8/9/2019 Taller de Matemticas - Clase 02 - Gua 02

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Clase Taller 02

DefinicionesUna razn es una comparacin entre dos cantidades expresada en la forma de un nmeroracional (fraccin, divisin, porcentaje, etc.).Una proporcin es una igualdad entre dos o ms razones, de manera de mantener constante lacomparacin.

:a b se lee a es a b: : :a b c d e f k = = = = todas las cantidades estn en una misma razn k

Tipos de proporciones1) Proporcin directa: dos cantidades estn en proporcin directa si ambas varan en el mismosentido.Ej: dinero y dulces ms dulces cuestan ms dinero y viceversa

2) Proporcin inversa: dos cantidades estn en proporcin inversa si varan en sentido

contrario.Ej: abejas y tiempo con menos tiempo necesitas ms abejas para producir miel

Ojo!

El echo de que dos cantidades varen en el mismo sentido o ensentido inverso no necesariamente implica proporcionalidad!

Son proporciones y no son proporcionesPara determinar si dos razones estn o no en proporcin, puedes seguir uno de los siguientespasos (cuando tengas ms experiencia no sern necesarios, te dars cuenta t solo):

1) Mtodo tabular (encontrar la constante)Escribes en una tabla los valores que te entregan y revisas si tienen alguna relacin.

Ejemplo 1:En una granja, en un da cualquiera, 5 gallinas colocan 5 huevos. En la granja vecina, 8 gallinascolocan 13 huevos. Son cantidades proporcionales?

Hacemos la tabla

Las matemticas son el alfabeto con el cual Dios

ha escrito el Universo.Taller de MatemticasGua Nmero 2

Razones y Proporciones Galileo

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Datos Nmero de gallinas Nmero de huevosGranja 1 5 5Granja 2 8 13

Ves alguna relacin entre los datos?

Ejemplo 2:Una prenda de vestir utiliza slo dos materiales: algodn y lana. En una prenda se utiliz 100gramos de lana y 150 de algodn. En otra prenda, se utiliz slo 75 gramos de lana, pero 200de algodn. Si ambas prendas resultaron ser prcticamente iguales, hay alguna proporcin enque se pueda combinar lana y algodn?

Construimos la tabla

Datos Gramos de lana Gramos de algodnPrenda 1 100 150Prenda 2 75 200

Pudiste ver la relacin?

2) Mtodo grficoGraficamos las cantidades que nos entregan y vemos la curva resultante. Si el grfico se parecea alguno de los que aparecen ms abajo, felicitaciones: tienes una proporcin.

Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa

Es una lnea recta que parte enel origen

Es una hiprbola que no corta alos ejes

Ejercicio:

Revisa los ejemplos 1 y 2 a travs del mtodo grfico. Llegaste al mismo resultado que con elmtodo tabular?

Aplicaciones prcticasLos conceptos de razn y proporcin se emplean de muchas maneras en el mundo.Principalmente, se utiliza mucho en arquitectura, en la msica, en economa, en qumica y enla naturaleza en general se encuentra presente de muchas formas.Los antiguos crean que la belleza se encontraba en la proporcin de las magnitudes, y hoy enda an se mantiene este criterio. Ejemplos de esto son el Hombre de Vitruvio de Leonardo DaVinci, el Nmero de Oro , las Pirmides Egipcias , algunas composiciones de Mozart y Beethoven y la forma de algunas hojas. Si quieres saber ms visita:http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_de_oro#El_n.C3.BAmero_.C3.A1ureo_en_la_Naturaleza

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Operaciones con las razones1) La regla de tres:

a x c a x

b c b

= =

2) Sumar y restar:a c a n c n

b d b d

+ += =

3) Multiplicar y dividir:a c a c

b d b n d n= =

4) Operaciones combinadas:a c a n m c n m

b d b d

+ += =

Proporciones compuestasLas proporciones compuestas se dan cuando mezclamos ms de dos cantidades en una mismarazn. Por ejemplo, si quisiramos comparar el nmero de vacas con la cantidad de leche que

dan en un determinado nmero de das, estaramos hablando de tres cantidades a la vez.

Ejemplo 1:Una planta farmacutica utiliza 3 trabajadores para embalar 24 cajas de un medicamento enun da. Cuntos das le tomar a 2 trabajadores embalar 48 cajas?

DatoNmero detrabajadores (a)

Nmero de cajasembaladas (b)

Nmero de dasutilizados (c)

Caso 1 3 24 1Caso 2 2 48 X

La cantidad de trabajadores (a) se relaciona inversamente con los das utilizados (c), ya que sitengo ms trabajadores se demorarn menos das. El nmero de cajas (b) se relacionadirectamente con los das (c), ya que si tengo que embalar ms cajas me tomar ms das.Ahora, debemos multiplicar las cantidades (a) y (b) e igualarlas a (c), invirtiendo la razn si setratara de una magnitud inversamente proporcional:

2 24 1 1 13

3 48 3 x

x x = = = das

Ejemplo 2:Una cuadrilla de trabajadores est excavando un tnel. Si entre 7 mineros logran cavar 80metros en 16 horas, cuntos metros lograrn excavar 17 mineros en 28 das?

(Respuesta: 340 metros)

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Ejercicios

1. El tiempo que toma a un tren viajar y el nmero de ciudades que recorre estn en:

a) Proporcin directab) Proporcin inversac) Proporcin compuesta

d) Nunca estn en proporcine) Pueden o no estar en proporcin

2. La multa en una biblioteca corresponde a $500 por da de atraso. Cuntos das seatras Carlitos si tuvo que pagar una multa de $10.000?

a) 10b) 12c) 15

d) 20e) 30

3. Una receta necesita mezclar 100 gramos de azcar por cada 900 gramos de harina.

Cunta azcar se necesitar para completar los 3 kilogramos de mezcla?a) 150 gramosb) 180 gramosc) 200 gramos

d) 280 gramose) 300 gramos

4. Las edades de dos hermanos estn en la razn 4:5. Si entre ambos sus edades suman 36aos, cuntos aos tiene el menor?

a) 12b) 14c) 16

d) 18e) 20

5. Las entradas al cine y a Fantasilandia estn en razn de 2:7. Con una mesada de$36.000, para cuntas entradas al cine y a Fantasilandia me alcanzan?a) 2 entradasb) 3 entradasc) 4 entradas

d) 5 entradase) 6 entradas

6. Una bacteria recientemente encontrada duplica su poblacin cada minuto. Siinicialmente contamos con una bacteria, cuntas tendremos al cabo de 10 minutos?

a) 128b) 256c) 512

d) 1024e) 2048

7. La granja de la ta Petunia tiene 6 cerdos que comen 30kg de comida en 1 da. Cuntosdas durarn 50kg de comida en esta granja, si la ta sacrifica uno de los cerdos para unasado?

a) Menos de 1 dab) 1 dac) Entre 1 y dos das

d) 2 dase) Ms de 2 das