TALLER GRADO UNDÉCIMO

CÁLCULO

SUCESIONES

Una sucesión es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y su

codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números de diferente naturaleza,

también pueden ser figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es

denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos

ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe

confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un

mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión

puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un

subconjunto del mismo). Por ejemplo, la sucesión {1,2, 3} es una sucesión de números que

difiere de la sucesión {C, A, B}. En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual

a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: {2, 4, 6,

8…}.

NOTACIÓN: Se suele usar la notación { } para indicar una sucesión, donde hace

referencia al elemento de la sucesión en la posición n, llamado término general. El subíndice

indica el lugar que ocupa en dicha sucesión. Un ejemplo puede ser el de los números

positivos pares, denotando dicha sucesión por : { } { } entonces

En el caso de que los elementos de la sucesión queden determinados por una regla, se

puede especificar la sucesión haciendo referencia a la fórmula de un término arbitrario. En la

sucesión anterior { } puede especificarse mediante la fórmula { } . Es frecuente

encontrar sucesiones donde los subíndices que denoten posición inicien desde cero, en vez

desde uno, particularmente en matemática discreta o en ciencias de la computación.

También se puede usar una variable distinta a n para denotar el término general, cuando así

convenga para evitar confusión con otras variables.

Ejemplos: encuentre los términos de la siguiente sucesión. { } {

} Para encontrar los

términos de la sucesión solo hay que cambiar los valores de n por los números naturales y

realizar la operación indicada.

( )

El primer término de la sucesión.

( )

El segundo término de la sucesión.

( )

El tercer término de la sucesión.

Entonces la sucesión quedará así:

{ } {

}

Ejemplo 2: Encuentre los términos de la sucesión { } { } para encontrar los términos

de la sucesión solo basta cambiar la variable n por los números naturales, en ocasiones se

realiza el cambio en la secuencia misma así:

{ } { } { }

{ }

Ahora en ocasione se debe encontrar el término general, pero para hacer esto no existe un

método adecuado, sólo es encontrar la regularidad de la secuencia.

Ejemplo 3: Encuentre el término general de la siguiente sucesión { } { },

para encontrar el término n-esimo, solo se necesita buscar relaciones matemáticas (en las

operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíz, logaritmo, entre otras) para

determinar la regla que sigue la sucesión.

Como c1=1, la única forma es por medio de una resta o un exponente, sin embargo c2=8,

entonces descartamos la resta, pues los valores están muy lejos uno de otro, por lo que

necesariamente debe tener forma de potencia, ahora ensayamos con las potencias.

Si el exponente es 2 c2 no da el resultado, porque 22=4 y en nuestra sucesión es 8, entonces

miremos con el siguiente exponente 3, probando con cada número entero, nos daría 23=8,

ahora probamos con el siguiente 33=27, 43=64, por lo que encontramos la regularidad en la

sucesión entonces el termino general será n3. Quedando la sucesión así { } { }.

CLASES DE SUCESIONES:

•sucesión creciente

•suceciones convergentes (acotadas)

•suceción decreciente

suceción Monotonas

•sucesiones no acotadas

•sucesiones oscilantes

suceción Divergente

LIMITE DE UNA SUCESIÓN: Es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando n toma

valores muy grandes. Se representa mediante: y se lee límite cuando n tiende a

infinito de a sub n.

Este concepto está estrechamente ligado al de convergencia. Una sucesión de elementos de

un conjunto es convergente si y solo si en el mismo conjunto existe un elemento (al que se le

conoce como límite) al cual la sucesión se aproxima tanto como se desee a partir de un

momento dado. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y

que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que finalmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto

como queramos al valor límite.

Encontrar el límite de una sucesión acotada es revisar hacia el valor que tienden los términos

cada vez que n, se hace más y más grande. Por ejemplo: encuentre el límite de la siguiente

sucesión

.

Para encontrar el límite primero debemos determinar los valores de la sucesión y revisar

hacia el valor que se va acercando cada vez que n sea grande así:

{

} {

}

{ }

Si se observa la regularidad de la sucesión, se puede ver que entre más grande es el valor

de n, los términos de la sucesión se acercan cada vez más a cero (0), por lo que podemos

decir que el límite de la sucesión cuando n tiende a infinito de uno sobre n es igual a cero y

se expresa de la siguiente manera:

Por lo que podemos decir que el rango o codominio de la sucesión es el intervalo semi-

abierto a izquierda ( ]

PROPIEDADES DE SUCESIONES CONVERGENTES

Toda sucesión convergente tiende a un único valor, lo que se conoce como la unicidad

del límite.

Si todos los términos de una sucesión son iguales a un mismo valor, entonces el límite

es ese valor.

Si una sucesión { } tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los

términos de la sucesión son positivos.

Si una sucesión { } tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los

términos de la sucesión son negativos.

Si una sucesión { } converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de

cada uno de los términos de la sucesión.

Si una sucesión { } tiende a menos infinito y { } entonces

tiende a 0.

Si la sucesión (xn) tiene límite entonces es acotada.

Si una sucesión es monótona y acotada, entonces converge.

Si una sucesión no tiene límite entonces la sucesión diverge, es decir; que el límite no

se puede encontrar o que tiende a ± infinito.

ACTIVIDAD

1. Dada las siguientes sucesiones encuentre los términos pertenecientes a ella.

a. { } {( ) }

b. { } {

}

c. { } {

}

2. Escribe los términos de la sucesión que se piden.

a. Halle los 5 primeros términos de la sucesión {(

) }

b. Halle el término primero, quinto, décimo y décimo quinto de la sucesión { }

c. Halle el término sexto, décimo octavo y centésimo de la sucesión {

}

3. Completa los términos que faltan en las siguientes sucesiones

a. { }

b. { }

c. { }

4. Halla el término general de las siguientes sucesiones

a. {

}

b. { }

c. {

}

5. Encuentre el límite de las siguientes sucesiones.

a.

b. (

)

c.

ESTADÍSTICA

EVENTOS MUTUALMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir

simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia

del otro evento (o eventos). Por ejemplo cuando lanzamos una moneda los eventos posibles

son que al caer sea cara o sello, pero no pueden caer los dos al mismo tiempo, por lo que el

evento de (cara, sello) son mutualmente excluyentes.

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos.

Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea. Puede

ocurrir uno y después el otro, Por ejemplo cuando se lanzan dos dados al mismo tiempo y

revisamos si cae 6. Puede que en los dos salga los números (6,6) o que solo en uno de ellos,

en este caso el evento es no excluyente.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también

sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B) o P(A/B), y se lee «la

probabilidad de A dado B». A puede suceder después que B, sucederlo o pueden ocurrir

simultáneamente. A puede causar B o viceversa. Un ejemplo es el lanzamiento de una

moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad que en el dado salga un 6 dado

que ya haya salido una cara en la moneda? Esta probabilidad se denota de esta

manera: P(6|C).

( ⁄ ) ( )

( )

REGLAS DE PROBABILIDAD

Las reglas de probabilidad nos permiten determinar el nivel de ocurrencia de un evento sobre

todo cuando se tiene dos espacios muéstrales diferentes en el cual actúa un mismo evento o

suceso, estás reglas son:

REGLA DE LA ADICIÓN: Sean A y B dos sucesos definidos en el experimento E, cada uno

de los cuales puede presentarse o no cada vez que se realiza el experimento. Para este caso

se puede presentar uno o los dos sucesos al mismo tiempo. Nos interesa considerar el

suceso aparición de “al menos uno de ellos”, para calcular la probabilidad de ocurrencia se

determina por ( ) ( ), Es decir, el suceso se cumplirá si aparece A, si lo hace B o si

lo hacen ambos. Para calcular esta probabilidad se pueden presentar dos casos:

Que los eventos sean mutualmente excluyentes,

en este caso la probabilidad de ocurrencia de un

evento está dado por:

( ) ( ) ( )

Es decir; la probabilidad de ocurrencia es igual a

la suma de la probabilidad que ocurra el evento A

más la probabilidad que ocurra el evento B.

Ejemplo: cuando se lanzan dos dados determinar

la probabilidad de ocurrencia que salga el mismo

número o que la suma de ellos sea 9.

En este caso primero debemos tener el espacio muestral y determinar la probabilidad de

ocurrencia

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

De allí vemos que el espacio muestral S es de 36 eventos posibles, solo basta con

determinar la probabilidad del evento A (que en los dados salga el mismo número) y la

probabilidad del evento B (que la suma de los números sea nueve) así ( )

y

( )

.

Ahora la probabilidad de ocurrencia de los dos eventos es ( ) ( ) ( )

. Lo que indica que la probabilidad de que ocurra un nueve o que sean números

iguales al lanzar dos dados es de 27%.

Para el caso de los eventos no excluyentes, la

probabilidad de ocurrencia es igual a:

( ) ( ) ( ) (

Es decir la probabilidad de ocurrencia de los dos

eventos es igual a la suma de las probabilidades de

cada evento menos la probabilidad de ocurrencia de

que pasen los dos al mismo tiempo.

Por ejemplo: Al lanzar dos dados cual es la probabilidad de que salga un seis y que la suma

de estos sea 9.

Para este ejemplo utilizamos el mismo espacio muestral del ejemplo anterior, para ello

debemos determinar la probabilidad del evento A (salga un 6), la probabilidad del evento B

(que la suma sea nueve) y la probabilidad de ocurrencia de los dos eventos así:

( )

, ( )

ahora la probabilidad de ocurrencia de los dos en

este caso los eventos son = (6,3) y (3,6) entonces ( )

Por lo que la probabilidad de ocurrencia de los dos eventos es

( ) ( ) ( ) ( )

. Lo que indica la probabilidad

de ocurrencia de los dos eventos es de un 36%.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la

ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad de

calcula empleando la siguiente regla: ( ) ( ) ( ⁄ )

Por ejemplo: en el lanzamiento de los dos dados

verificar la probabilidad de que ocurra que la suma de

seis y que sean las cantidades iguales.

Para este caso el espacio muestral S es igual al de los

ejemplos anteriores, solo determinar la probabilidad de

los eventos A (que la suma sea 6) y el evento B que las

cantidades sean iguales, para ello tenemos para el

evento A ( )

, para el evento B ( )

, ya para

la probabilidad de A dado B se tiene ( ⁄ )

. Ahora la probabilidad de que ocurran

los dos eventos está dado por ( ) ( ) ( ⁄ )

. Lo que indica

que la probabilidad de que ocurran en simultaneo los dos eventos es de 2.7%.

ACTIVIDAD

Use las reglas de probabilidad para resolver las siguientes situaciones.

1. Se extrae una bola de una urna que contiene cuatro bolas rojas, cinco blancas y seis

negras.

¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?

¿Cuál es la probabilidad de que la bola no sea blanca?

2. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de

puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

3. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

Dos caras.

Dos sellos.

Una cara y un sello

4. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades

y

de suspender un

examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de

.

Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el

examen.

FÍSICA

ESTÁTICA

La estática es la rama de la física que analiza los cuerpos en reposo: fuerza, ímpetu/

momentun y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio estático, es

decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varían con el

tiempo. La primera ley de Newton implica que la fuerza neta y el par neto (también conocido

como momento de fuerza) de cada organismo en el sistema es igual a cero. De esta

limitación pueden derivarse cantidades como la carga o la presión. La red de fuerzas de igual

a cero se conoce como la primera condición de equilibrio, y el par neto igual a cero se

conoce como la segunda condición de equilibrio. Un cuerpo esta en reposo cuando su

velocidad es igual a cero y está en equilibrio cuando la aceleración es igual a cero.

∑

ELEMENTOS DE UNA FUERZA: La fuerza es una magnitud vectorial que mide la razón

de cambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas. Para que

exista una fuerza es necesaria la presencia de dos cuerpos que interactúen. Las fuerzas se

representan mediante vectores que indican una dirección y un sentido, definido por una

flecha en uno de sus extremos. Un vector tiene cuatro elementos: origen, dirección, sentido y

magnitud y a continuación se explica cada uno de estos elementos.

Punto de aplicación: Es el lugar del cuerpo donde se aplica la fuerza.

La Dirección: Esta queda señalada por la recta según la cual se manifiesta la fuerza.

El Sentido: Depende de hacía que lado se dirige la fuerza. En toda dirección hay 2

sentidos posibles y se representa mediante una flecha.

El Valor Absoluto o intensidad de la fuerza: Es la cantidad de fuerza (valor numérico o

intensidad) que se aplica en una dirección y sentido determinados. Se representa con

el tamaño del vector.

En la mayoría de los casos actúan más de una fuerza sobre un cuerpo, para ellos se realiza

el diagrama de fuerzas, si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero,

entonces se dice que el cuerpo está en equilibrio estático.

COMPOSICIÓN DE FUERZAS

Cuando sobre un cuerpo actúan más de una fuerza, la acción de todas ellas se puede

remplazar por una fuerza resultante que se obtiene “sumando” vectorialmente cada una de

ellas. Se pueden dar tres casos:

FUERZAS EN LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO: La fuerza resultante tiene la misma

dirección y sentido que las fuerzas componentes, y su módulo es la suma de los de ellas:

FUERZAS EN LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDOS CONTRARIOS: La fuerza resultante

tiene la misma dirección que las fuerzas componentes, su sentido es el de la mayor de ellas

y su módulo es la diferencia de los de ellas.

FUERZAS ÁNGULARES O CONCURRENTES: No tiene la misma dirección, y la resultante

que parte del punto de aplicación de las fuerzas coincide con la diagonal del paralelogramo

que forman dichas fuerzas y sus paralelas. Sí las fuerzas forman entre sí un ángulo de 90º la

fuerza resultante es la diagonal que coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Luego el módulo de esta resultante se calcula aplicando

el teorema de Pitágoras

√

Si las fuerzas que se aplican forman un ángulo diferente

a 90°, la fuerza resultante se obtiene aplicando la ley

del coseno

√

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

En multitud de ocasiones, para estudiar las fuerzas que actúan sobre un sistema nos resulta

muy útil la descomposición de alguna o algunas fuerzas, para después calcular la resultante

de todas ellas. Por ello se descompone en dos componentes una para el eje x y otra para el

eje y, entonces una fuerza , se descompone en dos

fuerzas .

Cada fuerza puede considerarse como resultado de la

suma de al menos dos fuerzas concurrentes. Entre las

posibilidades infinitas, la única pareja de fuerzas útil a

efectos prácticos es aquella que forma 90º y que, para

mayor comodidad, situaremos sobre un eje cartesiano:

Dado que se forma un triángulo rectángulo, las fuerzas

componentes se pueden obtener mediante:

Siendo el ángulo que forma la fuerza (F) a des componer la con el eje X del plano.

Cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo y la resultante de todas ellas es nula, se dice

que el cuerpo se encuentra en equilibrio.

Ejemplo: La resultante de dos fuerzas perpendiculares vale 80 N y forma un ángulo de 30º

con la horizontal. Calcular cada una de las fuerzas componentes.

Como conocemos la hipotenusa y un ángulo del triángulo y

debemos calcular los otros dos lados, utilizaremos la definición

de seno y coseno. Es decir:

( )

( )

R/ Las fuerzas componentes son 69.282N y 40N respectivamente.

ACTIVIDAD

1. Dos fuerzas de 8 y 6 N se aplican sobre un cuerpo. Calcula:

1. La fuerza resultante si actúan en la misma dirección y sentido.

2. La fuerza resultante si actúan en la misma dirección y sentidos opuestos.

3. La fuerza resultante en el caso de que ambas fuerzas formen un ángulo

recto.

2. Sobre un cuerpo se aplican 4 fuerzas tal como se indican en la figura siguiente:

Calcula el módulo, dirección y sentido de la resultante con su correspondiente figura.

3. Del plato que contiene una sabrosa tortilla de patatas tiran dos alumnos que acaban de salir del colegio a mediodía:

Uno de ellos lo hace en el sentido del eje de abscisas con una fuerza de

200N y el otro, en el sentido del eje de ordenadas para valores negativos, con una fuerza de 230N. ¿Cuánto vale la fuerza que la mantiene en

equilibrio (no se mueve)? ¿Cuál es su dirección? 4. Sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 10 N formando un ángulo de 30º con la

horizontal. Calcula el valor de dos fuerzas, una horizontal y otra vertical, cuyo efecto

conjunto sea equivalente al de la primera.

5. El módulo de una F es de 20 N. La componente de la fuerza sobre el eje X es de 16 N.

Entonces la componente sobre el eje Y vale

El presente trabajo tiene un plazo de entrega el 17 de Septiembre del 2020, recuerde que

para esa fecha encontraras el segundo taller de cálculo, estadística y física para este

periodo.

Podrás entregar el taller en el correo roromeron@ut.edu.co o al whatsaap 3152000438, como

también solicitar la asesoría pertinente.