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Irene Manzanares Metola María del Pilar Benito Clavijo Facultad de Letras y de la Educación Grado en Educación Primaria 2014-2015 Título Director/es Facultad Titulación Departamento TRABAJO FIN DE GRADO Curso Académico Taller de problemas: Geometría y Cálculo Autor/es
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Irene Manzanares Metola
María del Pilar Benito Clavijo
Facultad de Letras y de la Educación
Grado en Educación Primaria
2014-2015
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE GRADO
Curso Académico
Taller de problemas: Geometría y Cálculo
Autor/es
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2016
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
Taller de problemas: Geometría y Cálculo, trabajo fin de gradode Irene Manzanares Metola, dirigido por María del Pilar Benito Clavijo (publicado por la
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Trabajo fin de Grado Grado en Educación Primaria
Facultad de Ciencias de la Educación
Universidad de La Rioja
TALLER DE PROBLEMAS: GEOMETRÍA Y CÁLCULO
Irene Manzanares Metola
Directora: María del Pilar Benito Clavijo
Departamento de Matemáticas y
Computación. UR
Logroño, 30 de junio de 2015.
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Resumen
Tras conocer el bajo nivel en matemáticas de los alumnos en el informe PISA y dada la
importancia de la resolución de problemas en el BOR, este Trabajo Fin de Grado
propone la preparación de Talleres de Problemas y en particular, un modelo de
implementación en los niveles de 5º y 6º de Educación Primaria.
La memoria incluye una pequeña introducción a las matemáticas que evalúa su
situación social actual y un análisis de los contenidos fijados en el currículo de
Educación Primaria (LOMCE). El Taller de Problemas elaborado trabaja el bloque de
Geometría con una colección de problemas resueltos que siguen la metodología del
Aprendizaje Basado en Problemas (ABP).
Abstract
After learning about the low-level math students in the PISA report and given the
importance of problem solving in the BOR, this Graduate Final Project proposes
training problems and in particular, an implementation model for levels 5th and 6th
Primary Education.
The final work includes a brief introduction to the Mathematics which evaluates the
current social situation and also does an analysis of the levels laid down in the
curriculum of Primary Education (LOMCE). The Creative Training Problems proposed
are related to Geometry and include a collection of solved problems that follow the
methodology of Problem-Based Learning (PBL).
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ÍNDICE
1. Introducción general …………………………………………………… 7
1.1. Las matemáticas en el mundo real ………………………………….. 8
1.2. El aprendizaje en Matemáticas ……………………………………... 9
1.3. Presentación del TFG ……………………………………................. 10
2. Las Matemáticas en Educación Primaria ……………………….......... 11
2.1. El currículo …………………………………….................................. 11
2.2. Procesos, métodos y actitudes ………………….................................. 12
2.3. Geometría en 5º y 6º de EP …………………..................................... 14
3. Problemas y ejercicios ………………….................................................. 16
3.1.¿Es lo mismo? …………………........................................................... 16
3.2. Resolución: métodos y fases ...........................................................….. 17
4. Taller de problemas .............................................................................….. 21
4.1. Contenidos matemáticos ...........................................................………. 21
4.2. Problemas modelo ...........................................................……………. 30
4.3. Puesta en marcha y Metodología ...................................................….. 49
4.4. Miscelánea ......................................................................................….. 52
Conclusión
Bibliografía
Anexo
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Capítulo 1
Introducción general
Las Matemáticas nunca han estado entre las materias preferidas por los alumnos, en
la mayoría de los casos por considerarlas como algo complejo y abstracto. Esto puede
resultar entendible, si pensamos que, en general, se enseñan demasiados contenidos pero
no se vinculan a la vida cotidiana, sin conseguir así un aprendizaje significativo.
Además, la resolución de problemas, muy importante en esta área, siempre ha resultado
muy complicada para el discente. Los contenidos cobran sentido cuando se aplican a
una situación problemática.
Este Trabajo Fin de Grado se centra en el llamado Aprendizaje Basado en
Problemas (ABP). Barrows, en 1986 lo define como “un método de aprendizaje basado
en el principio de usar problemas como punto de partida para la adquisición e
integración de los nuevos conocimientos”. El ABP es una estrategia pedagógica que
postula la resolución de problemas (con motivación en situaciones reales) mediante
procesos de investigación (exploración) por parte de los alumnos bajo la estricta
supervisión del profesor.
También hay que tener en cuenta, como consideraba Polya1, que el profesor tiene
en sus manos la llave del éxito. Si es capaz de estimular en los alumnos la curiosidad,
podrá despertar en ellos el gusto por el pensamiento razonado; pero, si por el contrario
dedica todo su tiempo a ejercitarles en operaciones de tipo rutinario, disminuirá en ellos
el interés.
Más que enseñar a los alumnos a resolver problemas, se trata de enseñarles a pensar
matemáticamente, es decir, a que sean capaces de abstraer y aplicar ideas matemáticas a
un amplio rango de situaciones y, en este sentido, los propios problemas serán las
"herramientas" que les llevará a ello.
1 Polya (1887-1985): matemático húngaro que aportó los métodos generales para resolver problemas, y describió cómo deberían enseñarse y aprenderse.
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Sección 1.1. Las matemáticas en el mundo real
Las Matemáticas son un área difícil de entender y que muchas veces crea
rechazo entre los alumnos ya que no encuentran su utilidad en la vida. Para subsanar
este problema, el docente debe interesar y motivar al discente con situaciones reales en
las que se puedan observar las matemáticas y aprovecharse de las posibilidades que
ofrecen los recursos multimedia para hacerlo de forma más atractiva.
Si echamos un vistazo a nuestro alrededor nos daremos cuenta que las
matemáticas están en todos los lado. Cuando salimos a la calle nos encontramos con
infinidad de formas planas y cuerpos geométricos. Los números son ubicuos. Un
ejemplo lo tenemos en la Razón Áurea o Divina Proporción que está presente en la
arquitectura, la música, la naturaleza, etc. Este concepto se desarrolló en la antigua
Grecia y con dicha proporción se pueden construir los llamados rectángulos áureos que
se hacen palpables en nuestros carnets de identidad, en las tarjetas de crédito, edificios
antiguos, etc. (Ver, por ejemplo, [4], proporción áurea). También podemos apreciar las
matemáticas en el crecimiento vegetal y animal con la llamada serie de Fibonacci2 que
se muestra en las espirales de las conchas de los caracoles, y en piñas y en cantidad de
flores.
El docente tiene que saber despertar el gusto por las matemáticas en los
estudiantes descubriéndoles su importancia en la vida cotidiana.
2 Los números de Fibonacci están definidos recursivamente, lo que significa que el valor del n-ésimo número de Fibonaccci, Fn depende del valor de los previos: F1=F2=1 y Fn=Fn-1+Fn-2.
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Sección 1.2. El aprendizaje en Matemáticas Tan importante como saber de matemáticas es saber enseñarlas.
José Á. Carpio
Las matemáticas siguen estando entre las áreas más complicadas para los
alumnos: el 41% de ellos se pone nerviosos cuando tiene que resolver problemas; y
muchos terminan frustrados por sus malos resultados. Un 74% del alumnado concluye
que fracasa porque no se les dan bien las matemáticas.
En España, el 28% de los alumnos no consigue alcanzar un rendimiento básico
en la resolución de problemas, en comparación con el 21% del resto de los países que
integran la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (en adelante
OCDE). Este tipo de alumnos solo son capaces de resolver problemas sencillos y que no
requieran un gran esfuerzo mental. Esto se pone de manifiesto en el último Informe del
Programa para la Evaluación Internacional de los Alumnos de 2012 (Informes PISA,
ver [6]), en el que los resultados obtenidos por los estudiantes españoles de 15 años en
las pruebas digitales de Matemáticas son significativamente inferiores a los del
promedio de países de la OCDE participantes en esta modalidad. Es más, España se
encuentra por debajo del nivel medio de los países vecinos de la Unión Europea y de los
países desarrollados en general, al ocupar el puesto 25 de entre 34 países de la OCDE.
Como afirma el periodista José A. Carpio, “el problema es que no se entienden los
problemas”. Desde el punto de vista del profesorado, el primer obstáculo de las
matemáticas no es el de los números, sino el del lenguaje. El laberinto de un problema
matemático empieza en la comprensión del enunciado. En cita textual de Clara Grima,
profesora de matemáticas en la Universidad de Sevilla: “el primer problema es que no
se entiende lo que se lee, por dificultades de comprensión lectora, incluso en el nivel
universitario”.
Debido, muchas veces, a la mala formación de los docentes, los alumnos
recurren a la memorización como estrategia básica para estudiar matemáticas, en lugar
de entenderlas, y así no conseguimos nada. Con el fin de evitar la frustración se debe
enseñar que, errar en un problema, no es malo.
Una herramienta que nos puede ayudar a presentar a nuestros alumnos unas
matemáticas más atractivas e innovadoras son los recursos multimedia, haciendo
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especial hincapié en el razonamiento mediante problemas de la vida cotidiana que les
motiven, y no solo dedicarse a hacer cálculos rutinarios.
Sección 1.3. Presentación del TFG
Con el presente TFG queremos resaltar la importancia del aprendizaje en la resolución
de problemas desde edades tempranas. La memoria del trabajo ofrece una selección de
problemas relacionados con la Geometría que requieren de un pensamiento razonado y
reflexivo, algo a lo que habitualmente no están acostumbrados los alumnos. La
intención es romper con la metodología seguida en la mayoría de las aulas en las que se
realiza el mismo tipo de ejercicios repetitivos y mecánicos, que escasamente ayudan a la
comprensión. Con esto no estamos diciendo que tales ejercicios no sean necesarios
(hacer muchas multiplicaciones ó divisiones no se puede evitar para aprender
multiplicar o dividir), muy al contrario, hay que pensar cuando son útiles y cuando no lo
son.
Buscamos orientar la enseñanza para que se utilicen los contenidos dados por el
profesor (muchos de ellos pueden ser elaborados y apoyados con recursos multimedia),
de modo que el alumno interiorice lo aprendido, lo relacione y lo sepa utilizar,
siguiendo así el espíritu del Aprendizaje Basado en Problemas.
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Capítulo 2
Las matemáticas en Educación Primaria
Las matemáticas juegan un papel fundamental en todos los niveles de la
educación obligatoria. Este capítulo corresponde, por tanto, a un análisis de los
contenidos que marca el Boletín Oficial de Estado en el área mencionada anteriormente
en los cursos de 5º y 6º de Educación Primaria que son los niveles a los que este TFG
está dirigido. Dentro de las matemáticas, se hace un especial hincapié en el Bloque de
Geometría por ser la base del Taller de Problemas propuesto en la Sección 4.2 del
Capítulo 4.
Sección 2.1. El currículo
El Real Decreto 126/2014 de 28 de febrero (BOE de 1 de marzo de 2014), regula
el nuevo currículo básico de la Educación Primaria (EP en adelante). Atendiendo a este
Real Decreto, el Gobierno de la Rioja establece el currículo de EP en la CAR mediante
el Decreto 24/2014, de 13 de junio (BOR no 74, de 16 de junio de 2014). El nuevo
decreto organiza los contenidos de Matemáticas en los distintos niveles de la EP en
cinco bloques:
Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas
Funciona como eje vertebrador tratando de forma transversal todos los otros bloques de
contenidos. Esto significa que deberá estar incluido en cada uno de los restantes. En este
bloque se incluyen, la resolución de problemas y la utilización de medios tecnológicos
que faciliten un pensamiento razonado y la búsqueda de estrategias.
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Bloque 2. Números
Busca desarrollar el sentido numérico del alumno, es decir, proporcionarle la habilidad
necesaria para descomponer números de forma natural, comprender y utilizar la
estructura del sistema de numeración decimal, así como, conocer las propiedades de las
operaciones y las relaciones entre ellas para realizar cálculos. El alumno deberá acabar
la EP realizando cálculos con fluidez y haciendo estimaciones razonables.
Bloque 3. Medida
Los contenidos de este bloque tienen como finalidad que el alumno comprenda los
mensajes en los que se cuantifican magnitudes en situaciones de la vida real para que se
de cuenta de la necesidad de la medición y de sus diferentes unidades e instrumentos.
Bloque 4. Geometría
Pretende familiarizar al alumno con las formas y estructuras geométricas, con sus
propiedades y clasificación. Este aprendizaje requiere pensar y hacer, construir, buscar
modelos, dibujar y medir incrementando la capacidad de cada uno para visualizar
relaciones geométricas.
Bloque 5. Estadística y probabilidad
Persigue que el discente sea capaz de identificar, recoger y clasificar datos cualitativos y
cuantitativos de su entorno y organizarlos mediante gráficos. Los contenidos y
procedimientos del bloque fomentan el análisis crítico ante diferentes situaciones e
inciden en la necesidad de realizar conjeturas y estimaciones basados fundamentalmente
en juegos.
Sección 2.2. Procesos, métodos y actitudes
El BOE obliga a que el Bloque 1, (procesos, métodos y actitudes matemáticas),
aparezca de forma transversal en el resto de los bloques de contenidos correspondientes
al área de las Matemáticas. Al describir de forma general el Bloque 1, el RD 126/2014
dice en cita textual:
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‘’(…) todo el alumnado, al acabar la Educación Primaria, debe ser capaz de describir y analizar situaciones de cambio, encontrar patrones, regularidades y leyes matemáticas en contextos numéricos, geométricos y funcionales, valorando su utilidad (…). Se debe trabajar en la profundización en los problemas resueltos (…), y utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución.’’
De acuerdo con el espíritu de la cita, los contenidos de este bloque hacen especial
hincapié en la planificación del proceso de resolución de problemas. En EP, como en la
mayor parte de los niveles de educación (infantil, secundaria, bachillerato y
universidad), es muy importante aprender a analizar y comprender enunciados, plantear
estrategias adecuadas y ser capaz de reconocer y aplicar procedimientos y de reflexionar
sobre los resultados obtenidos. Para conseguir estos niveles de aprendizaje es necesario
que el docente organice sus métodos de enseñanza buscando que el alumno:
1. Identifique problemas estableciendo conexiones entre la realidad y las
matemáticas.
2. Planifique las fases y los métodos a usar en la resolución.
3. Resuelva con corrección y compruebe que la solución dada es coherente.
En este camino, la propuesta de problemas y ejercicios y la enseñanza de métodos de
resolución de los mismos, que sean adecuados al nivel de las distintas etapas de la EP es
fundamental. Si esto lo motivamos con la exploración a través de recursos multimedia e
incentivamos mediante la presentación de problemas reales, el discente valorará la
utilidad de los conocimientos.
¿Cómo conseguirlo? Primero enseñando contenidos y analizando ejemplos. Después
adiestrando mediante ejercicios y problemas modelo que permitan al alumno establecer
similitudes y reconocer diferencias ante variaciones de los datos (el uso de herramientas
tecnológicas en este punto es muy interesante). Y, finalmente, planteando retos, es
decir, conflictos y problemas de resolución más elaborada en los que sea necesario
planificar estrategias. Además, es importante que el alumno sea capaz de expresar
verbalmente y de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema ya
que nos permitirá saber que lo ha entendido.
Esto justifica la necesidad de establecer buenos Talleres de Problemas en las aulas de
Primaria, lo que motiva este TFG.
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Si observamos los bloques de contenidos del actual currículo en EP, deberemos incidir
en la enseñanza de métodos, ejercicios y problemas:
De tipo aritmético en el bloque correspondiente a los Números.
De tipo métrico en el bloque correspondiente a la Medida.
De tipo geométrico en el bloque correspondiente a la Geometría.
De estimación en el bloque correspondiente a la Estadística y Probabilidad.
A pesar de que es a los primeros, los llamados aritméticos, a los que más tiempo se
dedica en EP, no por ello hay que descuidar los demás tipos. Es más, cuando se trabajan
problemas de estrategia, no meros ejercicios, los métodos se mezclan, lo que hace muy
difícil identificar un problema como de un “único tipo“.
Sección 2.3. Geometría en 5º y 6º de E.P.
Tras el análisis de los contenidos de los diferentes bloques que el alumno de EP debe
alcanzar, para la elaboración del TFG nos decantamos por los que tienen mayor peso
geométrico. La razón fundamental: la Geometría dispone del apoyo visual de las figuras
y, las formas y las transformaciones, están presentes en nuestro entorno, llamando a la
exploración y al razonamiento.
Decidimos centrarnos en los cursos de 5º y 6º y dividir el bloque 4 de contenidos de
Geometría en estos niveles en tres grupos diferenciados que siguen los contenidos del
BOR (Decreto 24/2014):
1. La situación en el plano y en el espacio, distancias, ángulos y giros
- Posiciones relativas de rectas y circunferencias
- Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, otros
- Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos
mediante coordenadas, distancias, ángulos y giros.
- Representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas.
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2. Formas planas y espaciales.
- Figuras planas: elementos, relaciones y clasificación.
- Clasificación de triángulos atendiendo a lados y ángulos.
- Relaciones entre lados y entre ángulos de un triángulo.
- Clasificación de cuadriláteros atendiendo al paralelismo de sus lados.
Clasificación de paralelepípedos.
- Concavidad y convexidad de figuras planas.
- Identificación y denominación de polígonos atendiendo al número de lados.
- Perímetro y área de figuras planas.
- La circunferencia y el círculo. Elementos básicos: centro, radio, diámetro,
cuerda, arco, tangente y sector circular.
- Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por
composición y descomposición.
- Cuerpos geométricos: elementos, relaciones y clasificación. Áreas y volúmenes.
- Poliedros. Elementos básicos: vértices, caras y aristas. Tipos de poliedros.
- Cuerpos redondos: cono, cilindro y esfera.
3. Regularidades y simetrías
- Reconocimiento de regularidades. Simetrías de tipo axial y de tipo especular.
- Trazado de una figura plana simétrica de otra respecto de un eje.
- Introducción a la semejanza: ampliaciones y reducciones.
Tras consultar varios libros de texto de diferentes editoriales nos dimos cuenta que, en
la enseñanza de la Geometría, se trabajan principalmente ejercicios rutinarios. En este
TFG presentamos una colección de problemas que requieren del conocimiento de los
contenidos geométricos propios de los cursos 5º y 6º, y a su vez, del razonamiento
lógico, a veces deductivo y otras constructivo.
A lo largo de la elaboración del Taller de Problemas, nos hemos dado cuenta de que:
- Casi la totalidad de problemas que hemos seleccionado son híbridos entre
los contenidos de, al menos, dos de los grupos 1-2-3.
- Aunque la Geometría tenga mayor peso en los problemas seleccionados,
Medida y Números, en su forma “Cálculo”, están siempre presentes.
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Capítulo 3
Problemas y ejercicios Se aprende a resolver problemas resolviendo problemas.
Explicar la diferencia entre problemas y ejercicios de matemáticas y los métodos de
resolución de problemas es el objetivo de este capítulo. El punto de vista y las ideas
de varios matemáticos preocupados por la didáctica en las aulas será la guía de
nuestro Taller de Problemas.
Sección 3.1. ¿Es lo mismo? “Los problemas son situaciones sin una solución obvia. Si no hay que pensar, no hay
problema” (OECD, 2014, vol. V, p.1).
Entendemos como problema aquella situación matemática en la que se requiere poner
en juego un conjunto de conocimientos, adquiridos anteriormente, y buscar nuevas
relaciones entre ellos. Para resolverlo el discente tendrá que leerlo, reflexionar e
interiorizar, tratar de remitirlo a experiencias personales, manipular y en su caso,
representar gráficamente con el objeto de llegar a las operaciones matemáticas que le
lleven a su solución. Mientras que un ejercicio es una aplicación directa de un
procedimiento rutinario matemático. En general, los problemas suponen un reto para los
alumnos y conllevan más tiempo para su resolución ya que implica una pausa, una
reflexión y una actividad cognitiva compleja. Sin embargo, en los ejercicios el
estudiante sabe de antemano qué hacer, basta con aplicar un algoritmo previamente
estudiado.
Además, hay que tener en cuenta que un problema lo es en la medida en que al
individuo al que se le plantea puede comprender la situación del problema descrito y no
dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que le permita responder de
manera casi inmediata. Es importante saber que lo que puede ser un problema para uno
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puede no serlo para otro, ya sea porque está fuera de su alcance o del nivel de
conocimientos. Por eso, debemos realizar una selección de problemas adecuada a
nuestros alumnos.
Para enfrentarnos a la resolución de problemas no podemos olvidar la realización de
ejercicios, constituye una valiosa herramienta en el aprendizaje de las matemáticas, en
tanto en cuanto, nos ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos que
luego tendremos que aplicar.
Sección 3.2. Resolución: métodos y fases
Actualmente, la resolución de problemas es considerada como una parte
fundamental de la enseñanza de las matemáticas. Mediante la resolución de problemas,
los alumnos experimentan la importancia y utilidad de las matemáticas en la realidad
que les rodea y de la que forman parte y permite fomentar la capacidad para entender,
razonar y aplicar correctamente los conocimientos adquiridos. De esto, tenemos una
clara evidencia en el Real Decreto 126/2014 de 28 de Febrero de 2014 (BOE de 1 de
marzo):
“Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje a lo largo de la etapa, puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática. En la resolución de un problema se requieren y se utilizan muchas de las capacidades básicas: leer, reflexionar, planificar el proceso de resolución, establecer estrategias y procedimientos y revisarlos, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si se ha encontrado, hasta la comunicación de los resultados.”
Además, numerosos autores y organismos resaltan la importancia de la resolución de
problemas:
• Polya (1968) afirma:
“Está bien justificado que todos los textos de matemáticas, contengan problemas. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la educación matemática”.
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• M. de Guzmán (1984) dice:
“(…) lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con razón, el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha traído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas”.
• El N.C.T.M., Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos,
declaraba hace más de diez años:
“(…) el objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas”.
Ahora bien, ¿Cómo planteamos la resolución de problemas? El Método de los
Cuatro Pasos de Polya es el modelo más clásico, pero aún vigente, de las fases por las
que atraviesa la resolución de problemas matemáticos. Para Polya, la resolución de
problemas es un proceso que consta de las siguientes fases:
Fase 1. Comprender el problema: Para poder resolver un problema primero hay que
comprenderlo. Se debe leer con mucho cuidado y explorar hasta entender las relaciones
dadas en la información proporcionada.
Fase 2. Elaborar un plan: En este paso se busca encontrar conexiones entre los datos y
lo desconocido, relacionando y observando los datos del problema como un todo. Se
debe elaborar una estrategia, esto es, un artificio ingenioso que conduzca a un final. Hay
que elegir las operaciones e indicar la secuencia en que se deben efectuar. En esta fase,
realizamos un primer acercamiento a la respuesta.
Fase 3. Ejecutar el plan: Se ejecuta el plan elaborado resolviendo las operaciones en el
orden establecido, verificando paso a paso si los resultados son correctos. Se aplican
también todas las estrategias pensadas, completando –si se requiere– los diagramas,
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tablas o gráficos para obtener varias formas de resolver el problema. Si no se tiene éxito
se vuelve a empezar. Un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
Fase 4. Mirar hacia atrás o hacer la verificación: En la revisión o verificación se hace
el análisis de la solución obtenida, no sólo en cuanto a la corrección del resultado sino
también con relación a la posibilidad de explorar otras estrategias. La respuesta se debe
verificar en el contexto del problema original. En esta fase también se puede hacer la
generalización del problema o la formulación de otros nuevos relacionados.
En el caso particular de la resolución de problemas en el ámbito de la Geometría, es
conveniente tener en cuenta también los llamados Niveles de Van Hiele3:
Nivel 0. Visualización o reconocimiento
Los alumnos perciben los objetos como un todo global, sin identificar sus partes ni sus
componentes.
Nivel 1. Análisis
Distinguen los componentes y las propiedades de los objetos y son capaces de describir
las figuras pero no de relacionarlas. Los estudiantes empiezan a generalizar, con lo que
inicia el razonamiento matemático.
Nivel 2. Ordenación o clasificación
Los alumnos son capaces de usar cierto razonamiento lógico informal para deducir
propiedades. El principal objetivo de estudio son las relaciones entre las propiedades de
la figura y las relaciones entre figuras.
Nivel 3. Deducción formal
En este nivel se desarrollan secuencias de proposiciones para deducir una propiedad de
otra, es decir, se realizan razonamientos lógicos formales. Las demostraciones tienen 3 Van Hiele: llamados así por el matrimonio formado por Pierre Marie Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldof, dos profesores que enseñaban matemáticas en escuelas de secundaria. Su principal preocupación era la falta de comprensión, por parte del alumno, de los contenidos de matemáticas y la imposibilidad de aplicar lo aprendido en problemas distintos de los que daba el profesor. De su iniciativa surgió el modelo de Van Hiele, hoy reconocido como uno de los más efectivos para la enseñanza de la Geometría.
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sentido y se siente su necesidad como único medio para verificar la verdad de una
afirmación.
Nivel 4. Rigor
Los estudiantes pueden trabajar la Geometría de forma abstracta, sin necesidad de
ejemplos concretos; han alcanzado el nivel más alto de rigor matemático y conocen la
existencia de diferentes sistemas axiomáticos.
Si comparamos el método de Polya y los niveles de Van Hiele, observamos que las
líneas de actuación propuestas por ambos para la resolución de problemas son análogas.
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Capítulo 4
Taller de Problemas
En este Capítulo se incluye una colección de problemas para trabajar en el aula o en
casa con sus debidos contenidos matemáticos.
Sección 4.1. Contenidos Matemáticos
En este apartado presentaremos los contenidos que trabajaremos con el Taller de
Problemas, y que los alumnos deben conocer. Los contenidos de esta sección están
sacados de [2] y [3]
A-POLÍGONOS Y SUS ELEMENTOS: CLASIFICACIÓN
Un polígono es una región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los
elementos que lo componen son:
- Lados: segmentos que lo limitan: AB, BC, CD…
- Vértices: puntos de unión entre 2 lados: A, B, C…
- Diagonales: segmentos que unen 2 vértices no consecutivos: AC, AD, AE...
- Ángulos interiores: ángulos dentro de la figura.
- Ángulos exteriores: ángulo entre un lado de una figura y la línea que se extiende
desde el lado siguiente.
-
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El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados.
Los polígonos pueden ser regulares, si todos sus lados tienen la misma medida y todos
sus ángulos son iguales o irregulares si no cumplen estas condiciones.
Según su número de lados, los polígonos se nombran de la siguiente manera:
B-TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Los triángulos son los polígonos que tienen tres lados y tres vértices. Se pueden
clasificar según cómo sean sus lados o según cómo sean sus ángulos.
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Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto).
Los cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados y cuatro vértices. Se
clasifican en paralelogramos y no paralelogramos.
1) Cuadriláteros paralelogramos son los que tienen los lados paralelos dos a dos y
pueden ser cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.
2) Cuadriláteros no paralelogramos se dividen en:
a) trapecios (dos lados paralelos)
b) trapezoides (sin lados paralelos).
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Es importante conocer que: - Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º. - Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.
C-LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
Una circunferencia es una línea curva, plana y cerrada cuyos puntos están a la misma
distancia de un punto interior llamado centro. La circunferencia tiene longitud, pero no
superficie. Los elementos de la circunferencia son:
1. Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
2. Radio: segmento que va desde cualquier punto de la circunferencia hasta el
centro.
3. Diámetro: cuerda que pasa por el centro y equivale a dos radios. Divide a la
circunferencia y al círculo en dos partes iguales que se llaman semicircunferencias y
semicírculos.
4. Arco: parte de circunferencia comprendida entre dos puntos.
Las rectas que cortan a la circunferencia en dos puntos distintos se llaman secantes. Si
el punto de corte es uno se dicen tangentes. Un círculo es la superficie plana
comprendida dentro de una circunferencia.
La longitud de la circunferencia viene dada por la fórmula L = d x π = 2 x π x r, donde
π es una constante conocida como pi, de valor aproximado 3,14 (aunque su desarrollo
decimal es no finito). El número pi es el resultado que sale siempre cuando se divide la
longitud de una circunferencia por su diámetro.
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D-ÁREA FIGURAS PLANAS
El área de una figura corresponde a la medida de la superficie que ocupa.
E-CUERPOS GEOMÉTRICOS
Un poliedro es un cuerpo geométrico que tiene todas sus caras planas formadas por
polígonos. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen alguna de sus superficies
curva.
Aunque su forma sea muy diferente, en todos los poliedros podemos observar algunos
elementos comunes: caras, vértices y aristas.
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E1-LOS PRISMAS Y LAS PIRÁMIDES
Los prismas son poliedros formados por dos bases iguales y por caras laterales que son
paralelogramos. Los prismas se nombran por el polígono de sus bases.
Las pirámides son poliedros con una sola base formada por un polígono cualquiera, y
sus caras laterales son triángulos. Las pirámides se nombran por el polígono de la base.
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E2-LOS POLIEDROS REGULARES
Si las caras de un poliedro son polígonos iguales y regulares decimos que el poliedro es
regular. También se los conoce como Sólidos Platónicos.
- Tetraedro: las 4 caras son triángulos equiláteros
- Cubo: las 6 caras son cuadrados
- Octaedro: las 8 caras son triángulos equiláteros
- Dodecaedro: las caras son 12 pentágonos regulares
- Icosaedro: las caras son 20 triángulos equiláteros
El teorema de Euler para poliedros establece una relación entre los números de
caras (C), aristas (A) y vértices (V) que se cumple para todo poliedro convexo. La
relación es:
C + V = A + 2 siendo C el número de caras, V el número de vértices y A el
número de aristas
E3-EL CILINDRO Y EL CONO
El cilindro y el cono son cuerpos redondos porque sus superficies laterales son curvas.
Está formado por 2 bases iguales que son círculos, y una superficie lateral curva.
El cono tiene una sola base, que es un círculo, y una superficie lateral curva.
28
E4-LA ESFERA
La esfera es un cuerpo redondo, sin caras, formado por un sola superficie curva.
A diferencia del cilindro y el cono, no tiene un desarrollo plano.
Una esfera se puede cortar en muchas formas diferentes.
F-ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
29
G-DESARROLLOS Y SECCIONES
Un cuerpo geométrico es desarrollable cuando sus caras pueden ubicarse en un plano y
mediante pliegues se puede construir.
Una sección es la intersección del cuerpo geométrico con un plano.
H-TESELACIONES
Una teselación es la forma de cubrir una superficie con un patrón de figuras planas de
manera que no se superponen entre ellas y no dejan huecos. Cada una de las piezas con
las que se hace la teselación se llama “tesela”.
I-SIMETRÍAS
El principal elemento de la simetría es el eje de simetría.
El eje de simetría de una figura es la línea que la divide en dos partes y que al
superponerse coinciden. Hay figuras que tienen uno o más ejes de simetría y otras que
no tienen ningún eje de simetría.
Dos figuras son iguales (simétricas) si al trasladar una sobre la otra (al doblar la
ilustración por el eje) coinciden.
30
Sección 4.2. Problemas modelo Tras recopilar una gran cantidad de problemas relacionados con la Geometría y
extraídos de los Concursos de Primavera y Canguro, nos decantamos por los que
aparecen a continuación. Algunos de ellos, han sido adaptados a la vida real para que
resulten más atractivos y otros ampliados para cubrir contenidos. Todos cuentan con
una posible solución original. Las imágenes han sido creadas con Geogebra.
Los problemas están clasificados según el nivel, 5º o 6º de EP, y conforme a contenidos
del Bloque 4-Geometría. Las etiquetas 4.x se corresponden con la clasificación de
contenidos del Capítulo 2, Sección 2.3. Recordamos esta clasificación:
1. Situación en el plano y en el espacio, distancias, ángulos y giros.
2. Formas planas y espaciales.
3. Regularidades y simetrías
______________________________________________________________________
PROBLEMA 1 Nivel: 5º E.P. Bloque : 4.3
Esta figura está formada juntando once cuadrados. Si el cuadrado rayado tiene 1m2 de
área, ¿qué área, en m2, tiene el cuadrado sombreado?
___________________________________
Modo de resolución:
Si prolongamos los segmentos de los
cuadrados más pequeños (como en el
dibujo) vemos que el cuadrado rayado
representa 1/9 del cuadrado sombreado.
Solución: El cuadrado sombreado tiene
1m2 x 9 cuadrados = 9 m2. �
31
__________________________________________________________________
PROBLEMA 2 Nivel: 5º E.P. Bloque: 4.3
¿Cuál es el menor número de cuadraditos que hay que sombrear en este tablero para
que la figura resultante tenga algún eje de simetría?
___________________________________
Modo de resolución:
Estos son los cuatro ejes de simetría posibles en un cuadrado.
La simetría indica que a ambos lados del eje las dos partes de la figura están colocadas
de igual manera pero en disposición inversa, es decir, cada pareja simétrica de
cuadrados están colocados en la perpendicular al eje y a la misma distancia de éste.
Probando en los cuatro, a partir de los cuadrados ya marcados trataremos de completar
la figura simétrica. Aquella que requiera añadir menor cantidad de cuadrados será la
correcta.
Solución: Se requiere colorear dos cuadrados respecto al eje diagonal izquierdo.
�
______________________________________________________________________
PROBLEMA 3 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
Cortamos un trozo de papel como el de la figura y lo doblamos por las líneas para
hacer una caja sin tapa. Si la colocamos sobre la mesa con la abertura hacia arriba,
¿Cuál es la cara que queda apoyada en la mesa?
32
___________________________________
Modo de resolución:
Hacer un dibujo para visualizar la cara de
abajo.
Solución: Cara V �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 4 Nivel: 6º E.P. Bloque temático: 4.2, 4.3
Un balón lo puedo guardar en una caja cúbica de 30 cm de arista. Si tenemos un cajón
en forma de cubo, con 90 cm de arista, ¿cuántos balones, metidos en sus cajas, cabrán
dentro? ¿Cuál será el volumen del cajón?
___________________________________
Modo de resolución:
En la base caben 9 balones, por tanto: 9 x
3 = 27 balones
Vcajón= 903=729000cm3
Solución: 27 balones; el cajón tendrá un
volumen de 729000 cm3 �
33
_____________________________________________________________________
PROBLEMA 5 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.2, 4.3
Se sabe que el área del cuadrado pequeño, cuyos vértices son los puntos medios de los
lados del grande, es de 16 cm2. ¿Cuál es el área del cuadrado grande?
___________________________________
Modo de resolución:
Observando la figura nos damos cuenta de que el área del cuadrado grande es doble que
la del pequeño. Si el área del cuadrado pequeño es 16 cm2, el área del grande será:16 x
2= 32 cm2
Solución: 32 cm2 �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 6 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
Si la suma de las aristas de una caja de zapatos es 324 cm y la caja mide 36 cm. de
largo y 24 de alto, ¿cuánto mide de ancho? Después calcula el volumen de la caja.
___________________________________
Modo de resolución:
36 x 4 aristas = 144 cm.
24 x 4 = 96 cm.
144 + 96 = 240 cm.
324 – 240 = 84 cm.
84 : 4 = 21 cm.
Vcaja =36 x 24 x 21 = 18144 cm3
Solución: 21 cm de ancho y volumen
18144 cm3 �
34
______________________________________________________________________
PROBLEMA 7 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.2, 4.3
El área de un rectángulo es 1. Quitamos una esquina del rectángulo uniendo los puntos
medios de dos lados consecutivos. ¿Cuál es el área del triángulo que le quitamos?
___________________________________
Modo de resolución:
Aunque no conocemos la medida de los
lados del triángulo, conociendo la partición
de la figura, se observa que el triángulo azul
es la octava parte del rectángulo.
Solución: 1/8 �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 8 Nivel: 5º E.P. Bloque: 4.2
La carpa del circo tiene forma de pirámide con 28 aristas. ¿Cuántos vértices tiene?
¿Cuál es su volumen si el área de la base son 265m2 y su altura 15 metros?
___________________________________
Modo de resolución:
Llamamos x al número de vértices y
aplicamos el Teorma de Euler:
Caras + vértices = aristas + 2
Esto nos devuelve la ecuación:
15 + x = 28 + 2, cuya única solución es
x = 15 vértices.
Vpirámide= 1/3·265·15 = 1325 m3
Solución: 15 vértices y el volumen de la
carpa es 1325 m2 �
35
______________________________________________________________________ PROBLEMA 9 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
El tejado de mi casa tiene forma de trapecio y cada uno de los ángulos mayores mide
130º. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos menores?
___________________________________
Modo de resolución:
En un paralelogramo los ángulos opuestos
tienen la misma medida, por tanto hay otro
ángulo más de 130º. Los ángulos de cualquier
cuadrilátero suman 360º. Si los dos ángulos
mayores suman 260º, los dos pequeños, que
son iguales entre sí, suman 100º (360º – 260º).
Solución: Cada ángulo mide 50º �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 10 Nivel: 5º E.P. Bloque: 4.1
¿Cuántos ángulos agudos, no nulos y de medidas diferentes, puedes ver en esta figura?
___________________________________
Modo de resolución:
Estos son los diferentes ángulos que podemos ver en la figura.
Solución: 5 ángulos distintos �
36
______________________________________________________________________
PROBLEMA 11 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.2
Pilar ha recortado dos triángulos isósceles iguales de 25 cm de perímetro. Con ellos,
haciendo coincidir uno de los lados iguales, ha construido un paralelogramo que tiene
32cm de perímetro. Después, haciendo coincidir los lados desiguales, ha construido un
rombo. ¿Cuál es, en cm, el perímetro del rombo?
___________________________________
Modo de resolución:
b + b + a = 25 a + a + b + b = 32
Después de visualizar el problema mediante un dibujo, nos damos cuenta de que la
diferencia entre 32 y 25 es 7, lo que corresponde al lado llamado a, por lo que sacamos
que b = 9. Así el perímetro del rombo es b + b + b + b = 4 x 9 = 36cm.
Solución: 36 cm. �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 12 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
¿Cuál es el área del cuadrado más pequeño que contiene a un círculo de radio 4 m? Si
giramos el cuadrado alrededor del eje que une los puntos medios de sus lados
opuestos, conseguimos una esfera dentro de un cilindro ¿Cuál es el volumen de cada
uno de los cuerpos geométricos?
___________________________________
Modo de resolución:
Gracias al dibujo, deducimos que el lado del
cuadrado es igual al diámetro de la circunfer-
en-cia. Así, 4 x 2 = 8 mide el lado del cuadrado
y su área es: A= l x l = 8 x 8 = 64 m2.
Vcubo = 83 = 512 m3 y Vesfera = 4/3π·43 = 44/3π m3
Solución: 64 m2, Vcubo 512 m3 y Vesfera 44/3πm3.
37
______________________________________________________________________
PROBLEMA 13 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
El logo del Concurso de Primavera es un cuadrado formado por cuadrados y
rectángulos. Si las áreas de los cuadrados son 16, 9, 4 y 1 cm2, ¿cuál es, en cm2, el área
del cuadrado total?
___________________________________
Modo de resolución:
El área un cuadrado es lado x lado, de donde:
16 = 4 x 4 9 = 3 x 3 4 = 2 x 2 1 = 1 x 1
Por tanto, los lados de los cuadrados miden 4, 3, 2 y 1 cm. Ahora, el lado del cuadrado
grande es igual a la suma 4 + 3 + 2 + 1 = 10 cm y su área será 10 x 10 = 100 cm2.
Solución: 100 cm2. �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 14 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
Ana dibuja dos triángulos equiláteros sobre los dos lados iguales de un triángulo
isósceles obteniendo un pentágono. Si el perímetro del triángulo isósceles es 18 cm y el
del pentágono es 32 cm, ¿cuál es, en cm, el perímetro de uno de esos triángulos
equiláteros?
___________________________________
38
Modo de resolución:
El triángulo isósceles tiene un perímetro compuesto por dos lados grandes más uno
pequeño. El pentágono tiene un perímetro compuesto por cuatro lados grandes más uno
pequeño. La diferencia entre el triángulo y el pentágono es de dos lados grandes = 32 –
18 = 14cm. Por tanto, cada lado largo del triángulo isósceles mide 7 cm. y el perímetro
es 21 cm. Así tenemos que 7 x 3 = 21cm. es el perímetro de los triángulos equiláteros.
Solución: 21 cm. �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 15 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
Fernando ha medido los ángulos de dos triángulos, uno obtusángulo y otro acutángulo
pero solo recuerda cuatro medidas: 120º, 80º, 55º y 10º. ¿Cuál es, en grados, la medida
del ángulo menor del triángulo acutángulo?
___________________________________
Modo de resolución:
Los ángulos de un triángulo suman 180º. Un triángulo
acutángulo tiene todos los ángulos menores de 90º. El
ángulo de 80º no puede ir con el 120º, pues su suma se
pasa de 180º. El ángulo de 80º tampoco puede ir con
el de 10º, porque sumarían 90º y el otro ángulo que
queda mediría 90º, por lo que no sería un triángulo
acutángulo. La única posibilidad es emparejar 80º y
55º lo que nos da como tercer ángulo del triángulo
acutángulo 180º - (80º + 55º) = 45º que es el ángulo
menor.
Solución: 45º �
39
______________________________________________________________________
PROBLEMA 16 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.2, 4.3
Si el triángulo sombreado tiene 24 cm2 de área, ¿cuál será el área del hexágono
regular de la figura?
___________________________________
Modo de resolución:
Al doblar por los lados del triángulo en rojo, los tres
triángulos exteriores cubrirían el triángulo grande.
La zona sombreada de marrón es 1/3 del total del
hexágono. Por tanto, el hexágono tendrá tres veces
más área que la zona sombreada, luego su área será
24 x 3 = 72 cm2.
Solución: 72 cm2 � ______________________________________________________________________
PROBLEMA 17 Nivel: 5º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
La huerta del tío Juan tiene forma de polígono ¿Cuál es el perímetro si es como la
figura? (Distancias en metros).
___________________________________
Modo de resolución:
Los segmentos en color rojo equivalen al
segmento que mide 6 m. y los azules al de
8 m. Por tanto, el perímetro será 8 + 8 + 6
+ 6 = 28 metros.
Solución: 28 m. �
40
______________________________________________________________________
PROBLEMA 18 Nivel: 5º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
Sofía tiene tres rectángulos de madera de 2x1, 3x1 y 4x1 y con ellos hace figuras
poniéndolos uno al lado del otro como en estos ejemplos.
Sofía pasa el lápiz por el borde de sus figuras para dibujar sus contornos. ¿Cuánto
mide el contorno más corto que puede conseguir utilizando los tres rectángulos?
___________________________________
Modo de resolución:
Como buscamos el contorno más corto,
cuanto más juntos estén los listones, más
lados comunes habrá. La combinación
con un contorno más corto es la de la
izquierda. Contamos los lados exteriores
y vemos que hay 14.
Solución: 14 �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 19 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.2, 4.3
Los azulejos de la cocina de Juana son como el de la imagen. El lado del cuadrado más
grande es 4 cm. y el del más pequeño 2 cm. ¿Cuál es, en cm2, el área del cuadrado
intermedio?
___________________________________
Modo de resolución:
Área Cg = Área cuadrado grande = 4 x 4 = 16 cm2
Área Cp = Área cuadrado pequeño = 2 x 2 = 4 cm2
41
Á"#$ !"!Á"#$ !"!
+ Área Cp = !"!!!
+ 4 = 10cm2
Solución: 10cm2 �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 20 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.2, 4.3
Patricia diseñó la cortina de su habitación con forma cuadrada. En su elaboración
empleó pedazos de tela de dos colores, algunos con forma circular correspondiente a
cuartos de círculo de radio 2 metros. ¿Cuántos metros cuadrados de tela roja usó, si la
cortina tiene 4 metros de largo?
___________________________________
Modo de resolución:
El área coloreada de rojo de los dos cuadrados de la parte de arriba se corresponde con
el área rosa de los cuadrados inferiores. Por tanto, el área roja ocupa dos cuadrados, si el
área de cada uno es 2 x 2 = 4 m2, el de los dos será 4 x 2 = 8 m2.
Solución: 8 m2 �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 21 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.2, 4.3
En un triángulo equilátero ABC, dibujamos una punta de lanza usando arcos con
centros en los vértices A y B, y en los puntos medios, M y N, de los lados AC y BC.
Todos los arcos tienen como radio la mitad del lado del triángulo. Si el triángulo tiene
12 dm2 de área, ¿cuál es, en dm2, el área de la punta de lanza?
___________________________________
42
Modo de resolución:
El triángulo grande se puede dividir en 4
triángulos iguales más pequeños si unimos los
puntos N y M y el centro del segmento AB como
se puede ver en rojo en la imagen.
La parte sombreada que sale del triángulo,
completaría el triángulo que está con el vértice
hacia abajo. Así el área de la lanza es la mitad
del área del triángulo grande, luego 12 : 2 = 6
dm2 de área.
Solución: 6 dm2 �
PROBLEMA 22 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.2, 4.3
Las baldosas de la cocina de la casa de mi abuela tienen forma de hexágono y con una
estrella en su interior. Si el área del hexágono exterior de la figura es 3 cm2, el área de
la estrella interior, en mm2, es:
___________________________________
Modo de resolución:
Descomponiendo el hexágono en
triángulos o rombos, se observa que la
estrella ocupa la mitad del hexágono.
El área de la estrella es la mitad del
hexágono = 1,5cm2 = 150mm2
Solución: 150 mm2 �
43
_____________________________________________________________________
PROBLEMA 23 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
Un trapecista hace equilibrios sobre una torre formada por dos esferas y un cubo como
indica la figura. La esfera de la base tiene un radio de 6 dm y el radio de la esfera
pequeña es tres veces menor. La altura del cubo es 2 dm más que el diámetro de la
esfera pequeña. ¿Cuál es la altura de la torre?
___________________________________
Modo de resolución:
El radio de la esfera de la base es 6 dm., por lo que
su diámetro será 12 dm.
El radio de la esfera pequeña es 6 : 3 = 2 dm. Su
diámetro, por tanto mide 4 dm.
La altura del cubo es: 4 + 2 = 6 dm.
Altura de la torre: 12 + 4 + 6 = 22 dm.
Solución: 22dm �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 24 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
En la figura podemos ver un triángulo, dos cuadrados y un romboide. ¿Cuál es la
medida del ángulo x?
___________________________________
44
Modo de resolución:
El ángulo al que llamamos A mide 74º ya que: 70º + 36º + A = 180º, luego A = 74º. Para hallar el ángulo B 90º + 90º + A + B = 360º 90º + 90º + 74º + B = 360º B = 106º Como x está en un romboide, resulta que x + 106 + x + 106 = 360º 2x= 148º por lo que x= 74º Solución: 74º mide x �
______________________________________________________________________
PROBLEMA 25 Nivel: 5º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
Cinco vecinos tienen parcelas rectangulares iguales. Cada uno construye una valla,
marcada con la línea continua, para proteger su huerta. ¿Cuál de ellos necesita la
valla más larga?
___________________________________
Modo de resolución:
Si mentalmente desplazamos las líneas horizontales y verticales hacia los bordes de la
parcela en líneas discontinuas, nos encontramos con que las parcelas A, B, D y E son
iguales a la parcela discontinua y la huerta C tiene un perímetro mayor.
Solución: C
45
______________________________________________________________________
PROBLEMA 26 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
En tres caras adyacentes de un cubo se marcan las diagonales de estas caras, como se
muestra en la figura. ¿Cuál de los siguientes desarrollos es el del cubo dado?
___________________________________
Modo de resolución: Visualizar mentalmente o hacer un esquema sobre papel.
Solución: Desarrollo D
______________________________________________________________________
PROBLEMA 27 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.2, 4.3
En un decágono regular hemos inscrito un pentágono regular y dentro de éste una
estrella pentagonal. Si el área del decágono es 25,95 cm2 y la de la estrella 16,05 cm2,
¿cuál es, en cm2, el área del pentágono?
___________________________________
Modo de resolución:
Como se ve en el dibujo la mitad de la diferencia entre el
área del decágono y la de la estrella corresponde al
pentágono rojo: (25’95 – 16’05) : 2 = 9’90 : 2 = 4’95cm2
Área del pentágono: 16’05 + 4’95 = 21 cm2
Solución: 21cm2 �
46
______________________________________________________________________
PROBLEMA 28 Nivel: 5º E.P. Bloque: 4.2, 4.3
¿Qué fracción del triángulo está pintada de blanco?
___________________________________
Modo de resolución:
El triángulo grande se divide en cuatro triángulos iguales. Cada uno de los triángulos
intermedios se divide en 16 triangulitos pequeños. Así, el triángulo grande se divide en
16 x 4 = 64 triángulos pequeños. Combinación de Pascal: 764+
1664+
764+
764 =
3764
______________________________________________________________________
PROBLEMA 29 Nivel: 5º E.P. Bloque: 4.2, 4.3
Como se ve en la figura hemos rodeado un hexágono regular por triángulos equiláteros
y luego, aprovechando sus centros, hemos dibujado una flor de seis pétalos. Si el área
de un triángulo es de 3 dm2, ¿cuál es, en dm2, el área de la flor?
___________________________________
Modo de resolución:
Cada uno de los sectores marcados con un punto
negro es 1/3 de los triángulos equiláteros y el
hexágono interior ocupa 6 triángulos equiláteros.
Por tanto, la flor ocupa 24/3 + 6 triángulos = 14
triángulos en total
14 triángulos x 3dm2 cada uno = 42dm2
Solución: 42 dm2 �
47
______________________________________________________________________
PROBLEMA 30 Nivel: 5º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
¿Cuánto mide el ángulo x en la figura de la derecha?
___________________________________
Modo de resolución:
El ángulo suplementario de 76 mide 104º, ya que 76 + 104 = 180º
Entonces 100º + 98º + 104º + x = 360º, luego x =360 – 100 – 98 – 104
Solución: x=58º
______________________________________________________________________
PROBLEMA 31 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
La figura muestra un paralelepípedo parcialmente construido. ¿Cuál de las siguientes
piezas completa el paralelepípedo?
Modo de resolución: Visualización
Solución: E
48
______________________________________________________________________
PROBLEMA 32 Nivel: 6º E.P. Bloque: 4.1, 4.2
La intersección de un plano y una figura tridimensional produce una figura plana que
se llama sección transversal. ¿Cuál será la sección transversal de un cubo, de una
esfera y de los tetraedros de la figura?
Modo de resolución: Visualizar y dibujar las secciones
Solución: La sección del tetraedro regular es un triángulo, la del segundo tetraedro un
cuadrilátero, la del cubo un triángulo y la del cubo un círculo.
49
Sección 4.3. Puesta en marcha y Metodología
De acuerdo con el Bloque I de contenidos del currículo básico de Matemáticas en EP
(secciones 2.1 y 2.2 , Capítulo 2), la resolución de problemas y la utilización de medios
tecnológicos que faciliten un pensamiento razonado y la búsqueda de estrategias, deben
considerarse como pilares fundamentales en la enseñanza de las Matemáticas en
Educación Primaria. Este es el espíritu que impulsa la elaboración de Talleres de
Problemas como el desarrollado en este trabajo. En esta sección vamos a explicar cómo
utilizar en el aula los problemas para la aprehensión (aprender + comprender) de
contenidos matemáticos. Para ello proponemos tres tipos de explicaciones en aula, que
llamaremos sesiones de trabajo o simplemente sesiones, que nos permitan un
aprovechamiento máximo de nuestro Taller de Problemas de Geometría y Cálculo.
Sesión 1: Conceptos, propiedades y Teoremas
Sesión 2: Exploración
Sesión 3: Estrategias y razonamiento
En las sesiones de tipo 1 trabajaremos los conceptos que aparecen en relación con los
problemas del Taller. En las sesiones de tipo 2 relacionaremos los términos matemáticos
y las propiedades básicas de las sesiones de tipo 1 con el entorno que nos rodea. Para
ello haremos uso de libros de divulgación y de recursos multimedia que Internet nos
proporciona (videos, youtube, softwares, preferiblemente libres, relacionados con la
geometría, el álgebra y el cálculo). Las sesiones de tipo 3, más duras, intentan integrar
conocimiento y exploración para el desarrollo de estrategias en la resolución de
problemas.
Nos centraremos en sesiones relacionados con Geometría y Cálculo usando los
contenidos de la Sección 4.1 y los problemas modelo y la miscelánea para plantear
sesiones de tipo 1 y 3. Las sesiones tipo 2 las trabajaremos usando Geogebra (como
alternativa se puede emplear también Derive o Cabri), los videos como Pato Donald en
el país de las Matemágicas [4] y la Naturaleza de los Números [7] ó las páginas web [1]
y [16].
Presentamos a continuación una sesión modelo de cada tipo (un desarrollo más
exhaustivo de las mismas aparece en el anexo de esta memoria).
50
Las tres sesiones que proponemos están relacionadas entre sí y tienen como finalidad
que los alumnos comprendan e interioricen el Teorema de Pitágoras y conozcan la
resolución de problemas mediante teselaciones. Trabajaremos las sesiones a partir del
Problema nº 19 de nuestro taller:
Los azulejos de la cocina de Juana son como el de la imagen. El lado del cuadrado más
grande es 4 cm. y el del más pequeño 2 cm. ¿Cuál es, en cm2, el área del cuadrado
intermedio?
Figura Problema nº 19
La sesión 1 se basará en explicar, con la ayuda de la figura, los conceptos de cuadrado y
triángulo y tipos, áreas y perímetros, teselación y Teorema de Pitágoras.
En la sesión 2 presentaremos un par de demostraciones visuales del teorema usando
Geogebra. Las demostraciones aparecen como recursos en la web geogebra.org. Las que
hemos elegido, tienen animación y están basadas en las Figuras 1 y 2. Geogebra permite
visualizar e interactuar con los elementos de las imágenes de diferentes maneras. De
este modo, el alumno puede explorar de forma autónoma, lo que facilita y afianza la
comprensión del teorema.
Figura Pitágoras 1
51
Figura Pitágoras 2
Al finalizar esta sesión entregaremos al alumno el siguiente problema para motivar la
sesión 3 en la que se realizarán los problemas 19, 5 y 22 del Taller y se propondrán el
11, 12 y 16 de la miscelánea para casa.
52
Sección 4.4. Miscelánea
1. En un rectángulo una diagonal forma con uno de los lados un ángulo de 36º.
¿Cuánto mide el ángulo que forman sus diagonales?
2. ¿Cuál es, en cm2 el área de la figura sombreada?
3. Desde el centro de un triángulo equilátero de 36 cm2 de área, trazamos paralelas
a dos de sus lados y construimos la figura sombreada que llamamos esfinge.
¿Cuál es, en cm2, el área de la esfinge?
4. Los cinco rectángulos que rodean a cada una de las figuras son idénticos y una
de las figuras tiene perímetro distinto a todos los demás. ¿Cuál?
5. ¿Cuántos grados mide el ángulo A de la figura?
53
6. Si el punto P es el centro del rectángulo, entonces el área de la zona sombreada,
¿Cuánto es?
7. Con 64 cubitos formamos un cubo más grande. ¿Cuántos de los cubitos tienen
alguna cara visible?
8. Si un rectángulo es doble de largo que de ancho y sus dimensiones en cm,
vienen dadas en números enteros, su perímetro no puede ser: 30cm-42cm-44cm-
60cm-72cm.
9. Aquí tienes 5 círculos tangentes, todos del mismo radio. ¿Qué recta de las cinco
divide la superficie ocupada por los círculos en dos trozos de igual área?
10. Si la longitud de la circunferencia pequeña es 1, ¿cuál es la longitud de la curva
que te mostramos?
11. Los lados de un cuadrado son las hipotenusas de cuatro triángulos rectángulos
isósceles iguales, como se muestra en la figura. Si el área del cuadrado blanco es
18, ¿Cuál es el área de la región sombreada?
54
12. En el cuadrado ABCD, M es el punto medio del lado AB. Si el área de la parte
sombreada es 7 cm2, ¿cuál es, en cm2, el área del cuadrado?
13. La siguiente figura está compuesta de cuadrados, los más pequeños de lado 1
dm. ¿Cuánto mide en dm la espiral del dibujo que va desde A al centro de la
figura?
14. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono de nueve lados?
15. El pentágono de la figura tiene como vértices los centros de los cuadrados y
triángulos equiláteros. ¿Cuánto mide su ángulo mayor?
16. En el rectángulo ABCD, M es el punto medio de AD y AN es la tercera parte de
AB, y PC es la tercera parte de DC. Si el área del rectángulo es 24 dm2, el área
del triángulo MNP ¿cuánto es en dm2?
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17. Las figuras I, II, III y IV son cuadrados. Si el perímetro del cuadrado I es 16 cm
y el del cuadrado II 24 cm, ¿cuál es el perímetro del cuadrado IV?
18. El pentágono de la figura tiene sus vértices en centros de triángulos equiláteros y
en centros de cuadrados. Los ángulos mayores del pentágono, ¿cuánto medirán?
19. Si doblas la plantilla de la derecha, ¿cuál de estos cubos puedes formar? Si cada
lado del cubo mide 8 cm, ¿cuál será su volumen?
20. De un cubo de madera de lado 3 cm se corta un cubito de 1 cm de lado, en una
esquina, como se ve en la figura. Si se repite la operación en los demás vértices
del cubo original, ¿cuántas caras tiene el poliedro así formado? ¿Cuál es el
volumen del cubo sin vértices?
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Capítulo 5
Conclusión
En el curso académico 12-13 realicé el Prácticum en el colegio Beato Jerónimo
Hermosilla de Santo Domingo de la Calzada. Los alumnos de las prácticas eran de 6º
curso de EP. La profesora llevaba varios años desarrollando una actividad semanal de
taller de problemas extraídos de los Concursos de Primavera [12]. Una gran parte de los
alumnos esperaban siempre con ganas esas clases. Primero se planteaban los enunciados
de los problemas en la pizarra y los alumnos, por grupos, los intentaban resolver. Los
que primero terminaban, daban la solución a la profesora acercándose a su mesa y en
voz baja para que el resto no oyera. Esto infería en la clase un cierto tipo de complicidad
y ganas de resolver cuanto antes los problemas para ser los primeros. En este curso, he
estado dando clases de PROA a un grupo de 8 alumnos de entre 10 y 12 años
escolarizados en 5º y 6º de Primaria. A excepción de un alumno, todos ellos son
extranjeros (portugueses, marroquíes, pakistaníes y latinos). Gracias a lo aprendido en
la realización de este TFG, en mis clases de PROA he intentado trabajar problemas con
distintas metodologías (puzles, imágenes de sus culturas, otros); la respuesta obtenida
no ha sido gratificante, excepto en uno de los casos (10% del grupo). Esto podría
deberse a que este tipo no suelen repetir la experiencia (van un año y al otro no) y su
ámbito familiar no es muy propicio. Bajo mi punto de vista, se debería insistir en la
continuidad para que los talleres fuesen más eficaces, sobre todo en alumnos con
dificultades. La experiencia del aula de mi Prácticum es un buen ejemplo.
Personalmente, considero que la creación de Talleres para el aprendizaje de las
Matemáticas, constituye una metodología muy útil que, aunque requiere de gran
esfuerzo y dedicación, tiene como recompensa un aprendizaje de calidad.
Por último, agradecer a mi tutora María Pilar Benito Clavijo su tiempo dedicado a
mejorar este trabajo y su apoyo incondicional.
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Bibliografía y Webgrafía [1] Cardil, R.: http://www.matematicasvisuales.com
[2] Colegio Bretón de los Herreros:
www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema12.pdf
[3] Colegio San Vicente de Paúl:
http://www.svplaredo.es/matematicas_archivos/libro%20de%20sexto/Tema%20
10%20matematicas%20sexto%20-%20curso%202013%20-%202014.pdf
[4] Donald en el país de las Matemágicas:
https://www.youtube.com/watch?v=9R8zC8K7C0E
[5] Geogebra: www.geogebra.org
[6] Informes PISA: http://www.mecd.gob.es/inee/estudios/pisa.html
[7] La Naturaleza de los Números.
https://www.youtube.com/watch?v=9rd8Osx1mDQ
[8] Matemáticas 5: Proyecto “La Casa del Saber”. Editorial SANTILLANA, ISBN:
978-84-294-9363-4.
[9] Matemáticas 6: Proyecto “La Casa del Saber”. Editorial SANTILLANA, ISBN
978 84 294 8903 3.
[10] Mathematical Puzzle Sessions, Cornell University, Spring 2012
http://www.math.cornell.edu/~araymer/Puzzle
[11] Polya,G. : Cómo plantear y resolver problemas. Ed.Trillas 2002
[12] Problemas Concurso Primavera: http://www.a-prima.es/archivos/concurso.htm
[13] Problemas Concurso Canguro Matemático: http://www.canguromat.org.es/
[14] RD 126/2014 (BOE de 1 de marzo de 2014): http://www.larioja.org/
[15] Recursos geogebra: www.geogebratube.org
[16] Sáenz de Cabezón, E.: Derivando. https://www.youtube.com/channel/UCH-
Z8ya93m7_RD02WsCSZYA
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Anexo
Descripción de un modelo de Sesiones de Aprendizaje
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UN MODELO DE SESIONES DE APRENDIZAJE:
Pitágoras, Triángulos y cuadriláteros y estrategias de teselación.
La Sesión 1 se desarrollará en una hora. El docente dibujará en la pizarra la figura del
Problema nº 19 del Taller, para recordar a sus alumnos los triángulos y su clasificación,
y hará lo mismo con los cuadriláteros. Esto se llevará a cabo de manera oral y
visualizando en la figura los diferentes triángulos, cuadrados y rectángulos que se
observan, realizando un conteo (8 triángulos, 3 cuadrados y 4 rectángulos). Se explicará
el perímetro y el área de estas figuras y sus fórmulas, así como el Teorema de Pitágoras
a partir de los triángulos rectángulos de la imagen. Se introducirá también la noción de
teselación (inicialmente como técnica para el cálculo de áreas).
Figura 1: Problema nº 19
Entregaremos una ficha (Ficha nº 1) con el glosario de términos y fórmulas a cada uno y
pondremos diferentes ejemplos de triángulos y teselaciones en la pizarra. Un ejemplo es
la siguiente imagen, con la que trabajaremos de forma indirecta una demostración del
Teorema de Pitágoras haciendo ver a los alumnos que el cuadrado marrón y el de
colores superior encajan en el cuadrado de colores más grande (inferior).
Figura 2: Teselaciones
Por último, mediante recortables o tangram demostraremos de forma visual el Teorema
de Pitágoras.
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Figura 2: Teselación figura clásica del Teorema de Pitágoras
La Sesión 2 tendrá lugar en la sala de ordenadores porque necesitamos que al menos
cada dos (máximo tres) alumnos disponga de un PC. Para empezar, el profesor mostrará
mediante Geogebra una demostración con movimiento del teorema visto. (Ver Figura
Pitágoras 1 en la sección 4.1) Se realizarán preguntas del estilo ¿Cuántos cuadriláteros
veis en el interior de cada cuadrado? ¿Hay algún triángulo rectángulo? Si es así nombrar
sus catetos y su hipotenusa. ¿Dónde está el Teorema de Pitágoras? ¿Cómo calcularíais
el área del cuadrado grande?, etc. Una vez que hayan entendido esto, dejaremos que
experimenten con otra demostración semejante a la de la Figura Pitágoras 2 de la
sección 4.1. La sesión termina con la entrega de una colección de problemas que se
trabajarán en la Sesión 3 (si alguno de los alumnos le sobra tiempo pueden comenzar la
lectura y análisis de los problemas propuestos para la siguiente sesión)
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Para finalizar, con el fin de ver la utilidad del teorema plantearemos varias cuestiones
que se pueden trabajar de forma interactiva con Geogebra:
Pregunta 1: Si queremos subir a un árbol de 4 metros y por su seguridad la escalera la
tenemos que colocar a 3metros. ¿Qué longitud de escalera necesitamos?
Pregunta 2: Ana se encuentra en el punto más alto de la Torre Cajasol de Sevilla y
Carlos se encuentra junto al río Guadalquivir. Calcular la longitud de la cuerda que une
a Ana y a Carlos en la imagen, dependiendo de la posición de Carlos.
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Para trabajar en casa, el docente propondrá otras dos:
Pregunta 3: Una tormenta……
Pregunta 4: María tiene que ir a comprar el pan pero no sabe por dónde ir para andar
menos metros. ¿Cuál es el camino más corto, el rojo o el azul?
La Sesión 3 se basará en resolver problemas, ya sean del Taller propuesto u otros
nuevos. Para empezar, se presentará el Problema 19 dando algún dato extra para que
tengan que utilizar Pitágoras en su resolución. Una vez terminado esto, se pasará al
problema tal y como aparece en la sección 4.2. del TFG, así tendrán que usar
teselaciones. Durante el resto de la clase, se propondrán otros problemas similares
como pueden ser el de los cordones (sección 4.3) y los problemas 5 y 22 del Taller. Para
trabajar en casa alguno de la miscelánea, véase el 11, 12 o 16.
