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RAZONAMIENTO MATEMATICO TEORIA Y PROBLEMAS 1a EDICIÓN
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RAZONAMIENTO MATEMATICOTEORIA Y PROBLEMAS
1a EDICIÓN
WALTER PARDAVÉ LIVIA
RAZONAMIENTO MATEMATICOTEORIA Y PROBLEMAS
1a EDICIÓN
Sistemas & Computadores Ltda.Bucaramanga - 1999
PRIMERA EDICIONEnero de 1999
DIAGRAMACIÓN E IMPRESIÓNSistemas & Computadores Ltda.
Centro Empresarial Chicamocha Of. 303 SurTelf: (97) 6343558 - Fax (97) 6455869
Bucaramanga - Colombia
ISBN: 958-8037-19-0
Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra,por cualquier medio, sin autorización escrita del autor
Impreso en Colombia
A mi esposa Chelita y a mis hijasMaria Camila y Dina Marcela
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TABLA DE CONTENIDO
PREAMBULO ......................................................................................................... 11
COMO RESOLVER UN PROBLEMA? ................................................................. 13
CAPITULO I: OPERACIONES FUNDAMENTALES .......................................... 21
CAPITULO II: OPERADORES MATEMATICOS ................................................. 39
CAPITULO III: SERIES NUMERICAS ................................................................. 61
CAPITULO IV: HABILIDAD OPERATIVA ........................................................ 107
CAPITULO V: RAZONAMIENTO GEOMETRICO ........................................... 127
CAPITULO VI: CRIPTOGRAMA ........................................................................ 149
CAPITULO VII: RAZONAMIENTO LOGICO ................................................... 171
CAPITULO VIII: TRAZO DE FIGURAS............................................................. 179
CAPITULO IX: PSICOTECNICO ........................................................................ 183
CAPITULO X: PERIMETROS Y AREAS SOMBREADAS ............................... 209
CAPITULO XI: TEST EVALUACION................................................................. 231
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PREAMBULO
El razonamiento matemático, es un tipo particular de exigencia anivel pre-universitario y superior, que se ha generalizado en lo últimosaños, por ello este libro habrá de permitirles ejercitar sus capacidadesen las áreas matemáticas, además de brindarles importantes mecánicasresolutivas para que superen con exitos los exámenes o evaluacionesque han de someterse.
Pretendo llegar al estudiantado y público en general con un trabajonovedoso en cuanto a contenidos y metodología de presentación detemáticas como: operadores matemáticos, criptograma, trazo defiguras, habilidad operativa, figuras análogas, etc.
Quiero agradecer a las personas que han hecho propicia esta edición,a quienes me favorezcan con su preferencia y dedicar la obra a misalumnos pasados, presentes y futuros; de quienes aprendo muchocada día.
EL AUTOR
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COMO RESOLVER UN PROBLEMA?
‘Todos tenemos problemas”. Es una frase, muy conocida y aceptada por todos.En efecto la vida nos enfrenta a situaciones que debemos resolver continuamente,algunas veces nosotros solos, otras con ayuda de los demás. Pero no solo existenproblemas a nivel personal, las sociedades en las cuales nos desenvolvemos y enlas de todo el mundo afrontan dificultades o problemas, los cuales pueden sereconómicos, culturales, religiosos, etc., en fin, de una gran diversidad.
El planeta tierra se enfrenta a múltiples problemas, llámese por ejemplo laexistencia de vida en otros planetas, hasta cuando durará la energía solar etc. Nohay ciencia que no se enfrente a problemas en sus respectivos campos. Es decir,existe una inmensa variedad y cantidad de problemas que afectan al ser humano,los hay desde muy simples hasta realmente complejos, tanto que al hombre letoma muchos años resolverlos. Pero así como van surgiendo los problemas, vansurgiendo las soluciones, al desarrollo que actualmente el hombre ha resueltocon esa admirable tenacidad e inteligencia que le caracterizan.
Toda esta variedad y cantidad de problemas que existen han hecho también quemuchos hombres se pregunten: ¿Existe un método universal para su solución ?.Se ha buscado la respuesta en las Matemáticas. Sabemos que casi todas lascuestiones matemáticas son susceptibles de solución, pero para resolver unproblema matemático tiene que estar expresado en el lenguaje de las matemáticasy esto representa otra gran dificultad.
Si hablamos de problemas biológicos, económicos, raciales, políticos, etc, : loscuales son realmente difíciles de resolver, porque generalmente sus problemastienen más de una incógnita y/o dependen de un gran número de elementosvariables que muchas veces no se pueden aislar, por lo que es muy difícilrelacionarlos exactamente con los datos; todo lo cual implica que en tales sectorescon los conocimientos que actualmente posee la ciencia, es imposible plantearuna ecuación matemática,. Por ejemplo el problema de la salud de una personaque depende, entre otras, cosas de la edad, la temperatura, la presión sanguínea,la alimentación, etc., cuando nos enfermamos no existe a disposición del médico
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una ecuación en la que él reemplace determinados datos y al despejar la ecuaciónaparezca como respuesta que enfermedad padecemos y que hay que hacer paracurarnos. El médico tiene que resolver el problema de curarla apoyado en suexperiencia personal y en el estudio de otros casos análogos. Así sucede convarias otras ciencias que no pueden resolver sus problemas matemáticamente.
Para suerte nuestra, por ahora, vamos a enfrentarnos a problemas susceptiblesde ser resueltos matemáticamente, ellos al igual que cualquier otro tipo deproblema, tienen datos e incógnitas.
Podemos decir que los datos son las informaciones de las cuales disponemospara poder resolver el problema, informaciones que tienen que ver con la incógnita,es decir lo que desconocemos.
Hablemos ahora de los problemas que habremos de resolver durante nuestrapreparación. Ellos pertenecen a las matemáticas elementales, pueden inclusoresolverse por distintos métodos, y como ahora estamos tratando de aumentarnuestra capacidad de razonamiento, vamos a dar una serie de pautas que habremosde aplicar en cada problema para conseguir su solución. ¿Significa esto que nosvamos a mecanizar?. De ninguna manera, cada problema es una particularidaden la cual Ud. debe aplicar creativamente los consejos que a continuación he dedescribir.
Nuestro plan de solución es el siguiente:
1. Querer resolver el problema
2. Entender el problema
3. Imaginar un plan para resolverlo
4. Realizar un plan,
5. Examinar la solución obtenida.
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1. QUERER RESOLVER EL PROBLEMA
Es el primer paso y consiste en una actitud fundamentalmente de carácter anímico.Debe Ud. estar predispuesto psicológicamente a resolver las dificultades, pormás simples o complicados que el problema le parezca, Ud. debe estar dispuestoa enfrentarse a él y a vencerlo. Cada problema es un reto a su capacidad; es unreto que Ud. acepta y que hará para que para superarlo, haga uso de todas lasarmas disponibles que le permitan resolverlo. Su actitud en estos casos esdeterminante: ¡El hombre no logra nada que no se proponga! Recordemos sinoaquella célebre frase del Dr. Barnard “Si piensas que estas vencido lo estas”, “Sipiensas que puedes, podrás”.
Querer resolver el problema es haberlo resuelto ya en un 50%.
2. ENTENDER EL PROBLEMA
Es este el segundo paso. Es muy importante que Ud. entienda el problema, pueses casi seguro que de no hacerlo asi no podrá resolverlo a plenitud. Imagíneseque usted corresponsal de una revista, y es designado para hacer un comentariosobre una conferencia que abordará el tema “La acción de los ácidos Ribonucleicoy desoxiribonucleíco en los origenes de la vida”. Usted llega a la conferencia yésta se desarrolla fundamentalmente desde el punto de vista técnico, abarcandocomplicadas descripciones químicas y biológicas que usted desconoce y que porlo tanto no le permiten entender casi nada de lo que allí se habla ¡Cree usted quepodrá escribir un buen artículo acerca de lo que ha escuchado pero no haentendido?. Lo más probable es que no pueda hacerlo. Lo mismo se ha de pasarante un problema matemático sino lo entiende, si no sabe de que se trata, es muyprobable que no pueda resolverlo.
Para facilitar su labor de entendimiento, le sugiero, que inicialmente analicedetalladamente el enunciado; trate de fijar con precisión la incógnita, los datos ylas condiciones; estudiando, hágase las siguientes preguntas:
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* ¿Cuál es la incógnita? Apuntela.
* ¿Cuáles son los datos? Apuntelos
* ¿Hay alguna condición? Señalela
* ¿Con los datos podré satisfacer la condición ¡ Pienselo!
* ¿Son los datos suficientes? ¿Son pocos? ¿O son demasiados?
* ¿El problema pertenece al Algebra? a la Geometría? A que área de lasmatemáticas pertenece?.
* ¿De que se trata este problema? ¿Que cantidades intervienen en él? ¿Intervienenpersonas, edades, porcentajes, áreas?.
* ¿Recuerda a leerlo a algún otro problema? ¿En qué se parecen?.
* ¿Puede cambiarle de datos a este problema, sin que su estructura varíe?.
Es decir lo que usted debe hacer es investigar, y ésta, es una actitud mentalimportante, por cuanto cualquier rama de las ciencias, exactas o no, por la cualusted se incline, está en constante investigación. El hombre pasa su vidainvestigando diferentes hechos y situaciones debido a su insaciable curiosidad yafán de progreso.
Cada problema deber ser una aventura intelectual, es un reto que usted tiene quevencer, para ello es necesario conocer todo lo que pueda acerca de él, piense en,todos los problemas que hasta ahora ha resuelto durante su vida, no negará quesiempre ha empezado analizándolos en sus diferentes partes, lo cual le permitiódominar al problema, es decir entenderlo totalmente.
3. IMAGINAR UN PLAN DE SOLUCION
Imagine usted En estos momentos desea cruzar una orilla a otra de un rio y noexiste un puente para tal efecto, siendo considerable la anchura del río, piense,cuál seria su actitud? Su deseo de cruzar (paso l), se la hará entender la situaciónen la que se encuentra, analizará usted de que medios dispone para lograrlo, y
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empezará a esbozar un plan para cruzarlo, ¿lo hará a nado?, ¿Se construirá unaembarcación?, ¿Intentará buscar un lugar adecuado para cruzarlo?. Note queestas son formas de resolver la dificultad que le afecta y que usted está viendocuál le conviene más. ¿No es así?.
De la misma manera proceda ante un problema matemático, después del paso (2)ya está usted convertido en un investigador, para lo cual deber estar su capacidadde esfuerzo original trabajando al máximo. Tal vez este usted desorientado en elcamino que le lleve a la solución, pregúntese:
* ¿Que relación existe entre mis datos y mis incógnitas?
* ¿Puedo representar matemáticamente la relación existente entre datos eincógnitas? ¿Si? ¿Cómo?, ¿No?, ¿Porqué?.
* ¿Puedo escribir los datos en función de las incógnitas?
* ¿Y la condición? ¿La puede representar?
* ¿Si hago un gráfico?, ¿Será mejor?
Si áun no da con la idea definitiva; piense asi:
* ¿He visto antes algo parecido?
* ¿Conozco esta clase de problemas? ¿A qué campo pertenecen?
* ¿Conozco alguna propiedad relacionada con el problema?
* ¿He estudiado antes algo que podría servirme ahora?
* ¿Vi antes resolver algún problema parecido? ¿Si? ¿Puedo utilizar áquel métodopara resolver este problema?
* ¿Puedo introducir algunas incógnitas o datos auxiliares que no cambien laesencia del problema, y que me permiten resolverlo?.
Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primeramente algúnproblema relacionado con él.
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* Puede usted imaginar algún problema más accesible, pero relacionado con elque tiene enfrente? ¿O un problema más general? ¿O un problema más especial?.
* Esta utilizando todos los datos? ¿La condición, la ha entendido íntegramente?¿Está usándola bien? ¿No se olvidó de algún dato o propiedad?.
Si se trata de un problema geométrico, es siempre recomendable dibujar las figurasque intervienen y señalar en ellas los datos e incógnitas que le den.
Es decir inicialmente debe de recurrir a la anologia, revisar sus conocimientos,apelando a su sagacidad y habilidad mental que algunos psicólogos llaman“Iluminación” o “Bright idea” (Idea Brillante), que consiste en dar, por intermediodel razonamiento con la idea que ha de constituir la clave órientadora de sufutura acción en procura de la solución.
4. REALIZAR EL PLAN QUE LE LLEVARA A LASOLUCIÓN
En el punto anterior, ya dió con el camino para resolver el problema, ahora sólole queda materializarlo, efectuar las operaciones y demostraciones indispensables,ya sean ellas geométricas, algebraicas o aritméticas.
Si fuera problema demostrativo es preciso encontrar la cadena de razonamientosque tiene como primer eslabón la hipótesis y como último la tésis.
Si fuera problema de hallar una incógnita, escoja el método de resolver ecuacionesmás adecuado y realice las operaciones necesarias para encontrar la solución.
Realice su plan ordenadamente, controlando cada paso, para ir viendo así si escorrecto lo que va haciendo.
Si aún no tiene mucha práctica, numere cada uno de los pasos que va dando,realice con cuidado las operaciones y cálculos, poniéndolos en lugar visible detal manera que luego pueda ubicarlos fácilmente, para su revisión.
Fundamentalmente cada uno de los pasos que vaya dando, es decir, debe tenerplena conciencia del principio en el cual esta basándose para dar tal o cual paso.
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Finalmente después de una interesante aventura intelectural habra logrado darcon la solución y no lo oculte, ahora le invade una gran satisfacción, una granalegría, que premio el esfuerzo realizado y le insta a seguir resolviendo la mayorcantidad de problemas, pues sabe usted que en la práctica está la clave del éxito.
5. REPASANDO EL PROBLEMA
Con el objetivo de fijar conceptos y métodos; de ejercitar su razonamiento,autocriticar su trabajo intelectual, debe efectuar una revisión análitica del procesoseguido. Debe estar convencido de que la solución es correcta efectuando paraello, una, revisión de todo lo que ha hecho.
Así mismo, para aumentar sus fronteras intelectuales, trate de generalizar elproblema y encontrarle otras aplicaciones. Aquí debe hacerse notorio su dominiodel problema, preguntese
* ¿Puedo constatar el resultado? ¿Cómo?
* ¿Puedo constatar el razonamiento seguido paso a paso? ¿Debo de repasarlo?
* ¿Puedo derivar resultados diferentes? ¿Cuál es?
* ¿Puedo crear un problema semejante dándome yo mismo los datos?
* ¿Puedo esbozar otra manera de resolver el problema?
* ¿Puedo, el método que aquí he empleado, utilizarlo para resolver otrosproblemas?, ¿En cuáles?
Toda esta serie de preguntas harán que pueda llegar a dominar totalmente unproblema, haciendo que su capacidad de razonamiento y su experiencia matemáticaaumente notablemente, y harán que se vaya formando en usted el espiritu de labúsqueda científica que le llevaran ha aventurarse en trabajos intelectuales cadavez más arduos con la convicción de que es usted capaz de resolver cualquierproblema, teniendo las bases necesarias, sólo tiene que proponerlo.
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CAPITULO I
OPERACIONES FUNDAMENTALES
Para resolver los problemas pertenecientes a este capitulo, no necesitamos másque conocer los principios fundamentales que rigen a la suma, resta, multiplicacióny división; además de tener rapidez para efectuar los cálculos numéricos necesarios.Por lo tanto nos remitiremos a la solución de problemas como los que acontinuación se detallan:
1.
Hallar el valor de A + B + C + D en
777777............................77777777777............................77777 77777............................77777
............................................. ........................................... .......................................... ........................................... ..........................................
77777 7777 777 77 7
____________________DCBA
Solución
Recordemos los principios que utilizamos para sumar habitualmente.
77 Sumandos
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* La cifra de las unidades del resultado de la suma total, está dada por la sumade las cifras de los sumandos.
* Las cifras que le siguen son el resultado de sumar las respectivas columnas,aumentándoles en cada caso lo que se lleva de la suma anterior.
* Realizada la suma de cada columna, Si es mayor que 9 unidades; la cifra dela derecha se coloca debajo de la columna sumada (“se pone”, “se queda”, yla (a) otra (s) se le agrega (n) a la columna siguiente (“se lleva”)
Así en nuestro caso:
la. Columna: A 77(7) = 539 “Se queda” A=9
“Se lleva 53”
2a. Columna: B76(7) = 532 + 53 = 58 “Se pone” B=5
3a. Columna: C 75(7) 525 + 58 = 583 “Se pone” C = 3
4a. Columna: D 74(7) = 518 + 58 = 536 “Se pone” D=6
Finalmente entonces : A + B + C + D = 9 + 5 + 3 + 6 = 23
¿Ha entendido usted? ... ¡Cerciórese que así seal. No olvide los principios utilizadosy apliquelos a problemas que tengan la misma estructura.
2.
Si : (a + b + c)2 = 144. Hallar abc + bca + cab.
Solución:
* Del dato tenemos: (a + b + c)2 = 144 a + b + c = 12 ¿Diga usted porquétomamos la raíz (12) con signo positivo y no con negativo?.
à
23
* Ahora coloquemos los sumandos en forma vertical, tenemos:
abc +bcacab???
* De donde notamos que la cifra de las unidades será igual al valor de la suma:(a + b + c), entonces,
Cifra de las unidades c+a+b = 12 se “pone” 2
Cifra de las decenas b+c+a+1 = 13 se “queda” 3
Cifra de las centenas a+b+c+1 = 13, aquí acaba la suma.
Luego : abc + bca + cab = 1332. ¿De acuerdo? Ahora hagos unos problemassobre multiplicación ¿Sabe usted multiplicar? ¿Si? ... ¡Vamos a comprobarlo!
3.
Supongamos que : mnp x a = 214
b x mnp = 412
c x mnp = 366. Hallar : mnp x abc
Solución:
Recordemos como multiplicamos habitualmente. Ejemplo 432 x 432 x Multiplicando 123 123 Multiplicador1296 3 x 432864 2 x 432 Productos parciales432 1 x 432
53136
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Como puede usted observar cada producto parcial es resultado de multiplicar almultiplicando por cada cifra del multiplicador, y los respectivos resultados(productos parciales) se van colocando uno debajo del otro corriéndolos un lugarhacia la izquierda.
¿Entiende usted? Bien ahora apliquemos tal principio a nuestro problema.
mnp x abc mnp x mnp x
abc abc
c x mnp Reemplazamos 366
los respectivos 412
b x mnp valores
a x mnp 214
25886
Finalmente diremos que: mnp x abc = 25,886 ¿Está todo claro?...
4.
Ejercite usted su entendimiento resolviendo:
Si:S x LUNA = 3088
L x LUNA = 2435
O = Cero Hallar LUNA x SOL
RPTA: 311235
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5.
Se multiplica el número 47 por otro de 2 cifras y resulta 1786. Si la cifra de lasdecenas del número desconocido es 3. Diga cuál es dicho número sin efectuarninguna división. ¿Es posible?.
Solución:
¡Claro que es posible! lo que nos falta es la cifra de las unidades del númerobuscado, el cual al multiplícarse por 47 nos da 1786. Pensemos entonces, la cifrade las unidades multiplicada por 7 tiene que acabar en 6. ¿De a acuerdo?. Entonces¿Qué número multiplicado por 7 acaba en 6?. ¡Correcto!., el único que cumplees 8.
Luego el número buscado será : 38
6.
Multiplico el número 29 por un número de 2 cifras que tiene ocho decenas yobtengo como resultado un número que acaba en 65. Sin realizar ningunaoperación, dé usted el valor del multiplicador.
RPTA 85
¿Podría usted «inventar» problemas semejantes a los anteriores?.
7.
Un alumno ha de multiplicar un número por 50, pero al hacerlo se olvida deponer el cero a la derecha, hallando así un producto que se diferencia del verdaderoen 11610. ¿Cuál es el número que le dieron para multiplicar?.
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Solución
* Piense en lo que va a leer a continuación
* Si el alumno hacia lo correcto, el número pedido iba a quedar multiplicadopor 50, pero como no ha puesto el 0, concluimos que el número ha quedadoúnicamente multiplicado por 5, ¿De acuerdo?
* A su vez, la anterior conclusión, implica que la diferencia entre ambos productossea 50 - 5 = 45 veces el número pedido, diferencia, que a su vez por el dato,es igual a 11610. Luego, si 45 veces el número pedido es igual a 11610,entonces el número pedido será : 11610 / 45 = 258.
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¿Cuál es el menor número que multiplicado por 33 nos da un número cuyascifras son todas 7?
Solución
* Si es N el número pedido, tenemos que : Nx33=77......7
De donde podemos ver que : N=77 7÷33, como vemos el cociente de estadivisión debe ser exacto y nos permite hallar el número pedido. Dividiremospor lo tanto, entre 33 a un número que tenga las cifras 7 necesarias para hacerque el resto sea cero.
* Pero, tal vez usted, me diga: ¿Cómo sabemos cuántas cifras 7 posee el númeroque hace de Dividendo?.
* Su pregunta es correcta, pero en realidad no hay necesidad de saberlo, puestoque podemos divir de la siguiente manera: Tomamos para empezar comodividendo a 77, al dividir entre 33 el resto, no es cero; entonces aumentamosuna cifra 7 al dividendo y volvemos a dividir, si el resto aún no es cero,continuamos aumentando cifras 7 al dividendo hasta lograr que la división sea
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exacta; una vez que lo logremos ya sabemos que el número buscado (N) seráel cociente de la división realizada.
* Luego dividiendo de la manera indicada, hallamos N = 23,659.
9.
¿Cuál es el menor número de 5 cifras que multiplicado por 33 nos da un productocuyas cifras son todas 8?.
RPTA : 40404
10.
Entre 8 personas tienen que pagar por partes iguales $20.000.-, como algunas deellas no pueden hacerlo, cada una de las restantes tiene que pagar $1.500 máspara cancelar la deuda.
¿Cuántas personas no pagarán?
Solución
Razonando a la vez que realizando los cálculos tendremos
* Si entre 8 personas tienen que pagar $20,000 en partes iguales, luego, cadapagará: 20,000 / 8 = 2.500
* Como se van algunas sin pagar, ahora cada una de las que se quedanpagan $1,500 más, quiere decir que cada una de las que se queda pagará:2,500 + 1,500 = 4,000
* Sien ahora digamos así : Si hay que pagar 20,000 y cada persona paga$4,000 ¿Cuántas personas pagarán? ¡claro! tiene usted razón, pagarán:20,000 / 4,000 = 5 personas.
* Entonces sí inicialmente eran 8 personas y ahora son sólo 5 las que paganconcluimos en que se han ido sin pagar 8 - 5 = 3 personas.
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PROBLEMAS PROPUESTOS
* Tiempo de duración : lh 30'
1. Pedro tiene 2436 pesos. María tiene 3118 pesos más que pedro y 2025 pesosmenos que los que Jorge tiene. A su vez Casimiro tiene 2400 más que Maríay 2300 menos que Armando.
¿Cuánto poseen entre todos?
a) $37377 = b) $43777 = d) $37777 =
c) $33777 = e) N.A
2. Jaime a cambio de “y” metros de casimir ha entregado “x” metros de paño¿Cuánto cuestan 2 metros de casimir si, al metros de paño se pagan “3m”pesos
a) 2xn/y b 2xn/y2 c) xn/2y d) f. datos e) 2ny/x
3. Se han distribuido 7,000 pesos entre cuatro personas de la siguiente maneraA la primera 1.245.20 pesos, a la segunda se le dió una Cantidad que excedea lo de la primera en 85.40 pesos a la tercera tanto como a las dos primerasjuntas, menos 1,000 pesos y a la cuarta se le entregó el resto del dinero.¿Cuánto le correspondió a esta última?.
a) 1,575.80 b)1,33 0.60 c)l,575.8 d)2,848.40 e)N.A.
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4. En el presente problema hallar: E = (A+B) - (C+D)
79 sumandos 6 5 6 5 6 5 6 5. . . . . . . 6 5 6 5 + 6 5 6 5 6 5 6. . . . . . . 5 6 5 6 6 5 6 5 6 5. . . . . . . 6 5 6 5
6 5 6 5 6. . . . . . . 5 6 5 6 . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .6 5 6 5 6 5 6 6 5
64 7 3 9
D C A B
a) 12 b) 6 c) 5 d) 2 e) N.A
5. Si se sabe que: a + b + c = 27 - d - (e + f)
Hallar: E = abcdef+bcdefa+fabcde+cdefab+efabcd+defabc
Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado.
a) 27 b) 29 c) 35 d) 54 e) Faltan datos
6. Si sabemos que
300 cifras 200 cifras
A = 999 . . . . . . . . . . 9999 B = 848484. . . . . . . . . .84
30
178 cifras 200 cifras
C = 313131 . . . . . . . . . . 313131 D = 656565 . . . . . . . . . .6565
Hallar entonces : E = A + E - ( D - C )
Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado
a) 865 b) 346 c) 858 d) 820 e) N.A.
7. Hallar la suma de las cifras del resultado de multiplicar: abc x 512; sabiendoque la suma de los productos parciales (sumados convencionalmente) nosda 4096
a) 32 b) 19 c) 25 d) N.A. e) Faltan datos
8. Hallar E = (b + c) - ( a + d), si en el producto:
abcd x 95, la diferencia de los productos parciales en 15,372.
a) 12 b) 8 c) 5 d) 6 e) N.A.
9. Un comerciante adquirió 780 naranjas a 4.48 pesos cada una, y por cadadocena que compraba le regalaban una. A cómo debe vender cada una de lasque le quedan luego de haber perdido 12 naranjas, si quiere obtener unautilidad de 1,075.20.
a) $5.85 b) $5.00 c) $5.50 d) $6.10 e) N.A.
10. Un vendedor de manzanas compra 152 Kg. de ellas a $15= el kg. después dehaber vendido 32 Kg. a 18 cada kilo, guarda el resto por varios díasmalográndose el 30%. A cómo debe vender el Kg. de lo que le queda paraque pueda obtener un total de 144 pesos de ganancia?.
a) $22 b) $20 c) $19 d) $21 e) N.A.
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11. Ivonne y Mariela tienen 10 y 8 naranjas respectivamente. Cuando se prestabana comerlas llega Fernando, con quien comparten las naranjas; comiendotodos por igual. Al retirarse Fernando saca 60 de su bolsillo y le da 30acada una como agradecimiento por su acción; sorprendentemente Ivonnese niega a recibirlos aduciendo que la repartición del dinero ha sido injustay que a cada una se le debe dar de acuerdo al número de naranjas que cadauna de ellas haya recibido Fernando. Finalmente, luego de reflexionar,Fernando se da cuenta del error que habla cometido en el reparto del dineroy le da a Ivonne lo que le corresponde. Tal suma es
a) $ 35 b) $ 45 c) $ 55 d) $ 40 e) $ 20
12. Se ha repartido una ración de vino a todos los soldados de una guarnición Sise sabe que con un litro alcanzaba para dos raciones y media, y que el tonelde 210 litros ha costado 787 50 pesos. Se desea saber cuántos soldadosintervinieron en la maniobra sabiendo que el vino nos ha ocasionado un gastototal de 40,950 pesos.
a) 23,700 soldados b) 27,300 soldados c) 20,730 soldados
d) 20,073 soldados e) 20,037 soldados
13. Un cañon dispara 35 balas cada hora y otro solamente 24 balas en el mismotiempo y cuando empezó a disparar el segundo, el primero ya habla estadodisparando 3 horas. Hallar la suma de las cifras de los números que representanla cantidad de cañonazos que cada uno habla disparado hasta que en totalentre los dos dispararon juntos 518 cañonazos y desde que ambos dispararonjuntos.
a) 26 b) 31 c) 29 d) 32 e) N.A.
14. Pedrin ha vendido 20 bicicletas y 40 motos por un precio total de $53,600.=,que excede en 6,000 pesos a lo que en total pagó por todos ellos.
Si el costo de una moto es el cuádruple que el de una bicicleta, aunque lasutilidades que cada una de ellas produce están en relación a la de sus costos;
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digase ¿Cuál es la diferencia entre los precios de costo de una bicicleta y unamoto?
a) $690 b) $960 c) $l,280 d) $320 e) N.A.
15. En cierta feria salen premiados un juego; 20 adultos, 10 mujeres y 5 niños,recibiendo entre todos ellos un total de 9,250 pesos. Si sabemos que unamujer recibe tanto dinero como 2 niños y que un adulto recibe tanto como 4mujeres. ¿Cuál es la diferencia entre lo que reciben 2 adultos y 3 mujeres?.
a)$400 b) $960 c) $1.280 d) $320 e) N.A.
16. Para la sala de un teatro se habían proyectado cierto número de filas con 35butacas cada uno; pero por disposición de la Gerencia, el mismo númerototal de butacas que hablan inicialmente proyectado, se distribuyen ahoraaumentando 18 filas y disminuyendo 14 butacas en cada una. Diga ustedcuál es el número total de butacas que se han proyectado.
a) 915 b) 855 c) 682 d) 945 e) N.A.
17. Con un cierto número hago las siguientes operaciones: lo elevo al cuadrado,al resultado le quito 15 y lo multiplico por 3, al número así obtenido 10divido entre 6 y luego lo elevo al cubo, obteniendo un número al cual luegode aumentarle 19 unidades le extraigo raíz cuadrada para obtener 12 comoresultado final. Siendo positivo el número que tenía inicalmente, diga ¿Cuálde los siguientes es el doble de él?.
a) 10 b) 6 c) 14 d) 21 e) 12
18. Hacerle un “favor” a un amigo significa lo siguiente : Darle pesos luegoduplicarle el dinero que tenga después que le di 10 pesos y para noperjúdicarme tanto, cobrarle 15 por cada “favor”.
a) $14 b) $ 3 c) 5 d) 2 e) N.A.
+
33
OPERACIONES COMBINADAS
El presente capitulo, tiene por objeto presentarle un método bastante simple deresolver cierto tipo de problemas, los cuales muchas veces se resuelven porecuaciones, las que acarrean un mayor uso de tiempo en la solución.
I. Suma y diferencia
Si de dos números nos dan como datos su suma (S) y diferencia (D) pidiéndonoshallar ambas cantidades, procederemos de la siguiente manera:
SUMA + DIFERENCIA S + DNo. mayor = =
2 2SUMA - DIFERENCIA S - D
No. menor = = 2 2
1.
La suma de 2 números es 800 y su diferencia 200. Hallar cada uno de ellos.
Solución800 + 200
No. mayor = = 500 2
S = 800 800 - 200D = 200 No. Menor = = 300
2
+
34
2.
La suma de 2 cantidades es 11/10 y el menor es 1/10 menos que el mayor. Dichosnúmeros son:
Solución
En este caso:11/10 + 1/10 12 3
Suma = 11/10 No. mayor = = =2 20 5
11/10 - 1/10 10 1Diferencia = 1/10 No. menor = = =
2 20 2
3.
- ¿Qué hora? le pregunta Juan a José
- José le responde Quedan del día 8 horas menos que los transcurridos.
- Decir : ¿Qué hora es?.
Solución:
En el momento en que usted está leyendo este problema, notará que del día hantranscurrido cierto número de horas y aún faltan transcurrir otras, para que el díaacabe. Esta situación se produce en cada momento del día, es decir, en todoinstante hay horas transcurrida. y horas que faltan transcurrir, y ambos tiposde horas se completan entre sí para dar las 24 horas del dia, ¿No es asi?.
En nuestro problema las horas que quedan son 8 menos que las transcurridas, esdecir, su diferencia es 8. Entonces:
35
24 + 8HORAS TRANSCURRIDAS = No. Mayor = = 16 horas
2Quiere decir, que si han transcurrido 16 horas del día, son las 4 p.m.
4.
Cuando un buque navega en un río en el sentido de la corriente la velocidad quedesarrolla es 80 Krn/h. y cuando lo hace en contra de ella su velocidad es de 20Km/h. Si se sabe que ambos casos el motor funciona a plena potencia, Diga:¿Cuál es la velocidad de la corriente?.
Solución
* Suponga usted que en estos momentos se encuentra en una lancha sobre el rioAmazonas, Si navega a favor de la corriente, la velocidad de la lancha se veráaumentada en el valor de la velocidad de la corriente que favorece almovimiento, es decir en este caso ambas velocidades se suman. ¿De acuerdo?.
* Cuando vaya usted en contra de la corriente las velocidades se restarán¿Porqué?.
No olvide además que para que usted pueda viajar en contra de la corriente, lavelocidad de la lancha tiene que ser mayor que la velocidad de la corriente ¿Porqué?
Entonces tenemos
80 + 20No. Mayor = V. Lancha = = 50 Km/h
280 - 20
No. Menor = V. Corriente = = 30 Km/h 2
36
5.
Un campo de forma rectangular tiene 180 metros de perímetro. Calcular su área,sabiendo que el largo excede el ancho en 18 metros.
Solución
* El perímetro de un rectángulo es dos veces la suma de sus 2 lados, ¡Demuéstrelousted!
* Entonces, si el perímetro vale 180 m. la suma de sus 2 lados será 90 mts.
* Que una cantidad A exceda a otra B en una cantidad “m” significa; primeroque A es mayor que B y además que la diferencia entre ambos equivale a “m”es decir, A - B = m.
En nuestro caso la diferencia entre largo y ancho es 18 mts. puesto que ellargo EXCEDE el ancho en tal cantidad. ¿De acuerdo?.
Entonces
90 + 18
LARGO = No. Mayor = = 54 m
2
90 - 18
ANCHO No. Menor = = 36 m
2
El área será : 54 x 36 = 1.994 m2
6.
Entre 2 personas tienen 196 pesos. Si una de ella diera a la otra, los 2 tendríaniguales cantidades. ¿Cuánto tiene la mayor?.
37
Solución
En este caso la suma es $ 196
La diferencia es 2 x 8 = $ 16. Explique usted porqué?
Entonces:196 + 16 212
No. Mayor = = 106 pesos 2 2
PROBLEMAS PROPUESTOS
* Tiempo de Duración 20 minutos
1. Hallar el mayor de 2 números sabiendo que su suma es el máximo número de3 cifras y diferencia es máximo número de 2 cifras en el sistema decimal. Elduplo del mayor es:
a) 1.098 b) 2989 c) 1,198 d) 900 e) 918
2. Qué hora será dentro de 3 horas, si en este momento las horas transcurridasson excedidas en 10 por las que aún no han pasado?
a) 7p.m b) 10 a.m c) 10 p.m d) 5 p.m e) 8 p.m
3. Agosto trae 30 días. Mi cumpleaños será aquel día en el cual los días que yahaya vivido, excederán el doble de 6 a los que aún falten vivir de aquel mes.Qué día de Agosto es mi cumpleaños.
a) 22 Agost. b) 9 Agost. c) 21 Agost. d) 12 Agost. e) N.A
38
4. Una botella con su tapa cuesta $ 3.50 y la tapa sólo cuesta 0.50 menos que labotella. ¿Cuánto vale la botella?.
a)$ 3. b) $ 2.= c) 1.50 d) 3.50 e) 2.75
5. Una aguja con soporte vale $ 11/16 y el soporte vale 1/16 menos que laaguja. ¿Cuánto vale esta?
a) $ 2 2/23 b) 2 3/2 c) 1/8 d) 3/8 e) N.A.
6. El doble del perímetro de un rectangulo es 816 mts. y el ancho tiene 8 metrosmenos que el largo. El área es m2 es
a) 39,984 b) 39,489 c) 3,264 d) 38,994 e) N.ant.
7. Es una fiesta en la cual hay 42 personas, la primera dama baila con 7 caballeros,la segunda con 8, la tercera con 9, y así sucesivamente hasta que la últimabaila con todos los caballeros. ¿Cuántos caballeros hay?.
a) 24 b) 16 c) 18 d) 20 e) 30
8. Jaime tiene 20 años más que Patty, dentro de 20 años ambos tendrán 76años. ¿Cuántos años tenía Jaime hace 3 años?.
a) 25 años b) 5 años c) 25 años d) 33 años e) 28 años
9. Se compran 2 piezas de género, una de ellas ha costado $ 600. y la otra $2.000. Un metro de la segunda vale $ 10 más que un metro de la primera, ycon $ 70 puede comprarse un metro de cada una,. ¿Cuántos metros de génerose tienen en total?
a) 60 mts b)70 mts c) 20 mts d) 50 mts e) 65 mts
39
CAPITULO II
OPERADORES MATEMATICOS
1. CONCEPTO :
Son símbolos especiales de operación que tiene por finalidad realizar operacionescombinadas (Suma, resta, .. etc.) por medio de una estructura matemáticapreviamente definida.
2. SIMBOLOS :
* = operador asterisco.
π = operador pi.
β = operador Beta.
ω = operador omega.
En caso que no se conozcan el nombre del símbolo se denomina operadormatemático, tales como :
Λ = operador matemático.
~ = operador matemático.
3. APLICACIÓN :
1. Si : m*n=m2+n2
Hallar : 5*3=
a) 34 B)7 c)8 d)15 e)5/3
40
Solución :
Según la estructura matemática
m*n=m2+n2
↓ ↓ ↓ ↓
5 *3=52 + 32= 34 Rpta. “a”
2. Si (a∇b)Y = (a+b)/(a-b)
Calcular : (9∇7)Ψ - (3∇1)Ψ
a) 12 b)60 c)8 d)6 e)16
Solución :
La estructura matemática indica que ha de sumar en el numerador y restan en undenominador, entonces :
(9∇7)Ψ - (3∇1)Ψ
(9+7)/(9-7)-(3+1) (3-1) = 8-12 = 6 Rpta.“d”
3. Si:2
yxyx
+=∫ Hallar:
∫ ∫ ∫ )26()3735(
a)2 b)9 c)2 d)13 e)N.A.
41
Solución:
En este ejemplo se realiza primeramente lo que está en el paréntesis.
∫ ∫ ∫ )26()3735(
22
2626
2
26
2
3735
=+=
++
∫
∫
Rpta. “c”
4 Dada la siguiente tabla :
3L3=30
3L0=3
0L3=3
Calcular : 3033L 303
a)3,333 b)300 c)60606 d)3336 e)30,000
Solución :
En este ejemplo no se da una estructura matemática literal, pero si una tabla quepermite establecer la regla.
42
Luego:↓↓↓↓3033 L Realizando el sentido de la flecha y aplicando la tabla :3030 3L3=30 ponemos “0” llevamos “3”.
3033 L seguimos en la siguiente flecha, 3L0=3 según la tabla, pero303 como levamos 3 à 3L3=30, ponemos “0” llevamos “3”00
3033 L continuamos en la flecha siguiente 0L3=3 como llevamos 3303 implica #L#=30 ponemos “0” llevamos “3”
3033 L Luego 3 opera con el 3 llevamos 3L3=30 como no hay más303 que realizar ponemos 30 quedando la operación.30000
5. Dada la siguiente relación :
KΦ= K2-5 y Hα I= HΦ
IΦ
Efectuar : 7α 3+4α 5
a)1 1/15 b)2.11 c)19 d)11.55 e)0
Solución : Aplicando según el operador a, luego con el operador Φ.
7α3 +4α5
7Φ + 4Φ
3Φ 5Φ
7 5
3 5
4 5
5 5
44
41155
2
2
2
2
−−
+−−
= = . Rpta. “d”
43
6. Si.
= ÷ψ Σ ∫
El valor de: es:
por
a) 3.6 b) 1.2 c) 0.1414 d) 0.2777 e) 2/3
Solución: Realizando por separado, se tiene:
= 51 / 32 = 5/9, = 43 / 25 = 2
Reemplazando : 5/9¸2= 5/18 = 0.27777 rpta. “d”
7. Encontrar el resultado de: 20λβ 10-1
siendo: pλβ 1/q= °∈=πππ ∈
+
+)sen(p80
25p
Σ
∫∂
Ψ
5
2
1 3
4
5
3 2
5
2
1 3
4
5
3 2
44
a) 1 b) 2
2c)2 d) 7 e) 0
Solución: Efectuando y operando:
20λβ 10-1 = 20λβ (1/10) = 2
21
22
90sen
45Sen90
45
1080
2520
==°°=
ππ=
ππ
+
+
8) Dada las siguientes relaciones:
~(l) = 0, l(~) = -1
∇( →) = , →(∇) = 25
¿Cuál de estas expresiones es correcta?
a): {→(∇)}{~(l)} = +1
β): {l(~)}{ ∇(→)} = -1
λ): {→(∇) +~(l)} ∇(→) = 625
a) Sólo α b)Sólo β d) Sólo λ d) α y λ e) α,b,λ
Solución: Reemplazando valores en: α, β, λ , se tiene:
α) {25} 0 = Correcto
β) {-1} -2 = {1/-1}2 = -1, Incorrecto
λ) { 25+0}2 = 625 correcto
Rpta. “d”
45
9) Si:
↑↓ 2 5 32 20 5 35 5 10 233 2 23 50
Hallar: 523 ↑↓ 523
a) 503 b) 5002 c) 305 d) 758 e) 532
Solución:
La forma de efectuar el operador en el cuadrado es mediante la intersección de lalínea horizontal con la línea vertical; luego se opera igual al problema No 4.
2 3 5 ↑↓ 5↑↓3=23 Obtenemos del cuadro ponemos 3 llevamos 25 2 3 Quedando 3 llevamos 2 quedando.
3
2 3 5 ↑↓ Siguiendo 3↑↓2 = 2 (del cuadro) como llevamos 2entonces
5 2 3 2 ↑↓2 = 20 ponemos “02 llevamos 20 3
2 3 5 ↑↓ Igualmente 2↑↓5 = 5 pero como llevamos 2 resulta5↑↓2 = 5
5 2 3 Finalmente queda 503 Rpta “a”5 0 3
10) si se cumple la relación:
5 ≤ p < 12 → P ~ = P + ½
5≤ p<3 → P~ = P – ½
46
calcular :
≈
≈
≈≈
−
−=
)5.2(
)5.0()2
15(
H
a) 0 b) –2.5 c) 0.5 d) 5 e) 9
Solución:
Realizando las condiciones por parte
(5 ½ ~) : 5 ≤ 5 ½ < 12 → 5 ½ + ½ = 6
(0.5)~: -5 < 0.5 < 3 → 0.5 – ½ = 0
(-2.5)~ : -5≤ -2.5 < 3 → -2.5 – ½ = -3
Luego: {(6-0)/-3}~ = (-2)~ → -2 – ½ = -2.5
Rpta. “b”
11) Si:
A#= B, C#=D a) 2D
B#= E , E#=C b) 0.5
c)2
Hallar: d) E
((A#)# + E # e) 2C
(B#)#
47
Solución: Según los datos se tiene que realizar la operaciones así:
((A#)# + E # = (B#)# = E# = C
Reemplazando: C+C = 2C = 2
C C
Rpta. “c”
12) Dada la siguiente tabla:
103*30=106
120*14=125 Hallar el valor de la operación
361*37=371 605*132
a) 608 b) 613 c)737 d) 696 e) 611
Solución:
El valor de la tabla se obtiene de sumar el primer número con la suma de uscifras del segundo número:
103+3+0= 106
120+1+4= 125
361+3+7= 371
Luego 605+1+3+2 = 611 Rpta “e”
48
13) Si: m = m y m = m2 + 2m +1
Calcular [ 13 + 3 ] / 1
a) 328 b) 228 c) 114 d) 57 e) N.A.
solución:
Comenzamos empleando el operador círculo y luego el operador cuadrado.
m = m2 +2m +1
13 = 132 +2x13 + 1 = 196
1 = 12 2x1 +1 = 4
3 = 2 3 = 2( 32 +2x3 + 1) 32
Reemplazando: (196 +32) /4 = 228/4 = 57 Rpta. “d”
14) Siendo: AS/.B = logB A , A%B = log
ABA
Hallar: (8/.2 +2%4) S/.9
a) 2 b) 7 c) 1/7 d) 0.5 e) Faltan datos.
Solución: Es un operador donde se emplea logaritmos, quizás muchos de losestudiantes no dominan el logaritmo.
+
49
Le doy una idea del concepto de logaritmo, así: “El logaritmo es el exponenteque eleva la base para obtener el número dado”, ejemplo:
25 = 32 transformado a logaritmo log232 = 5 donde, el número es 32, la base es 2 y
el exponente 5. Porque 5 es el exponente que eleva a la base 2 para obtener 32.Veamos otro ejemplo:
0.25-4 = 256 a logaritmo será log0.25
16 el exponente es 4
Entonces nos queda: (3+4) S/49 → 7S/49
Ahora nuevamente empleamos el operador signo (S/)
7 S/ 49 = log49
7 el exponente es ½ Rpta “d”
15) Si:
a
b= 4a - 3b
Hallar
3
2
5
X
4
1
3
a) 31 b) 62 c) 27 d) 33 e) 360
+
50
Solución: efectuando por separado
3
2= 4 (3) - 3(2) = 6
3
2
5
=5
6= 4(5) -3(6) = 2
1
3= 4(1) - 3(39) = -5
4
1
3=
4
-5= 484) -3(-5) = 31
Ahora como nos pide el producto del 2 x 31 = 62 Rpta “b”
16) Si R α P = 3R – 2P Y R λ P = 5R +P
Calcular: (Bα4) λ (5λ2)
(6λ2)α(2α3)
51
Solución: Efectuando por parte según la condición, así:
RαP=3R-2P RλP= 5R+P
8α4=3(8)-2(4) 5λ2=5(5)+2
8α4= 16 5λ2=27Luego para el Igualmentesiguiente efectuando para:
2α3=3(2)-2(3) 6λ2=5(6)+2
233=0 6λ2= 32
Ahora reemplazando y nuevamente efectuando con las condiciones dadas:
16λ27 = 5(16)+27 = 107 Respuesta.
32α0 3(32)-2(0) 96
17) Dado la siguiente forma de operación en:
(aΞB)¹ = A% (I)
B%(A-B)%
M% = 1x2x3x4x . . . xM (II)
Hallar: (7Ξ5)≠ + (8Ξ3)≠
Solución: empezamos aplicando la condición (I), después la condición (II)simplificamos, veamos:
52
(7Ξ5)≠ = 7% = 1x2x3x4x5x6x7 = 21
5% (7 - 5% ) 1x2x3x4x5x1x2
(8Ξ3)≠ = 8% = 1x2x3x4x5x6x7x8 = 56
3% (8 - 3% ) 1x2x3x1x2x3x4x6
Por tanto la respuesta será: 21+56 = 77
18) Dada la siguiente operación:
A,B = 2A - B , X = 6X + 7
Calcular el valor de N en:N,5
= 25
Solución: el operador rectángulo que se encuentra en el triángulo hace la funciónde X luego:
6 N,5 + 7 = 25 resolviendo queda:
N,5 = 3
Ahora aplicamos la condición del operador rectángulo, así:
Entonces: 2(N)-5 = 3 → N= 4 Respuesta
