Taller 2
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Familia de curvas y trayectorias ortogonales 1. Determine la ecuaci´on diferencial de cada una de las siguientes familias unipa- ram´ etri cas de curvas x 2 + y 2 = 2cx y = ce x y = x sin(x + c) Todos los c´ ı rculos que pasan por (1, 0) y (0, 1). 2. Determine las trayectorias ortogonales a las siguien tes familias de curvas x 2 + y 2 = c y = cx 2 xy = c x − y 2 = c 3. ¿Cu´ales son las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = cx 4 ?. ¿Cu´ales son las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = cx n para un entero positivo n? Esboce ambas familias de curvas. 4. Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El ´ area bajo la curva desde (0, 0) hasta (x, y) es un tercio del ´ area del rect´ angulo que tiene a esos puntos como v´ ertices opuesto s. Hallar la ecuaci´on de esa curva. 5. Una silla de montar que tiene la forma de la superficie z = x 2 − y 2 est´ a a la interperie, bajo la lluvia. Hallar las trayectorias que seguir´ an las gotas de agua que caen por ella. Sugerencia: Esbozar la situaci´ on. Problemas de aplicaci´ on 1. Un cultiv o de bacteria s de p oblac i´on x crece a un ritmo proporcional a x. Si entre las 5 a.m. y las 9 a.m. la poblaci´ on de cuadruplica. ¿A que hora se encontrar´ an cien veces la cantidad de bacterias que habia a las 5a.m.? 2. Un moho crece a un ritmo proporcional a la cantidad presente. Inicialmente hab´ ıa 2 gramos. En dos d´ ıas ha pasado a haber 3 gramos. Si x = x(t) es la masa de moho en el instante t, probar que x(t) = 2 3 2 t/2 . Calcular la cantidad al cabo de 20 d ´ ıas. 3. La fisi´ on nuclear produce neutrones en una pila de radiois´ otopos a un ritmo pro- porcional al n´ umero de neutrones presentes en cada momento. Si hay n 0 neutrones inicialmente y hay n 1 y n 2 , en los instantes t 1 y t 2 respectivamente, demostrar que n 1 n 0 t 2 = n 2 n 0 t 1 . 1
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Familia de curvas y trayectorias ortogonales
1. Determine la ecuacion diferencial de cada una de las siguientes familias unipa-rametricas de curvas
x2 + y2 = 2cx y = cex
y = x sin(x + c) Todos los cırculos que pasan por (1, 0) y (0, 1).
2. Determine las trayectorias ortogonales a las siguientes familias de curvas
x2 + y
2 = c y = cx2
xy = c x− y2 = c
3. ¿Cuales son las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = cx4?. ¿Cualesson las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = cxn para un enteropositivo n? Esboce ambas familias de curvas.
4. Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El area bajo la curvadesde (0, 0) hasta (x, y) es un tercio del area del rectangulo que tiene a esos puntoscomo vertices opuestos. Hallar la ecuacion de esa curva.
5. Una silla de montar que tiene la forma de la superficie z = x2− y2 esta a la
interperie, bajo la lluvia. Hallar las trayectorias que seguiran las gotas de aguaque caen por ella. Sugerencia: Esbozar la situacion.
Problemas de aplicacion
1. Un cultivo de bacterias de poblacion x crece a un ritmo proporcional a x. Si entre
las 5 a.m. y las 9 a.m. la poblacion de cuadruplica. ¿A que hora se encontrarancien veces la cantidad de bacterias que habia a las 5a.m.?
2. Un moho crece a un ritmo proporcional a la cantidad presente. Inicialmente habıa2 gramos. En dos dıas ha pasado a haber 3 gramos.
Si x = x(t) es la masa de moho en el instante t, probar que x(t) = 23
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t/2.
Calcular la cantidad al cabo de 20 dıas.
3. La fision nuclear produce neutrones en una pila de radioisotopos a un ritmo pro-porcional al numero de neutrones presentes en cada momento. Si hay n0 neutronesinicialmente y hay n1 y n2, en los instantes t1 y t2 respectivamente, demostrar
que n1
n0
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n2
n0
t1
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4. Si la vida media de una sustancia radiactiva es de veinte dıas. ¿Cuanto tardara endesintegrarse el 90 % de ella?
5. Un deposito contiene 100 galones de salmuera en la que hay disuletas 40 libras de
sal. Se desea reducir la concentracion hasta 0.1 libras por galon, y ello vertiendoagua pura a razon de 5 galones por minuto y permitiendo que salga la mismacantidad, mientras se mantiene uniforme la mezcla removiendola. ¿En cuantotiempo se conseguira este proposito?
6. Se esta celebrando una fiesta en una habitacion que contiene 1800 pies cubicos deaire libre de monoxido de carbono. En el instante t = 0 varias personas comienzana fumar. El humo que contiene 6 % de monoxido de carbono, se introduce en lahabitacion a razon de 0.15 pies cubicos por minuto, y la mezcla, removida porventilacion, sale a ese mismo ritmo por una ventana. ¿Cuando debera abondonaruna persona esa fiesta, si el nivel de monoxido de carbono comienza a ser peligrosoa partir de una concentracion de 0.00018?
7. Supongamos que un cuerpo caliente se enfrıa a un ritmo proporcional a la dife-rencia de temperatura respecto del ambiente. (ley de enfriamiento de Newton).Un cuerpo se calienta a 110C y se coloca en aire a 10C. Al cabo de una hora sutemperatura es de 60C. ¿Cuanto tiempo tarda todavıa en alcanzar los 30C?
8. En el interior de la tierra la fuerza de gravedad es proporcional a la distancia alcentro. Si se perfora un agujero a traves de la tierra, desde un polo al otro, y sedeja caer una piedra en el agujero, ¿con que velocidad llegarıa al centro?
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