SEMINARIO - 1

SUCESIONES

LIMITES DE SUCESIONES

SUCESION CONVERGENTE .- Sucesión que tiene límite , siendo dicho límite un nº Real. Se escribe:

LaLim nn

SUCESION DIVERGENTE .- Sucesión que tiene límite infinito ( + Se escribe:

n

naLim

SUCESION OSCILANTE - Sucesión que no es convergente ni divergente ( Sucesión que no tiene límite)

EJEMPLOS:

eConvergent ; 01

n

Limn

Divergente ; )1(

nLimn

Divergente ; )1( 2

nLimn

Oscilante ; Existe No )1(

n

nLim

Las propiedades de los límites son válidas para sucesiones convergentes y divergentes , con la observación de que seán ciertas , cuando tengan sentido matemático , es decir siempre que no se produzcan INDETERMINACIONES.

Las INDETERMINACIONES son:

1 ; 0 ; ; 0. ; 0

0 ; ; 00

Pero el hecho de que aparezca una indeterminación a la hora de calcular un límite no significa que no se pueda calcular dicho límite; sino que para dicho cálculo habrá que elegir otros procedimientos.

CALCULO DE LÍMITES . Ahora vamos a ver una serie de procedimientos que se pueden aplicar para el cálculo de limites . Estos procedimientos sirven para resolver las Indeterminaciones

qpsic

bqpsi

qpsi

cncnc

bnbnbLim

qqq

ppp

n

0

0

110

110 0

) ó(

....

....

Se trata de una indeterminacion de la forma . Para resolverla se distinguen 3 casos , según sean los grados de los polinomios del numerador y denominador:

EJEMPLOS

2

1

132

24

132

24

024

132

3

3

2

3

3

2

nn

nnLim

nn

nnLim

nn

nnLim

n

n

n

EXPRESIONES IRRACIONALES :

BA :Forma

Se multiplica y divide la expresión inicial por su expresion “conjugada” BA

)A()A(

)()(

)A(

)A().A(

22

B

BA

B

BA

B

BB

111

222

obtiene) se , npor r denominadoy numerador dividiendo(

2

22

nnn

nnn

Lim

n

nn

n

nn

n

n

Lim

nnnn

nLim

nnnn

nnnnLim

nnnn

nnnnLim

nnnn

nnnnLim

nnnn

nnnnnnnnLim

nnnnLim

nn

nnn

nn

n

LISTA DE INFINITOS EQUIVALENTES

)( 2 Entonces Si )

. )...( Entonces Si )

... Entonces Si )1

10

01

10

StirlingFórmula Deπnn en!nC

LognpbnbnbLognB

nbbnbnbnA

n-n

ppp

pp

pp

LISTA DE INFINITESIMOS EQUIVALENTES

n-aLn(aaSiG

naaLn(aSiF

na

)Cos(aaSiE

na)(aArcaSiD

na)(aArcaSiC

naaTgaSiB

naaSenaSiA

nnn

nnn

nnn

nnn

nnn

nnn

nnn

Cuando , 1) , entonces , 1 )

Cuando , )1 , entonces , 0 )

Cuando , 2

1 , entonces , 0 )

Cuando , tg , entonces , 0 )

Cuando , sen , entonces , 0 )

Cuando , )( , entonces , 0 )

Cuando , )( , entonces , 0 )

2

INDETERMINACION 1

El limite es siempre de la forma ek y para calcular el valor de k se utiliza la fórmula:

k = lim EXP*(BASE - 1)

4

32

: SOL 41

64

1

232

1

)1(3321

1

332)1(

11

3

en

nLim

nnLim

n

nnnLim

n

nnLimBaseExpLimk

en

nLim

nn

nnn

kn

n

INDETERMINACIONES y

El limite es siempre de la forma ek y para calcular el valor de k se utiliza la fórmula:

k = lim EXP*(LnBASE)

2

44

0)(21

1

4

:SOL 22

4

)(21

)(4

)(21

)32()32(

)(21

1

)32(

enLn

nLnLim

nLn

nLnLimnLn

nLnLimk

enLim

n

nn

knLn

n

CRIETERIO de STOLZ

¡b ¡ b

limanbn

= liman+1 ¡ anbn+1 ¡ bn

NOTA: an+1 se obtiene sustituyendo en la fórmula de an la “n” por “n+1”

11111

221

2

1321 entonces 321

2131 entonces 23

nnnnn

nnnnn

nn

)(n.... bn....Si b

nn )(n)(nannaSi

CALCULAR:

2

1

12

22

122

)1(1

1)(1)1(

1...3121)1(11...3121

)(1

1...3121

______________________________________

03

2

3

2

)3...93()33...93(

)2...42()22...42( (stolz)

3...93

2...42

2

22

2

22

2222222

2

222

1

1

1

1

1

n

nnLim

nnn

nLim

nn

nnnLim

Stolzn

nLim

LimLim

LimLim

nn

n

n

n

nn

n

n

nnn

nnn

nn

n

n

CRITERIO DE LA RAIZ

Si an es una sucesión de terminos positivos tales que la

sucesión an+1 / an es convergente entonces:

n

n

n

nn

n a

aa LimLim 1

11

) .(

n

nRaizCritn LimLim

n

n

n

EJ:

CRITERIO DEL SANDWICH

Si an , bn y cn son tres sucesiones que satisfacen:

an bn cn

Si lim an =lim cn=L, entonces existe el lim bn y vale L

11

....2

1

1

1

el entonces , 11

como

1

1n.

1....

2

1

1

11n. : Tiene

1....

2

1

1

1

222

22

22222

222

nnnnLim

n

nLim

nn

nLimy

nnnnnnnSe

nnnnLim

n

nn

n