Clase Taller 05

Definiciones

Una ecuación de segundo grado es aquella que podemos expresar en su forma más mínima

como:

2 0ax bx c+ + = con 0a ≠

Esta forma de escribir la ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es bastante útil, ya

que nos permite aplicar una sencilla fórmula para obtener el resultado final.

Elementos de la ecuación cuadrática

La ecuación cuadrática es una forma particular de la parábola (que veremos más adelante en

geometría), y tiene los siguientes elementos:

1) Coeficientes: a, b y c

2) Raíces: 1x y

2x (en el siguiente punto profundizaremos en esto)

3) Discriminante: 2

4b ac∆ = − , que dependerá de los coeficientes de la ecuación

Soluciones de la ecuación de segundo grado y fórmulas importantes

Las ecuaciones de segundo grado siempre tendrán:

1) Dos soluciones si 0∆ >

2) Una solución si 0∆ =

3) Ninguna solución si 0∆ <

Fórmula para el cálculo de las raíces de la ecuación de segundo grado:

1

2

2

2

2

bx

b ax

a bx

a

− − ∆=− ± ∆=− + ∆=

Además, son súper útiles las siguientes dos propiedades de las raíces:

1) 1 2

bx x

a+ = − 2)

1 2

c

x x

a

⋅ =

«Si la gente no piensa que las

matemáticas son simples, es

porque no se dan cuenta de lo

complicada que es la vida.»

Taller de Matemáticas

Guía Número 4

Ecuaciones de segundo grado John Von Neumann

Tranquilo, papá!

¿Por qué dices que son súper útiles estas dos propiedades?

¿No basta acaso con la fórmula para obtener las raíces?

Clase Taller 05

Ejemplos

Ejemplo 1:

¿Cuál es la ecuación de segundo grado cuyas raíces suman 3 y su producto es 2?

Aplicamos las propiedades:

1 2

3b

x xa

+ = − = 1 2

2c

x x

a

⋅ = =

De ambas fórmulas es fácil darse cuenta que si 1a = , por lo tanto, 3b = − y 2c = .

La respuesta será entonces:

2

3 2 0x x− + =

Ejemplo 2:

¿Qué valor(es) debe tomar k en la ecuación 2

2 4 0x kx− + = para que la suma de las raíces sea

6?

Usando la fórmula para la suma de las raíces:

1 2

6 122

b kx x k

a+ = − = = ⇒ =

La parábola

La parábola es la representación gráfica de una función cuadrática o de segundo grado en la

variable independiente.

( ) 2f x ax bx c= + +

Elementos de la parábola:

1) Apertura: está dada por el coeficiente a

- Si 0a > , la parábola abre hacia arriba

- Si 0a < , la parábola abre hacia abajo

- Recuerda que 0a≠

2) Eje de simetría: es el eje vertical en el cual se

pueden reflejar las dos ramas de la parábola

- Eje de simetría: b

xa

= −

3) Punto de corte con el eje Y (coeficiente de

posición): la parábola corta al eje Y en el punto

( )0,c

4) Vértice: es el punto mínimo de la parábola (si abre hacia arriba) o el máximo (si abre hacia

abajo)

- 2

4Vértice

4

ac b

a

−=

Eje de simetría

Apertura

Raíces

Punto de

corte con el

eje Y Vértice

Clase Taller 05

Ejercicios

1. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2

3 4 02

x

x + − = ?

a) Ninguna

b) Una

c) Dos

2. ¿Cuál es la menor de las raíces de la ecuación

2

30

2 4

x x + =

?

a) -3

b) -1

c) 0

d) 1

e) 3

3. ¿Cuál es el producto de las raíces de la ecuación ( ) ( )1 2 1 1x x+ − = − ?

a) 3

2−

b) -1

c) 0

d) 1

e) 3

2

4. ¿Qué podemos afirmar respecto de la parábola de la figura 1?

I) 0a < y 0b <

II) 0b < y 0c <

III) 0a < y 0c <

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo II y II

d) Sólo I y III

e) Todas

Figura 1

Clase Taller 05

5. ¿Qué valor(es) debe tomar k en la ecuación 2

2 1 0x kx− + = para que exista sólo una raíz?

I) 1

II) 0

III) -1

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo III

d) I y III

e) II y III

6. ¿Cuál es el punto más a la derecha de cero en que la parábola 2

2 1y x x= − + corta al eje

x?

a) -1

b) 1

2−

c) 1

2

d) 1

e) 5

7. ¿Cuál de las siguientes parábolas tiene su eje de simetría más alejado del origen?

a) 25y x x= − +

b) 215 8

2y x x= + +

c) 22 5y x x= −

d) 2 13

2y x x= + −

e) 24y x x= −

8. El punto máximo de la parábola 2

8 2y x x= − + + es

a) ( )0,8

b) ( )3,15

c) ( )4,18

d) ( )2,13−

e) Ninguna de las anteriores