UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER ASIGNATURA: Clculo 1 Profesora: Viviana Andrea Parada Almeida.

TALLER 1: Funciones de Variable Real

1. IDENTIFICACIN DE FUNCIONES

Indique si los siguientes grficos corresponden a los de una funcin. Justificar.

2. DOMINIO DE FUNCIONES

a. Encuentra el dominio y el recorrido de las funciones representadas en cada uno de los siguientes grficos.

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b. Halle el dominio de las siguientes funciones

( ) )(ln xsenxf = 32

1)(

=xxxg

223)( xxxh =

221)(

xxxf

+=

221

1)(u

uf

= xxx

xxg23

1)( 23 ++

=

( ) 2/124)( = xxh

=

31cos)( xxf

3 1)( = ttg

3. GRFICA DE FUNCIONES

a. Grafique las siguientes funciones. Luego determine el dominio y recorrido de cada una de ellas. Utilice para ello las transformaciones a grficas elementales.

1241)( += xxf ( ) 3)2(1 = xxf 3|1|2)( += xxf

2321)( +

= xsenxf 2

1)(+

=x

xf

14

2)(

=x

xf

( ) 1)3(ln23

+= xxf 32)( = xexf

>

b. Dada las dos funciones )(xfy = cuya grfica se presentan a la izquierda, realiza el bosquejo de:

( ) 2)( += xfxg ( ) 1)(2 += xfxg ( ) 2)1( += xfxg ( ) ( ) 32 += xfxg ( ) ( )[ ]35 += xfxg

4. FUNCIONES INVERSAS

a. Observe las grficas de las siguientes funciones y determine cules de estas son inyectivas. En caso afirmativo trace la grfica de la funcin inversa.

b. Para cada una de las funciones determine si existe la funcin inversa.

En caso que exista, grafique la funcin y su inversa en el mismo sistema de

coordenadas. Verifique que efectivamente 1f es la inversa de f .

En caso que no exista, redefina la funcin haciendo una restriccin del dominio de f a fin de poder definir la funcin inversa y calclela. Dibuje f y 1f en el mismo sistema de coordenadas.

3)2()( += xxf x

xf+

=5

1)( 1,)1()( 2 = xxxf

2)1()( += xxf 31)( += xxf 2)( = xxf

2)4(1)(

=x

xf 2

)(xx eexf

= ( )54log)( 3 = xxf

( ]9,9)( 2 = xxxf ( )xxf ln2ln)( += 101)(

=221

xsixxsi

xf y ( )

>

=

0202

xsixxsix

xg

6. APLICACIONES

a. Un caso de aplicacin de la ley de Enfriamiento de Newton en medicina forense, consiste en determinar la hora en que falleci una persona cuyo cadver se encuentra en un medio ambiente fro. La homeostasis, o conjunto de funciones vitales de un individuo, regula su temperatura corporal (en condiciones normales, sin enfermedad) entre 36,5 y 37C; sin embargo al morir, el cadver del individuo se comporta como un cuerpo caliente en un medio fro (puesto que su organismo ya no produce calor).

Con estas condiciones resuelva la siguiente situacin: Don Matas, un campesino de la regin, sali una noche a cazar un zorro que se estaba robando sus gallinas. Al ver que amaneca y no llegaba a casa, su hermano Leopoldo fue a buscarlo. Cerca de las 5:00am encontr el cuerpo sin vida de don Matas, quien parece

resbal y rod por un peasco. Leopoldo avis a la polica. A las 6:00am aproximadamente, lleg el mdico forense de la polica, quien a esa hora tom la temperatura del cadver y anot 23C; una hora ms tarde, al darse cuenta de que en la noche, y an a esas horas, la temperatura ambiente era aproximadamente de 5C, el mdico volvi a medir la temperatura corporal del cadver y observ que era de 18,5C. A qu hora muri aproximadamente don Matas?

Nota: Suponga como tiempo inicial (t0=0) la hora en que se toma por primera vez la temperatura del cadver.

b. Un da cualquiera de invierno, un ingeniero agrnomo decide llevar un registro de la variacin de la temperatura en su cultivo de flores durante esa noche. Comenz a medirla desde las 11:00 pm hasta las 7:00 am del da siguiente, en intervalos de media hora. El ingeniero nota que la temperatura empieza a descender hasta alcanzar su mnimo valor de -1C a las 2:30 am y que a partir de esa hora, la temperatura vuelve a ascender hasta alcanzar su mximo valor de 26 C a las 7:00 am.

De acuerdo con lo anterior:

Cules son las dos variables que intervienen en la situacin? De las dos variables identificadas Cul es la variable independiente? Cul la

dependiente? Determine el dominio y el recorrido de funcin que modela esta situacin.

c. El siguiente grfico representa los ingresos diarios (en miles de pesos), I(n),

obtenidos en un cine local, en funcin del nmero de asistentes, n.

De acuerdo con la anterior informacin, responda las siguientes preguntas:

n

I(n)

10 20 30 40 50

45 90

135

180

225

Ingresos diarios

Nmeros de asistentes

60

Cul es el valor recaudado si a la funcin asisten 20 personas? Cuntas personas deben asistir a la funcin para obtener unos ingresos de

$225.000? Hallar un modelo matemtico que represente la situacin ( Es decir, exprese

los ingresos como una funcin del nmero de personas que asisten a la funcin)

Si al cine la caben 100 personas, Cul es el valor recaudado en una funcin que report un cupo completo en sus asistentes?

Cuntas personas tendran que asistir a la funcin para obtener unos ingresos de $382.000?

Cul es el valor, por persona, de la entrada a una funcin? De acuerdo con la situacin, determinar el dominio y el recorrido.

d. La temperatura medida en grados Farenheit es una funcin lineal de la temperatura medida en grados Celsius. Si se sabe que 0 Celsius son iguales a 32 Farenheit y que 100 Celsius son iguales a 212 Farenheit. Escriba la ecuacin de esta funcin lineal. Emplee la funcin obtenida en el tem anterior, para convertir 15 Celsius en

grados Farenheit Convertir 68 Farenheit en grados Celsius.

e. En la fotocopiadora MAXCOPY tienen la siguiente tarifa para hacer fotocopias de un mismo original:

Escriba la expresin algebraica de una funcin que relacione el nmero x de fotocopias con el valor total a cancelar por ellas.

Realice una grfica de la situacin presentada.

f. La contaminacin atmosfrica en una ciudad vara de acuerdo a la hora del da. Sea t el nmero de horas despus de las 6:00 am. La funcin )(tC da el ndice de contaminacin atmosfrica en funcin de t.

Cules son los niveles de contaminacin a las 7:00a.m.; 12m y a las 7p.m.?

g. Las ballenas azules recin nacidas miden aproximadamente 24 pies y pesan 3 toneladas. Estas ballenas jvenes son amamantadas durante 7 meses y, cuando se destetan, miden la impresionante cantidad de 53 pies (ms de 16 metros) y pesan 23 toneladas. Unos investigadores marinos encontraron una ballena de 30 pies de longitud. Calcula el peso de esta ballena Qu edad tiene esta ballena?

h. Suponer que se estima que la cantidad de desperdicios echados a un ro es una funcin cuadrtica del tiempo. Si se tiraron 11.5 ton en un periodo de 5 das, y 20.8 ton despus de 8 das, hallar la cantidad tirada en t das.

i. En un cierto lago, el pez rbalo se alimenta del pez pequeo gobio, y el gobio se alimenta de plankton. Supongamos que el tamao de la poblacin del rbalo es una funcin f(n) del nmero n de gobios presentes en el lago, y el nmero de gobios es una funcin g(x) de la cantidad x de plankton en el lago. Exprese el tamao de la poblacin del rbalo como una funcin de la cantidad de plankton, si

( )150

50 nnf += y g(x) = 4x + 3.

j. El consumo mundial de petrleo en millones de barriles diarios viene dado por el modelo matemtico 2( ) 0.1 2 58C x x x= + + Donde x es el nmero de aos desde 1985 (1985 corresponde a cero). De acuerdo con este modelo,

En qu ao se alcanzar el consumo mximo? Cul ser el consumo mximo? Cul ser el consumo en 1985? Hallar el dominio y el rango de la situacin

k. Un nio lanza una pelota hacia arriba desde el borde de una terraza. La altura (en metros), H, alcanzada por la pelota con respecto al nivel de la calle, t segundos despus de haberla lanzado, viene dada por la expresin 2( ) 5 5 15H t t t= + +

De acuerdo con lo anterior

Encontrar la altura de la terraza Despus de cuntos segundos la pelota vuelve a pasar por el borde de la

terraza?

Cul es la altura mxima alcanzada por la pelota y el tiempo que tarda en alcanzarla?

Despus de cuntos segundos la pelota choca contra el suelo? Representar en el plano cartesiano la situacin Determinar el dominio y el rango de la situacin

l. Durante el festival de cine de Cartagena la asistencia, en un da cualquiera, a las funciones, en cierto teatro, estuvo representada por el modelo 100402)( 2 ++= tttAdonde A(t) representa el nmero de personas asistentes al teatro y t el tiempo transcurrido (en horas), a partir de las 10a.m., hora en que se abri el teatro.

De acuerdo con esta informacin, responder:

Cuntas personas haban en el teatro a las 10:00 a.m.? Cul fue la asistencia mxima al teatro durante ese da? A qu horas se present la asistencia mxima? Si las funciones terminaban a media noche, cunta gente haba en el teatro a

esa hora? A qu horas haban 200 personas en el teatro?

m. La seccin transversal del techo de un auditorio tiene la forma de una parbola, tal

como se muestra a la derecha:

De acuerdo con lo anterior:

Expresar la altura, H, del techo con respecto al suelo como una funcin del ancho, x, del auditorio.

A qu altura con respecto al suelo quedarn ubicadas unas luces cuya distancia horizontal desde los muros al auditorio es de 3 metros?

A qu distancia horizontal, medida desde los muros, se tienen que colocar unos parlantes de sonido para que su altura con respecto al suelo sea de 4 metros?

n. Un telfono celular cuesta 39 dlares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos de dlar. El costo mensual es una

funcin de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como 39 si 0 400

( )39 0.2( 400) si 400

xC x

x x

= + >

Determinar:

El costo de 350 minutos El costo de 400 minutos El costo de 1000 minutos

o. La grfica que se da a continuacin muestra la poblacin de monos en un sector del

Amazonas entre el ao 2002 y 2006.

Cul es la poblacin de monos en 2002? Encontrar una funcin que modele la poblacin de monos t aos despus de 2002. Cul es la poblacin de monos proyectada en 2012? En qu ao la poblacin de venados llega a 100 000?

p. Una piscina mide 36 metros de largo por 15 de ancho. En las figuras tenemos un corte longitudinal de la piscina. Como se podr observe los primeros 12 metros es totalmente horizontal. Luego empieza una declinacin como lo muestra la figura. Sea h el nivel del agua medido en el lado derecho desde el fondo de la piscina. Exprese el volumen del agua como una funcin de h.

Poblacin de monos

()

0 1 2 3 4

10 000

20 000

30 000

Aos desde 2002

(4, 31 000) 40 000