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Ingreso por Artículo 7°

(Ley Nacional de Educación Superior N° 24.521/995)

Taller de Resolución de

Problemas

AÑO 2015

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Palabras de bienvenida

Quienes integramos la comunidad académica de la Universidad Nacional de José C. Paz les damos

la bienvenida.

La UNPAZ es una de las Universidades públicas conocidas como “del bicentenario de la Patria”,

precisamente por haber sido fundada por el Gobierno Nacional en el 2010, como parte de un proceso de

reparación histórica de la desigualdad de oportunidades en nuestro país. Nos encontramos en un proceso

de construcción de las actividades académicas, de docencia, investigación científica e interacción con la

sociedad de la cual nos nutrimos.

Los objetivos que nos proponemos son colaborar con ustedes en la recuperación y actualización de

los conocimientos adquiridos, tanto en su paso anterior por el sistema educativo como en su experiencia

laboral y de vida, de forma tal que estos saberes se potencien para facilitar el acceso a los educativos

universitarios.

Como ustedes saben, inician un curso de apoyo en Resolución de Problemas, Lecto- escritura y Tic

porque consideramos que son fundamentales para sus estudios universitarios. De acuerdo con el artículo

7° de la Ley Universitaria, al finalizar el curso realizarán una evaluación que deberán aprobar para acceder

el Ciclo de Inicio de la Trayectoria Universitaria.

Para la Universidad es de enorme valor contar con el aporte de sus experiencias y conocimientos,

construidos a los largo de sus trayectorias personales y confiamos en nuestra capacidad para

acompañarlos en el inicio de esta etapa de sus vidas y en su empeño y voluntad para realizarla.

Por todo ello, como institución educativa pública y gratuita, dependiente del Estado Nacional,

esperamos confiadamente que sus expectativas de formación personal, profesional y proyección social y

comunitaria encuentren en la UNPAZ el eco necesario a estas inquietudes. Los invitamos a sumarse a

esta obra de todos y reiteramos nuestros mejores deseos de bienvenida.

Secretaria Académica

Dirección de Inclusión Socio- Educativa

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Estimado Participante del Taller para Mayores de 25 años:

Te damos la bienvenida a la Universidad Nacional de José Clemente Paz y te felicitamos por tu

decisión.

Lo primero que podés llegar a pensar es que todo es muy difícil. Esto provoca miedo e

inseguridades: a los obstáculos, al tiempo que pasó desde que abandonaste los estudios, a no entender o

saber.Nacen preguntas que no siempre tienen respuestas, son interrogantes que surgen en estos

momentos: ¿tendré la capacidad necesaria?, ¿podré adaptarme a la vida universitaria?, ¿podré estudiar

y trabajar a la vez?

La vida no puede ser planificada y pensar que no habrá cambios, idas y vueltas. Muchas veces

habrá momentos que exijan tomar decisiones, plantearse y replantearse metas, asumir

responsabilidades.

La cuestión no es negar esto que sentís, sino enfrentarlo, no permitir que te haga abandonar: hay

que aceptar los desafíos. ¿Puede costar? Sí; pero sin lucha y sin esfuerzo, ¿cómo se sabe que no se puede

lograr lo que queremos?

Seguramente, vayan a presentarse obstáculos: que no entiendas (¿no comprendo esto o nunca

voy a hacerlo?), que no sepas cómo resolverlo. Si aparece este temor, pensá que no sos el único al que le

pasa, le ocurrió o le sucederá. Este taller, la relectura y la ejercitación te van a ayudar. No hay que

abandonar ante el primer inconveniente.

Paulo Freire, educador, pedagogo y filósofo brasileño, escribió “Cartas a quien pretende

enseñar”. Allí él declara: “Estudiar es un quehacer exigente en cuyo proceso se da una sucesión de dolor

y placer, de sensación de victoria, de derrota, de dudas y alegría”.

Con la intención de ayudarlos a transitar esta etapa y de acompañarlos, los invitamos a conocer y

utilizar este cuadernillo, verlo como una oportunidad para pensar, apropiarse de algunos conocimientos

que creemos que son básicos para dar estos pasos.

Va a ser importante en el recorrido de este taller tu asistencia, tu constancia, tu participación y

compromiso;sentirte protagonista, poniendo en movimiento la voluntad y el deseo de crecer para

superar los inconvenientes. Nos proponemos acompañarte, trabajar juntos en las competencias y

herramientas que son la base para un proceso de aprendizaje. Ante los fracasos o amenazas hay que

pedir ayuda, consultar, compartir las dudas o temores, formar grupos de lectura, de trabajo, de estudio.

Y, por sobre todo, querer lo que se hace.

Equipo Docente del Área de Mayores de 25 – Artículo 7°

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CCOONNJJUUNNTTOOSS NNUUMMÉÉRRIICCOOSS

PARA QUÉ SIRVEN LOS NÚMEROS

El saber matemático y el potencial de cálculo de las civilizaciones forman parte de su historia. Los conocimientos matemáticos forjados a través de los siglos repercuten en avances científicos y tecnológicos de apreciable impacto. Sin embargo, y a pesar del carácter universal inherente a las matemáticas, no es extraño que se soslaye el papel de esta ciencia en la historia del pensamiento humano. Carentes inexplicablemente de todo eco social, los logros matemáticos persisten veladamente y no suelen contabilizarse en el haber de los pueblos. A lo sumo, se adscriben a ciertas minorías que tomaron gusto a lo difícil. Pero, bien pensado, conocer con precisión el movimiento de los astros, lanzar proyectiles, diseñar sistemas de votación ponderados, elaborar modelos de virus, son actividades humanas que requieren el ineludible concurso de las matemáticas. La llamada sociedad de la información conlleva asimismo el uso de herramientas matemáticas específicas. En las últimas décadas, las nuevas tecnologías se han afianzado en todos los ámbitos: comercio, administración, ciencias, medicina, ciencias sociales.

Continuamente, los medios de comunicación ponen a nuestro alcance noticias relativas a tecnología digital, televisión digital, radio digital. Para bien o para mal, las tecnologías digitales inciden apreciablemente en los mercados financieros, por lo que pocos escapan a su influencia.

Dado que digital es un adjetivo derivado del sustantivo latino digitus (dedo) y que la primera calculadora usada por el Homo sapiens han sido los dedos de la mano, la mera presencia de este término transluce un componente matemático. Desde sus inicios la humanidad ha tenido necesidad de utilizar las matemáticas para contar, intercambiar productos, hacer operaciones con magnitudes y cantidades, relacionar y comparar elementos y sobre todo, resolver problemas de su vida diaria.

Los números son símbolos que utilizamos en todas esas actividades, y no creemos que haya sobre la tierra una tribu de seres humanos, por más primitiva que sea, que no tenga alguna noción del número.

Pilar Bayer Isant - Real Academia de Ciencias

CON QUÉ TIPOS DE NÚMEROS NOS ENCONTRAMOS

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Conjunto de Números Conjunto Conjunto Naturales Primos Naturales (N) de de

Números Números

Naturales Compuestos 0 Enteros (Z) Racionales

Enteros Negativos (Q)

Fracciones

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ACTIVIDAD Nº 1

1) Un comerciante compra 12 cajas de 84 lapiceras cada una y paga $20.160 por la compra. Si vende todas las lapiceras y obtiene $5040 de ganancia.¿A qué precio vendió cada una?

2) Si tengo 188 facturas. ¿Cuántas se deben agregar como mínimo para darle a 15 chicos la misma cantidad sin que sobre ninguna?

3) En un teatro están planificando reformas. La sala tiene 16 filas de 28 butacas cada una.

a) ¿Cuántas localidades tiene el teatro?

b) Los arquitectos quieren que haya 32 butacas en cada fila. ¿Cuántas filas deberán colocar si quieren mantener la misma cantidad de localidades?

c) Si quisieran colocar 30 butacas en cada fila, ¿sería posible encontrar una cantidad de filas que permita mantener el total de asientos que tiene en la actualidad?

d) Finalmente deciden que cuando el nuevo escenario se termine, se va a duplicar la cantidad de butacas en cada fila y la cantidad de filas. ¿Es cierto que el nuevo teatro va a tener entonces el doble de butacas que antes de las reformas?

4) Para un cumpleaños deben comprarse 165 hamburguesas.

a) ¿Cuántas cajas de 12 hamburguesas se necesitan?

b) ¿Cuántas hamburguesas sobran?

5) Una colección de estampillas se guarda en álbumes con capacidad para 120 estampillas cada uno.

a) ¿Cuántos de esos álbumes son necesarios para guardar 955 estampillas? ¿Todos los álbumes van a estar completos?

b) ¿Cuántas estampillas más se pueden guardar con esa cantidad de álbumes?

ACTIVIDAD N°2

1) Con las fechas que a continuación te damos, te pedimos que escribas a que siglo y año en correspondencia con un número entero se relaciona cada una, para ello, ya te damos un ejemplo:

Orden Acontecimiento Siglo Año

1 Tales de Mileto murió en el año 548 a de C VI a. de C

2 Pitágoras de Samos Nació en el año 570 a de C -570

3 Aristóteles nace en el año 384 a de C

4 Platón nace en el año 427 a de c

5 Inicio de la Guerra Fría: año 1947

6 Inicio Guerra de los Cien Años: año 1337

7 Caída del Imperio Romano de Occidente: año 476

8 Fin del Imperio Azteca: año 1521

9 Llegada de colón a América: año 1492

10 España sale campeón Mundial de Fútbol: año 2010

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2) El capitán de un submarino indica su posición: - 458m. Quien comanda la nave recibe las siguientes órdenes sucesivas del capitán: elevarse 28m; descender 48m, elevarse 155m.

a) ¿Cuál es la profundidad cuando ha cumplido todas las órdenes?

b) ¿Está a mayor o menor profundidad que al principio?

3) Mariano tenía 193 figuritas repetidas y decidió regalárselas a sus amigos de modo equitativo. A cada uno le dio 24 figuritas

a) ¿Entre cuántos amigos las repartió?

b) ¿Él, se quedó con algunas que no pudo repartir?

4) Guillermina, amiga de Mariano, decidió hacer lo mismo. Le dio 21 figuritas a cada uno de sus 5 amigos y se quedó con las que no le alcanzaba para repartir entre todos.¿Cuántas figuritas crees que tenía Guillermina? ¿Con cuántas se quedó?

5) ¿Cuántos números de dos cifras distintas podremos armar con los números 3, 5 y 7? ¿Y si fueran 3, 5, 7 y 9?

ACTIVIDAD PARA EJERCITAR

6) Clarisa tiene 2 nietas, Margarita y Paloma. Margarita la visita cada 6 días y Paloma cada 10 días. ¿Cada cuántos días se encuentran las primas en la casa de la abuela?

7) Juan debe tomar tres medicamentos, el medicamento A cada 6hs, el medicamento B cada 8hs y el medicamento C cada 12hs. Si comienza tomando los tres medicamentos a las 8hs del día martes. ¿En qué momento vuelven a coincidir la toma de los tres medicamentos?

8) Carlos tiene menos de 200 libros. Si los acomoda de a 2, sobra 1; si los acomoda de a 3, sobran 2 libros; si los acomoda de a 4, sobran 3 libros y logra acomodarlos de a 5 sin que le sobren ninguno. ¿Cuántos libros tiene exactamente? Escribe todas las posibilidades.

9) En un curso hay 24 varones y 15 mujeres. En el laboratorio hay 4 mesas para el trabajo experimental donde entran 10 personas como máximo en cada una.

a) ¿Es posible que en todas las mesas haya la misma cantidad de personas?

b) ¿Es posible que en todas las mesas se ubique la misma cantidad de varones?¿Y de mujeres?

c) ¿Es posible ubicar a todos separando mujeres y varones?

d) Propone dos formas diferentes de ubicación, con la condición de que no quede una mujer sola o un varón solo por mesa.-

10) En un álbum se pueden pegar 12 figuritas por página. Agustina tiene una cantidad de páginas completas y una página donde pegó sólo 3.

a) ¿Cuál o cuáles de las siguientes cantidades de figuritas puede tener?

1) 24 2) 33 3) 39 4) 63 5) 120 6) 112 7) 123

b) Escribí en cada caso la cantidad de páginas completas que tendría.

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ANEXO I

ALGO DE FRACCIONES PARA LEER

Los números racionales son aquellos que expresan el cociente entre dos números enteros. La noción de racional proviene de ración (que significa “parte de un todo”)

La forma de expresar números racionales es por medio de una línea llamada “línea fraccionaria” y ésta indica una división.

a Numerador

b Denominador

Otra manera de expresar un número racional además de la fraccionaria, es su equivalente en forma decimal, el mismo lo obtenemos dividiendo numerador por denominador de la fracción dada.

El denominador de una fracción se refiere al número de partes iguales en las que se ha dividido un todo, mientras que el numerador se refiere al número de estas partes que nosotros tomamos.

Las fracciones pueden ser propias (numerador menor que el denominador), impropias (numerador mayor que el denominador) o aparentes (numerador y denominador iguales).

Es frecuente utilizar cuando trabajamos con fracciones, la fracción equivalente. Una fracción se llama equivalente cuando representa el mismo número.

Veamos el siguiente ejemplo:

Tenemos barras de chocolate como te mostramos a continuación:

4/8 2/4 1/2

Podemos observar que de la misma barra se ha tomado la misma cantidad, ellas están expresadas de formas diferentes, pero representan el mismo número.

¿Cómo se hace para pasar de uno a otro? La respuesta está en buscar fracciones equivalentes!!!!!

¿CÓMO OBTENEMOS FRACCIONES EQUIVALENTES?

Si se multiplica el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, distinto de cero, se obtiene una fracción equivalente a la dada:

a/b = a . n / b . n => 4/5 = 4 . 7 / 5. 7 = 28/35

Si se divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente a la dada:

a/b = a : n / b : n => 6/24 = 6 : 6 / 24: 6 = 1/4

Las fracciones impropias y los números mixtos son usados en casos en que tenemos uno o más enteros y una fracción. Consideremos el caso en que tenemos 3 y 2/3 de un chocolate.

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Una interpretación sería:

Esto representaría el número mixto 3 2/3

La otra opción o forma de interpretar es como 11 pedazos donde cada pedazo es 1/3

Representa de esta manera el número racional fraccionario 11/3

¿CÓMO PODEMOS INTERPRETAR UNA FRACCIÓN?

LA FRACCIÓN COMO PARTE DE LA UNIDAD

El todo se toma como la unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo.

Ejemplo:

Se tiene un depósito que contiene 2/3 de combustible.

El todo es el depósito 2/3

La unidad equivale a 3/3 en este caso

LA FRACCIÓN COMO COCIENTE

Repartir $ 4 entre 5 amigos. Esto podemos escribirlo de la siguiente manera: 4/5 o su expresión decimal 0,8

LA FRACCIÓN COMO OPERADOR

Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo dividimos por el denominador.

Calcular 2/3 de $ 60

2. $ 60 = $ 120

$120: 3 = $ 40

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LA FRACCIÓN COMO RAZÓN O PROPORCIÓN

Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razón. Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en la universidad es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas. Es decir, que cada 5 estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas.

LA FRACCIÓN COMO PORCENTAJE

Un caso particular de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que estos no son más que la relación de proporciones que se establecen entre:

Un número y 100 Tanto por ciento

Un número y 1000 Tanto por mil

Ejemplo:

Luis compra una camisa por $350, le hacen un descuento del 10%. ¿Cuánto pagará por la camisa?

$350. 10 = $3500

$3500:100=$35

$350 - $35= $315

LA FRACCIÓN COMO PROBABILIDAD

Ejemplo:

Si en una bolsa hay 5 bolillas rojas y quince bolillas azules. ¿Cuál es la probabilidad de extraer, sin mirar, una bolilla roja?

La respuesta es 5/20

Podemos decir también 1/4 o 6/24

En realidad son respuestas legítimas ya que ellas representan el mismo número:5/20= 1/4= 6/24= 0.25

No obstante, ¿Conservan todos ellos el sentido de la pregunta planteada? 5/20 indica que 5 bolillas de las 20 de la bolsa son rojas. 1/4 indica que la cuarta parte de las bolillas de la bolsa son rojas, pero ¿Cómo interpretar 6/24, aunque numéricamente sea una respuesta tan adecuada como las anteriores?

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ACTIVIDAD N°3

1) Escribe la fracción que corresponde a estas expresiones:

a) Alba ha resuelto bien 4 de los 5 ejercicios del examen.

b) El 15% de los habitantes de una ciudad son inmigrantes.

c) La octava parte de los 96 participantes de una maratón no terminó la prueba.

d) En una empresa, 8 de cada 10 empleados llegan puntualmente al trabajo.

e) Qué fracción de la hora representan: 15minutos; 40minutos; 25minutos; 28minutos.

2) Para los ítems a, b, d y e del ejercicio anterior, expresa cada fracción en su forma decimal.

ACTIVIDAD N°4

1) Un libro de 300 hojas tiene 60 hojas rotas. ¿Qué fracción del total representas las hojas rotas?

2) Una persona destina mensualmente una cuarta parte de su sueldo para alquiler, una tercera parte para alimentarse y una quinta para divertirse. ¿Le alcanzará el sueldo si quiere destinar también una quinta parte para ropa?

3) Susana y Cristina recorren 2/5 de un camino y luego 1/4 del mismo. ¿Qué parte del camino les falta recorrer?

4) Esteban tiene que rendir un examen. Para estudiar se organizó de la siguiente manera: el primer día estudió la 1/8 parte del material y el segundo día, la mitad. ¿Cuánto le falta estudiar?

5) La sexta parte de los estudiantes de una escuela secundaria de la ciudad de Bella Vista equivalen a 100. ¿Cuántos alumnos tienen la escuela?

6) Don Francisco analiza los gastos que tiene en su edificio donde vive, en la ciudad de Muñiz. Calcula que, aproximadamente, la recaudación del mes se repartió así: 1/16 en seguros, 3/16 en servicios (luz, gas, impuestos), 4/32 en mantenimiento del edificio y 3/8 en parquización. a) ¿Qué fracción se gastó en total?

b) ¿Qué parte queda para gastos extras?

c) Si los gastos fueran cubiertos con $15.000. ¿Cuánto corresponde a cada rubro?¿Cuánto sobra?

d) Exprese el resultado de los ítems a y b en porcentaje.

7) Sergio Recorre en bicicleta los 7/9 del trayecto de una prueba deportiva. Si aún le faltan por recorrer 18Km. ¿Cuántos km tiene la carretera?

8) Un padre reparte entre sus hijos $18000. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el menor?

9) He gastado las tres cuartas partes de mi dinero y me quedan $900. ¿Cuánto dinero tenía?

10) Una familia dispone de un terreno para la siembra. Deciden que 174 del terreno será destinado a la siembra de maíz; 2/5 a la siembra de papas y los 3/20 para sembrar verduras. Responde:

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a) ¿Qué parte del terreno sembró?

b) ¿Qué porcentaje representa?

c) ¿Qué parte del terreno quedó sin sembrar? Escríbelo en fracción y en forma de porcentaje.

d) Si el terreno es rectangular y sus medidas son 12m de frente por 30m de largo, ¿Qué superficie se destina a cada una de las siembras y que superficie queda libre?

11) Por la compra de un LCD en $13.000 se ha pagado1/4 al contado y el resto en 6 cuotas de igual valor. ¿Cuál será el valor de cada cuota?

12) Es lo mismo dividir un chocolate rectangular en 20 partes iguales y comer 13 de esas partes, que, comer el 65% de ese chocolate?

13) Compro 40 alfajores triples para repartir entre los alumnos de un curso, 15 son de dulce de leche, 12 de chocolate blanco y el resto de fruta.

a) ¿Qué fracción corresponde a los alfajores de fruta?

b) Escribe el porcentaje correspondiente a los gustos de cada alfajor.

14)

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AANNEEXXOO IIII

PARA LEER ACERCA DE PROPORCIONALIDAD

Al abordar este tema debemos tener en cuenta algunos conceptos.

MAGNITUD: Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.

La longitud del lado de un cuadrado.

La capacidad de una botella de agua.

El número de goles marcados en un partido.

El número de goles marcados por el equipo de River.

La proporcionalidad juega un rol formativo y transversal en la construcción del pensamiento matemático de los estudiantes y de los ciudadanos en un sentido amplio. Este hecho amerita comenzar con una clave diferenciación entre nociones.

Fracción Razón Proporción Proporcionalidad

Si bien son todas ellas afines, su significación y esencia tienen diferencias significativas entre sí, y su destrucción permitirá “un acercamiento” a los usos y la razón de ser de la proporcionalidad.

Fracción: Es la expresión del cociente entre dos números enteros donde el denominador debe ser distinto de cero.

Razón: Es el cociente entre dos números o dos cantidades comparadas entre sí, expresados como fracción

a Antecedente

b Consecuente

Ejemplo: La razón entre 10 y 2 es 5, ya que 10 5

2

La razón entre 0,15 y 0,30 es 0,5, ya que 0,15 0,5

0,30

Proporción: Cuando nos presentan dos razones para ser comparadas entre si, para ver como se comportan entre ellas, estamos hablando de una proporción numérica. Entonces, a, b, c y d forman proporción si la razón entre ay b es igual a la razón entre c y d. Es decir

a c b y d ≠ 0

b d

a y d reciben el nombre de extremos , mientras que b y c son los medios.

a c K y K = Constante de proporcionalidad

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b d

Ejemplo:

Los números 2, 5,8, 20 forman proporción ya que la razón entre: 2 8

5 20

Y la constante K=0,4

Los números 40, 20,90, 45 forman proporción ya que la razón entre: 40 90

20 45

Y la constante K=2

Propiedad de las proporciones

En toda proporción, el producto de los medios es igual al de los extremos.

Teniendo en cuenta la proporción arriba mencionada, tendremos al aplicar la propiedad: a . d = b . c

Aplicando la propiedad a los ejemplos arriba citados

2 8 2. 20 = 5. 8 = 40 40 90 40. 45 = 20. 90 = 1800

5 20 20 45

Supongamos ahora, que vamos al cine y vemos 8 personas en la cola de la boletería para comprar las entradas. Si vienen más personas, la cola se hará más larga, en cambio si hubiera pocas personas, la cola se hará más pequeña. En consecuencia, la longitud de la cola y el número de personas dependen entre sí, es decir, están relacionadas. Cuando una cosa depende de la otra, decimos que las dos cosas están relacionadas.

Ahora bien, el número de personas que hay en la cola del cine y el número de coches que circula en ese momento por la calle frente a la entrada del cine no están relacionadas, ni dependen una de la otra. Se dice que esas cantidades son independientes.

ACTIVIDAD N° 5

Indicar en cada caso si las cantidades se relacionan o son independientes

a) Las horas que trabajo y el dinero que percibo son cantidades…… Relacionan Independientes

b) El número de ruedas de un camión y su velocidad son…………… Relacionan Independientes

c) El peso y la cantidad de agua son…………………………………….Relacionan Independientes

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d) La altura de un hombre y su inteligencia son…………………….… Relacionan Independientes

e) El color de un coche y su velocidad máxima son……………….… Relacionan Independientes

f) La velocidad del tren y lo que tarde en ir de una ciudad a otra… Relacionan Independientes

PARA TENER EN CUENTA:

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

Una aumenta y la otra también

Una disminuye y la otra también

Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales:

a) El peso de un producto y su precio

b) El espacio recorrido y el tiempo empleado

c) El volumen de un cuerpo y su peso

d) La longitud de los lados de un cuadrado y su perímetro

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:

Una aumenta y la otra disminuye

Una disminuye y la otra aumenta

Ejemplo de magnitudes inversamente proporcionales:

a) La velocidad y el tiempo

b) Cantidad de canillas que desagotan una pileta y el tiempo

ACTIVIDAD N° 6

Indicar si alguna de estas magnitudes son directa o inversamente proporcionales o ninguna de las dos:

DIR. INV. No

El precio de un libro y el número de páginas

El peso de una torta y su precio

La velocidad de un automóvil y el tiempo que tarde en llegar desde una ciudad a otra

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La base y la altura de un rectángulo de igual superficie

La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto en dinero fumando

El número de cuaderno que compro y lo que tengo que pagar

ACTIVIDAD N° 7

Leer el enunciado y a completar la tabla

Un saco de papas pesa 20kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de papas pesa 520kg ¿Cuántos sacos de 20kg se podrán hacer?

Las magnitudes n° de sacos y peso en kg son magnitudes ______________________ proporcionales y en consecuencia la constante de proporcionalidad k= ___ y se obtiene ____________________ las magnitudes.

Veamos otro ejemplo

Tres hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo. ¿Cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

Las magnitudes n° de obreros y días trabajados son magnitudes _________________ proporcionales y en consecuencia la constante de proporcionalidad K=__ y se obtiene _________________ las magnitudes.

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD:

ACTIVIDAD N° 8

Platea y resuelve los siguientes problemas.

1) Una canilla vierte 75litros en 10minutos. ¿Cuántos litros habrá vertido en 50minutos?

2) Un automóvil consume 18litros de combustible en un recorrido de 250km. ¿Cuántos litros consumirá si recorre 400km?

3) Para recorrer 400km desde Moreno, provincia de buenos aires, hasta General Ramírez, provincia de Entre ríos, un auto tarda 4hs yendo a una velocidad constante de 120km/h. ¿ Qué tiempo se empleará para recorrer la misma distancia, si la velocidad empleada es de 80km/h? ¿Cuál será el tiempo empleado si la velocidad fuera de 150k/h? Si el depósito de combustible del automóvil es de

N° de Sacos 1 26

Peso en Kg 60

N° de hombres 3 9 12 18

Días de trabajo 24 12 9

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50litros y se han gastado 96litros en realizar el viaje de ida y vuelta, ¿Cuánto dinero se gasta si el litro de nafta súper lo hemos pagado $12,99?

4) Un señor tarda 30minutos en recorrer con su auto una distancia de 48km.¿Cuánto tardará en recorrer 120km a la misma velocidad?

5) En un establo hay comida para alimentar a 8 caballos durante 60 días. ¿Cuántos días se podrá alimentar con la misma comida si agregamos 4 caballos?

6) Una persona da 60 pasos de 36cm para recorrer un pasillo. ¿Cuántos pasos de 45cm tendrá que dar otra persona para recorrer el mismo pasillo?

7) Por ocho pasajes en micro a una ciudad, nos han cobrado $1096. ¿Cuánto nos costarán cuatro de esos mismos pasajes? ¿Cuántos pasajes podré comprar con $959?

PORCENTAJE

El porcentaje es un tipo de regla de tres simple en el que una de las cantidades es 100. Es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones. Es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo.

ACTIVIDAD N° 9

1) Expresa los siguientes porcentajes en fracción y en su expresión decimal

a) 32%= d) 121%=

b) 45%= e) 8%=

c) 50%= f) 0,5%=

2) Calcula los siguientes porcentajes

a) 15% de 60= c) 9% de 118=

b) 30% de 70= d) 115% de 2500=

3) Qué porcentaje representa cada fracción?

a) 21/100 = c) 3/5=

b) 11/25= d) 15/60=

4) En cada caso busca distintas expresiones fraccionarias que representen la parte sombreada y su porcentaje

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5) Cada una de las siguientes figuras representa el 25% de otra. Dibuja en cada caso la figura entera de dos maneras posibles.

ACTIVIDAD N° 10

PLANTEA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

a) El 45% de los alumnos en un curso son varones y 22 son mujeres. ¿Cuántos alumnos hay en el curso?

b) El precio de un LCD es de $7200. Si se paga en efectivo, tiene un descuento del 12%. ¿Cuánto dinero representa el descuento? ¿Cuál es el precio en efectivo que se termina pagando? Si se paga en 6 cuotas iguales, con tarjeta de crédito, tiene un recargo del 6%. ¿De cuánto es el recargo? ¿Cuánto termina abonando por el LCD?

c) Se vende una camisa con un 20% de descuento a $164. ¿Cuál era su valor sin el recargo?

d) Se paga $138 por un artículo que tiene un 15% de recargo. ¿Cuál es su valor sin el recargo?

e) Si a un medicamento que cuesta $200 se le aplica un descuento del 4% y al nuevo precio un descuento del 5%. ¿Cuánto se termina pagando? ¿El descuento que se realiza en total es del 9%? Justificar

f) ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al 20% de 28

1) 20/100 + 28 6) 28.20/100

2) 28: 20/100 7) 28/5

3) 20/100:28 8) 20/100.28

4) 0,2. 28

5) 1/5. 28

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FUNCIONES EN LA HISTORIA

En 1673 el filósofo y matemático francés René Descartes publicó el libro “Discurso del método”, que tenía un apéndice llamado “la Geometría”. En esta sección analizó cuestiones que vinculaban la geometría con el álgebra. Uno de los aportes más importantes que presentó en esta obra fue la clasificación de curvas basadas en expresiones algebraicas que las representaban. El análisis que lo llevó a clasificarlas se realizó utilizando líneas rectas como referencia, y muchos historiadores creen que en esa práctica está el origen de las representaciones gráficas. En su honor, al plano de coordenadas se lo llamó cartesiano.

Descartes utilizó un único eje en lugar de los dos ejes perpendiculares. Para cualquier punto de la curva que estaba estudiando, podía indicar la distancia que lo separaba de ese eje y llamó “coordenadas” a esas distancias. Aunque nunca utilizó la notación (x ; y), él fue quien introdujo el uso de estas letras para indicar cantidades variables, y reservó las primeras letras del alfabeto para indicar cantidades constantes.

En una obra publicada varios años después, el matemático inglés Isaac Newton utilizó por primera vez los ejes de coordenadas del modo en que los usamos hoy. En ellos nombró X al eje horizontal, Y al eje vertical y 0 al punto en el que se cruzan ambos.

ANEXO III

PARA LEER

¿QUÈ ES UNA FUNCIÒN?

Algunos gráficos se usan para efectuar una representación que permite visualizar de qué manera se relacionan dos magnitudes y cómo se modifica una en función de la otra. Como las magnitudes pueden variar, se las llama variables.

Cuando entre dos cantidades variables A y B se verifica que a cada valor de la primera variable le corresponde un único valor de la segunda variable, se dice que la relación entre A y B es una función.

Cuando se relacionan dos variables es posible saber si una depende de la otra.

Por ejemplo, si se considera la temperatura corporal de un paciente y la hora en que se registró, puede decirse que la temperatura depende del tiempo, ya que ésta podría tomar diferentes valores según el momento del día. En este caso decimos que la temperatura es la variable dependiente y que el tiempo es la variable independiente. Como dijimos arriba y según Newton, la variable independiente suele representarse en el eje horizontal y la variable dependiente, en el eje vertical.

ACTIVIDAD N° 11

Observa cada uno de los gráficos que a continuación aparecen y responde a cada una de las consignas planteadas.

19

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ACTIVIDAD N° 12

El siguiente gráfico representa el peso promedio de un ejemplar macho de elefante africano de acuerdo con su edad.

a) ¿Cuál es el peso aproximado de un elefante al nacer? Escribe el par que lo representa.

b) ¿Qué significa el par ordenado (10; 2000) en este problema?

c) ¿A qué edad los elefantes machos llegan a un peso promedio de 6000kg? Escribe el par ordenado que lo representa.

ACTIVIDAD N°13

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ACTIVIDAD N° 14

ACTIVIDAD Nº 15

1) El precio de cierta tela es de $15 el metro, podemos confeccionar una tabla con los precios correspondientes a las distintas cantidades de tela

Longitud (metros) Precio ($)

0

1 $15

2

3

4

5

Responder:

a) ¿$150 a cuántos metros de tela corresponde?

b) ¿Cuánto pagó los 15metros de tela?

c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

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d) ¿Cuál sería la fórmula que nos permite calcular el precio en función de los metros que compramos?

e) Podemos representar la situación en un eje de coordenadas como a continuación te mostramos

Precio ($)

100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

0 1 2 3 4 5 6 7 Long. (m)

2) Imaginemos que queremos recortar rectángulos de 12cm2 de superficie. Construimos la tabla con los valores posibles. Área = 12 Cm2

Representamos la situación en un sistema de ejes de coordenadas

Base(b) cm.

Altura(h) cm.

1 2 3 4 5 6 8

10 12

23

Altura (h) en cm.

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Base (b) en cm.

EL LENGUAJE DEL ALGEBRA –ECUACIONES

Las ecuaciones son igualdades que contienen incógnitas, que las representamos a través de letras,

generalmente las últimas de nuestro alfabeto(x, y, z). En una ecuación tendremos un signo igual y dos

miembros, uno anterior, el 1° miembro y otro luego del igual, el 2° miembro.

Resolver una ecuación significa encontrar qué valor o valores de la incógnita verifican o hacen válida

la igualdad; esos valores son las soluciones de la ecuación. Puede suceder que una ecuación tenga, una

solución, infinitas soluciones o ninguna. Para resolver una ecuación, hay que proceder a despejar la

incógnita, para ello vamos deshaciendo las operaciones en el orden contrario al que se realizan.

Verifiquemos un ejemplo:

2. x + 3 = 7

En este ejemplo, para comenzar, es común decir que si el 3 está en el primer miembro sumando,

pasa al segundo miembro con la operación contraria, o sea, restando y que el 2 que se encuentra

multiplicando a la x pasa al segundo miembro dividiendo. En consecuencia:

2. x = 7 – 3

2. x = 4

x = 4:2

x = 2 Entonces, la solución a dicha ecuación es x = 2

Si verificamos, tendremos: 2. (2) + 3 = 7 => 4 + 3 = 7 => 7 = 7, que verifica la igualdad.

ALGO DE HISTORIA

24

ALGO DE LENGUAJE SIMBÓLOCO!

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ACTIVIDAD N° 16

Une cada una de las oraciones con una expresión que las represente.

a) El doble de un número n3

b) La tercera parte de un número 3. n

c) El cubo de un número n + 1

d) El cuadrado de un número n/2

e) El triple de un número n/3

f) El siguiente de un número 2. n + 1

g) La mitad de un número 2. n

h) La cuarta parte de un número n + 1

i) Un número par n2

j) Un número impar n/4

ACTIVIDAD N° 17

Intenta resolver las siguientes ecuaciones junto a tus compañeros!!!!!

a) 4x – 3 = 9 b) 3x + 6 = 7

c) 6x + 2 = 14 d) 7x + 8 = 29

e) 8x – 1 = 15 f) 4 + 2x = 15

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ACTIVIDAD N° 18

Resuelve las siguientes ecuaciones

a) 2 – x = 4 – 2x c) –x + 11 = - 2x + 6

b) 1/2x = 1 – 3/4x d) -3 + 2x = 5 + 10x

ACTIVIDAD N° 19

Intentemos juntos resolver algunos problemas!!!

1)

27

2)

ACTIVIDADES PARA PRACTICAR

NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

1) Para decorar una bandeja rectangular, Marisa va a utilizar 864 venecitas.

a) Si las va a colocar en filas de 18 cada una, ¿Cuántas filas iguales puede ubicar en la bandeja?

b) ¿Es cierto que si coloca la mitad de las filas y la mitad de las venecitas por fila, va a usar la mitad de las 864 venecitas?

2) Para cubrir la pared de un baño se colocan filas de 42 cerámicos. Hay 1156 cerámicos.

a) ¿Para cuantas filas alcanza?

b) ¿Cuántos cerámicos se utilizaron cuando se completaron todas las filas posibles?

3) Un constructor necesita 5780 ladrillos para la reparación de una casa. El corralón los vende

en paquetes cerrados de 400 ladrillos cada uno.

a) ¿Cuántos de esos paquetes debe encargar?

b) ¿Cuántos ladrillos le sobran?

4) Amalia; Luciano, Susana y Manuel juagaron una carrera. ¿De cuántas formas diferentes pueden haber llegado si no hay posibilidad de empate?

5) ¿De cuántas maneras distintas se pueden elegir: Presidente, Vicepresidente y Secretario del centro de estudiantes de una escuela, elegidos entre cinco postulantes?

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6) Este es el resumen mensual de una cuenta bancaria:

¿Cuál es el saldo de esta cuenta bancaria al día 30?

7) Durante la tormenta, la temperatura descendió 12°C, si ahora es de -5°C, ¿Cuál era la

temperatura antes de la tormenta?

FRACCIONES

1) Expresar como fracción irreducible cada una de las siguientes situaciones:

a) Comí dos de las ocho porciones que tenía una pizza

b) Se rompieron cuatro huevos de una docena

c) Compre cuatro de las diez rifas que vendía mi amigo

d) Ocupamos cinco de los cuarenta asientos que tenía el vagón del tren.

e) Caminé treinta y cinco de las cincuenta cuadras que hay hasta la casa de mi tía.

f) Recorrí doscientos cincuenta de los cuatrocientos kilómetros que hay hasta Mar del

Plata.

g) Setenta de las ciento cincuenta baldosas del patio de mi casa son lisas.

2) Marcos gastó 1/3 de sus ahorros en libros para la escuela y 5/9 de sus ahorros en un regalo

de cumpleaños para su mamá.

a) ¿Qué parte de sus ahorros gastó?

b) ¿Qué parte le quedó?

c) ¿Gastó más en los libros o en el regalo? Fundamenta.

d) Si tenía ahorrado $1260, ¿Cuánto le costaron los libros? ¿Y el regalo?

e) ¿Cuánto dinero le quedó?

CRÉDITO DÉBITOS

SALDO ANTERIOR $158

DÍA 1 DEPOSITO EN EFECTIVO $750

DÍA 2 EXTRACCIÓN POR CAJA $450

DÍA 12 DEPOSITO CHEQUE 48hs $215

DÍA 15 COMPRA CON TARJETA DE CRÉDITO $850

DÍA 30 PAGO DE INTERES $1

GASTOS DE MANTENIMIENTO $5

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3) La cuarta parte de un camino es de tierra; las dos quintas partes de empedrado y el resto está

asfaltado.

a) ¿Qué parte del camino está asfaltado?

b) ¿Cuál de las tres partes del camino es mayor?

c) ¿Está asfaltado más de la mitad del camino?

d) Si el camino tuviera 140Km, ¿Cuántos kilómetros serian empedrados? ¿Y de tierra?

4) La quinta parte de un tanque de agua se usa para regar y las dos terceras partes para cocinar.

a) ¿Qué parte queda del tanque sin utilizar?

b) ¿Lo que queda, es menor que la mitad del tanque?

c) Si el tanque tuviera 750 litros, ¿Cuántos litros se usarán para cocinar? ¿Y para regar?

¿Y cuántos quedan?

5) Una maestra utilizó los 5/6 de un telón de 12m para hacer otro más pequeño. ¿Cuántos metros

de tela le sobraron?

6) Al tostarse el café, éste pierde 1/5 de su peso. Si se tuestan 80kg, ¿Cuánto pesarán después?

7) La edad de Claudio es 36 años y la de Mario es 3/8 de la edad de Claudio. ¿Cuántos años tiene

Mario?

8) En un patio de una escuela secundaria hay 80 alumnos en el segundo recreo, entre niños de

primero y segundo año. Las 5/8 partes de los niños son de primer año. ¿Cuántos alumnos de segundo año

hay?

9) De los 300 bebes que nacieron en un hospital, 3/5 pesaron más de 3kg, y de estos 2/3 son niñas.

¿Cuántos bebes pesan más de 3kg y son niñas?

10) En un curso de 6° año de escuela secundaria, hay 48 alumnos. Las 3/8 partes son varones.

¿Cuántas son mujeres?

11) Para una fiesta se compraron 27 botellas de gaseosa. Si se consumieron las 5/9 partes,

¿Cuántas gaseosas sobraron?

12) Una familia compró 3 docenas y media de facturas. Durante el día comieron las 5/7 partes.

¿Cuántas facturas sobraron?

13) De 5 docenas de huevos se han consumido las 3/10 partes. ¿Cuántos huevos quedan?

14) Las polillas comieron un libro de la siguiente manera: el primer día las 2/5 partes; el segundo día

las 3/4 partes de lo que quedaba y el tercer día la mitad del resto. ¿Cuántas hojas quedaron en el libro si

tenía 200 hojas?

30

15) Gaste las 2/5 partes de mi dinero, presté la 1/5 parte del mismo y me quedan aún, $600. ¿Cuánto

dinero presté y cuánto tenía?

16) ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado común salga el 5? ¿Y de que salga un número

impar?

17) Se saca una carta de un mazo de 40 naipes españoles, ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de

los siguientes sucesos?

a) Es el as de espadas.

b) Es un rey.

c) Es un número menor que tres.

d) Es oro.

e) Es una figura

18) En una tienda de mascotas hay una jaula con 25 cotorritas australianas: 10 verdes, 12 amarillas y

3 celestes. Un comprador solicita una no importando el color y el vendedor elige, sin fijarse, una cualquiera

de la jaula. ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada color?

19) Se saca una carta de un mazo de 40 barajas españolas. ¿Qué les parece que es más probable,

sacar un tres o un oro? ¿Por qué?

PORCENTAJE - PROPORCIONALIDAD - FUNCIONES

1) Una persona por pagar fuera de termino una boleta de un servicio, le recargan un 3% sobre el total del valor. ¿Cuánto debe abonar al final?

2) Un artículo cuesta $2000 y se lo puede pagar en 12 cuotas de $200 con tarjeta. ¿Cuál es el importe final? ¿Qué porcentaje de recargo hubo?

3) De las 80 personas que realizaron un paseo con una empresa de turismo, 12 eran menores de edad, 40 eran mujeres y 28 hombres. ¿Qué porcentaje representa cada grupo respecto del total?

4) En una fotocopiadora nos cobran $15 por 30 copias simple faz. Completa la tabla que a continuación te damos, teniendo en cuenta que no realizan descuentos por sacar copias en gran cantidad.

n

Cantidad de Copias 10 20 30 80

Precio 20 30

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Representa la situación anterior en el siguiente sistema de coordenadas

Precio($) 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 n° de Copias

5) Una empresa que produce alimento para perros, tiene que envasar 1500kg de alimento en bolsas para la venta. Deciden envasar toda su producción en bolsas del mismo tamaño.

a) Completa la tabla correspondiente

Capacidad de la bolsa(Kg) 5 10 15 25 30 50

Cantidad de bolsas 15 30

b) Realiza el grafico correspondiente e indica la constante de proporcionalidad

32

Cantidad de bolsas

300

290

280

270

260

250

240

230

220

210

200

190

180

170

160

150

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Capacidad de las bolsas (Kg)

6) Una empresa que comercializa una determinada marca de jugo, envasa 10.000litros de agua por día en botellas de distintos tamaños. Han decidido envasar en botellas en uno sólo de esos tamaños. ¿Cuántas botellas necesitan para cada caso para envasar los 10.000litros?

Capacidad de la botella (En Litros)

1 1/2 2 21/2 5

Cantidad de botellas

33

Representa la situación en el eje de coordenadas e indica la constante de proporcionalidad

Cantidad de botellas

10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

0 1/2 1 1 1/2 2 2 1/2 3 3 1/2 4 4 1/2 5

Capacidad (litros)

UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL EJE DE COORDENADAS - LECTURA E INTERPRETACIÓN

DE GRÁFICO

7) Dada la siguiente información:

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8) Para vaciar una pileta que contiene 30.000 litros de agua, una bomba extrae 5.000 litros

por hora. A las 2 horas de comenzar el vaciado, la bomba deja de funcionar, y se reinicia 2

horas después.

¿Cuál de los gráficos te parece que corresponde a la situación planteada?

9) Dado el siguiente gráfico, lee atentamente y responde:

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10) Dadas las siguientes situaciones:

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MODELO DE EVALUACIÓN

1) Dado el siguiente gráfico

a) ¿Qué capacidad tiene el tanque?

b)¿En qué momento del día se llena el tanque?

c) ¿Qué variables se midieron en cada eje?

d) ¿En algún momento del día el tanque se vacía por completo?

e) ¿Hay algún momento en que no se riega?

f) ¿En qué momento del día se consume mayor cantidad de agua?

2) En un mapa 1cm representa 200km reales. Completa la siguiente tabla:

Distancia Real(Km.) 20 50 100 200 600

Distancia en el mapa(cm.) 1 2

Representa la situación en el eje de coordenadas

Distancia en el mapa(Cm.) 3 2 1

0 100 200 300 400 500 600 Distancia Real (Km.)

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3) Observa y responde:

4)

5) Unos grupos de amigos, Pablo, Marisa, Rocío, Andrés, Miguel y Silvia, se reúnen a la salida de la escuela en la casa de uno de ellos a discutir algunas cuestiones matemáticas referidas a la tarea que el docente les dio.

Contesta verdadero o falso según corresponda.

a) Pablo afirma que es lo mismo gastar el 80% de su dinero que gastar los 4/5 del mismo.

b) Silvia dice: esperen un poco, yo utilizo otra manera de calcular las cosas. Para mí, obtener el 80% de lo que Pablo afirma lo realizo multiplicando por 0,8

c) Roció comenta que 4 de cada 10 alumnos de un curso de su escuela hacen deportes, o sea, 2/5.

d) Andrés asegura que los ¾ de 28 da por resultado 21.

e) Miguel, haciendo referencia a lo que Andrés aseguró dice, 21 es el 75% de 28.

f) Marisa está leyendo algo de historia y comenta que la primera Guerra Mundial se inicia en el año 1914 correspondiendo al siglo XIX.

g) Silvia comenta que leyó el libro de Alejandro Magno y les explica a sus compañeros que nació en Pella, Macedonia en el año 356 a de C, matemáticamente corresponde al año -356.

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h) Miguel sigue calculando e interrumpe a sus compañeros con su problema. Para cubrir una pared con filas de 36 cerámicos cada una y usando 40 filas en total se necesitarán 1400 cerámicos.

i) Rocío resuelve otro problema que dice: un grupo de alumnos realiza una convivencia en un campo recreativo y almorzaran hamburguesas completas. Si estipulan que cada alumno comerá 3 de esas hamburguesas. El profe encargó 4 cajas de 24 hamburguesas cada una. Silvia segura que no alcanzarán.

6) Plantea alguno de los problemas a través de una ecuación y resuelve

a) Una pileta de natación contiene 7500 litros de agua. Para vaciarla se usa una bomba que

extrae 12 litros de agua por minuto.¿Cuánto tiempo se empleará en vaciarla?

b) Nicolás tiene 14 años y dice que su edad es el doble de edad que tiene Marisa menos 6

años. ¿Qué edad tiene Marisa?

c) Un depósito esta lleno de vino. Se extrae la mitad del contenido y luego la tercera parte del

resto, quedando 1100 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

d) El 27% de un artículo más $10 es igual a $550. ¿Cuál es el valor del artículo?

e) Cecilia compró hace 18 años dos libros por un total de $13,60. Si el primer libro costó un

30% más barato que el segundo libro.¿Cuánto le costó cada uno?

7) Encuentra el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones:

a) -2b - 2 + 3b = 6b +8

b) 2.( a + 2) = a + 2

c) x2 – 1 = 8