con que se construirá cuesta $6 el m2.

¿Qué dimensiones de la pecera

hacen mínimo el costo?

Hacemos un dibujo representando la situación problemática a resolver .

Designamos con "x “las longitud de las aristas de la base y con "y " la longitud de la altura de la pecera.

x x

y

La función que se quiere minimizar es la función costo, y ella está directamente relacionada con la cantidad de vidrio

necesario para la construcción de la pecera.

¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la función superficie del rectángulo?

A = 4. x.y + x2 V = x2.y = 1

La función que se quiere minimizar es la función costo, y ella está directamente relacionada con la cantidad de vidrio

necesario para la construcción de la pecera

¡Muy bien!

Estás en condiciones de seguir

avanzando….

La función elegida corresponde al volumen de la pecera

¿es la Función Volumen la que deseamos optimizar?

SI NO

Construyendo una pecera muy económica…………. Se desea construir una pecera con forma

de prisma de base cuadrada y

con una capacidad de 1 m3 de agua.

El vidrio con que se construirá cuesta

$6 el m2.

¿Qué dimensiones de la pecera

hacen mínimo el costo?

Tu respuesta no es correcta

Inténtalo de nuevo

No olvides que se desea obtener el costo mínimo y éste

se relaciona con el área!!!

Planteamos una ecuación que relacione las distintas variables del problema:

Despejamos “y” de la ecuación del Volumen

y =

Sustituimos ahora en la función área :

A = 4. x. + x2

2x

1

2x

1

Resulta una función en una sóla variable:

A =

cuyo valor mínimo debemos encontrar.

¿Cuál es el Dominio de la función A(x)?

x >0 x R

2

3

x

x4

Muy Bien!!

continuemos….

Tu respuesta no es correcta

Inténtalo de nuevo

No olvides que el dominio

debe corresponderse con la

situación del problema

Obtenemos la primera derivada de la Función Area

Para determinar los valores críticos analizamos las dos condiciones posibles:

x/S´ (x) = 0 x/no existe S´ (x)

Te pedimos que realices las gráficas en excel para poder determinar los puntos críticos de

la función área

A’(x) =

23

x4-2x

Ir a Excel

Como pudiste comprobar, la función A´(x) está definida en el mismo Dominio que A(x), por lo tanto

existe ∀ x>0 y A´(x)=0 si x=

¿Eres capaz de analizar si este valor es máximo o mínimo?

Te proponemos que utilices los recursos aprendidos de Excel, puedes usar el que prefieras!!!!

A´´(x)A´(x)A(x)

3 2

Ahora estás en condiciones de completar la siguiente oración seleccionando una opción……..

Hay un punto crítico en x= y es un valor

Máximo Mínimo

3 2

Felicitaciones!!!

Lograste los objetivos

Estás en condiciones de continuar….

Inténtalo de nuevo

Analízalo nuevamente

Vemos, que al pasar por x = , la función cambia de decreciente a creciente, por lo tanto la misma presenta en x = un mínimo local.

Si x = , resulta y = 3 4

1

3 2

3 2

Por lo tanto las dimensiones de la pecera para que el costo de su construcción resulte mínimo son: m de arista de la base y m de altura.

3 2

3 2

3 4

1

HAS LOGRADO FINALIZARCON ÉXITO

LA PRIMERA CLASE