T12 - Resortes

Area de Ingeniería Mecánica. Departamento de Tecnología. Campus de Riu Sec. 12071-Castellón. Spain.

Autor/es: Carlos Fenollosa Esteve ([email protected]) Código: ADM-RES1 Categoría: Diseño de Máquinas Tema: Tema 12: ResortesCreación: 20-Nov-2003 Ultima revisión: 5-Ene-2004- Antonio Pérez

TEMA 12. RESORTES 12.1. Introducción 12.2. Resortes helicoidales de tracción- compresión 12.2.1. Cálculo estático 12.2.2. Cálculo a fatiga 12.2.3. Consideraciones de diseño y selección 12.3. Resortes helicoidales de torsión 12.4. Otros resortes 12.1. Introducción Los resortes son elementos de máquinas elásticos, diseñados para trabajar bajo deformación importante, con el objetivo de almacenar energía, aislar de choques o vibraciones, producir fuerzas o pares o actuar como elementos motrices. Durante su trabajo, los resortes acumulan energía potencial elástica en su deformación y la devuelven al recuperar su dimensión original. Existen diversas realizaciones físicas diferentes de resortes, y se puede realizar la siguiente clasificación:

2 Tema 12: Resortes

Forma de trabajo del material

Tipo de solicitación externa Tipo de resorte

Tracción-compresión Helicoidal (Cilíndrico, cónico,...) Torsión

Torsión Barra de torsión

Torsión Helicoidal cilíndrico

Espiral fuerza constante

Compresión De disco (Belleville)

Espiral

Flexión

Flexión Láminas, ballestas

Tracción-compresión Tracción-compresión

Cortante

Bloques de goma

Resortes de aire

En la siguiente figura se muestran diferentes configuraciones de resorte:

Tema 12: Resortes 3

12.2. Resortes helicoidales de tracción-compresión 12.2.1. Cálculo estático La siguiente figura muestra un resorte helicoidal fabricado con alambre redondo, que soporta una carga axial F.

En una sección cualquiera del muelle, el material trabaja sometido a un esfuerzo cortante y a un momento de torsión. De este modo, en dicha sección aparecen unas tensiones tangenciales máximas de valor: - Momento torsor:

maxmax, 4 3 3

0

82 2

32 16

T

d DT FT y F Dd dJ d

τπ π π

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅

d

d

- Esfuerzo cortante:

max, 2 2

4

4

FF F F

dA dτ

π π⋅

= = =⋅ ⋅

La tensión total en la sección será la suma de las dos, y el valor máximo se alcanza en la sección interior de la espira:

max 3

8 0.51F D Dsiendo Cd C

τπ⋅ ⋅ ⎛ ⎞= ⋅ + =⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ d

El valor de C recibe el nombre de índice del resorte y suele tomar valores entre 6 y 12.

4 Tema 12: Resortes

La ecuación anterior se puede reescribir como:

max 3

8s

F DKd

τπ⋅ ⋅

= ⋅⋅

Siendo Ks el factor de corrección de esfuerzo cortante. Experimentalmente se comprueba que en la parte interna de la espira se produce una concentración de tensiones por la curvatura del alambre que intensifica el esfuerzo interior del resorte. Este esfuerzo de curvatura es importante sólo cuando se presenta la fatiga, siendo la tensión cortante real en el caso de fatiga:

max 3

8w

F DKd

τπ⋅ ⋅

= ⋅⋅

donde:

4 1 0.6154 4w

CK factor de WhalC C⋅ −

= +⋅ −

En el caso estático esta concentración de esfuerzo debida a la curvatura no es importante, ya que se produce fluencia y un reparto de tensiones, por tanto en el diseño estático el criterio de fallo es:

max 3

8 sys

s

SF DKd n

τπ⋅ ⋅

= ⋅ ≤⋅

Deformación En este caso, el desplazamiento longitudinal del muelle es consecuencia del giro de las secciones. El giro total que se produce debido a la aplicación de esfuerzos se puede expresar como:

0 2T L Dsiendo T FG J

L D

θ

π

⋅= =

⋅N

⋅

= ⋅ ⋅

donde N es el número de espiras activas y D el diámetro medio del muelle. Sustituyendo los valores de las variables en la ecuación anterior, el giro total se puede expresar como:

2

4

16 F D NG d

θ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

Tema 12: Resortes 5

Con lo que la deformación longitudinal del muelle será:

3

4

82D F Dy

G dθ N⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ =⋅

Y por tanto, la rigidez del mismo se puede expresar como:

4

38F G dky D

⋅= =

N⋅ ⋅

12.2.2. Cálculo a fatiga Para el cálculo a fatiga se consideran datos de ensayos específicos sobre muelles. Estos ensayos son de tensión pulsatoria:

t

ττmax(ens)

τmin(ens)

τa(ens)

τm(ens)

Del ensayo se obtiene la tensión cortante máxima antes de rotura para N ciclos o vida infinita que denominamos '

seS . De este modo, para definir el criterio de fallo se pueden utilizar el criterio de Goodman o el de Soderberg:

Punto A: τa(ens) = τm(ens) = Sse/2τa

τm

A

B

Punto B: Ssy (Soderberg) Ssu (Goodman)

τa

τm

6 Tema 12: Resortes

Tomando el criterio de Soderberg:

( )

12

1 22

sese sya

sy a sy se msy sem

S S SnS S S SS S

n

ττ ττ

⋅ ⋅= ⇒ =

se⋅ ⋅ − + ⋅− ⋅−

Para obtener aτ y mτ se considera:

3

8 aa w

F Dkd

τπ⋅ ⋅

= ⋅⋅

3

8 mm s

F Dkd

τπ⋅ ⋅

= ⋅⋅

12.2.3. Consideraciones de diseño y selección Materiales y resistencia Los materiales más empleados en resortes son:

- Aceros al carbono - Aceros aleados - Bronce fosforado - Latón para resortes - Cobre al berilio - Aleaciones de Níquel

Las propiedades interesantes de estos materiales en referencia a su empleo en la fabricación de resortes son: alto límite de rotura y fatiga y bajo módulo de elasticidad (para almacenar más energía de deformación). Normalmente el primer criterio predomina, de ahí que el acero sea el material más empleado. La resistencia a la rotura aumenta con la disminución del diámetro del alambre de la forma:

( ) ; (ut m

AS A MPa dd

= )mm

La constante A depende del tipo de material. Por otra parte, la resistencia a la fluencia al cortante se obtiene como una proporción de la tensión de rotura en función del tipo de material:

( )sy utS c S Soderberg= ⋅ ⇒ donde la constante c, depende del tipo de material. El límite de rotura a cortante se obtiene para todos los materiales como el 67% de la tensión de rotura a tracción:

Tema 12: Resortes 7

0.67 ( )su utS S Goodman= ⋅ ⇒

En cuanto a la resistencia a la fatiga, se ha observado que depende fundamentalmente de si el material ha sido o no granallado. Se utilizan para todos los aceros de muelles:

'

'

310 ( )

465 ( )se

se

S MPa No granallados

S MPa Granallados

=

=

Estos valores ya han sido corregidos por tamaño y acabado superficial, por lo que para obtener el límite real de fatiga solo faltaría considerar el efecto de la temperatura. En la tabla siguiente se muestran datos de los materiales más empleados en diseño de resortes Material ASTM A(MPa) m c E(GPa) G(GPa) CosteAcero estirado en frio A227 1510 0.201 0.45 207 79.3 1 Acero para cuerda musical A228 2060 0.163 0.5 207 79.3 1.4 Acero templado en aceite A229 1610 0.193 0.5 207 79.3 1.3 Acero al Cr-Ni A232 1790 0.155 0.35 207 79.3 3.1 Acero al Cr-Si A401 1960 0.091 0.35 207 79.3 4 Bronce fosforado B159 690 0 0.35 103 43.4 6.7 Latón para resortes B134 620 0 0.35 110 42 Cobre al Berilio B197 1300 0 0.35 128 48.3 17 Inconel X-750 (aleac. Ni) 1050 0 0.35 214 79.3 31 Terminación de los extremos En resortes de compresión se presentan las siguientes tipologías:

En función de estas tipologías cambia ligeramente el número de espiras activas (las que realmente trabajan) y también las longitudes libre y longitud cerrada. En la figura anterior se muestra el número de espiras activas (Na=N) en función del tipo de extremo

8 Tema 12: Resortes

y del número de espiras totales Nt (número de vueltas completas). La tabla siguiente muestra además los valores de longitud libre del muelle y longitud en la posición de cerrado completamente (con las espiras tocándose): Tipo extremo Espiras activas (N) Longitud libre (Lo) Longitud cerrado (Ls)

a Nt p⋅N+d d⋅ (Nt+1) b Nt-1 p⋅N d⋅Ntc Nt-2 p⋅N+3⋅d d⋅(Nt+1) d Nt-2 p⋅N+2⋅d d⋅Nt

donde p es el paso del resorte (distancia entre dos espiras consecutivas en la dirección del eje del resorte. En resortes de tracción las terminaciones de extremo son muy variadas:

Pretensión en resortes de tracción En muchos casos, los resortes de tracción se fabrican con una tensión inicial para un mejor control de la longitud libre. Los valores de pretensión recomendados son aquellos que dan lugar a una tensión

iF

iτ según la figura:

Tema 12: Resortes 9

Esto hace que para producir una deformación haya que superar esta tensión inicial. Por ello la deformación del muelle, la rigidez, la fuerza de tracción y la pretensión están relacionadas según:

iF Fyk−

=

Para el cálculo de tensiones se utiliza la fuerza siempre que sea superior a . F iF Tensiones en el gancho en resortes de tracción Las tensiones en los puntos críticos del gancho son:

( )2

1 1 113 2

1 1

2 22 23

2

16 4 4 1 24 1

8 4 1

24 4

A b b

B w w

D F F C C Rk k Cd d C C d

D F C Rk k Cd C

σπ π

σπ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅= ⋅ + = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ = =

⋅ ⋅ −2

d Pandeo de muelles a compresión Los muelles comprimidos excesivamente esbeltos pueden pandear. Para evitarlo puede utilizarse una guía interior o exterior.

10 Tema 12: Resortes

Si puede producirse pandeo. El comportamiento estable o inestable puede predecirse a partir de la siguiente figura:

0 /L D ≥ 4

Dirección de la hélice La hélice de un resorte helicoidal puede ser a derechas o a izquierdas. Si se montan dos muelles, uno dentro de otro, deben tener dirección de hélice opuesta. Si se monta un resorte sobre un tornillo roscado la dirección de la hélice debe ser opuesta a la del tornillo. Frecuencias naturales de vibración La frecuencia natural de vibración debe considerarse en muelles sometidos a cargas alternantes a frecuencias elevadas. En general la frecuencia natrual de vibración de un sistema se puede estimar como:

nkwm

=

donde k es la rigidez y m es la masa. En el caso de resortes la masa sería la de las espiras activas. Estos parámetros son proporcionales, respectivamente a:

42

3

G dk m dD N

α α ρ⋅ D N⋅ ⋅ ⋅⋅

Tema 12: Resortes 11

Para aceros el valor final de la frecuencia natural se puede estimar:

2

2

353000 ( )

175000 ( )

( )

n

n

df Hz Extremos libresN D

df Hz Extremos fijo libreN D

d y Den mm

⋅=

⋅⋅

= −⋅

Debe intentarse que la frecuencia de operación sea menor que /13nf Incremento de diámetro con la deformación Un muelle de compresión incrementa su diámetro al comprimirse. Esto debe ser tenido en cuenta en aplicaciones en las que esta tolerancia sea importante por estar confinado externamente el muelle. El diámetro externo comprimido totalmente es:

2 22

2 :extp dD D d p pasoπ−

= + +

Ángulo de la hélice

λ

p

D

λ p

πD

parctgD

λπ

=⋅

Se recomienda que 12ºλ ≤ pues si supera este valor se producen tensiones por compresión apreciables que hacen inexactas las ecuaciones de cálculo de tensiones presentadas. Tolerancia al choque En muelles de compresión es conveniente que las espiras no lleguen a tocarse, es decir no se llegue a la posición de cerrado del muelle. Para ello suele darse una margen de holgura mínima en la posición de máxima compresión del muelle. Esta holgura se denomina tolerancia al choque y es del orden del 15 % de la deformación máxima del muelle (entre longitud libre y cerrada).

)LL(.y somax −⋅≤ 850


Lo Lo-ymax

ymax

Ls

Lo-Ls

Procedimiento de diseño El proceso de diseño es iterativo, dependiendo de las restricciones existentes, tales como diámetro máximo o mínimo, longitud disponible, etc., y la solución no es única. Un parámetro importante es el diámetro de la espira ya que afecta mucho porque está al cubo en la ecuación de tensión. Procedimiento aproximado: - Seleccionar D y C (entre 6 y 12) - Obtener d a partir de los valores de D y C y normalizar a un valor próximo. - Calcular la tensión de trabajo, estática o a fatiga según el caso. - Seleccionar un material y obtener sus resistencias. - Determinar el coeficiente de seguridad - A partir de los esfuerzos de trabajo y deflexión deseada se determina la rigidez k

necesaria y el número de espiras activas N. - Se completa el diseño con el número de espiras total y acabado de los extremos. - Se comprueba el ángulo de la hélice. - Se comprueba la posibilidad de pandeo y el diámetro exterior deformado. - Se comprueba la frecuencia natural. - Se reinicia el diseño si alguna comprobación no es buena.


12.3. Resortes helicoidales de torsión Se trata de resortes indicados para la aplicación de pares torsores o para su resistencia. Los muelles de torsión helicoidales someten al material a una flexión. La solicitación va en la misma dirección que las solicitaciones residuales del enrollado o conformado. Preferentemente, el par de torsión debe ir en el sentido de cierre de las espiras pues en este sentido se beneficia de las tensiones residuales, y las espiras suelen estar en contacto pero sin pretensión. Un pivote central de dimensión inferior al 90% del mínimo diámetro aporta las reacciones a las cargas externas, equilibrando el sistema de fuerzas sobre el muelle. Además, aunque la sección rectangular es más eficaz ante el esfuerzo aplicado, se suelen emplear secciones circulares por su mayor disponibilidad y menor coste.

El momento flector al que va a estar sometido el resorte será:

M F L= ⋅ Tensiones Las tensiones que aparecen son:

( )

( )

2

2

4 14 1

4 14 1

i

o

C Ck Fibra InternaC C

MkW

C Ck Fibra ExternaC C

σ

⋅ − −=

⋅ ⋅ −

= ⋅

⋅ + −=

⋅ ⋅ +

El factor se debe a que se trata de una viga curvada y por tanto existe una concentración de tensiones.

k

En el caso de solicitación estática debe comprobarse la fibra interna, pues . El esfuerzo es de compresión si la espira se cierra (como debería ser).

0ik k>

max 0.577sy

i y y

SMk S SW

σ = ⋅ ≤ =


Si la sección es circular 3

32dW π ⋅

=

En el caso de fatiga, que siempre debe ser pulsante por diseño, el punto más crítico es el exterior, pues hay tracción.

maxmax 0

minmin 0

, (ym a

ym a

e

MkW

MkW

Sn SoderbergS

S

σ

σ

σ σσ σ

= ⋅

= ⋅

⇒ ⇒ =+ ⋅

)

El límite de fatiga S’e se puede obtener a partir del S’se, dado anteriormente, como:

5770.'S

'S see =

Deformaciones La deformación se puede calcular como:

:M L siendo L D N N espiras activasE I

θ π⋅= = ⋅ ⋅

⋅

La rigidez del muelle se calcula como:

M E IkLθ⋅

= =

Para alambre de sección circular:

4

64dE

kD N

π

π

⋅⋅

=⋅ ⋅

Se suele expresar la constante como par necesario para girar una vuelta:

4

210.2v

E dk kD N

π ⋅= ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅

Experimentalmente se comprueba que por efecto de la curvatura:

4

10.8vE dk

D N⋅

=⋅ ⋅


Espiras activas y diámetro interno mínimo El número de espiras activas N se calcula añadiendo al de diseño del cuerpo Nd, la equivalencia por los extremos:

1 2

3d e dL LN N N N

Dπ+

= + = +⋅ ⋅

El diámetro mínimo interno del muelle cargado es:

min ( .2

dv

d v

D NDi d donde ang deformadoenvueltasN

)θθθ π

⋅= − =

+ ⋅

12.4. Otros resortes Bellville Las arandelas Bellville son resortes para trabajo ante cargas de compresión, trabajando el material de la arandela a flexión. Se caracterizan por tener una rigidez no lineal y por su gran relación rigidez/espacio ocupado.

Variando la relación h/t se modifica la curva de respuesta del resorte. Hasta h/t=4 la curva es aproximadamente lineal. Para h/t=1.41 la curva tiene una zona horizontal. Para h/t>1.41 hay más de una posición posible para una misma fuerza. La relación entre la carga (F) y la deflexión (y) se puede expresar como:


( )

( )

32 2

1 0

20

1 2

4(1 ) 2

: .

16ln( )

dd

d d i

E y yF h y hk D

coef de Poisson

R Dk conR R D

µµ

π

⋅ ⋅ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ − ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟

⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

t t

R

⋅ +

Las tensiones más críticas se dan en los puntos c, ti y t0, siendo en c de compresión y en ti y t0 de tracción. Los valores de las tensiones en cada uno de estos puntos se muestran en la siguiente figura:

Para cargas estáticas el punto más crítico es el c pues es el de mayor tensión. Para cargas dinámicas los puntos ti y t0 son más críticos pues están sometidos a tensiones de tracción. La evolución de las tensiones se muestra en la siguiente figura:


La colocación de varios resortes Bellville en serie o en paralelo permiten conseguir diferentes valores de rigidez (menor en serie, mayor en paralelo):

Paralelo Serie

Resortes planos de lámina

F

L b

h

En este caso la tensión en la sección es de tracción y la solicitación externa un momento flector. La tensión máxima en el empotramiento toma un valor de :

2

6 F Lb h

σ ⋅ ⋅=

⋅

Su rigidez es:

3

3

L4hbE

yFk

⋅⋅⋅

==

Las ballestas son una aplicación de estos resortes usando multiláminas para ajustar la sección al momento flector actuante. Habitualmente están lubricados los espacios entre láminas para permitir el deslizamiento con la flexión.

F/2F/2

L

F


La rigidez de esta configuración es aproximadamente:

3

3

83

Ln b h EkL

⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

donde nL es el número de láminas de espesor h y ancho b. Y la tensión máxima es:

2

32 L

L Fn b h

σ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

Muelles de fuerza constante

D Fx

Tienen la característica de ejercer una fuerza aproximadamente constante independientemente de la deflexión x. Esto los hace diferentes al resto de muelles estudiados. La fuerza constante se da a partir de un cierto valor de deflexión x aproximadamente 1.25 veces el diámetro D. Se construyen de acero inoxidable y uno de sus principales problemas es que su vida es limitada (3000 a 30000 ciclos). Se emplean en mecanismos de arranque y en escobillas de motores eléctricos para suministrar una fuerza constante independientemente del desgaste. Barras de torsión Son barras rectas, habitualmente de sección circular, que actúan como muelles de torsión, deformándose angularmente ante un par externo aplicado. Son habituales en suspensiones de vehículos. Su cálculo es igual que el de una barra cilíndrica sometida a torsión:

L

d

RPMt ⋅=

3

16

d

Mt

⋅⋅

=π

τ

o

t

IGLM

⋅⋅

=θ

T12 - Resortes

Documents

Transcript of T12 - Resortes