T E S I S - Instituto Politécnico...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO E INVESTIGACIÓN

Localización Óptima de Subestaciones de Distribución

de la Energía Eléctrica

T E S I SQUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN

INGENIERÍA DE SISTEMAS

PRESENTA ING. RAMÓN FIGUEROA LEDESMA

México, D.F., Mayo de 2005

DIRECTOR DE TESIS: M. EN C. EFRAÍN MARTÍNEZ ORTIZ

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL COORDINACIÓN GENERAL DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

CARTA CESION DE DERECHOS En la Ciudad de México, Distrito Federal, el día 21 del mes de abril del año 2005, el (la) que suscribe ING. RAMÓN FIGUEROA LEDESMA alumno(a) del Programa de Postgrado en Ingeniería de Sistemas con número de registro A020513, adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME Unidad Zacatenco, manifiesta que es autor(a) intelectual del presente Trabajo de Tesis bajo la dirección del M. EN C. EFRAÍN JOSÉ MARTÍNEZ ORTÍZ y cede los derechos del trabajo intitulado: “LOCALIZACIÓN ÓPTIMA DE SUBESTACIONES DE DISTRIBUCIÓN DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA” al Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación. Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, graficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente dirección: [email protected]. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.

ING. RAMÓN FIGUEROA LEDESMA

PPP ooo sss ttt ggg rrr aaa ddd ooo eee nnn III nnn ggg eee nnn iii eee rrr ííí aaa ddd eee SSS iii sss ttt eee mmm aaa sss TTT eee sss iii sss

Índice

Pag

Índice i

Relación de Figuras iv

Listado de Tablas v

Dedicatoria vii

Agradecimientos viii

Resumen ix

Abstract x

Glosario xi

Capítulo 1. Marco Teórico 1

1.1 Introducción. 2 1.1.1 Los sistemas eléctricos de potencia. 3 1.1.1.1 Sistema de Distribución 4 1.1.1.2 Procesos sustantivos de un sistema eléctrico 4 1.1.2 Planeación de sistemas eléctricos de distribución. 5 1.1.2.1 Problemas 5 1.1.2.1.1 Localización, tamaño y cobertura de subestaciones de

distribución 6

1.1.3 La ubicación y capacidad (tamaño) óptima de subestaciones de distribución desde el enfoque de sistemas.

7

1.2 Estado del arte. 9 1.3 Justificación. 12 1.4 Objetivos. 13 1.4.1. Objetivo Principal. 13 1.4.2. Objetivos Parciales. 13 1.5 Marco teórico. 14 1.5.1 Planeación en los sistemas eléctricos de distribución 14 1.5.2 Consideraciones para la planeación de subestaciones 14 1.5.2.1 Tamaño de la Subestación 15 1.5.2.2 Capacidad operativa del transformado en condiciones

normales. 15

1.5.2.3 Capacidad de sobrecarga del transformador ante Contingencias

15

1.5.2.4 Expandibilidad vs. Tamaño 15

i


1.5.2.5 Localizaciones nuevas 15 1.5.2.6 Limitación en las series de equipos 16 1.5.2.7 Desarrollo geográfico de la zona y restricciones

eléctricas. 16

1.5.2.8 Derechos de vía para alimentadores futuros 16 1.5.2.9 Respaldo local vs. enlaces de alimentadores 16 1.5.3 Optimización matemática 17 1.5.3.1 Programación lineal 17 1.5.3.2 Programación no lineal 18 1.5.3.3 programación cuadrática 19 1.6 Marco Metodológico. 20 1.6.1 Definición del problema 21 1.6.2 Formulación de un modelo matemático. 21 1.6.3 Obtención de una solución a partir del modelo. 21 1.6.4 Prueba del modelo y mejoramiento. 22 1.6.5 Preparación para aplicar el modelo. 22 1.6.6 Implantación. 22 1.7 Resumen del capitulo. 23

Capítulo 2. Modelación 24 2.1 Introducción. 25 2.2 Definición del problema. 26 2.2.1 Delimitación. 26

2.2.2 Planteamiento. 26 2.3 Formulación del modelo matemático. 27 2.3.1 Submodelo de Pérdidas de energía en la red de distribución. 31 2.3.2 Submodelo de Inversión en la Línea de Transmisión. 40 2.3.3 Submodelo de Pérdidas en la Línea de Transmisión. 40 2.3.4 Determinación del modelo integral. 43 2.4 Desarrollo de un procedimiento. 45 2.5 Prueba y mejoramiento del modelo. 45 2.6 Preparación para aplicar el modelo e Implementación. 45 2.7 Resumen del capítulo. 46

Capítulo 3. Implementación – Caso de Estudio 47

3.1 Introducción 48

3.2 Determinación de la zona de estudio 49 3.2.1 Análisis del Estado actual 49 3.2.2 Análisis en el mediano plazo 50

ii


3.3 Modelado de la zona de estudio 53 3.3.1 Consideraciones 53 3.3.2 Modelo matemático 55 3.4 Resultados 56 3.4.1 Submodelo de Pérdidas en la Red de Distribución 56 3.4.2 Submodelo de Inversión en la Línea de Transmisión 58 3.4.3 Submodelo de Pérdidas en la Línea de Transmisión 58 3.4.4 Selección de la Localización y Cargabilidad óptima de la nueva

Subestación 59

3.5 Análisis de Resultados 60

3.6 Resumen del capítulo. 63

Conclusiones y Recomendaciones 64

Recomendaciones para trabajos futuros 67

Referencias Bibliográficas 68

Referencias Portal Web 74

Anexo A. Complemento teórico A-1

A.1 Metodologías de planeación de subestaciones A-1

A.2 Técnicas de programación matemática A-5

a.2.1 Problemas estructurados para redes A-5

a.2.2 El problema de transporte A-5

Anexo B. Herramientas de programación cuadrática B-1

B.1 Solver de Excel B-1

B.1.1 Algoritmo y Método B-1

B.1.2 Definir y resolver un problema con solver B-2

B.2 Matlab B-5

B.2.1 La función quadprog B-5

B.2.2 Algoritmo B-7

B.2.3 Métodos quasi-newton B-8

b.2.4 Implementación del sqp B-12

Anexo C. Resultados de la ejecución del modelo de programación

cuadrática mediante Solver de Excel y Matlab

C-1

iii


Relación de Figuras Número Nombre Pag

Figura 1.1 Pirámide contextual de la tesis. 2

Figura 1.2 Modelo formal de un sistema eléctrico de potencia 3

Figura 1.3 Procesos sustantivos de un Sistema Eléctrico. 4

Figura 1.4 Problemas fundamentales de la Planeación del Sistema de Distribución 5

Figura 1.5 Enfoque holístico de la ubicación y capacidad de subestaciones 7

Figura 1.6 Consideraciones en la planeación de subestaciones de distribución. 16

Figura 1.7 Metodología general de un estudio de investigación de operaciones. 20

Figura 1.8 Metodología empleada. 21

Figura 2.1 Secuencia de uso de los modelos para la Planeación de un Sistema de Distribución. 27

Figura 2.2 Esquema representativo del modelo para la determinación óptima de la localización y dimensionamiento de una Subestación de Distribución.

30

Figura 2.3 Esquema representativo del submodelo de pérdidas en la red de Distribución. 32

Figura 2.4 Comportamiento diario y anual de la demanda eléctrica de una carga típica residencial. 35

Figura 3.1 Delimitación de la zona de estudio del sistema de distribución. 49

Figura 3.2 Estado Operativo Actual. 51

Figura 3.3 Pronóstico en el mediano plazo del estado operativo. 52

Figura 3.4 Modelado Esquemático de la Zona de Estudio. 53

Figura 3.5 Ubicación esquemática de la nueva subestación Zaragoza en el punto óptimo. 60

Figura 3.6 Áreas de servicio de la situación actual y el estado óptimo de cobertura en el año 0. 61

Figura A.1 Método tradicional de Planeación A3

Figura A.2 Método recomendado de Planeación A4

Figura A.3 Proceso de planeación integrada. A5

Figura A.4 Representación de red del problema de transporte. A8

Figura B.1 Método BFGS en la función de Rosenbrock's. B9

iv


Listado de Tablas Número Nombre Pag

Tabla 1.1 Técnicas empleadas en la planeación de subestaciones 11

Tabla 1.2 Datos en un modelo de programación lineal – Asignación de recursos a actividades.

18

Tabla 1.3 Metodología general de investigación de operaciones A9

Tabla 3.1 Características Eléctricas de la Zona de Estudio – Estado Operativo Actual

A9

Tabla 3.2 Estado Operativo en el Mediano Plazo, 5 años. 20

Tabla 3.3 Recursos y Demandas del modelo esquemático del caso de estudio

50

Tabla 3.4 Costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente en miles de $/A2 de la alternativa 1.

51

Tabla 3.5 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, en el año 0 de la alternativa 1.

54

Tabla 3.6 Cargabilidad Óptima resultante de las Subestaciones, del año 0 al año 30 de la alternativa 1.

55

Tabla 3.7 Costo Total de las Pérdidas Eléctricas En la Red de Distribución de la alternativa 1, en el año 0 resultante del Programa Solver.

56

Tabla 3.8 Costo Total a Valor Presente del las Pérdidas Eléctricas en la Red de Distribución de las tres alternativas, con los resultados del Programa Solver de Excel.

57

Tabla 3.9 Costo Total de Inversión en la Línea de Transmisión. 57

Tabla 3.10 Costo Total a Valor Presente de las Pérdidas Eléctricas en la Línea de Transmisión.

58


58

Tabla 3.12 Características Eléctricas de la Zona de Estudio – Estado Operativo Óptimo, en el año 0

59

Tabla 3.13 Comparativo de la Situación Actual con el Estado Operativo Óptimo, en el año 0

59

Tabla A.1 Costos y Requerimientos para el problema de transporte. 61

Tabla A.2 Coeficientes de las restricciones para el problema de transporte.

62

Tabla C1 Demandas Pronosticadas en cada nodo en A de la zona de Estudio.

C1

Tabla C2 Capacidad de Suministro Disponibles (Recursos) en A de la zona de Estudio.

C2

Tabla C3 Costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente en miles de $/ A2 de la alternativa 2.

C3

v


Número Nombre Pag

Tabla C4 Costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente en miles de $/ A2 de la alternativa 3.

C3

Tabla C.5 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 1 al año 30 de la alternativa 1, resuelto con Solver.

C4


C5


C6

Tabla C.8 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 0 al año 30 de la alternativa 1, resuelto con Matlab.

C7


C8


C9

Tabla C.11 Cargabilidad Óptima de las Subestaciones, del año 1 al año 30 de la alternativa 1, con Solver.

C10


C11


C12

Tabla C.14 Cargabilidad Óptima de las Subestaciones, del año 0 al año 30 de la alternativa 1, con Matlab.

C13


C14


C15

Tabla C.17 Costo Total de las Pérdidas Eléctricas en la Red de Distribución, del año 0 al año 30 de las alternativas 1, 2 y 3, con Solver.

C16

Tabla C.18 Costo Total de las Pérdidas Eléctricas en la Red de Distribución, del año 0 al año 30 de las alternativas 1, 2 y 3, con Matlab.

C17

Tabla C.19 Costo Total a Valor Presente del Submodelo de Pérdidas Eléctricas en la Red de Distribución de las tres alternativas, con los resultados del Programa Solver de Excel.

C18

Tabla C.20 Costo Total a Valor Presente del Submodelo de Pérdidas Eléctricas en la Red de Distribución de las tres alternativas, con los resultados del Programa Matlab.

C19

Tabla C.21 Costo Total a Valor Presente del Submodelo de Pérdidas en la Línea de Transmisión de las tres alternativas, con los resultados de Cargabilidad del Programa Solver de Excel.

C20

vi


Dedicatoria

Para mi esposa, mi madre

y en memoria de mi padre

vii


AgradecimientoPaty Por el cariño, comprensión y apoyo que me brindas. El desarrollo del intelecto da talento, el amor pone pasión y tesón en donde nos desenvolvamos. Gracias por que me permites compartir este sueño contigo. Mamá y en memoria de mi Padre Siempre agradeceré el hermoso legado de superación, y el amor que he recibido de ustedes. Cuando en una familia se inculcan valores y principios universales en la formación de una persona, no puede existir otro resultado que la excelencia en su comportamiento y desempeño ante la sociedad. Por ese legado, el amor y apoyo, Gracias. Mi familia Agradezco su fortaleza y ánimo. He recibido grandes enseñanzas de ustedes. Siempre contaran conmigo. Prof. Efraín Martínez Ortiz Con admiración y respeto, gracias por su incondicional disposición en guiar el desarrollo de este trabajo, por sus conocimientos y experiencias vertidas durante mi estancia en la maestría.

A mis profesores: Prof. Leopoldo Galindo S. Prof. Elvira Ávalos V. Prof. Luis M. Hernández S. Prof. Jorge Reyes B. Ustedes han contribuido en mi formación esencial en esta etapa. Gracias por sus enseñanzas, ahínco y fe en nosotros. Son orgullo y personalidad de nuestra querida Institución Politécnica. Prof. Leopoldo Galindo S. Por sus consejos y conocimientos que nos imparte, le retribuyo con admiración un reconocimiento por haber sido un excelente maestro, una gran persona y un amigo. Gracias. IPN y ESIME A mi querida escuela y comunidad Politécnica les agradezco la oportunidad que me brindaron por pertenecer al selecto y privilegiado grupo de estudiantes de la mejor escuela de profesionales y especialistas técnicos en el ámbito nacional e internacional. México Gracias por mantener instituciones públicas como el IPN e incentivar a los programas de postgrado para la especialización de estudiantes. Solo con la cultura este país crecerá y vencerá los males que aquejan a nuestra sociedad.

viii


Resumen

LLooccaalliizzaacciióónn ÓÓppttiimmaa ddee SSuubbeessttaacciioonneess ddee DDiissttrriibbuucciióónn

ddee llaa EEnneerrggííaa EEllééccttrriiccaa La planeación de la distribución de la energía eléctrica es una tarea compleja donde los planificadores deben asegurar que exista una adecuada capacidad en la subestación (capacidad en el transformador) y capacidad en el alimentador (capacidad en distribución). Este trabajo se enfoca en el problema de la localización de subestaciones del sistema de distribución, describiéndose un nuevo método y definiéndose un modelo matemático. Ha sido desarrollado una metodología para obtener una solución óptima considerando una función objetivo no lineal con restricciones lineales para un sistema de distribución de energía eléctrica a gran escala. El modelo está clasificado dentro del problema de programación cuadrática y es optimizada a través de la minimización de la función del costo de las pérdidas eléctricas en la red de distribución. Este es un problema combinatorio, por que el número de soluciones posibles se incrementa de acuerdo al tamaño del problema, es decir, al número de elementos a asignar. Con este modelo son determinados la localización, cargabilidad (tamaño), el área de servicio asociada y el plan de expansión de la subestación de distribución, así como el mínimo costo de las pérdidas eléctricas del sistema de distribución. También, este trabajo es útil para estudios conceptuales en la planeación de largo plazo. La efectividad de la metodología propuesta se demuestra mediante su aplicación exitosa en un área urbana de 80 km2 con 30 nodos de demanda servida mediante 6 subestaciones de distribución en una zona de la Ciudad de México. La contundencia de los resultados hace concluir sobre la forma en que los planes propios de distribución puedan ser logrados mediante el método propuesto en una manera simple, rápida y eficiente, proporcionando bases sólidas a los ingenieros planificadores del sistema de distribución para la toma de decisiones.

ix


Abstract

OOppttiimmaall LLooccaattiioonn iinn tthhee DDiissttrriibbuuttiioonn SSuubbssttaattiioonnss

ooff EElleeccttrriicc EEnneerrggyy Power distribution planning is a complex task in which planners must ensure that there is adequate substation capacity (transformer capacity) and feeder capacity (distribution capacity). This work focus in the distribution system substations location problem, describing a new method and defining a mathematics model. A methodology has been developed to obtain an optimal solution by considering a non linear objective function with linear constraints for a large scale electric energy distribution system. The model is classified within quadratic program problem and is to be optimised through electric losses cost function minimisation in the distribution network. This is a combinatorial problem, this is because the number of possible solutions grows in relation to the size of the problem, this is, the number of elements to be assigned. The optimal location, size, the service area associated, the expansion plan and the electric losses cost of substations in the power distribution systems are determined with this model. Also, this work is useful for long-range planning studies. The effectiveness of the proposed methodology is demonstrated by its successful application to a 80 km2 urban area served by 6 distribution substations with 30 demand points in a zone of the Mexico City. The contundent from the results in this work concludes that proper distribution plans can be reached by the proposed method in a simple, fast and efficient manner, providing basis for the decisions to the distribution system planning engineers.

x


Glosario Planeación: Es un proceso retroalimentado mediante el cual un problema se detecta, define y valora su relevancia, así como el diseño de fines deseados, políticas o estrategias adecuadas a la solución, organización y evaluación de todo el comportamiento.

Modelos: “Subrogados” del mundo real, que nos ayudan a comprender como funcionan. Se espera que los administradores no “equivoquen el modelo por la realidad” y manejen el modelo, en vez de la situación efectiva, perteneciente al mundo real. Los modelos de decisión se utilizan para convertir entradas en salidas y elegir alternativas que satisfacen los objetivos del autor de decisiones.

Sistemas: Ensambles real o ideado o conjunto de elementos relacionados “que se han identificado como de interés especial”.

Optimización: El valor máximo de la función objetivo, que puede lograrse en un sistema cerrado – claramente un subóptimo, cuando el sistema que se evalúa es un subsistema abierto, colocado en el contexto de un sistema mayor.

Subestación: Conjunto de equipos y dispositivos que permite cambiar los parámetros de la energía eléctrica, tensión, corriente y/o frecuencia, o bien conservarlos dentro de ciertas características.

Transformador: Es una máquina estática que tiene la función de transmitir mediante un campo electromagnético de corriente alterna, la energía eléctrica de un sistema con determinada tensión, a otro sistema con tensión deseada.

Alimentador (También Red de Distribución o Circuito): Es el conjunto de instalaciones menores a 34.5 kV encargadas de entregar la energía eléctrica a los usuarios a los niveles de tensión normalizados y en las condiciones de seguridad y calidad exigidas por los reglamentos y normas

Algoritmo: Un procedimiento por pasos, que en un determinado numero de ellos produce el óptimo.

Pérdidas eléctricas: Las pérdidas eléctricas originadas a fenómenos físicos se denominan pérdidas técnicas. Estas pérdidas se deben a las condiciones propias de la conducción y transformación de la energía eléctrica, constituyen energía que se disipa y que no puede ser aprovechada de ninguna manera. Las pérdidas no técnicas se conforma por: algún usuario que usa el servicio clandestinamente, suscriptor o no, de la empresa encargada de la distribución de energía eléctrica, o por un sistema de medición defectuoso con medidores dañados o descalibrados, por procesos de facturación inadecuados e incapacidad para detectar y controlar conexiones ilegales, así como registros erróneos en las lecturas del consumo de energía eléctrica.

xi


Metodología Evolucionada de Localización Óptima de

Subestaciones de Distribución de la Energía Eléctrica

Metodología Actual Operación satisfactoria Reducción de costos de la Cia Suministradora Mejora ligera en la Calidad de servicio al cliente Cargabilidad empírica de la SE Plan de expansión empírico

Modelo Propuesto Gran Flexibilidad Operativa Minimización de costos de la Cia Suministradora

Centro de Generación

Estación de transmisión de gran capacidad

Grandes clientes industriales

Estación de subtransmisión

Hospitales

Subestación Tipo cliente

Pequeños clientes industr4iales

Red Primaria de distribución

SSuubbeessttaacciióónn ddee ddiissttrriibbuucciióónn

Comercios

Clientes residenciales

Líneas de Transmisión

Mejora significativa en la Calidad de servicio al cliente Cargabilidad óptima de la SE Plan de expansión empírico-óptimo

SSuubbeessttaacciióónn ddee ddiissttrriibbuucciióónn

xii


“Los sistemas deben planearse, no debe permitirse que solo sucedan”.

John P. Van Gigch.

Capítulo 1

Marco Teórico

1


Capítulo 1 Marco Teórico

1.1 Introducción. En este capítulo se entra en materia con la problemática bajo estudio, proporcionando las bases con un tratado puntual para resolverlo empleando una metodología de investigación de operaciones a través de técnicas de programación matemática. La figura 1.1 muestra el marco contextual del problema objeto de estudio.

Establecer un modelo que determine el lugar óptimo de las subestaciones de distribución

para abastecer la demanda eléctrica al mínimo costo posible.

Sistemas EléctricosGenerar Transmitir Transformar Distribuir Comercializar

Procesos Planear Diseñar Construir Operar Mantener

y controlar

Planeación de Sistemas de Distribución

Subestación Red MT Transformador Red BT Acometida

ProblemasFundamentales de Subestaciones

Núm Lugar Tamaño Área de Tiempo Servicio

Localización óptima de Subestaciones de Distribución

de la energía eléctrica

Figura 1.1.- Pirámide contextual de la tesis. 2


1.1.1 Los Sistemas Eléctricos de Potencia. La energía se manifiesta en varias formas, entre ellas la energía mecánica, térmica, química, eléctrica, radiante o atómica. Todas las formas de energía pueden convertirse en otras formas mediante los procesos adecuados. En el proceso de transformación puede perderse o ganarse una forma de energía, pero la suma total permanece constante, que es lo que dicta el principio de conservación de la energía[104]. Hoy en día, la electricidad es, sin lugar a dudas, el principal motor que impulsa las actividades en cualquier país y permite su desarrollo. Un sistema eléctrico de potencia (SEP), es el conjunto de cceennttrraalleess ggeenneerraaddoorraass, de llíínneeaass ddee t

trraannssmmiissiióónn interconectadas mediante cceennttrrooss ddee ttrraannssffoorrmmaacciióónn ((ssuubbeessttaacciioonneess)) y rreeddeess ddee ddiissttrriibbuucciióónn esenciales para el suministro de energía eléctrica. La figura 1.2 representa el modelo formal de un sistema eléctrico de potencia.

Sistema de distribución

Industria

Pabellones comerciales

Hospitales

Edificios corporativos

Viviendas

Cliente TransmisiónGeneración Entorno

Sistema de Distribución

Subestación Transformador Red

SecundariaRed Primaria

Figura 1.2.- Modelo Formal de un Sistema Eléctrico de Potencia.

3


La Generación, es donde se produce la energía eléctrica, por medio de centros de producción (o conversión de la energía). Las líneas de Transmisión, son los elementos encargados de transmitir o transportar la energía eléctrica desde los centros de generación hasta las Subestaciones de distribución, a través de distintas etapas de transformación de la tensión, por medio de las estaciones de transformación. 1.1.1.1 Sistema de Distribución El Sistema de Distribución, se compone de los siguientes elementos o subsistemas:

1) Subestación de distribución, 2) Alimentadores o circuitos primarios, 3) Transformador, 4) Red secundaria, y 5) Acometida y equipo de medición.

Los alimentadores (Redes de Distribución), son el conjunto de instalaciones menores a 34.5 kV encargadas de entregar la energía eléctrica a los clientes en niveles de tensión normalizados y en las condiciones de seguridad y calidad establecidas por los reglamentos y normas[42]. 1.1.1.2 Procesos sustantivos de un sistema eléctrico. En los sistemas eléctricos existen procesos sistemáticos para poder proporcionar el suministro adecuado de calidad del fluido eléctrico. Dentro de estos procesos se encuentran la Planeación, el Diseño, la Construcción, la Operación y el Mantenimiento y Control. La figura 1.3 representa a estos procesos de manera secuencial en su ejecución.

Planeación

Diseñar

Construir Operar

Mantener y Controlar PROCESO

Figura 1.3.- Procesos sustantivos de un sistema eléctrico.

4


1.1.2 Planeación de sistemas eléctricos de distribución Un sistema eléctrico debe cumplir por lo menos con los siguientes objetivos:

1) Suministrar un servicio con calidad, manteniendo las fluctuaciones de la tensión dentro de los límites permisibles especificados, dentro de las restricciones de medio ambiente, políticas regulatorias y reglamentaciones establecidas.

2) Garantizar una alta continuidad y confiabilidad en el suministro para los usuarios, brindando un servicio a precios competitivos.

Un buen plan de expansión del sistema de distribución, asegurará cumplir los objetivos citados. El proceso de planeación requiere planes de corto y de largo plazo para la expansión del sistema, basados en análisis de ingeniería que incorporen los objetivos principales. El plan a largo plazo es una serie de vistas de “qué pasa sí” del sistema. Un registro escrito del plan de largo plazo evitará acciones inoportunas y la construcción de instalaciones que puedan volverse innecesarias prematuramente[31]. 1.1.2.1 Problemas En la figura 1.4 se muestra los objetivos de la planeación de un sistema de distribución:

Establecer planes ante contingencias

Localización de equipo de seccionamiento y coordinación de

protecciones

Ubicación y tamaño de capacitores en

derivación

Cálculo de la Confiabilidad

Diseño binomio transformador - red

secundaria

Expansión de la red primaria y selección del

calibre

Incremento de capacidad en

Subestaciones

UUbbiiccaacciióónn,, ttaammaaññoo yy

ccoobbeerrttuurraa ddee llaa SSuubbeessttaacciióónn

Pronóstico de la demanda

Recalibración y reconfiguración de

red primaria

Determinación del comportamiento

eléctrico

Figura 1.4. Problemas fundamentales de la Planeación del Sistema de Distribución

5


Cada problema de la planeación del sistema de distribución tiene una gran importancia. No obstante, es clave como punto de partida haber localizado y dimensionado la subestación de distribución, expandido la red primaria con la respectiva selección económica de su calibre, y haber diseñado el binomio transformador – red secundaria de manera óptima. Una vez logrado esto, se puede garantizar que los problemas restantes impactaran en un grado mínimo. 1.1.2.1.1 Localización, tamaño y cobertura de subestaciones de distribución Este problema consiste en determinar la localización y la capacidad de transformación de las subestaciones de distribución y establecer su área óptima de servicio, es decir, donde se deben situar los límites entre subestaciones adyacentes en la red de alimentación primaria. El costo de hacer conexiones a la red de subtransmisión también deberá considerarse. El problema consiste en minimizar los costos, que incluyen los costos de capital de la subestación y el costo de pérdidas de potencia y energía en la red de transformadores de alimentación primaria. En el caso de planear la demanda creciente de carga, el problema será dinámico y requerirá de una decisión sobre el tiempo más apropiado para realizar las instalaciones. En términos matemáticos, este es un tipo especial de problema combinatorio que consiste en seleccionar opciones de un gran número de alternativas. A menudo, se le denomina como el “problema de la mochila” y también sucede en situaciones relacionadas con cargamentos y problemas de localización de fábricas o bodegas. La técnica matemática conocida como el método de ramificación y acotamiento se ha aceptado generalmente como la técnica más eficiente para manejar este problema de optimización. La localización de la subestación se considera una parte fundamental en la planeación de los sistemas de distribución a largo plazo, dado que éstas son el enlace entre los sistemas de distribución y subtransmisión. Así mismo, la localización y el tamaño de las subestaciones primarias por lo general se determinan sin considerar detalladamente la red de alimentación primaria, sin embargo, algunos modelos han hecho intentos de una optimización global de subestaciones y segmentos primarios de alimentación[31].

6


1.1.3 La ubicación óptima de subestaciones de distribución desde el enfoque de sistemas.

El enfoque de sistemas es un método de investigación, una forma de pensar, que enfatiza el sistema total, en vez de sistemas componentes [92]. Con la metodología del enfoque de sistemas y su panorama ilimitado, se identificará dentro del contexto el problema central de este trabajo: la ubicación óptima de subestaciones de distribución, como se ilustra en la figura 1.5.

Plan Nacional

de Desarrollo

Desarrollo social y humano

Crecimiento con calidad

Orden y respeto

Programa del Sector Eléctrico

‘

Figura 1.5. Enfoque holístico de la ubicación y capacidad óptima de subestaciones. La ubicación óptima de las subestaciones de distribución es representada como un sistema abstracto. Este Sistema contiene subsistemas o elementos interrelacionados (interrelaciones internas) para lograr el objetivo del sistema. Los subsistemas son: Subsistema de Condiciones Físicas: Se refiere a las dimensiones mínimas necesarias de un terreno para poder construir una subestación y la posibilidad de encontrar rutas factibles donde se haga pasar las líneas de alimentación (líneas de transmisión) a la subestación. Desde luego, también se observan las condiciones geográficas del lugar que puedan presentar un problema para la ubicación de la subestación, como barrancas, montañas, lagos, ríos, entre otros. Subsistema de Análisis Técnico: Este subsistema estudia la factibilidad técnica de localizar la subestación en una determinada área. Se toma en cuenta el cálculo de los parámetros que como la regulación de tensión, las pérdidas técnicas de energía, la capacidad operativa del transformador, entre otros.

‘

‘ ‘

‘

‘

Ubicación y capacidad óptima de

subestaciones

Plan Estratégico Institucional

‘

‘

‘

‘

Planeación del sistema

de Distribución

‘

‘ ‘

‘

‘

‘

Interrelación Externa

Evaluación Económica

Impacto Ambiental

Aspectos Legales

Análisis Técnico

Otros

Condiciones Física

Interrelación Interna





7


Subsistema de Evaluación económica: Cuantifica económicamente el costo total de ubicar una subestación nueva en cada área alternativa. Subsistema de Impacto Ambiental: Evalúa el impacto ambiental que una subestación efectuaría en regiones donde se cuidan las áreas ecológicas y la estética. Subsistema de Aspectos legales: Investiga el estado legal como se encuentran los terrenos para adquirirlos y construir la subestación, así como la factibilidad de conseguir derechos de vía de la línea de transmisión que la alimente. También se revisa el derecho de uso de suelo, y en su caso, realizar las gestiones para cambiarlo. Subsistema Otros. Pueden suscitarse eventualidades que se deben contemplar en alguna zona que se pretenda ubicar subestaciones nuevas, como pueden ser aspectos sociales, políticos, culturales, entre otros. El sistema pertenece a un entorno bien definido y se interrelaciona (interrelaciones externas) tanto con otros aspectos restantes de la planeación del sistema de distribución (Suprasistema), como con los diversos planes o proyectos del entorno correspondientes a otras empresas e instituciones del propio sector eléctrico y de otros sectores incluyentes holísticamente dentro del Plan Nacional de Desarrollo del País.

8


1.2 Estado del Arte. La información en la literatura relativa al tamaño y localización óptima de subestaciones es amplia, algunos emplean técnicas de programación matemática, técnicas heurísticas y simulación para resolver el problema. Se describen brevemente a continuación los más relevantes: Crawford y Holt[13] desarrollaron un modelo de programación lineal utilizando el algoritmo de transporte para optimizar el área de servicio de cada Subestaciones de Distribución, minimizando el producto de la demanda en una celda y su distancia a la subestación que la alimenta. Previamente, mediante el algoritmo de Dijkstra, calculan los costos asociados al problema de transporte. Este modelo es estático y solo optimiza áreas de servicio. En los trabajos de Backlund y Bubenkc y Shelton y Mahmoud[85] se utilizan técnicas de programación entera mixta. El objetivo del modelo es encontrar ubicaciones capacidades y áreas de servicio de Subestaciones de Distribución, para conseguir minimizar la suma de los costos; pero mientras este modelo es estático en el tiempo, el modelo de Shelton y Mahmoud[85] es dinámico. Este ultimo utiliza un paquete de programación comercial, por lo que es bastante limitado, ya que sólo permite emplear pocas variables y es lento en su ejecución, ya que el algoritmo por ser de tipo general no toma en cuenta la estructura particular del problema. Masud[61], mediante un proceso iterativo, define áreas óptimas de servicio y optimiza la capacidad de las subestaciones y su transferencia de carga. El problema de capacidad se formula como un problema binario, mientras el de transferencia de carga como un problema lineal. El modelo resuelve sólo una etapa, no considera la representación de la red primaria y puede manejar hasta 33 alternativas de subestaciones. Adams y Laughton[1] basan su método en una interpretación del modelo de transporte con costo fijo para cuya solución utilizan un programa comercial; solo se aplica a pequeños ejemplos. El modelo de Thompson y Wall[93] determine localizaciones óptimas para Subestaciones de Distribución empleando un algoritmo de ramificación y acotación; como subproblema soluciona una serie de problemas de transbordo. El modelo trabaja con un máximo de 30 subestaciones y 1500 alimentadores sin considerar su costo fijo. Un modelo dinámico fue desarrollado por Northcote, Cumming y Wall[67]. La metodología que proponen consta de un modelo de crecimiento de Subestaciones formulado como un programa entero binario, y uno de transferencia de carga planteado como un programa lineal. Estos dos

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modelos interrelacionados con los modelos de la localización de Subestaciones de Distribución y el de alimentadores, proveen soluciones parciales a un modelo de optimación dinámica. Los dos primeros modelos fueron desarrollados por E. Masud[61], y el de alimentadores por Wall[93]. Gonen y Foote[39] y Sun Farris et al[88] formularon un problema de programación entera mixta y lo resuelven a través de la técnica de Ramificación y acotación. Gonen resuelve un problema con 113 variables y Sun con 200; estas variables representan subestaciones o alimentadores con su costo fijo, pero mientras el modelo de Gonen es estático, el de Sun es pseudodinámico. El modelo de Sun se ejecutó para un problema de 250 nodos y 500 ramas. Existen otros artículos como el de Baldwin et al, Munasinghe et al[64], Ponnavaikko y Prakasa[72], que hacen uso combinado de técnicas de optimación y simulación para resolver el problema de planeación de un Sistema de Distribución. Últimamente han aparecido algunas referencias que utilizan las técnicas anteriores, auxiliados por sistemas expertos que aceleran su convergencia. Existen referencias como la de Kagan[48] y Dai Hongwei[15], donde se hace uso de técnicas de descomposición para problemas a gran escala, empleándose la descomposición de Bender que fracciona los problemas en dos subproblemas principales. En los artículos anteriores a los 90’s, los estudios reportados manejaban un número muy limitado de variables de decisión. De la década de los 90’s a la actualidad las computadoras se desarrollaron vertiginosamente con posibilidades de solucionar problemas mas complejos y con mayor cantidad de variables. Además, la mayoría de los artículos de 1990 en adelante son dinámicos, es decir, incluyen subproblemas para pronóstico de la carga manejando con esto el tiempo como una variable adicional a las establecidas. En resumen, la mayoría de los artículos recopilados emplean la Programación Entera Mixta usando la técnica de ramificación y acotamiento, en conjunto con el Problema de Trayectoria más corta y el de Transporte y/o Transbordo. Hay estudios donde solucionaron el problema mediante Búsqueda Heurística. Algunos otros, basados en modelos no lineales utilizan la Programación no lineal, y otros en cuyos modelos integran una gran cantidad de variables, emplearon técnicas de descomposición (Bender, Relajación Lagrangeana o Dantzig Wolfe). Muy Pocos modelos hicieron uso de Algoritmos Genéticos y Sistemas Expertos. En todos los artículos, concuerdan en que la función objetivo sea la minimización de los costos fijos de las instalaciones que resulten óptimas y de los costos variables relativos a la operación y explotación del sistema de distribución.

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La tabla 1.1 resume las técnicas empleadas por cada referencia (REF) consultada y los objetivos buscados en cada uno de ellas. En la tabla, las abreviaturas significan lo siguiente: número de subestaciones (No. SE), la localización de la subestación (LOC SE), la capacidad de la subestación (CAP SE), el área de servicio (AREA SERV), el tiempo en que se deberá construir una nueva subestación (TIEMPO), la trayectoria de la red de distribución primaria (RUTA RED) y el calibre del conductor del circuito primario de distribución (CAL COND). El número indicado en la columna de referencia (REF), corresponde al número progresivo de referencia de la Bibliografía.

Tabla 1.1 Técnicas empleadas en la planeación de subestaciones de distribución

OBJETIVOS MODELO REF No.

SE LOC SE

CAP SE

AREA SERV TIEMPO RUTA

RED CAL

COND TÉCNICA ESTÁTICO

DINÁMICO PSEUDODINÁMICO

1 PFR TC + PT ESTATICO 2 PFR TC + PT ESTATICO 3 DINAMICO 4 PEM ESTATICO 7 RH 8 PEM + PT ESTATICO 9 PEM 10 PEM 11 PEM + PFR + PT + TD PSEDODIN 12 PEM DINAMICO 13 PFR + PT 14 PNL DINAMICO 16 PEM + PNL + RH 17 AG ESTATICO 18 PME + PNL + AG ESTATICO 19 TD + RH ESTATICO 20 22 PME + PT DINAMICO 23 RH ESTATICO 24 PNL ESTATICO 26 RH ESTATICO 27 PEM + TD 28 SE + RH 29 PNL PSEUDODI 30 RH ESTATICO 32 PT + PEB DINAMICO 35 DINAMICO 36 PT 37 SE + RH ESTATICO 38 PEM + TDRL DINAMICO 39 PEM PSEDODIN 41 PNL DINAMICO 42 RH 43 PEMNL + TDB

CLAVE: PFR TC Problema de Flujo en Redes con la Trayectoria más Corta PEM Programación Entera Mixta PNL Programación No Lineal RH Reglas Heurísticas PT Problema de Trasporte o Transbordo

TDRL Técnica de Descomposición de Relajación Lagrangeana GRAD Gradiente TDB Técnica de Descomposición de Bender AG Algoritmo Genético TF Técnica Fuzzy PEB Programación Entera Binaria

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1.3 Justificación. El incremento continuo de la demanda de energía eléctrica y el crecimiento poblacional en áreas urbanas y conurbanas servidas, requieren de un proceso continuo de instalación y construcción de infraestructura como líneas de transmisión, de ampliación o construcción de subestaciones, instalación de alimentadores de distribución, entre otros. Para poder atender a los futuros requerimientos de carga, se necesitan de un buen desempeño sistemático de los procesos de la planeación, el diseño, la construcción, la operación y el control y mantenimiento de las instalaciones de un sistema eléctrico. La planeación representa la primera etapa de análisis en la elaboración de un programa o plan de actividades durante un periodo de tiempo determinado. Un buen modelo de planeación debe ser totalmente integral. Uno de los problemas fundamentales en la planeación de los sistemas de distribución es determinar el tamaño y la localización óptima de las subestaciones de distribución, incluyendo la ampliación de las subestaciones existentes, que asegure el abastecimiento del servicio con la carga pronosticada del área bajo estudio. En estas decisiones intervienen también muchos factores como los valores permisibles de operación, la regulación de la tensión, la capacidad térmica de los conductores, las limitaciones geográficas y/o ambientales, los recursos económicos implicados, el uso de suelo, derechos de vía, el impacto social, entre otras, que dificultan la labor de planeación en los sistemas de distribución. A la fecha, en la planeación de los sistemas de distribución, se emplea una metodología heurística con resultados satisfactorios, pero no se determinan ubicaciones ni tamaños “óptimos” de Subestaciones de Distribución. Por todo lo expuesto anteriormente, es necesario establecer un Modelo matemático que determine la localización óptima de Subestaciones de Distribución de la energía eléctrica, cumpliendo con los criterios permisibles de operación, al mínimo costo total y mejorando el rendimiento de los equipos y dispositivos e impactando en una mejor calidad del servicio eléctrico que se brinda al cliente.

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1.4 Objetivo. 1.4.1 Objetivo General.

Establecer la Localización Óptima de Subestaciones de Distribución de la Energía Eléctrica, considerando los aspectos más relevantes e impactando en una mejor calidad del servicio.

1.4.2 Objetivos Específicos.

Establecer las consideraciones necesarias para determinar la Localización Óptima de Subestaciones de Distribución de la Energía Eléctrica (LOSDEE),

Determinar una metodología que ayude a diseñar en forma óptima un modelo de LOSDEE,

Formular un modelo matemático de LOSDEE, e

Implementar el modelo matemático, mediante su aplicación en un caso de estudio.

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1.5 Marco Teórico. 1.5.1 Planeación en los Sistemas Eléctricos de Distribución La planeación asegura que la empresa no esté solamente apagando fuegos año tras año. Generalmente, se requiere de programas de computadora a fin de realizar estudios amplios para ooppttiimmiizzaarr en forma precisa detalles particulares del sistema sobre bases económicas. La magnitud y complejidad de las interrelaciones entre las variables que intervienen en la planeación de un sistema de distribución, hacen imposible evaluar exhaustivamente todas las alternativas que se presentan al planificador y diseñador de estos sistemas. El desarrollo de nuevas tecnologías y equipos, el avance de nuevas herramientas y técnicas de análisis matemático, así como la accesibilidad a los equipos de computación para la captación, almacenamiento y procesamiento de la información, permiten automatizar el procedimiento de planeación y diseño de los sistemas de distribución. La utilización de los SSiisstteemmaass ddee AAppooyyoo aa llaass DDeecciissiioonneess nos puede ayudar a incorporar ideas en el proceso de planeación y toma de decisiones. Esta corriente la definen como una extensión de la IInnvveessttiiggaacciióónn ddee ooppeerraacciioonneess.. Por otro lado, la dificultad cada vez mayor de obtener capital para financiar futuras inversiones hace imperativo el empleo de las técnicas de la programación matemática en la planeación para encontrar alternativas óptimas o subóptimas[59]. Retos: A menudo se argumenta que los Sistemas de Distribución sólo pueden ser planeados mes a mes, porque los requerimientos de conexiones de clientes se conocen con poca anticipación. Ante este escenario de cambios es necesario contar con una base de datos detallada y computarizada, que permita su fácil y pronta actualización. El sistema de distribución cambia continuamente, cada día se conectan nuevos usuarios, es necesario construir nuevas líneas e instalar transformadores. Dado esta dinámica, a su extensión y al número de componentes, l

laa ppllaanneeaacciióónn ddeell SSiisstteemmaa ddee ddiissttrriibbuucciióónn eess nnuumméérriiccaammeennttee mmááss ccoommpplleejjaa qquuee llaa ddee oottrrooss ssuubbssiisstteemmaass ddeell sseeccttoorr eellééccttrriiccoo; sin embargo, se emplean en su planeación menos herramientas analíticas que para planear la expansión de la generación o transmisión[59]. 1.5.2 Consideraciones para la planeación de Subestaciones de Distribución La planeación a largo plazo desarrolla una estrategia robusta para atender las necesidades de entrega de potencia, donde las compañías minimicen gastos logrando un bbaallaannccee óóppttiimmoo eennttrree iinnvveerrssiioonneess ddee ccaappiittaall yy ccoossttooss ooppeerraattiivvooss ddee llaass ppéérrddiiddaass. Un plan robusto que tiene niveles razonables de flexibilidad puede adaptarse a cambios imprevistos[59].

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1.5.2.1 Tamaño. El tamaño de las subestaciones de distribución está mayormente determinado por las tensión del servicio de distribución y clasificaciones normalizadas de la línea del alimentador[59]. 1.5.2.2 Capacidad operativa del transformado en condiciones normales. Los transformadores de potencia clase distribución, tienen etapas múltiples de enfriamiento con una clasificación de capacidad para cada modo operacional sin exceder un aumento predeterminado en la temperatura del transformador. Operar al transformador fuera del desempeño especificado lo fatigará y acortará su vida[59]. 1.5.2.3 Capacidad de sobrecarga del transformador ante Contingencias. Los transformadores presentan demandas de potencia cíclica. Los transformadores pueden ser “Sobrecargados” seguramente por determinado tiempo ante una emergencia eléctrica sin acortar indebidamente la vida de servicio de la unidad [59]. Transferencia limitada. Se tiene que diseñar un sistema que facilite transferencia de carga de la subestación sobrecargada hacia subestaciones aledañas dentro de un tiempo asignado, a fin de garantizar la continuidad del servicio al cliente y prevenir interrupciones más prolongadas [59].

1.5.2.4 Expandibilidad vs. Tamaño. El diseño de la subestación deberá tomar en consideración: la carga inicial esperada, los prospectos de crecimiento de carga, las capacidades de respaldo de otras subestaciones, etc. Estos y otros factores afectan el tamaño de la subestación diseñada y su costo. Si los prospectos para crecimiento tienden hacia arriba, una propiedad adicional puede ser obtenida más tarde para expandir la subestación[59]. 1.5.2.5 Localización nueva. Idealmente, una subestación de distribución deberá colocarse en el centro de carga del área a ser servida. Eléctrica y financieramente, esta debería ser la mejor decisión ya que las pérdidas son minimizadas y las líneas de distribución son óptimamente cortas. Ubicar la subestación ha llegado a ser una negociación delicada que busca el balance para operar eficientemente al más bajo costo y ser un “Buen vecino” del cliente. Puede requerirse colocar una subestación en una lugar mmeennooss óóppttiimmoo para preservar el hábitat. La gente cree que el equipo fácilmente podría estar oculto en una pequeña construcción. Debe contemplarse la accesibilidad para el mantenimiento y para ubicar rutas de distribución de la subestación a los consumidores. La gente prefiere subestaciones pequeñas, cubiertas por vegetación y con muros atractivos. Algunos factores más importantes involucrados en la localización de la subestación son: UUssoo ddee ssuueelloo,, TTaammaaññoo ffííssiiccoo ddee llaa ssuubbeessttaacciióónn,, AAcccceessiibbiilliiddaadd,, EEssttééttiiccaa –– aammbbiieennttaalleess,, PPoollííttiiccaass llooccaalleess,, EEssttrruuccttuurraa eenn LLíínneeaa AAéérreeaa vvss.. CCaabbllee S

Suubbtteerrrráánneeoo[59]..

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1.5.2.6 Limitación en las clasificaciones de equipos. Algunos componentes (transformador) deberán dimensionarse para operar en contingencias de carga más críticos, tal que pueda llevar temporalmente la carga transferida de otro transformador fallado. Los interruptores, el bus conductor y otros equipos deberán también dimensionarse para el peor caso de contingencia[59]. 1.5.2.7 Desarrollo geográfico de la zona y restricciones eléctricas. Las limitaciones de tipo físico y eléctrico restringen el número de alimentadores. Los factores eléctricos son: capacidad disponible del sistema de transmisión local; la capacidad del transformador; el voltaje de servicio de distribución y la capacidad de las redes de distribución. Son limitaciones físicas: La disponibilidad de rutas de alimentadores; obstáculos naturales como lagos, ríos, barrancas; las leyes ambientales restringen ciertos cruceros; así como supercarreteras y parques [59]. 1.5.2.8 Derechos de vía. El derecho de vía para alimentadores futuros de la subestación deberá considerarse en las etapas formativas del proyecto de la subestación nueva[59]. 1.5.2.9 Respaldo local vs. enlaces de alimentadores. Los alimentadores deberán diseñarse de forma que brinden respaldo a los consumidores[59]. La figura 1.6 presenta en forma esquemática estas consideraciones necesarias para la planeación de subestaciones de distribución mencionadas anteriormente.

Respaldo local y enlaces entre la red

primaria

Derecho de vía para la red primaria

Desarrollo geográfico de la zona y restricciones

eléctricas

Limitación en las capacidades de

diseño de los equipos FFaaccttoorreess ppaarraa

uubbiiccaarr llaa SSuubbeessttaacciióónn

Expandibilidad vs.

Tamaño

Capacidad de Sobrecarga ante Contingencias

Capacidad Operativa

en condiciones normales

TTaammaaññoo oo CCaappaacciiddaadd ddee llaa SSuubbeessttaacciióónn

Tensión de Operación

Consideraciones para la Planeación de

Subestaciones de Distribución

Figura 1.6. Consideraciones en la planeación de subestaciones de distribución.

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1.5.3 Optimización matemática. “Optimizar” es perfeccionar algo hasta que se logre lo “mejor”. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones, no es posible lograr lo óptimo y se decide aceptar el mejor resultado factible o subóptimo (concepto “satisfizar”). El problema de optimización es ennccoonnttrraarr vvaalloorreess ddee llaass vvaarriiaabblleess qquuee mmiinniimmiicceenn o

o mmaaxxiimmiizzaann llaa ffuunncciióónn oobbjjeettiivvoo mmiieennttrraass ssee ssaattiissffaaggaann llaass rreessttrriicccciioonneess[43].. Los problemas de optimización se constituyen por tres ingredientes básicos: • Una ffuunncciióónn oobbjjeettiivvoo la cual queremos minimizar o maximizar. • Un grupo de variables o iinnccóóggnniittaass que afectan el valor de la función objetivo. • Un grupo de rreessttrriicccciioonneess,, donde las incógnitas toman ciertos valores pero excluyen otros. 1.5.3.1. Programación lineal. El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, de forma que debe asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignación incluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la mmeeddiiddaa gglloobbaall ddee eeffeeccttiivviiddaadd. Este tipo de problemas se puede resuelven mediante la aplicación del método simplex Modelo en notación matricial.

∑=

=n

jjj xcZ

1Maximizar …(1.1)

Sujeta a las restricciones:

njx

mibxa

j

n

jijij

,,2,10

,,2,11

K

K

=≥

==∑=

donde, Z = valor de la medida de le efectividad, xj = nivel de actividad j (para j = 1, 2, …, n), cj = incremento en Z obtenido al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j, bi = cantidad de recurso i para asignar a las actividades (para i=1,2, …, m) y aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j.

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El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de las actividades, siendo x1, x2, …, xn las variables de decisión. Como se resume en la tabla 1.2, los valores de cj, bi y aij (para i=1,2, …,m y j=1,2, …, n) son las constantes de entrada al modelo[43].

Tabla 1.2 Datos en un modelo de programación lineal – Asignación de recursos a actividades.

Consumo de recursos por unidad de actividad Actividad Recurso

1 2 … n

Cantidad de recursos

disponibles 1 a11 a12 … a1n b1

2 a21 a22 … a2n b2

: … … … … : M am1 am2 … amn bm

Contribución a Z por unidad de actividad c1 c2 … cn 1.5.3.2 Programación no lineal El problema de programación no lineal consiste en encontrar x=(x1, x2, … , xn) para: Maximizar f(x), …(1.2) Sujeta a gi(x) ≤ bi, para i = 1, 2, … , m x ≥ 0 donde f(x) y las gi(x) son funciones dadas de n variables de decisión. No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en algunos casos especiales importantes de este problema[43]. Una forma de clasificar los métodos de solución de la programación no lineal, de manera general, es en algoritmos directos o indirectos. Como ejemplo de los métodos directos están los algoritmos de gradiente y el de combinaciones lineales. En los métodos indirectos, el problema original se sustituye por otro del cual se determina el óptimo. Como ejemplo de estos casos están la programación cuadrática, la programación separable y la programación estocástica. Algoritmos con restricción. No existe algoritmo general para manejar modelos no lineales, dado el comportamiento errático de las funciones no lineales. Quizá el resultado mas general aplicable al problema es el de las condiciones KKT. Con los métodos indirectos se resuelve el problema no lineal manejando uno o mas programas lineales derivados del programa original. Los métodos directos manejan el problema en su forma original. Algunos métodos indirectos incluyen la programación separable, cuadrática, geométrica, y estocástica[43].

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1.5.3.3. La Programación cuadrática Los problemas de programación cuadrática tienen restricciones lineales, pero la función objetivo f(x) es cuadrática. La única diferencia entre éstos y un problema de programación lineales que algunos términos de la función objetivo incluyen el cuadrado de una variable o el producto de dos variables, es decir, xi

2 y xixj (i≠j). La programación cuadrática es muy importante, en parte por que las formulaciones de este tipo surgen de manera natural en muchas aplicaciones como el problema de la selección de una cartera con inversiones riesgosas[43]. Usando la notación matricial, el problema es encontrar x para Maximizar f(x) = cx – ½ xT Qx, …(1.3) sujeta a : A x ≤ b x ≥ 0 Donde c es un vector renglón y x y b son vectores columna. Q y A son matrices y el superíndice T denota la transpuesta. Las qij (elementos de Q) son constantes dadas tales que qij = qji ( que es la razón para que aparezca el factor ½ en la función objetivo). Al realizar las multiplicaciones entre vectores y matrices indicadas, la función objetivo se expresa en términos de estas qij, las cj (elementos de c) y las variables, como sigue:

∑∑∑= ==

−=−=n

i

n

jjiij

n

jjj

T xxqxcxQxcxxf1 11 2

121)( …(1.4)

Si i = j en esta doble suma, entonces xi xj = xj

2, así – ½ qjj es el coeficiente de xj2. Si i ≠ j,

entonces – ½ ( qij xi xj + qji xj xi ) = -qij xi xj, de manera que –qij es el coeficiente total del producto de xi y xj. Se dispone de varios algoritmos para el caso especial de un problema de programación cuadrática en donde la función objetivo es una función cóncava. Uno de estos algoritmos es el método símplex modificado, que es muy aceptado porque sólo emplea el método símplex con una pequeña modificación. La clave de este enfoque es construir las condiciones KKT (Karush – Kuhn – Tucker) y después reexpresarlas de una manera conveniente que se parezca a programación lineal[109].

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1.6 Marco Metodológico. La metodología empleada en este estudio es una ampliación de la metodología general para realizar un estudio de investigación de operaciones, mostrada en la figura 1.7 y explicada en el cuadro 1.3.

Sistema (Problemática,

mundo real)

Solución

Modelo

Decisión

Figura 1.7 Metodología general para un estudio de Investigación de Operaciones.

Tabla 1.3 Metodología General de Investigación de operaciones

Fases Actividades Resultado

1. Modelación Abstracción de la realidad, diagnóstico de la problemática Modelo Matemático

2.Simulación y/o optimización

Diseño de alternativas de solución Diseño, elección de algoritmos

Solución aproximada del modelo

3.Implementación Pruebas y adecuación de las soluciones Decisiones sobre el sistema 4. Control y retroalimentación

Diseño de controles sobre los parámetros del modelo Modelo retroalimentado

La metodología empleada en este estudio de investigación de operaciones, mostrada en la figura 1.8, contiene las siguientes etapas:

1. Definición del problema de interés y recolección de los datos relevantes. 2. Formulación de un modelo matemático que represente el problema. 3. Desarrollo de un procedimiento para derivar una solución al problema 4. Prueba del modelo y mejoramiento. 5. Preparación para la aplicación del modelo prescrito. 6. Implantación[43].

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Implantación

Preparación

Prueba Desarrollo de

un procedimiento

Formulación del modelo

Definición del

problema

Figura 1.8 Metodología empleada. 1.6.1. Definición del problema. La mayor parte de los problemas prácticos que enfrenta un equipo de investigación de operaciones es su descripción, al principio de una manera vaga e imprecisa. La primera actividad a realizar es estudiar el sistema relevante y desarrollar un resumen bien definido del problema por analizar, que incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc[43]. 1.6.2. Formulación de un modelo matemático. Se construye un modelo matemático en términos de símbolos con sistemas de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que represente la esencia del problema. El modelo matemático puede expresarse entonces como el problema de elegir los valores de las variables de decisión de manera que se maximice la o minimice la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. El modelo matemático describe un problema en forma mucho mas concisa, ayuda a revelar las relaciones importantes causa-efecto e indica con claridad que datos adicionales son importantes para el análisis. También, facilita el manejo del problema en su totalidad y al mismo tiempo el estudio de sus interrelaciones. Por otro lado, un modelo es una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificación si se desea que el modelo sea susceptible de resolverse[43]. 1.6.3 Obtención de una solución a partir del modelo. Consiste en desarrollar un procedimiento, por lo general en computadora, para derivar una solución al problema a partir del modelo mediante la aplicación de un algoritmo y empleando uno de los paquetes de software disponibles. Como el mmooddeelloo nneecceessaarriiaammeennttee eess uunnaa iiddeeaalliizzaacciióónn mmaass qquuee uunnaa rreepprreesseennttaacciióónn

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eexxaaccttaa ddeell pprroobblleemmaa rreeaall,, nnoo eexxiissttee uunnaa ggaarraannttííaa uuttóóppiiccaa ddee qquuee llaa ssoolluucciióónn óóppttiimmaa ddeell mmooddeelloo rreessuullttee llaa mmeejjoorr ssoolluucciióónn ppoossiibbllee que pueda implantarse para el problema real. Simplemente existen demasiados imponderables e incertidumbres asociados con los problemas reales; pero si el modelo está bien formulado y verificado, la solución debe tender a una buena aproximación de un curso de acción ideal en la realidad. Por eso, mas que enfrascarse en exigir lo imposible, la prueba del éxito de un estudio de investigación de operaciones debe ser si proporciona o no una mejor guía en las decisiones que las obtenidas por otros medios. En la práctica, es mucho mas frecuente ssaattiissffiizzaarr que ooppttiimmiizzaarr, ya que se tiene la tendencia de los administradores a buscar una solución que sea satisfactoria para el problema que se tiene. A menudo, los equipos de investigación de operaciones utilizan sólo pprroocceeddiimmiieennttooss hheeuurrííssttiiccooss (procedimientos de diseño intuitivo que no garantizan una solución óptima) [43]. 1.6.4. Prueba del modelo y mejoramiento. Es inevitable que la primera versión de un modelo matemático grande tenga deficiencias. Algunos factores o interrelaciones relevantes no se incorporaron al modelo y algunos parámetros no se estimaron correctamente. Antes de usar el modelo, debe probarse de manera exhaustiva para intentar identificar y corregir todas las fallas que se detecten. En un proceso de mejora continua, se llegará a una versión del modelo que produzca resultados razonablemente válidos [43]. 1.6.5. Preparación para aplicar el modelo. Consiste en instalar un sistema computarizado para aplicar el modelo que incluya el modelo, su algoritmo de solución y los procedimientos operativos para su implantación. Con frecuencia se necesita un número considerable de programas integrados. Las bases de datos y los sistemas de información administrativa pueden proporcionar la entrada actualizada para el modelo cada vez que se use, en cuyo caso se necesitan programas de interfaz. Este sistema debe considerar un programa de soporte de decisiones, que ayude en apoyar (no sustituir) la toma de decisiones. Otro programa puede generar informes gerenciales (en lenguaje administrativo) [43]. 1.6.6. Implantación. Aquí se recogerán los beneficios del estudio. Debe asegurarse que las soluciones del modelo se traduzcan con exactitud en un procedimiento operativo. El éxito de la puesta en práctica depende en gran parte del apoyo que proporcionen tanto la alta administración como la gerencia operativa. Es importante que una vez desarrollados los procedimientos para poner este sistema en operación y con el transcurso de su uso, establecer vías de retroalimentación acerca del funcionamiento del sistema y de si las suposiciones todavía se satisfacen[43].

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1.7 Resumen del capitulo Se ha tratado los antecedentes y la teoría de este trabajo, como son: los factores involucrados para la planeación de las subestaciones de distribución, el estado del arte, la optimización matemática y el marco metodológico. Se mencionan algunas de las técnicas empleadas para la solución de problemas de programación matemática enfocados a localización y dimensionamiento óptimo de subestaciones de distribución, en esencia, el problema de la programación cuadrática. De acuerdo al estado del arte, con diversas técnicas se han dado tratado los problemas fundamentales de las subestaciones de distribución, a decir: la determinación de sus áreas de servicio, la localización, el tamaño y la programación de su puesta en servicio. También se menciona la metodología empleada para desarrollar la modelación de este trabajo. En el siguiente capítulo se formula un modelo matemático para la solución del problema de Localización y Óptima de las Subestaciones de Distribución de la Energía Eléctrica.

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“Optimizar es la ciencia de los absoluto; Satisfizar es el arte de los

factible”. Capítulo 2 Samuel Eilon

Modelación

Implantación

Preparación

Prueba Desarrollo

de un procedimiento

Formulación del modelo

Definición del

problema

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Capítulo 2 Modelación

2.1 Introducción En el capítulo anterior, se proporciona el contexto, el marco teórico y el marco metodológico de este trabajo, puntualizando los problemas fundamentales de la Localización de Subestaciones de Distribución de la Energía Eléctrica, explicando las técnicas de programación matemática mas usuales para resolverlos, y estableciendo la metodología empleada para lograr los objetivos planteados para este trabajo. En este capítulo se desarrolla cada etapa de la metodología mencionada en el capítulo uno, para resolver el problema de este estudio, la Localización óptima de subestaciones de distribución, formulándose un modelo matemático.

25


2.2 Definición del problema 2.2.1. Delimitación

Como se ha comentado ampliamente en este trabajo, la planeación de un sistema de distribución de energía eléctrica es muy amplia. Este trabajo se enfoca específicamente al estudio de una de sus ramas, que es el relacionado con los problemas principales de la subestación, como la localización, la capacidad (tamaño), la cargabilidad y su área de servicio, de tal forma que cumpla los objetivos de un sistema de distribución, definidos en el capítulo 1. De acuerdo con las consideraciones y requerimientos necesarios para Planeación de los Sistemas de Distribución fundamentados en el capítulo 1, este trabajo desarrolla la primera parte de un procedimiento integral, representado por la figura 2.1, para resolver los problemas principales de las subestaciones de distribución y de la red primaria. En la figura la parte que contempla la ubicación y capacidad de subestaciones está sombreada. 2.2.2. Planteamiento A menudo, algunos puntos de vista del planificador del sistema de potencia difieren de los planificadores del sistema de distribución de la energía eléctrica. Un ejemplo de esto es en cuanto la localización de una Subestación de Distribución. Los planificadores del sistema de potencia prefieren ubicarla tan cerca como sea posible de las líneas de transmisión existentes, y los planificadores del sistema de Distribución argumentan la conveniencia de construirlas, en la medida de lo posible, en el centro de carga del área que presenta un área cuya sobrecarga no pueda ser absorbida mas por las fuentes de suministro existentes. Ciertamente, es muy costoso la construcción de la línea de transmisión, máxime si se trata de cable subterráneo, pero, ¿esto justificará construir la Subestación de Distribución alejada del centro de carga? o ¿cuál debe ser el punto de equilibrio donde se ubique la Subestación, que concilie construir lo menos posible de línea de transmisión pero, que a su vez, quede cercana de su centro de carga?, ¿Cuánto se tiene que construir de línea de transmisión y que tan alejada del centro de carga?. Desde luego, la ubicación de la Subestación dependerá de las condiciones y características particulares de cada problema que se presente. Existen casos, en donde el área de sobrecarga, por consiguiente el centro de carga, se encuentre muy alejado de las líneas de transmisión, y otros donde no lo sea tanto. También existen casos donde las líneas de transmisión se encuentran muy próximas del centro de carga. Precisamente, con el desarrollo de este trabajo se enfocará a dar claridad a estos problemas complejos en la planeación de una Subestación de Distribución.

26


Ubicación de Sitios Disponibles

Red austera de alimentación

Sitios Factibles

Preparación de datos

Modelo de la Subestación de

distribución

Soluciones Alternativas

óptimas

Análisis del Comportamiento

del Sistema. Estudio de

Confiabilidad

Análisis de Flujos

Estudio de Corto Circuito

Otros Estudios

Ubicación y Capacidad resultante

Modelo de la Red Primaria

Rutas Factibles para troncales

Preparación de datos

Red Primaria Resultante

Selección de la mejor alternativa de localización, capacidad y cargabilidad de la Subestación asociada con su red primaria óptima resultante

Figura 2.1 Secuencia de uso de los mdelos para la Planeación de un Sistema de Distribución. 2.3 Formulación de un modelo matemático. El problema de planeación de subestaciones de distribución, se puede plantear como aquella alternativa en donde se minimicen los costos totales involucrados para su inversión en la construcción, el correspondiente a las pérdidas eléctricas originadas por el transporte de energía en la red de mediana tensión, y los costos de operación y mantenimiento, así como el costo atribuible a la construcción resultante de la línea de transmisión y al costo de sus pérdidas asociadas al transporte de energía eléctrica. Es decir, la medida de desempeño del modelo, podría quedar como: CostoTotal = CostoDistribución + CostoTransmisión …(2.1) donde, CostoDistribución = CostoInversión SD + CostoPérdidas en la red primaria + CostoOperación y Mantenimiento en la SD CostoDistribución = CostoInversión en la Línea de Transmisión + CostoPérdidas en Línea de Transmisión …(2.2)

27


La expresión anterior, presenta desde luego una estructura muy compleja como problema de investigación de operaciones, por lo cual el problema de planeación de sistemas de distribución, y en particular el que nos compete, es mas conveniente resolverlo a través de submodelos, o bien por módulos, que den solución a cada problemática en particular. Desde luego, el término costo de las pérdidas, tanto en la red de distribución como en la línea de transmisi|ón, y el término del costo de operación y mantenimiento en la SD, llevan implícitamente incluido el factor tiempo, ya que cada uno de ellos correspondería al costo total a valor presente de cada concepto. Además, en la expresión anterior se pueden hacer simplificaciones. Se pueden despreciar algunos elementos que intervienen en la sumatoria, como el costo de inversión de la Subestación de Distribución (SD) y el Costo de operación y mantenimiento en la SD. En los siguientes párrafos se explicarán cada uno de los términos de los sumandos de la expresión de la medida de desempeño del modelo. Con fundamento en la experiencia, el costo de inversión de una determinada subestación eléctrica, no depende de su localización, es decir, el costo del terreno no gravita ni es determinante en el costo total de la obra, mas bien los materiales, equipos y mano de obra son los que representan la mayor proporción de este, por lo cual, el costo de inversión de una Subestación de Distribución se puede considerar constante en cualquier punto donde se construya. Si se llegara a presentar variaciones en el costo de inversión de una subestación, se debe en esencia a factores políticos, ambientales, de estética, entre otros y no a factores propios al material y/o mano de obra. Esta aseveración es muy importante, ya que en análisis comparativos entre dos o más lugares candidatos factibles para construir una subestación, se puede despreciar este término para dar agilidad en la solución al problema. Cuando se trata de un área con sobrecarga que ya requiere de la instalación de una nueva fuente de suministro, una subestación de distribución, dentro de una zona urbana, como por ejemplo la zona metropolitana de la ciudad de México, el problema toma un matiz distinto. En este tipo de casos, que son la mayoría, no tiene sentido aplicar un modelo o algoritmo que encuentre el lugar óptimo para instalar la subestación, dado que en este tipo de zonas se cuentan con muy pocos espacios disponibles y el lugar óptimo resulta estar siempre ocupado por unidades habitacionales, complejos comerciales, locales industriales, edificios corporativos, etc. Para estos casos, se puede partir con la localización de algunos puntos factibles para construir la Subestación de Distribución y encontrar cual de ellos es el más óptimo.

28


Asumiendo que en la zona de estudio donde se pretende instalar una nueva Subestación de Distribución los problemas del entorno son uniformes en cualquier punto, es decir, los mismos niveles de contaminación, cantidad de descargas atmosféricas, restricciones ambientales en la poda de árboles, deterioro de equipos y materiales, vandalismo en contra de las instalaciones de la empresa, factores determinantes que afectarán en los costos de operación y mantenimiento. Con esta suposición, se puede concluir que el Costo correspondiente a la operación y mantenimiento será el mismo en cualquier lugar donde se construya la Subestación de Distribución; por tanto, este término también se puede omitir al considerar un análisis comparativo entre dos o más lugares candidatos factibles para construir una subestación. Así, los términos restantes de la medida de desempeño, el costo de las pérdidas en la red de distribución, el costo de las pérdidas en la línea de transmisión y el costo de inversión de la línea de transmisión, son factores que varían en función a la localización de la Subestación de Distribución, debido a que: dependiendo de su ubicación se tendrá que construir mayor o menor extensión de línea de transmisión, la cual tiene un costo considerablemente alto, y como consecuencia de esto, la longitud de esta línea impactará directamente también en el valor del costo de sus pérdidas por transporte de energía eléctrica en este nivel de tensión, y por otro lado, dependiendo de su ubicación variará el costo de las pérdidas en la red de mediana tensión en función de la magnitud y distribución de las cargas que alimente. Entonces, la expresión de la medida de desempeño del modelo se reduce en lo siguiente: CostoTotal = CostoPérdidas en la red primaria + CostoInversión en Línea de Transmisión + CostoPérdidas en Línea de Transmisión …(2.3)

La figura 2.2 ilustra claramente cada uno de los conceptos resultantes de la expresión anterior, que son las variables en función a la ubicación de la subestación. En la figura se tienen cuatro subestaciones existentes nombradas como SE1, SE2, SE3 y SE4, pueden suministrar a los puntos de demanda una capacidad equivalente a I1, I 2, I 3 e I4, que son corriente eléctrica, estas fuentes de suministro se abastecen de líneas de transmisión representadas con líneas gruesas, se tienen once cargas C1, C2, C3, hasta la C11 que son las que han sobrecargado la zona. Se encontraron tres lugares candidatos alternativos L1, L2 y L3, donde se puede construir la nueva Subestación de Distribución. En la figura se considera la opción de ubicar la nueva Subestación en el punto L2. Para este caso, supongamos que las cargas deben ser alimentadas como se indica en la figura. Se asume que las cargas son balanceadas, lo que representa que se transporten las mismas cantidades de corriente por las tres fases de la línea de transmisión, dado que en el sistema eléctrico son circuitos trifásicos.

29


SEN

i8

C1

C2C3

C4

C5C6

C7

C8

C9

C10

C11

i2

i1

i3

i4

i5

i6i7

i11

i9

i10

iLT

L2

L1

L3

SE1

SE2

SE3

SE4

I 2

I 5

I 1

I 4

I 3

SIMBOLOGÍA: Subestación existente

Subestación nueva

Línea de Transmisión existente de 230 kV

Línea de Transmisión nueva de 230 kV

Red de Distribución

Carga

Figura 2.2. Esquema representativo del modelo para la determinación óptima de la localización y dimensionamiento de una Subestación de Distribución. De acuerdo a lo anterior, entonces, el costo de las pérdidas en la línea de transmisión será la correspondiente a tres veces el cuadrado de la corriente que fluye en la línea punteada gruesa, multiplicado por la resistencia del conductor de la misma, esto es: PeLT = 3 * iLT

2 * rLT …(2.4)

Donde, PeLT = Pérdidas de potencia en la línea de transmisión, en Watts iLT = Es la corriente máxima que fluye por la línea de transmisión, en amperes rLT = Es la resistencia eléctrica del tramo de la línea de transmisión, en ohms. El costo de inversión de la línea de transmisión es el correspondiente a la construcción la línea punteada gruesa al ubicar en el punto L2 la subestación nueva. Naturalmente, la longitud de la línea de transmisión para los puntos L1 y L3, y por tanto el costo, será diferente. El costo de las pérdidas en la red de mediana tensión se determina como la sumatoria de las pérdidas individuales de cada lazo que une a la subestación SEi con la carga Cj . Las pérdidas individuales de cada lazo, se calculan de la misma forma que la mostrada para la línea de transmisión, es decir, es proporcional a tres veces el cuadrado de la corriente que fluye en el lazo punteado delgado, multiplicado por la resistencia del tramo conductor de la misma, esto es: PeRD = 3 * iRD

2 * rRD …(2.5)

30


Donde, PeRD = Pérdidas de potencia en la red de distribución, en Watts iRD = Es la corriente máxima que fluye por la red de distribución, en amperes rRD = Es la resistencia eléctrica del calibre de red de distribución, en ohms. Por lo tanto, las pérdidas totales en la red de distribución si la subestación de distribución se ubicara en el punto L2, sería:

∑=

=n

jjjRD riPeT

1

2 )**3( …(2.6)

Donde, PeTRD = Pérdidas de potencia Totales en la red de distribución, en Watts i j = Es la corriente máxima que fluye por el lazo j de la red, en amperes r j = Es la resistencia eléctrica del calibre de conductor del lazo j, en ohms. n = Número total de lazos resultantes para suministrar energía a las cargas, Se ha planteado hasta el momento, la medida de desempeño o función objetivo del problema de localización y dimensionamiento de Subestaciones de Distribución. Para continuar con el desarrollo del sistema, se procederá por analizar cada término o submodelo de la expresión objetivo resultante. 2.3.1. Submodelo de Pérdidas de energía en la red de distribución. La función objetivo para este submodelo, debe determinarse minimizando el valor de las pérdidas de energía en la red de distribución, debido a que representa el término de mayor dependencia de la ubicación de la subestación. En el diseño de este modelo, la estructura del problema de transporte representa un fundamento excelente para dar solución al submodelo. El problema de transporte se detalla en el capítulo uno de este trabajo, no obstante, se comentará someramente para un buen entendimiento del problema que nos compete. Para explicar el desarrollo de este submodelo, se hará referencia de la figura 2.3. Supongamos que se tienen existentes las fuentes de suministro de energía, o sea Subestaciones (orígenes) SE1, SE2, …, SEm-1, con un nuevo origen SEm en un lugar factible candidato para su construcción, estos orígenes tienen respectivamente una capacidad de abastecimiento (recursos) de I1, I 2, …, Im, donde Im, representa la capacidad inicial con la cual nace la nueva fuente de suministro. Se tienen los puntos de demanda (destinos) D1, D2, …, Dn. Se trazan las líneas por las cuales puede o no fluir un volumen de transporte de corriente imn, donde m es el origen del flujo y n el punto destino. También a cada unidad de volumen, imn, que se transporte le corresponderá un costo Cmn.

31


SE1

C12

C13C1n

i12

i11

i13i1n

C11

Figura 2.3. Esquema representativo del submodelo de pérdidas en la red de Distribución. Entonces, el problema consiste en encontrar los valores de las variables iij para toda i y j (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n), tal que se cumpla con la función objetivo y se satisfagan las restricciones siguientes:

0,,,,,,,

min

1221111

21

112111

1

2221

1111

221

22

221

21

211 1221111

≥

=++

=++

≤++

≤++≤++

+++++++++

mnmnn

nmnnn

m

mmnm

n

n

mnmnn

iiiiii

Diii

Diiidemandadenesrestriccio

Iii

IiiIii

istrosudenesrestriccio

icicicicicic mnmnn

KKKK

K

MO

K

K

MO

K

K

KKKK

:asujeta

Minimizar

…(2.7)

i22i23

C22

C23

C2n

C21

Cm2

Cm3

Cmn

SEm

D1

D2

D3

Dn

im2

im3imn

SE2

I m

I 1

im1

Cm1

I 2i2n

i21

32


El modelo, también puede expresarse simplificadamente como:

∑∑= =

=m

i

n

jij ij

icZ1 1

2Minimizar …(2.8)

sujeta a:

jii

njDi

miIi

ij

j

m

iij

i

n

jij

y

demanda de nesrestricciopara

suministro de nesrestricciopara

∀≥

==

=≤

∑

∑

=

=

,0

,,2,1

,,2,1

1

1

K

K

El modelo anterior se puede comparar con el problema de transporte y se encuentran enormes semejanzas. En este caso, el objetivo es encontrar los valores iij para toda i y j (donde i=1,2,…,m y j=1,2,…,n) con el fin de que el costo de las pérdidas eléctricas, de energía y de potencia, sean minimizadas, de tal forma que se satisfagan las restricciones de tomar cuando mucho las capacidades o recursos Ii para toda i (donde i=1,2,….,m) con que cuenta cada Subestación (origen); estas son las restricciones de suministro. Así mismo, de cada nodo destino de demanda Dj para toda j (donde j=1,2,….,n) debe suministrarse exactamente el flujo de corriente correspondiente, que son las restricciones de demanda energía eléctrica. Además, para nuestro caso, no pueden existir valores negativos, pero si existe la posibilidad de obtenerse valores cero, es decir, que por algún lazo desde el origen hasta el destino resulte la nula circulación de flujo de corriente i. Lo anterior agrega al modelo las restricciones de no negatividad de las variables. Entonces, en el submodelo de pérdidas en la red de distribución, se manejarán mxn cantidad de variables y se puede catalogar como un problema de programación cuadrática por incluir términos cuadráticos dentro de la función objetivo. En el capítulo 1 se comentan las características y la descripción de este tipo de modelos. En la figura, la nueva Subestación en un lugar candidato factible está representada por el suministro SEm, se le pudo haber asignado a este origen cualquier otro número, por ejemplo, SE1 o SE2. Por lo tanto, de acuerdo con esta nomenclatura, desde el punto de vista de minimización de pérdidas eléctricas, el valor resultante de la sumatoria:

33


∑=

n

jjmi

1

después de haber ejecutado el algoritmo de optimización, será la cargabilidad óptima para la nueva subestación en la localización candidata factible. De igual forma, los valores resultantes de las sumatorias:

1,,2,11

−=∑=

miin

jij Kpara …(2.9)

representarán las magnitudes de cargabilidad óptima que cada punto de suministro, o subestación existente, deberá de abastecer hacia los nodos de demanda, o destino. Es importante mencionar que los lazos generados desde cada punto de suministro hasta el nodo de demanda para transportar el volumen de corriente correspondiente, se considera una red austera de distribución con la mínima trayectoria posible, lo cual representa el caso ideal en la construcción de redes de distribución, en consecuencia, como las pérdidas de energía son directamente proporcional a la resistencia del conductor, y por ende, a la longitud del mismo, el costo total minimizado encontrado sería un valor mínimo indicativo de pérdidas eléctricas y totalmente válido, pero en realidad la configuración de la redes de distribución producen una mayor distancia eléctrica del punto de suministro al nodo de demanda. Para determinarse con mayor precisión este valor del costo total de las pérdidas, sería necesario incluir en el modelo de alimentadores esta opción de cálculo; no obstante, en este trabajo no se contempla el análisis de modelo de alimentadores, ya que no impacta fundamentalmente en la determinación de la localización y dimensionamiento de la Subestación de Distribución. Con la obtención de la variables iij para toda i y j (donde i=1,2,…,m y j=1,2,…,n) es posible determinar las áreas óptimas de servicio de cada punto de suministro o subestación. Por otra parte, en el modelo no se incluyen restricciones de regulación de voltaje o capacidad térmica de conductor, ya que para esta etapa no son aún necesarios, por no existir una red óptima de distribución definitiva. Mas bien estos parámetros fundamentales en el diseño de redes eléctricas deben ser integrados dentro del modelo de alimentadores. Para convertir la función objetivo en unidades monetarias se requieren determinarse las pérdidas de energía en cada tramo como:

34


Pet1 = 3 * it12 * rt1 * fpe * t / 1000 …(2.10)

Donde, Pet1 = Pérdidas de energía en el tramo uno, en kWh it1 = Es la corriente máxima que fluye por el tramo 1, en amperes rt1 = Es la resistencia eléctrica del calibre del tramo uno, en ohms. fpe = Factor de Pérdidas en el periodo t determinado. t = Es el tiempo que se establezca en el estudio, en horas. De la expresión anterior, el factor de pérdidas se integra debido a la razón que no en todo el día circula una sola magnitud de corriente, ni tampoco en todos los días o estaciones del año la carga tiene un comportamiento uniforme, por eso este factor ayudará a encontrar un valor de pérdidas de energía totalizado durante e periodo t de tiempo establecido. La figura 2.4 muestra el comportamiento de la demanda diario y anual de una carga típica residencial, con el cual se puede determinar el factor de pérdidas.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

DIA1

Año

Dem

anda

0

5 0

10 0

15 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

3 5 0

4 0 0

4 5 0

5 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

D ía

Figura 2.4 Comportamiento diario (gráfica izquierda) y anual (gráfico derecho) de una carga residencial. Entonces, teniéndose las pérdidas en términos de energía (kWh), y como la energía tiene un costo dependiendo del nivel de tensión en que se proporciona, y sabiéndose que comúnmente el tiempo establecido de estudio es anual, es decir t=8760 horas, se puede deducir que: CPt1 = ( 3 * it12

* rt1 * fpe * 8760 / 1000 ) CEMT …(2.11) Donde, CPt1 = Costo de las Pérdidas de energía en el tramo uno, en pesos Pet1 = Pérdidas de energía en el tramo uno, en kWh CEMT = Es el costo de la energía en mediana tensión, pesos/kWh.

35


De la expresión anterior, podemos determinar el valor de la resistencia de cada tramo, ya que se tienen normalizado los calibres de los conductores de la red de distribución, también llamada red primaria o red de mediana tensión por manejar un voltaje superior a 1000 Volts. También, el factor de pérdidas y el costo de la energía en mediana tensión pueden ser obtenidos fácilmente. Por lo tanto, la expresión puede agruparse de la siguiente manera: CPt1 = [ 3 * rt1 * fpe * 8.76 CEMT ] * it12 …(2.12) Así, los términos encerrados dentro del paréntesis representa el costo de las pérdidas del tramo uno por unidad del cuadrado de la corriente que fluye por el mismo. Si hacemos que: Ct1 = 3 * rt1 * fpe * 8.76 CEMT …(2.13) donde Ct1 = Costo de las pérdidas del tramo uno por unidad del cuadrado de la corriente, en pesos/A2. entonces, CPt1 = Ct1 * it12 …(2.14) Haciendo para n tramos, se tiene: CTP = Ct1 * it12 + Ct2 * it22 + ... + Ct n * i t n2 …(2.15) donde, CTP = Costo total de las pérdidas, en pesos Esta expresión ya se adecúa con cada término de la función objetivo establecida en el modelo de pérdidas en la red de distribución, y el valor minimizado resultante se encuentra en unidades monetarias, en este caso pesos. Hasta el momento ha quedado establecido el submodelo matemático estacional de pérdidas eléctricas en la red de distribución, es decir, fijo en un periodo de tiempo; sin embargo, el costo de las pérdidas impactaran en toda la vida útil que operen los equipos y materiales de la subestación. Por tal motivo, se puede determinar un submodelo dinámico donde se consideren el costo total de las pérdidas eléctricas en la red de distribución durante la vida útil de las instalaciones de la siguiente forma:

36


Se puede determinar en primera instancia el pronóstico de la demanda, en los nodos destino, a lo largo de la vida útil, es decir los valores anuales Dj (para j=1,2,…,n). Aunque en este trabajo no se profundiza en el tema de pronóstico de la demanda, es importante señalar que existen numerosas técnicas para ello; por lo que es muy recomendable realizar diferentes escenarios de crecimiento, a fin de contar con estudios bajo panoramas distintos de comportamiento de la demanda en el tiempo. De la misma forma, se tiene planeado el crecimiento o incremento en la capacidad, en los puntos de suministro, por lo regular durante los próximos 10 a 15 años que una empresa puede programar en función a la disponibilidad de sus recursos económicos, técnicos y humanos; en otras palabras, es posible conocer los valores anuales de los recursos Ii (para i=1,2,…,m). Es importante mencionar que el tiempo de programación de las obras se sujeta a las políticas de planeación establecidas por cada empresa de abastecimiento del servicio eléctrico. También, la matriz de costos perteneciente de la función objetivo puede permanecer constante en cada periodo de tiempo de análisis, y el valor resultante de la minimización de costos se puede calacular a valor presente posteriormente. O bien, se puede utilizar para cada análisis de tiempo fijo la matriz correspondiente a los costos por unidad del cuadrado de la corriente convertidos ya a valor presente. Así pues, de acuerdo con estas consideraciones, es posible analizar el submodelo de pérdidas en la red de distribución, determinando anualmente las condiciones óptimas de los valores iij para toda i y j (donde i=1,2,…,m y j=1,2,…,n) como si se tratara de p cantidad de análisis de tiempo fijo, donde p sea el número de estudios de optimización por ejecutar y represente a la vida útil de las instalaciones Entonces, el submodelo dinámico de pérdidas en la red de distribución se establece como:

∑ ∑= =

•=m

i

n

jijkijkk icZ

1 1

2 Minimizar …(2.16)

sujeta a:

pk

kjii

njDi

miIi

ijk

jk

m

iijk

ik

n

jijk

,,2,1

,,0

,,2,1

,,2,1

1

1

K

K

K

=

∀≥

==

=≤

∑

∑

=

=

parasubmodeloeltodo

y



37


en donde: Zk = Costo mínimo resultante de las Pérdidas de energía correspondiente al año k del

análisis estacionario en ese periodo de tiempo, en pesos. kcij = Costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente producido por la circulación

de la subestación u origen i, a la demanda o destino j, correspondiente al año k, en pesos/A2.

kiij = Corriente resultante óptima requerida por la demanda o destino j de la subestación u origen i, en el año k, en A.

kIi = Capacidad firme o recursos disponibles de la subestación u origen i, en el año k, en A. kDj = Demanda del nodo destino j, en el año k, en A. m = Número de puntos de suministro, subestaciones. n = Número de nodos de demanda, destinos. p = Años de vida útil de las instalaciones. A este modelo matemático se le puede complementar lo siguiente:

∑= +

=p

kk

k

tdZ

1 )1( RDCTP …(2.17)

Donde, CTPRD= Costo total mínimo a valor presente de las pérdidas en la red de distribución o de

mediana tensión, durante la vida útil p de las instalaciones, en pesos. td = Tasa de descuento, en p/u. En consecuencia, se tendrán que ejecutar una cantidad equivalente a p veces el submodelo para obtener la p cantidad de valores minimizados Z de las pérdidas y mxnxp cantidad de variables de corriente kiij. Se puede expresar el submodelo de pérdidas en la red de distribución de acuerdo a la notación matricial, resultando lo siguiente: Minimizar kf(i) = ½ ki T • kQ • ki, …(2.18) sujeta a: kAS • ki ≤ kI restricciones de suministro kAD • ki = kD restricciones de demanda ki ≥ 0 para k = 1, 2, ..., p

38


donde kf(i) = Es el valor resultante minimizado de las pérdidas, correspondiente al año k, en pesos. ki = Es el vector columna de las variables a encontrar en el año k, en A. kQ = Representa la matriz Hessiana correspondiente al año k, en pesos/A. kAS = Es la matriz de coeficientes de las restricciones de suministro del año k. kI = Es el vector columna de los recursos o capacidades disponibles de las subestaciones

en el año k, para dar suministro a las demandas, en A. kAD = Es la matriz de coeficientes de las restricciones de demanda del año k. kD = Es el vector columna de las demandas en el año k, en A. p = Es el número de años de la vida útil de las instalaciones. En esta notación se ha cambiado la nomenclatura de la variable x por i, y ha quedado reducida de esta forma ya que, como se menciona en el capítulo uno, la programación cuadrática resuelve problemas cuyas funciones integran variables cuadráticas, el producto de dos de las variables, variables de primer grado y términos independientes. En el caso del problema de minimización de pérdidas en la función objetivo se tienen solamente términos cuadráticos, es decir, de segundo grado. Por tal motivo, la notación matricial se redujo en la forma expresada. En el caso particular que nos atañe, en cuya función objetivo existen únicamente variables de segundo grado, la matriz Hessiana Q, tendrá la estructura de una matriz diagonal, con dimensiones (n• m) x (n• m). El superíndice T denota la transpuesta del vector ki, cuyas dimensiones de este vector son (n• m) x 1. La matriz de coeficientes kAS en el año k tendrá entonces dimensiones igual a m x (n• m). En consecuencia, el producto de la matriz de coeficientes kAS con el vector columna ki, será el vector columna de los recursos o capacidades disponibles kI y tendrá dimensiones m x 1. De la misma forma, la matriz de coeficientes kAD en el año k tendrá entonces dimensiones igual a n x (n• m). En consecuencia, el producto de la matriz de coeficientes kAD con el vector columna ki, será el vector columna de las demandas kD y tendrá dimensiones n x 1. Con esto, se ha desarrollado un submodelo dinámico que determina las pérdidas mínimas en la red de distribución a través de la obtención de las variables de corriente de un punto de suministro a un nodo de demanda kiij a lo largo de la vida útil de las instalaciones mediante p cantidad de análisis estacionarios o fijos pertenecientes a modelos de programación cuadrática.

39


2.3.2. Submodelo de Inversión en la Línea de Transmisión. La obtención de la expresión matemática de este submodelo es simple, y se determina con base a la extensión de la longitud que se necesite de línea de transmisión como a continuación se expresa: CITLT = CLT x ℓLT …(2.19) donde CITLT = Costo de Inversión Total de la línea de transmisión, en pesos. CLT = Costo por unidad de longitud de la línea de transmisión, en pesos/km ℓLT = Longitud de la línea de transmisión, en km. Así pues, por medio de una expresión sencilla se puede determinar el costo de inversión en la línea de transmisión, sin embargo, para poder emplear esta fórmula, es necesario contar con información estadística de este costo CT, e incluye por sí misma todos los costos asociados con la inversión, tal como los materiales, equipos, mano de obra, transportación, gastos administrativos, herramienta, etc. Por lo tanto, la complejidad en la obtención del costo de inversión en la línea de transmisión estriba en el manejo de la información estadística de sus costos. La ejecución de este sobmodelo puede realizarse una vez conocido los puntos candidatos factibles para localizar y tener la posibilidad de construir la nueva Subestación de Distribución considerándose para esto aspectos de vital importancia como el derecho de vía de la línea de transmisión, o bien, rutas factibles para la instalación de cable subterráneo de transmisión, para alimentar al nodo de suministro de distribución. 2.3.3 Submodelo de Pérdidas en la Línea de Transmisión. Las pérdidas en la línea de transmisión, de energía y de potencia, se pueden determinar por medio de la siguiente expresión: CPLT = 3 * iLT

2 * ℓLT * fpe ( rLT/ℓ * t * CEAT + zLT/ℓ * CPAT ) / 1000 …(2.20)

Donde, CPLT = Costo de las Pérdidas en la línea de transmisión, en pesos iLT = Es la corriente máxima que fluye por la línea de transmisión, en amperes

40


rLT/ℓ = Es la resistencia eléctrica del conductor por unidad de longitud de la línea de transmisión, en ohms/km.

zLT/ℓ = Es la impedancia del conductor por unidad de longitud de la línea de transmisión, en ohms/km.

ℓLT = Longitud de la línea de transmisión, en km. fpe = Factor de Pérdidas en el periodo t determinado. t = Es el tiempo que se establezca en el estudio, en horas. CEAT = Es el costo de la energía en alta tensión, pesos/kWh. CPAT = Es el costo de la potencia en alta tensión, pesos/kVA. De la relación anterior, el factor de pérdidas es el mismo del obtenido en el submodelo de pérdidas en la red de distribución. Así mismo, el periodo de tiempo también corresponde a un año, es decir, 8760 horas. Todos los elementos de la expresión anterior pueden determinarse sin mayor problema excepto uno, la variable iLT , que es la corriente máxima que fluye por la línea de transmisión. Si hacemos que: DLT = 3 * fpe ( rLT/ℓ * t * CEAT + zLT/ℓ * CPAT ) / 1000 …(2.21) Donde, DLT = Costo de las Pérdidas en la línea de transmisión por unidad del producto del cuadrado

de la corriente que fluye por ella por la longitud de la misma, en pesos/km•A2. Entonces, la expresión puede simplificarse a: CPLT = DLT *ℓLT * iLT

2 …(2.22)

La corriente que fluirá por la línea de transmisión será el resultado que se obtenga por la ejecución del submodelo de pérdidas en la red de distribución convertida en la tensión propia de operación en alta tensión, es decir:

∑=

=n

jjm

AT

MTLT i

VV

i1

…(2.23)

en donde,

41


iLT = Es la corriente en el periodo de carga máxima que fluye por la línea de transmisión, en amperes.

VMT = Es la tensión de operación en mediana tensión o de distribución, en Volts. VAT = Es la tensión de operación en alta tensión o de transmisión, en Volts. i m j = Es la corriente óptima resultante que fluirá desde la nueva subestación en el punto m

para alimentar a la carga j, donde j tomará valores desde 1 hasta n, en Amperes. En otras palabras, del resultado de la cargabilidad óptima de la nueva subestación, mediante la expresión anterior se obtendrá la corriente que fluirá en la línea de transmisión. Por lo tanto, la ejecución de este submodelo partirá una vez concluida la ejecución del submodelo de pérdidas en la red de distribución. De la misma forma como se determinó para el submodelo de pérdidas en la red de distribución, hasta el momento ha quedado establecido el sub-modelo matemático estacional de pérdidas eléctricas en la línea de transmisión, es decir, fijo en un periodo de tiempo; sin embargo, el costo de las pérdidas impactaran en toda la vida útil que operen los equipos y materiales de la subestación y de la propia línea de transmisión. Por tal motivo, se puede determinar un submodelo dinámico donde se consideren el costo total de las pérdidas eléctricas en la línea de transmisión durante la vida útil de las instalaciones de la siguiente forma:

∑=

=p

kLTkLTLTLT iDCTP

1

2**l …(2.24)

o bien, puede escribirse como:

∑ ∑= =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+=

p

k

n

jjmkk

AT

MTLTLTLT i

tdVVDCTP

1

2

12

2

)1(1***l …(2.25)

donde, CTPLT = Costo total de las pérdidas a valor presente de la línea de transmisión, en pesos. k i LT = Es la corriente en el periodo de carga máxima que fluye por la línea de transmisión

en el año k, en amperes. k i m j = Es la corriente óptima resultante que fluirá desde la nueva subestación en el punto m

para alimentar a la carga j, donde j tomará valores desde 1 hasta n, correspondiente al año k, en Amperes.

p = Número de años de vida útil de las instalaciones de transmisión. td = Tasa de Descuento.

42


Si determinamos un nuevo factor compuesto por los siguientes elementos, tenemos

2

2

*AT

MTLTLT V

VDE = …(2.26)

el submodelo de pérdidas en la línea de transmisión finalmente se reduce a:

∑ ∑= =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+=

p

k

n

jjmkkLTLTLT i

tdECTP

1

2

1)1(1**l …(2.27)

Con esto, se ha desarrollado un submodelo dinámico que determina el costo total a valor presente de las pérdidas en la línea de transmisión a lo largo de la vida útil p de las instalaciones, a través de las variables de corriente kimj de la nueva subestación en el punto de suministro m a un nodo de demanda j, obtenidas en el submodelo de pérdidas en la red de distribución. 2.3.4 Determinación final del modelo matemático de localización y cargabilidad óptima de Subestaciones de Distribución. Recapitulando, el costo total a valor presente de la ubicación en un lugar candidato factible de una Subestación de Distribución entre varias alternativas, se citó en la expresión 2.3 Empleando la terminología establecida en las secciones anteriores y respetando el mismo orden de cada término de la expresión anterior, respectivamente, se tiene CTVP = CTPRD + CITLT + CTPLT …(2.28) Donde, CTVP = Costo total a valor presente durante la vida útil de las instalaciones de distribución y

transmisión al ubicar la subestación en un punto candidato factible, en pesos. La expresión anterior parece ser muy simple, pero la obtención de cada uno de los elementos que conforman el sumando no lo es, en realidad, como se mencionó anteriormente, la determinación del costo total a valor presente de las pérdidas en la red de distribución durante la vida útil de las instalaciones, resulta ser la parte mas compleja.

43


Al existir cuando menos dos lugares candidatos factibles para la construcción de una nueva subestación de distribución, entonces se tendrá que determinar el valor CTVP para cada uno de estas alternativas. Así pues, la fórmula matemática para satisfizar la ubicación y cargabilidad de Subestaciones de Distribución, finalmente se expresa a continuación: Ls = Min { CTVP-A1, CTVP-A2, … , CTVP-AN } …(2.29) Donde LS = Localización de la Subestación donde se satisfiza el costo total a valor presente

durante la vida útil de las instalaciones de distribución y transmisión. CTVP-A1 = Costo total a valor presente durante la vida útil de las instalaciones de distribución y

transmisión al ubicar la subestación en el punto candidato factible de la alternativa 1, en pesos.

CTVP-A2 = Costo total a valor presente durante la vida útil de las instalaciones de distribución y transmisión al ubicar la subestación en el punto candidato factible de la alternativa 2, en pesos.

CTVP-A1 = Costo total a valor presente durante la vida útil de las instalaciones de distribución y transmisión al ubicar la subestación en el punto candidato factible de la alternativa N, en pesos.

Es decir, la ubicación de la Subestación de Distribución, donde se satisfiza el costo total a valor presente durante la vida útil de las instalaciones de distribución y transmisión, es el que represente el valor mínimo respecto a todas las alternativas factibles consideradas dentro del estudio.

44


2.4 Desarrollo de un procedimiento para derivar una solución al problema.

El modelo matemático formulado, está tipificados como no lineal, específicamente, modelo de programación cuadrática. La resolución a problemas de programación cuadrática puede hacerse mediante el empleo de paquetes en computadora, a decir: EXCEL(solver), LINGO, LINDO, MPL/CPLEX, MATLAB, BQPD, LSSOL, PORT3, QPOPT, IMSL, etc, ver figura 2.5. Solver es una herramienta de Excel que puede resolver problemas de programación cuadrática. El Anexo A se comenta detalladamente el modo de empleo de este paquete. Matlab también resuelve problemas de programación cuadrática. El Anexo B menciona el procedimiento de manejo de este paquete y el algoritmo que emplea esta herramienta para la solución de este tipo de problemas. El código programático empleado por Matlab para resolver programación cuadrática se encuentra en el Anexo C. 2.5 Prueba del modelo y mejoramiento. Esta etapa se auxilió de los programas Solver de Excel y de Matlab, que tienen la propiedad de manipular y resolver problemas de programación cuadrática, en la cual, se realizaron pruebas del modelo inicial y se mejoró el modelo. 2.6 Preparación para aplicar el modelo e Implementación. Como se menciona en el marco metodológico, se crean las condiciones para aplicar el modelo, preparando la información correspondiente, capturar e introducir los datos de las variables que necesitan los paquetes empleados, desarrollar si se requiere programas adicionales y ejecutar el proceso de optimización. Esta fase de la metodología y la implementación, se desarrollan en el capítulo tres, donde se aplica el modelo matemático formulado en un caso de estudio.

45


2.7 Resumen del capítulo. En este capítulo, se formula un modelo matemático para dar solución al problema de ubicación, tamaño o capacidad, cargabilidad y áreas de servicio óptima de subestaciones de distribución. La parte medular de este modelo consiste en determinar el costo mínimo a valor presente de las pérdidas de la red de distribución durante la vida útil de las instalaciones y encaja perfectamente en un problema típico de optimización matemática, la cual está clasificada como programación cuadrática y pertenece a la rama de la programación no lineal. La estructura que guarda este modelo tiene analogías con el problema de transporte. El modelo de programación cuadrática está diseñado en forma dinámica, es decir, tiene considerado el factor tiempo donde se evalúa año con año el objetivo de minimizar el costo de las pérdidas en la red de distribución, dada la demanda pronosticada en ese año, sin violar las restricciones o límites de capacidad establecidas. Posteriormente, se establecen otras expresiones matemáticas, que complementan el modelo y determinar el costo total a valor presente de una Subestación de Distribución y seleccionar la ubicación estratégica óptima definitivo y su cargabilidad óptima. En el siguiente capítulo, se aplicará el modelo formulado en un caso de estudio para derivar una solución del problema a partir del modelo desarrollado en este capítulo.

46


Capítulo 3 “Cuan Insensato es el hombre que deja

transcurrir el tiempo esterilmente”.

Caso de EstudioAnónimo

SE1

C12

C13C1n

i12

i11

i13i1n

C11

i22i23

C22

C23

C2n

C21

Cm2

Cm3

Cmn

SEm

D1

D2

D3

Dn

im2

im3imn

SE2

I m

I 1

im1

Cm1

I 2i2n

i21

47


Capítulo 3 Caso de Estudio

3.1 Introducción En los capítulos anteriores se estableció el contexto de la problemática de localizar subestaciones de distribución de la energía eléctrica como partida fundamental de planeación de sistemas de distribución y se formula un modelo matemático que determina su localización, capacidad, cargabilidad y área de servicio óptima, en base a una metodología de investigación de operaciones. En este capítulo, se realiza la aplicación del modelo en un caso de estudio real, en el cual, se detallan las características del problema por resolver, se justifica su consideración, se establece su modelo matemático y se prepara la información para ingresarla a un paquete que maneje modelos de optimización matemática, en particular, de programación cuadrática. Se ejecuta el paquete con el modelo capturado, y posteriormente, se hace un análisis con los resultados obtenidos. Por último, se desarrollan las conclusiones de este estudio de investigación de operaciones.

48


3.2 Determinación de la zona de estudio. 3.2.1 Análisis del Estado Actual.

Justificar una nueva subestación está en función de la magnitud de la sobrecarga en condiciones de carga normal que presenten los bancos de transformación de las subestaciones de distribución dentro de la zona de estudio y de la imposibilidad de incrementar la capacidad de la subestaciones existentes con nuevos transformadores. Es decir, si la demanda que se presenta actualmente o la pronosticada en el corto o mediano plazo no pudiera ser cubierta por las subestaciones existentes, y que estas se encuentren operativamente en su capacidad máxima de diseño sin posibilidad de ampliación, es entonces cuando se requiere de una nueva subestación de distribución. Tal es el caso de la zona de estudio mostrada en la figura 3.1 que se analizará en este capítulo, cuyas características se muestran en la tabla 3.1. En la figura 3.1 las subestaciones existentes están representadas por círculos grises y las troncales de la red de distribución mediante líneas delgadas. Las líneas continuas gruesas indican el área de influencia de cada subestación.

Figura 3.1 Delimitación de la zona de estudio del sistema de distribución.

S.E. NEZAHUALCOYOTL

S.E. PANTITLAN

S.E. STA. CRUZ

S.E. LOS REYES

S.E. AURORA

49


Tabla 3.1 Características Eléctricas de la Zona de Estudio – Estado Operativo Actual

Subestación Capacidad Instalada

Capacidad Máxima Operativa Demanda Reserva

Operativa (+) Disponibilidad (-) Déficit

A A A A A

Los Reyes 1,506 1,506 1,381 176 - 51 Pantitlán 1,481 1,280 1,004 377 - 101 Santa Cruz 3,389 2,711 2,385 427 - 101 Aurora 753 452 778 0 - 326 Netzahualcoyotl 3,012 2,033 2,033 0 0

Zona 10,141 7,982 7,581 980 - 579

La información contenida en la tabla 3.1 son los recursos y los consumos específicos dentro de la zona de estudio enmarcada mediante la línea punteada de la figura 3.1. La reserva operativa es la capacidad mínima necesaria para tener flexibilidad en la red de distribución que garantiza el suministro del fluido eléctrico a cargas importantes que no pueden prescindir del servicio como hospitales, sistemas de transporte colectivo, etc. En la tabla se puede observar que en el estado operativo actual todas las fuentes de suministro, subestaciones, involucradas en la zona, se encuentran sobrecargadas, sumando en total un déficit, o sobrecarga, de 579 Amperes. Esto significa que el déficit es cubierto por la capacidad destinada como reserva operativa de las subestaciones, sacrificando flexibilidad y confiabilidad del servicio para respaldo en caso de contingencias dentro de la zona. Con este estado operativo sobrecargado se presentan también dificultades para mantener la calidad en el servicio, se incrementan sustancialmente las pérdidas eléctricas y se fatigan los equipos y materiales por someterlos a los límites de sus capacidades térmicas. La figura 3.2 muestra el área de cobertura de cada alimentador dentro de la zona de estudio, presentándose tres rangos de sobrecarga, ashurado horizontal para una sobrecarga de 0 – 100 A, ashurado diagonal de 101 – 200 A y ashurado vertical mas de 201 A. 3.2.2 Análisis en el Mediano Plazo (5 años). Si al estado operativo se le agregan los incrementos de de carga que se tendrán anualmente, la situación será aún mas crítica. Con fines analíticos, la tabla 3.2 presenta un pronóstico del estado operativo que escenificaría la zona en el mediano plazo, 5 años. De la información contenida en esta tabla se puede observar que tanto la capacidad instalada como la capacidad máxima operativa permanecieron constantes, esto es debido a que las subestaciones se encuentran operando con sus capacidades completas de diseño. También se puede distinguir que la magnitud de la sobrecarga sería del orden de 2,584 A, el quintuple del valor que presenta actualmente. De no inyectar capacidad a la zona, previendo la construcción de una nueva subestación, la magnitud de la sobrecarga representaría no solo un problema crítico operativo si no un riesgo para la seguridad del sistema eléctrico, tanto de equipos como personas.

50


S.E. NEZAHUALCOYOTL

S.E. PANTITLAN

S.E. STA. CRUZ

S.E. LOS REYES

S.E. AURORA

Figura 3.2 Estado Operativo Actual. Alimentadores indicando la magnitud de la sobrecarga, ashurado horizontal de 0 a 100 A, ashurado diagonal de 101 a 200 A y ashurado vertical mas de 201 MVA.

Tabla 3.2 Estado Operativo en el Mediano Plazo, 5 años.




A A A A A

Los Reyes 1,506 1,506 1,680 214 -388 Pantitlán 1,481 1,280 1,222 459 -400 Santa Cruz 3,389 2,711 2,902 520 -710 Aurora 753 452 947 50 -545 Netzahualcoyotl 3,012 2,033 2,473 100 -540

Zona 10,141 7,982 9,223 1,342 -2,584

En la figura 3.3 se visualiza esquemáticamente los valores pronosticados del estado operativo en el mediano plazo de la zona de estudio. En esta figura se puede distinguir el incremento en las áreas sobrecargadas con respecto a la figura 3.2 del estado operativo actual.

51


S.E. NEZAHUALCOYOTL

S.E. AURORA

CRU-25X

PAVON

NET-26

CRU-21

S.E. PANTITLAN

CRU-25X

AUR-23

CRU-24

Figura 3.3 Pronóstico del estado operativo en el mediano plazo en la zona de estudio.

S.E. STA. CRUZ

S.E. LOS REYES

RIVAPALACIO

NET-21MAG-27X

RES-25

52


3.3 Modelado de la Zona de Estudio. 3.3.1 Consideraciones. Establecido la zona con necesidades de inyección de capacidad mediante nuevas subestaciones de distribución, primero es necesario desarrollar un modelado esquemático de la misma, semejante a la representación de red del problema de transporte. A continuación se representa el modelo esquemático resultante de la zona de estudio.

SE PANTITLAN

SE NETZAHUALCOYOTL

SE AURORA

SE SANTA CRUZ

SE LOS REYES

S4

S5

S3

S2

S6

D26 D27 D28 D29

D19

D13

D8

D4

D1 D2 D3

D7

D11 D12

D18

D25

D30

D24D23D22D21D20

D14 D15 D16 D17

D9

D5

D10

D6

Figura 3.4 Modelado Esquemático de la Zona de Estudio. En la figura 3.4, los círculos de doble raya son los suministros, subestaciones, los círculos con línea simple son las demandas y los círculos sombreados, demandas D11, D14 y D28, representan las áreas factibles con disponibilidad de espacios suficientes para construir una subestación de distribución. Los cuadros con línea punteada constituyen un área con dimensiones de 1km x 1km. En la tabla 3.3, se han calculado para el estado actual, año 0, las capacidades (recursos) de las cuales se podrá disponer de los puntos de suministro, subestaciones, así como las demandas en cada nodo mostrado en la figura 3.4.

53


De los resultados obtenidos de planeación, como el mostrado en la tabla 3.1, se ha programado la construcción de una nueva subestación en la zona de nuestro caso de estudio, denominada Zaragoza, nodo S1, con una capacidad inicial de 1800 A, con posibilidad de expandirse hasta 3000 A tomando en cuenta la reserva operativa que se requiera de la red. Este punto de suministro, S1, también está integrada en la tabla 3.3.

Tabla 3.3 Recursos y Demandas del modelo esquemático del caso de estudio Suministro Demanda

Nodo A Nodo A Nodo A Nodo A Nodo A Nodo A 0S1 1800 0D1 70 0D7 68 0D13 85 0D19 85 0D25 53

0S2 300 0D2 68 0D8 70 0D14 85 0D20 85 0D26 85

0S3 300 0D3 68 0D9 70 0D15 93 0D21 93 0D27 93

0S4 200 0D4 70 0D10 68 0D16 93 0D22 93 0D28 93

0S5 600 0D5 70 0D11 68 0D17 93 0D23 93 0D29 93

0S6 150 0D6 68 0D12 68 0D18 53 0D24 53 0D30 53

Total 3350 2300

Para la realización del caso de estudio se asumen las siguientes consideraciones:

• 30 años de Periodo de estudio, ó vida útil de las instalaciones • Crecimiento típico de una zona urbana desarrollada, con tasas

4% del año 0 al 6, 3% del año 7 al 12, 2% del año 13 al 18, 1% del año 19 al 24 y 0.5% del año 25 al 30.

• Calibre de conductor de la línea primaria de distribución de ALD 336 • Calibre de conductor de la línea de transmisión ACSR 1113 • Capacidad térmica de los conductores de la red de distribución • Capacidad máxima Operativa de los transformadores de la Subestación • Factor de Carga de 0.75 • Factor de Pérdidas de 0.62 • Costo de la energía en el nivel de Mediana Tensión de 0.875 $/Kwh • Costo de la energía en el nivel de Alta Tensión de 0.675 $/kWh • Costo de la potencia en el nivel de Mediana Tensión, 23 kV, de 2000 $/kVA • Costo de la potencia en el nivel de Alta Tensión, 230 kV, de 1250 $/kVA • Costo de inversión de una línea de transmisión con cable subterráneo en 230kV de

17.8 millones de $/km • Tasa de Descuento del 6%

Bajo estas consideraciones, en la tabla C1 y tabla C2 del Anexo C se asientan los valores anuales pronosticados de demanda, en lo sucesivo vector columna de demandas, y los valores anuales de suministro, vector columna de recursos, respectivamente, a lo largo de la vida útil.

54


3.3.2 Modelo matemático. Submodelo de Pérdidas en la Red de Distribución. De acuerdo al modelo matemático establecido en el capítulo dos, para este caso de estudio el submodelo de pérdidas en la red de distribución es el siguiente:

∑ ∑= =

•=6

1

30

1

2

i jijkijkk icZ Minimizar …(3.1)

sujeto a:

30,,2,1

,,0

30,,2,1

6,,2,1

6

1

30

1

K

K

K

=

∀≥

==

=≤

∑

∑

=

=

k

kjii

jDi

iIi

ijk

jki

ijk

ikj

ijk

parasubmodeloeltodo

y



Este submodelo de pérdidas en la red de distribución es general para cualquier alternativa de localización factible de la nueva subestación, únicamente cambiaría los valores de los costos de las pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente, kcij. Los valores relacionados con el costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente, kcij, de la alternativa uno (subestación en el área factible D14), producido por la circulación de la subestación u origen i, a la demanda o destino j, correspondiente al año cero, en miles de pesos/A2, se muestran en la tabla 3.4. Los valores del vector de los recursos, kIi, y el vector de las demandas, kDj, en el año cero, son los registrados en la tabla 3.3.

Tabla 3.4 Costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente en miles de $/A2 de la

alternativa 1. C1,1 C1,2 C1,3 C1,4 C1,5 C1,6 C1,7 C1,8 C1,9 C1,10 C1,11 C1,12 C1,13 C1,14 C1,15 C1,16 C1,17 C1,18 C1,19 C1,20 C1,21 C1,22 C1,23 C1,24 C1,25 C1,26 C1,27 C1,28 C1,29 C1,30

11.8 12.5 14.2 8.8 7.9 8.8 11.2 5.6 3.9 5.6 8.8 12.5 3.9 0.0 3.9 7.9 11.8 15.8 5.6 3.9 5.6 8.8 12.5 16.3 20.1 7.9 8.8 11.2 14.2 17.6

C2,1 C2,2 C2,3 C2,4 C2,5 C2,6 C2,7 C2,8 C2,9 C2,10 C2,11 C2,12 C2,13 C2,14 C2,15 C2,16 C2,17 C2,18 C2,19 C2,20 C2,21 C2,22 C2,23 C2,24 C2,25 C2,26 C2,27 C2,28 C2,29 C2,30

20.1 16.3 12.5 23.7 19.7 15.8 11.8 24.0 20.1 16.3 12.5 8.8 24.9 21.2 17.6 14.2 11.2 8.8 26.5 23.0 19.7 16.7 14.2 12.5 11.8 25.3 22.3 19.7 17.6 16.3


21.2 24.9 28.7 16.3 20.1 24.0 27.9 15.8 19.7 23.7 27.6 31.6 16.3 20.1 24.0 27.9 31.8 35.7 17.6 21.2 24.9 28.7 32.5 36.4 40.2 23.0 26.5 30.0 33.7 37.4


26.5 28.4 30.8 21.2 23.0 25.3 27.9 17.6 19.7 22.3 25.3 28.4 14.2 16.7 19.7 23.0 26.5 30.0 11.2 14.2 17.6 21.2 24.9 28.7 32.5 12.5 16.3 20.1 24.0 27.9


28.7 27.9 27.6 26.5 24.9 24.0 23.7 23.0 21.2 20.1 19.7 20.1 19.7 17.6 16.3 15.8 16.3 17.6 16.7 14.2 12.5 11.8 12.5 14.2 16.7 11.2 8.8 7.9 8.8 11.2


30.8 28.4 26.5 30.8 27.9 25.3 23.0 28.4 25.3 22.3 19.7 17.6 26.5 23.0 19.7 16.7 14.2 12.5 24.9 21.2 17.6 14.2 11.2 8.8 7.9 20.1 16.3 12.5 8.8 5.6

55


Se presentará en este capítulo únicamente los resultados obtenidos de la aplicación del modelo al caso de estudio para la alternativa 1, en el área donde se localiza el nodo demanda D14; el Anexo contiene los resultados en detalle para las alternativas 2 y 3, que son el área del nodo demanda D28 y del nodo demanda D11, respectivamente. En el Anexo C se muestran los valores relacionados con el costo de las pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente de la alternativa dos y tres, mediante las tablas C3 y C4 respectivamente. 3.4 Resultados. 3.4.1 Submodelo de Pérdidas en la Red de Distribución. Este Submodelo de pérdidas en la red de distribución fue ejecutado con dos herramientas diferentes, Matlab y Solver de Excel, con resultados muy similares. Se mostrará en este capítulo solamente los resultados obtenidos del paquete Solver de Excel en el año 0, y en el Anexo C se integran los resultados respectivos de los siguientes años y los resultantes con Matlab. En la tabla 3.5 se muestran los resultados de las incógnitas kiij, correspondientes al año cero de la alternativa 1.

Tabla 3.5 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, en el año 0 de la alternativa 1.

i1,1 i1,2 i1,3 i1,4 i1,5 i1,6 i1,7 i1,8 i1,9 i1,10 i1,11 i1,12 i1,13 i1,14 i1,15 i1,16

44 68 32 46 70 68 35 52 70 68 68 28 68 85 93 93

i1,17 i1,18 i1,19 i1,21 i1,22 i1,23 i1,24 i1,25 i1,27 i1,28 i1,29 i2,3 i2,7 i2,12 i2,18 i3,1

93 19 56 93 93 93 53 15 47 39 35 36 33 40 34 26

i3,4 i3,8 i3,13 i4,19 i4,20 i4,26 i5,20 i5,26 i5,27 i5,28 i5,29 i5,30 i6,24 i6,25 i6,30 Total

24 18 17 29 43 40 43 45 47 54 58 18 0 38 35 2300

En el Anexo C, tabla C.5 se muestran el valor de las corrientes resultantes del año 1 al año 30 de la alternativa 1 resuelta por Solver. También en la tabla C6 y tabla C7 se muestran el valor de las corrientes resultantes del año 0 al año 30 de la alternativa 1 y la alternativa 2, respectivamente, resuelta por Solver. Los resultados de este caso de estudio ejecutado con Matlab se muestran en las tablas C8, C9 y C10 para la alternativa 1, 2 y 3, respectivamente. Las cantidades de cargabilidad óptima de las subestaciones existentes y de la nueva, en el año 0 de la alternativa 1 resuelta con Solver, se asientan en la tabla 3.6, así mismo, las correspondientes del año 1 al año 30 de la misma alternativa resuelta con Solver se muestran en la tabla C11 del Anexo C. Las cantidades de cargabilidad óptima del año 0 al año 30 de la

56


alternativa 2 y de la alternativa 3 resuelta también con Solver, se registran en las tablas C12 y C13 del Anexo C, respectivamente. Las cantidades de cargabilidad óptima de las subestaciones del año 0 al año 30 de la alternativa 1, 2 y 3 resuelta en Matlab se muestran en las tablas C14, C15 y C16, respectivamente.

Tabla 3.6 Cargabilidad Óptima resultante de las Subestaciones en el año 0 de la alternativa 1.

S1 S2 S3 S4 S5 S6 Zaragoza Los reyes Santa Cruz Pantitlan Netzahualcoyotl Aurora

Total Año A A A A A A A

0 1623 144 84 112 264 73 2300

El valor resultante de la función objetivo, costo total minimizado de las pérdidas eléctricas en la red de distribución de la alternativa 1, correspondiente al año 1 con la herramienta Solver, se presenta en la siguiente tabla 3.7.

Tabla 3.7 Costo Total de las Pérdidas Eléctricas En la Red de Distribución de la alternativa 1 , en el

año 0 resultante del Programa Solver. Costo

Total de las Pérdidas AñoMillones de $

0 1.183

El costo total de las pérdidas en la red de distribución del año 1 al año 30 de la alternativa 1 resuelto con Solver, se muestran en la tabla C17 del Anexo C. También, en la misma tabla se integran el costo total de las pérdidas eléctricas en la red de distribución del año 0 al año 30 de las alternativas 2 y 3 resultantes del programa de optimización de Solver. La tabla C18 del Anexo C contiene el costo total de las pérdidas eléctricas en la red de distribución de las alternativas 1, 2 y 3 del año 0 al año 30 que resultaron de la herramienta de optimización Matlab. Es importante señalar que los valores de los costos totales obtenidos del año 0 al año 30 de las tres alternativas contenidos en la tabla C17 y C18, no son a valor presente. Por lo anterior, en las tablas C19 y C20, se integran los costos de las pérdidas a valor presente en cada año para las tres alternativas, con los resultados de ambas herramientas empleadas. La tabla 3.8 contiene el Costo Total a Valor Presente de las Pérdidas Eléctricas en la Red de Distribución de las tres alternativas con los resultados obtenidos con el programa Solver de Excel.

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Tabla 3.8 Costo Total a Valor Presente del las Pérdidas Eléctricas en la Red de Distribución de las

tres alternativas, con los resultados del Programa Solver de Excel. Costo Total a Valor Presente de las Pérdidas

Eléctricas en la Red de DistribuciónAlternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3

Millones de $ Millones de $ Millones de $ 23.476 29.291 24.612

3.4.2 Submodelo de Inversión en la Línea de Transmisión. Para poder obtener este valor, por medio de la siguiente expresión: CITLT = 17.8 x ℓLT, …(3.2) es necesario establecer el costo de la línea de transmisión por unidad de longitud y las respectivas longitudes a cada uno de los puntos factibles de cada alternativa para construir la subestación. De acuerdo a información estadística de una empresa de servicio eléctrico, el costo por unidad de longitud de la línea de transmisión es de 17.8 millones de pesos/km. Así mismo, las longitudes que se necesitarían construir de línea de transmisión son de 0.5, 1.5 y de 0.5 km para cada alternativa 1,2 y 3, respectivamente. Por lo tanto, el costo total de inversión en la línea de transmisión de cada alternativa se muestra en la tabla 3.9.

Tabla 3.9 Costo Total de Inversión en la Línea de Transmisión.

Costo Total de Inversión en la Línea de Transmisión

Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Millones de $ Millones de $ Millones de $

8.90 26.70 8.90 3.4.3 Submodelo de Pérdidas en la Línea de Transmisión. Bajo las consideraciones establecidas en este capítulo, de acuerdo con la expresión para calcular las pérdidas en la línea de transmisión, se tiene:

∑ ∑= =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+=

30

1

230

11

)06.01(1**012272.0

k jjkkLTLT iCTP l …(3.3)

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el valor de la variable imj es el correspondiente a la cargabilidad resultante del Submodelo de pérdidas en la red de distribución de la nueva subestación Zaragoza, nodo suministro S1, de cada alternativa a lo largo de la vida útil, contenidas en las tablas C11, C12 y C13 para las alternativas 1, 2 y 3, respectivamente, resueltas con solver de excel. La tabla C21 del Anexo C, contiene el costo anual a valor presente de las pérdidas en la línea de transmisión para cada alternativa 1, 2 y 3, obtenido de los valores resultantes de cargabilidad en el Submodelo de pérdidas en la red de distribución resuelto con solver de excel. La tabla 3.10 muestra el costo total a valor presente de las pérdidas eléctricas, de energía y de potencia, durante toda la vida útil de la línea de transmisión.


Costo Total a Valor Presente de las PérdidasEléctricas en la Línea de Transmisión

Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Millones de $ Millones de $ Millones de $

0.541 1.615 0.557 3.4.4 Selección de la localización y cargabilidad óptima de la nueva Subestación. Para englobar los resultados obtenidos en cada Submodelo, la tabla 3.11 los desglosa y totaliza para cada alternativa planteada.

Tabla 3.11 Resumen del Costo Total a Valor Presente de las tres alternativas.

Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3

Millones de $ Millones de $ Millones de $ CTPRD 23.476 29.291 24.612

CITLT 8.900 26.700 8.900

CTPLT 0.541 1.615 0.557

CTVP 32.917 57.606 34.069 Finalmente, la selección de la mejor alternativa se obtiene mediante la siguiente evaluación: Ls = Min { 32.92, 57.61, 34.07 } Ls = 32.917 Alternativa 1

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Es decir, la localización óptima para la nueva Subestación de Distribución “Zaragoza”, de los tres puntos factibles alternativos, se tiene construyéndola en el área de la alternativa 1, donde se ubica el nodo demanda D14 y la cargabilidad óptima de las subestaciones involucradas incluyendo a la nueva sería la mostrada en la tabla 3.6. La Figura 3.5 muestra la ubicación esquemática de la nueva subestación Zaragoza en el punto óptimo.

Figura 3.5 Ubicación esquemática de la nueva subestación Zaragoza en el punto óptimo.

S.E. NEZAHUALCOYOTL

S.E. PANTITLAN

S.E. STA. CRUZ

S.E. LOS REYES

S.E. AURORA

Localización Óptima S.E. ZARAGOZA

3.5 Análisis de Resultados. De acuerdo a los resultados obtenidos, la alternativa 1 es la óptima para ubicar a la nueva subestación de distribución, por tal motivo, el análisis de los resultados se enfoca exclusivamente a los resultados de esta alternativa obtenidos con la herramienta Solver. Las cargabilidades que resultaron de cada nodo de suministro (subestación), como se muestra en la tabla 3.6, no excedieron a las capacidades (o recursos) establecidos inicialmente. En los valores se observa que la nueva subestación Zaragoza, desde al año 0 hasta el año 30, para cumplir el objetivo de minimizar las pérdidas en el sistema de distribución, absorbe la mayor parte de las cargas en estudio. Las áreas de servicio óptimas, en el año 0, de cada subestación

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incluyendo a la nueva, se obtienen de las corrientes resultantes que fluyen de la subestación i al nodo demanda j, mostradas en la tabla 3.5. En la figura 3.6 se muestra el área de servicio óptima de cada subestación para el año 0.

a) Situación Actual b) Estado Óptimo en el año 0 Figura 3.6. Áreas de servicio de la situación actual y el estado óptimo de cobertura en el año 0. De acuerdo a la información contenida en la tabla 3.1, en la situación actual de la zona de estudio no existe disponibilidad en la capacidad máxima operativa de todas las subestaciones, presentando la zona un déficit de 579 Amperes. Esto significa que en el caso de alguna contingencia, se pierda flexibilidad en los descargues entre los alimentadores para atender dichas emergencias, provocando el dejar fuera de servicio una cierta cantidad de clientes, dependiendo de la magnitud y ubicación del problema e impactando en la calidad del servicio. En función a los resultados obtenidos de cargabilidades óptimas en las subestaciones, mostrados en la tabla 3.6, las características eléctricas del estado óptimo de la zona de estudio en el año cero se muestra en la tabla 3.12. La tabla 3.13 contiene un comparativo de parámetros eléctricos de la situación actual con el estado óptimo en el año 0.

Tabla 3.12 Características Eléctricas de la Zona de Estudio – Estado Operativo Óptimo, en el año 0




A A A A A

Zaragoza 3012 1807 1,623 0 184 Los Reyes 1,506 1,506 1,227 176 104 Pantitlán 1,481 1,280 876 377 27 Santa Cruz 3,389 2,711 1,752 427 533 Aurora 753 452 340 0 112 Netzahualcoyotl 3,012 2,033 1,764 0 269

Zona 13,153 9,789 7,581 980 1228

S4

S5

S3

S6

S1

S2

S4 S6

S3

S2

S5

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Tabla 3.13 Comparativo de la Situación Actual con el Estado Operativo Óptimo, en el año 0

Situación Actual Estado Óptimo del año 0

Subestación Demanda (+) Disponibilidad (-) Déficit Demanda (+) Disponibilidad

(-) Déficit A A A A

Zaragoza ----- ----- 1,623 184 Los Reyes 1,381 -51 1,227 104 Pantitlán 1,004 -101 876 27 Santa Cruz 2,385 -101 1,752 533 Aurora 778 -326 340 112 Netzahualcoyotl 2,033 0 1,764 269

Zona 7,581 -579 7,581 1228

En la tabla 3.13, evidentemente se puede apreciar la descarga que sufrieron las subestaciones involucradas en la zona de estudio resultantes en el estado óptimo del año 0. Se hace notar el gran descargue que hace la nueva subestación Zaragoza principalmente a la subestación Santa Cruz de la cual toma 634 Amperes de carga. Con el estado óptimo en el año 0, las subestaciones de la zona cuentan con disponibilidad para absorber mas carga hasta por 1228 Amperes, soportando con ello contingencias dentro de la zona, con posibilidades de poder importar carga de zonas contiguas cuando en ellas se susciten estados de emergencia, o de alimentar a grandes incrementos puntuales de carga. Respecto al costo total a valor presente de cada alternativa considerada, el costo de inversión en la línea de transmisión y el costo de las pérdidas en la red de distribución son los que contribuyen en mayor proporción. Un factor sensible al costo total es la longitud de línea de transmisión que se tenga que construir. En gran medida la opción óptima dependerá de dicha longitud. Otro factor sensible es la ubicación de la subestación. Una subestación ubicada lejos del centro de carga producirá un elevado costo por las pérdidas en la red de distribución, y en consecuencia, un mayor costo total de esa alternativa; esto se puede notar en la alternativa 2 de la tabla 3.11 del caso de estudio, donde se tiene el mayor costo total originado principalmente por la longitud de línea de transmisión, de 1.5 km, que se necesitaría construir, y secundariamente por la ubicación de la subestación lejos del centro de carga que produce mayores pérdidas en la red de distribución. Por lo anterior, la alternativa 1 resulta la óptima, debido a que la subestación se ubica mas próximo del centro de carga con una mínima longitud de línea de transmisión de 0.5 km que se necesitaría construir.

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3.6 Resumen del Capítulo. Se justifica en primera instancia la necesidad de una nueva (s) fuente (s) de suministro, subestación, en el sistema de distribución, se procede a la elaboración del modelado esquemático y matemático en conjunto con la preparación relacionada con su información correspondiente. En síntesis, esta información se refiere a cantidades de demanda actual y la pronosticada en el periodo de estudio, disponibilidad de energía en los puntos de suministro (subestaciones) actual y la programada a lo largo de la vida útil y se determinan los costos asociados a las pérdidas eléctricas por el transporte de la energía. Con la información completa e introducida a las herramientas empleados, se ejecuta el modelo de programación cuadrática. Se realiza la interpretación y análisis de los resultados obtenidos. Finalmente, se concluye con la selección de la alternativa que satisfiza la localización, la cargabilidad y el área de servicio de la subestación de distribución.

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Conclusiones y Recomendaciones

Uno de los principales objetivos de toda organización, es optimizar en la medida de lo posible, los recursos con que dispone o dispondrá, lo que siempre justificará buscar continuamente la forma de optimizar los recursos, simplificar los procedimientos, eficientar procesos, entre otros. Con este estudio, se han cumplido favorablemente los objetivos establecidos en la tesis. Se establecieron las consideraciones esenciales para elaborar un estudio de planeación de subestaciones de distribución. Se empleó una metodología para elaborar estudios de investigación de operaciones y se estudiaron los procedimientos relacionados con el tratamiento de los problemas fundamentales de las subestaciones de distribución. También, se desarrolla necesariamente un estudio de investigación de operaciones a fin de resolver algunos de los problemas principales de la planeación de subestaciones de distribución, que es el tema propósito de este trabajo. Finalmente, se hace una aplicación satisfactoria del modelo matemático formulado a través de un caso de estudio real. Dentro del contexto del Programa de Postgrado de Ingeniería de Sistemas, la elaboración de la tesis requirió de la aplicación de conocimientos y habilidades adquiridos en la estancia de la maestría en diversas asignaturas y permitió adquirir el aprendizaje en la elaboración de un estudio de investigación, argumentar, debatir y sostener su justificación para elaborarlo y en dar solución a un problema específico con los conocimientos difundidos en la maestría. Gran parte de este estudio correspondió a la investigación y recopilación de material para su elaboración. Existe un sin número de publicaciones relacionados con el tema de esta tesis, en donde se le ha dado diferente tratamiento mediante muchas técnicas conocidas de optimización, aplicando desde el concepto del problema de transporte hasta procedimientos de novedad reciente como redes neuronales, algoritmos genéticos, entre otros. No obstante, esto no significa que se haya agotado el tema, mas bien la inquietud intuitiva de explorar nuevos métodos o procedimientos para resolver problemas desde enfoques distintos debe impulsar el continuo estudio en cualquier ámbito. 64


Otra actividad intensa en el desarrollo de la tesis representó la implementación del modelo formulado. La literatura encontrada no contiene los procedimientos de cómo aplicar su respectivo modelo de optimización matemática ni la herramienta en donde la aplicaron, por ende, se realizó una labor exhaustiva en la búsqueda de la herramienta adecuada (programa, software o paquete) y al entrenamiento en su manejo para ejecutar el modelo formulado. En la formulación del modelo matemático se parte con el análisis de satisfizar (suboptimizar) la ubicación, el tamaño o la capacidad, la cargabilidad y el área de servicio óptima de subestaciones de distribución, en función de los lugares candidatos factibles que cumplen con las condiciones mínimas necesarias para ello. Esto se debe a que en zonas urbanas y conurbanas es muy complicado encontrar espacios suficientes para construir este tipo de instalaciones de gran tamaño, tanto por las dimensiones del área que necesitan, como por el derecho de vía requerido para el paso de la línea de transmisión que la alimente y resulta poco práctico, formular un modelo que optimice la ubicación de la subestación de distribución, debido a las casi nulas posibilidades de que ese espacio se encuentre disponible, tenga las dimensiones suficientes y se le pueda hacer llegar la línea de transmisión a través de la difícil adquisición legal de un derecho de vía; además de intervenir otros factores no menos importantes que limitan la selección de un lugar óptimo como son la accesibilidad, el uso de suelo, la estética, el impacto ambiental, entre otros. La zona de estudio elegida es un caso justificado para implementar el modelo matemático desarrollado, ya que en el estado operativo actual se presenta una sobrecarga importante con 579 A y ninguna de las subestaciones existentes cuenta con capacidad disponible para absorberla. Así mismo, el pronóstico para el mediano plazo muestra un estado crítico de sobrecarga con un valor de 2584 A. Dada esta situación, resulta imperativo construir una nueva fuente de suministro, subestación, en el corto plazo, para satisfacer la sobrecarga actual, así como los requerimientos futuros y reforzar la flexibilidad operativa en la zona. La ejecución del modelo de programación cuadrática establecido en este trabajo, se resolvió satisfactoriamente mediante dos paquetes diferentes, Solver de Excel y Matlab. El tiempo que tomó cada uno de estos paquetes en la solución del modelo matemático fue de tan sólo 5 segundos aproximadamente, encontrando siempre una solución óptima en todas las etapas del modelo. Estas dos herramientas utilizadas para la solución de modelos matemáticos de programación cuadrática, proporcionan un ambiente amigable y de fácil manipulación para estos problemas complejos.

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De acuerdo a los resultados del caso de estudio, tablas C5 a la C10 del anexo C, no existe discrepancia notoria en los resultados obtenidos por Excel y Matlab. La casi nula diferencia en los resultados de ambas herramientas puede deberse al tipo de algoritmo y procedimiento de solución empleado por ellos. Existe ligera diferencia en la preparación de la información necesaria para emplear ambas herramientas. En Matlab se necesita introducir dos matrices adicionales: la matriz Hessiana, previamente calculada, y una matriz de coeficientes f de las incógnitas de primer grado en la función objetivo, que para el modelo desarrollado en este trabajo consistirá de una matriz cuyos elementos serán ceros. Con la herramienta Solver de Excel no es necesario el previo calculo e ingreso de la matriz f y de la densa matriz Hessiana, sin embargo, dada esta diferencia y por el tipo de algoritmo utilizado, Matlab tiene la capacidad de manejar programación cuadrática densa o a gran escala y Solver tiene limitaciones respecto a ello. En otras palabras, con Matlab se podrán manejar problemas con mayor cantidad de variables, es decir, mayor número de subestaciones y de nodos de demanda. Con el modelo diseñado en este trabajo, no solo se localiza, se carga y determina el área de servicio de manera óptima de las subestación, bajo el criterio de pérdidas eléctricas mínimas, en consecuencia, también se logran importantes beneficios adicionales como: balancear la cargabilidad entre las fuentes de suministro, se mejora la regulación de la tensión, se reducen la fatiga de los equipos e instalaciones por operarlos menor al límite de sus capacidades, se pueden diferir obras, se generan ahorros monetarios al optimizar parte de los costos operativos minimizando las pérdidas en la red de distribución, en general, se optimiza en gran medida el estado operativo del sistema de distribución. La implementación del modelo formulado en este trabajo ha comprobado que para ubicar estratégicamente una subestación de distribución, la mejor alternativa siempre será aquella en donde se logre un equilibrio entre los costos mínimos de inversión con los costos mínimos operativos incluyendo pérdidas eléctricas, es decir, donde se equilibre la mínima longitud de línea de transmisión posible con la mayor proximidad de la subestación al centro de carga. Finalmente, con la implantación y resolución satisfactoria del modelo formulado se concluye el ciclo para la elaboración de un estudio de investigación de operaciones con la metodología empleada en este trabajo. Así pues, el modelo de programación cuadrática desarrollado y la metodología propuesta, representa una excelente opción para resolver los problemas fundamentales de la Planeación de Subestaciones de Distribución y produce muchos elementos importantes para la toma de decisiones.

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Recomendaciones para Trabajos Futuros

En este estudio de investigación no se consideran en el modelo matemático diseñado, aspectos muy importantes como la confiabilidad, por lo que futuros trabajos de investigación podrán continuar con el estudio de este campo en la Planeación de Sistemas de Distribución considerando parámetros de confiabilidad. El modelo desarrollado no contempla la temporización óptima de puesta en servicio de las subestaciones. Además, en virtud a la justificación hecha para la formulación del modelo matemático, este estudio tampoco considera los costos atribuibles a la construcción de la subestación y sus costos de operación y mantenimiento. Por todo lo anterior, futuras investigaciones podrán atender estos campos y adecuarlo o complementarlo con este trabajo. También, futuros estudios de investigación pueden dedicarse al diseño de modelos matemáticos que atiendan los otros problemas de la planeación de sistemas de distribución, como la determinación de la expansión óptima de los alimentadores primarios, optimizar el calibre de los conductores, la transferencia óptima de carga, modelos de pronóstico de la demanda, arreglo óptimo del transformador-red secundaria, etc; de tal forma, que en un futuro puedan complementarse con este estudio e incluirse en un Sistema Integral de Modelos para la Planeación Total del Sistema de Distribución. El número de variables de decisión depende del producto entre el número de subestaciones n y el número de nodos de demanda m de cada problema particular (en el caso de estudio fue 6x30, 180 variables). Por tal motivo, se debe tomar especial cuidado con el número de variables generadas en cada caso particular, en función a la capacidad diseñada de manipulación de variables de cada herramienta. La simulación de pronóstico de carga, dado los índices de crecimiento establecidos y las características del caso de estudio de este trabajo, representa un escenario moderado. Se recomienda adoptar otras consideraciones, para contar con diferentes escenarios de crecimiento que sean factibles.

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Anexos


Anexo A. Complemento Teórico. A1. Metodologías de Planeación en los Sistemas Eléctricos de Distribución Modelo tradicional. Los métodos tradicionales de planeación consisten en usar predicciones con base en la carga histórica, suponiendo que los consumidores continuaran su crecimiento histórico en el futuro. Las relaciones generales entre la proyección de la carga y las inversiones en este tipo de métodos se ilustran en la figura A.1 y pueden describirse como:

a) Las futuras subestaciones de potencia se determinan con base en las proyecciones históricas de la carga suministrada.

b) Las futuras subestaciones de distribución se basan en las proyecciones de la carga histórica en subestaciones de distribución.

c) Las futuras líneas de subtransmisión se determinan con base en la necesidad de transportar potencia a las subestaciones de distribución desde los puntos de suministro.

d) El resto del sistema de distribución sólo recibe atención cuando existen requerimientos por parte de clientes o por problemas de operación[31].

Figura A.1. Método tradicional de Planeación Modelo recomendado. Los nuevos métodos de planeación se oponen radicalmente a los anteriores en las áreas de predicción de la carga y en la planeación a largo plazo. La predicción de la carga usa nuevos enfoques para determinar la magnitud y ubicación de las probables nuevas cargas. La planeación a largo plazo es una guía para todas las modificaciones del

A-1


sistema a corto plazo, en contraste con los estudios de planeación a largo plazo de los sistemas tradicionales que están dirigidos hacia el establecimiento de algunos parámetros genéricos del sistema, como el nivel del voltaje y el tamaño del conductor. Los nuevos métodos incorporan un grado de detalle que es vital ante la escasez de recursos financieros. La figura A.2 ilustra el fundamento de este método[31].

Figura A.2. Método recomendado de Planeación Modelo integrado. Para desarrollar el mejor plan, la empresa suministradora debe revisar muchas de sus opciones para seleccionar cual es mejor para el cliente, la empresa, y los propietarios de la empresa. Encontrar la opción perfecta es, por lo regular, verdaderamente difícil y requiere utilizar importantes estrategias de planeación de largo plazo. Las empresas que sólo apagan fuegos o atienden el corto plazo están usando una estrategia inapropiada para la planeación de largo plazo. Posibles impactos positivos pueden desarrollarse en el corto plazo pero pueden ser indeseables para cimentar el largo plazo de la empresa suministradora. Los mejores planes a corto plazo son desarrollados solamente a partir de los mejores planes de largo plazo. Cualquier política propuesta de la empresa debe ser cuidadosamente revisada, analizada y evaluada con el plan de distribución a largo plazo. La planeación de distribución debería incluirse como parte de un proceso de planeación integrado para revisar los efectos de los requerimientos del lado de la demanda, conservación,

A-2


A-3

cogeneración, los efectos de la pequeña producción de energía y las políticas tarifarias. Este proceso integrado proyectaría las mejores políticas para el mejor plan a largo plazo. El planeador de la empresa utilizará un proceso integrado para elaborar varios escenarios que la empresa podrá utilizar para asegurar una sólida posición competitiva y satisfacer las demandas futuras de los consumidores.

Carga INCLUYE POLÍTICAS DE ADMINISTRACIÓN Y

CONSERVACIÓN DE LA DEMANDA EXISTENTES

Tiempo

COSTO AL CLIENTE (TASAS)

RESTRICCIONES FINANCIERAS DE LA EMPRESA

MODELOS COSTO

MEJOR PLAN A LARGO PLAZO

MEJOR PLAN A CORTO PLAZO

DESARROLLO DE ALTERNATIVAS DEL PLAN

A LARGO PLAZO

ALTERNATIVAS PARA ENCONTRAR FUTURAS CARGAS

(INCLUYE OPCIONES EN EL LADO CARGA Y LA DO FUENTE, NIVELES DE TENSIÓN, OTROS)

REPETIR HASTA QUE TODOS LOS PLANES Y POLÍTICAS SEAN CUBIERTAS POR PLANES A LARGO PLAZO ROBUSTOS

Figura A.3. Proceso de planeación integrada. El modelo del proceso de planeación integrado está representado en el diagrama de la figura A.3. El planeador de la empresa deberá empezar por una revisión de las cargas a largo plazo para el sistema de distribución. El proceso de planeación integrado demanda mucho tiempo y es un reto. Sin embargo, el proceso es esencial para desarrollar planes a futuro y asegurar que la empresa permanecerá competitiva y sólida financieramente ante los desafíos futuros. Si el planeador de distribución desarrolla un proceso de planeación integrado con los departamentos requeridos, los planes a largo plazo se verán enormemente mejorados y los esfuerzos de la compañía se acrecentarán con una mejor planeación y comunicación. El proceso de planeación integrado requiere que el ingeniero se comunique efectivamente con el personal del departamento, desarrolle documentos escritos y sean difundidos en la empresa. Se requerirá de ajustes en los planes para emergencias y deben documentarse. Tales emergencias se minimizarán mediante una buena planeación[59]. Componentes. Habiendo definido los objetivos y el propósito de la planeación de distribución, los diferentes componentes del proceso de planeación integrado pueden describirse ahora. Los cinco componentes esenciales del proceso de planeación integrado de distribución son: 1) El Pronóstico de Carga 2) Base de Datos con Información de Confiabilidad


3) Evaluaciones Económicas 4) La Planeación a Largo Plazo

5) El Programa / Presupuesto a Corto Plazo Los pronósticos de carga son esenciales en el proceso de planeación. Ellos determinan los requerimientos del sistema futuro. Los pronósticos de mala calidad resultan en planes de mala calidad. Los pronósticos pueden desarrollarse desde varios medios o fuentes. Deben desarrollarse las simulaciones matemáticas del modelo de cargas en el tiempo. Las técnicas de probabilidad pueden usarse para determinar las bandas alta y baja de la incertidumbre del pronóstico. Las relaciones espaciales para uso del suelo son también importantes para la estimación de posibles cargas futuras y localización de subestaciones en centros de carga. La planeación de la confiabilidad del sistema requiere buena comprensión de las normas existentes de confiabilidad de los consumidores. La calidad de la energía y la confiabilidad del consumidor para el futuro son aspectos que el planeador debe analizar. El planeador debe revisar los requerimientos de cargas futuras y cuánto costará mantener las normas existentes de confiabilidad respecto a las cargas futuras y a las normas del sistema de distribución. El proceso de planeación descrito debe usarse para determinar las alternativas de costo para varios niveles de confiabilidad al usuario. El proceso de planeación requiere de técnicas excelentes para evaluación económica. Los planes deben desarrollarse para evaluar cada plan mediante análisis de valor presente o requerimientos de inversión anual. Por lo tanto, este proceso desarrollará consideraciones económicas que se apliquen a las aptitudes de ganancia para la empresa. El plan a largo plazo debe utilizar el modelo del proceso integrado de planeación, figura 13. Si se planea adecuadamente, la empresa conocerá sus requerimientos financieros y las áreas con deficiencias antes de se conviertan en problemas. El plan a corto plazo será desarrollado a partir del plan a largo plazo. Este plan incorporará muchos de los aspectos del plan de largo plazo. El plan de largo plazo mira al sistema de distribución hacia el futuro, diez o veinte años. El plan a corto plazo establece límites a los requerimientos de presupuesto y efectivo del sistema de distribución para los próximos uno a tres años. Se determinan las prioridades para las necesidades de actualización del sistema. El plan a corto plazo afina el plan de largo plazo. Es la mirada final antes de que cualquier cantidad de dinero se invierta en el sistema de distribución. El plan a corto plazo asegura que la mayoría de los problemas de operación serán revisados y estudiados a detalle, para seleccionar y utilizar la solución más efectiva u óóppttiimmaa, de ser posible.

A-4


A2. Técnicas de Programación matemática. A.2.1. Problemas estructurados para redes. Mediante la aplicación de los algoritmos para problemas de redes permite resolver problemas de 200 a 300 veces mas rápido que con el método simplex normal. Un estudio revela que los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de cuatro modelos:

1. Modelo de minimización de redes. 2. Modelo de la ruta mas corta 3. Modelo del flujo máximo 4. Modelo de red capacitada de costo mínimo

Los casos antes citados tienen que ver con la determinación de distancias y flujo de material en un sentido literal. Existen muchas aplicaciones donde las variables del problema pueden representar otras propiedades como flujo de inventario o de dinero. Los modelos de redes citados pueden representarse y, en principio resolverse como programas lineales. Sin embargo, el gran número de variables y restricciones que normalmente acompaña a un modelo de redes común hace poco aconsejable resolver problemas de redes directamente a través del método simplex. La estructura especial de estos problemas permite el desarrollo de algoritmos altamente eficientes y en muchos casos están basados en la teoría de la programación lineal[6]. Problema de la Ruta mas corta. En el sentido evidente, el problema de la ruta mas corta tiene que ver con la determinación de los caminos conectados en una red de transporte que constituyen en conjunto la distancia mas corta entre una fuente y un destino. Puede considerarse la red de la ruta mas corta como un modelo de transporte con una fuente y un destino. La oferta en la fuente es una unidad y la demanda en el destino es también de una unidad. La unidad fluirá de la fuente al destino pasando por las rutas admisibles de la red. El objetivo es el de minimizar la distancia recorrida por el flujo de la unidad de la fuente al destino[43]. A.2.2. Problema de transporte Este tipo de problema pertenece dentro de la programación líneal, como un tipo especial de problema de redes. El problema consiste en ddeetteerrmmiinnaarr uunn ““ppaattrróónn ddee eemmbbaarrqquuee”” factible de los orígenes a los destinos que m

miinniimmiiccee el ccoossttoo ttoottaall ddeell ttrraannssppoorrttee. Para su solución óptima existen diversos métodos que utilizan algoritmos especializados y conducen a encontrar la optimalidad mucho mas rápido que aplicando el método simplex normal[6].

A-5


Figura A4. Representación de red del problema de transporte. Modelo El problema general de transporte, como se ilustra en la figura A.4, se refiere (en sentido literal o figurado) a la distribución de cualquier bien desde cualquier grupo de centros de suministro, llamados orígenes (Denote por si al número de unidades que suministra el origen i, para i =1, 2, …, m.), a cualquier grupo de centros de recepción, llamados destinos (Denote por dj al número de unidades recibidas por el destino j, para j =1, 2, …, n.), de tal manera que se minimicen los costos totales de la transportación o distribución (El costo unitario del origen i al destino j se denota por cij.). En este problema, debe cumplirse con la suposición del balance entre el suministro total de todos los orígenes y la demanda total de todos los destinos, es decir:

∑∑==

=n

jj

m

ii ds

11

En algunos casos, los suministros representan cantidades máximas (y no fijas) que deben distribuirse. En otros casos, las demandas representan cantidades máximas (y no fijas) que deben recibirse. En tales casos es posible reformular el problema de manera que se ajuste al modelo con la introducción de un destino ficticio o un origen ficticio[6].

A-6


Parámetros del modelo. Los datos necesarios para un modelo de transporte son suministros, demandas y costos unitarios y se pueden resumir de manera conveniente en la siguiente tabla:

Tabla A1 Costos y Requerimientos para el problema de transporte.

Costo por unidad distribuida Destino 1 2 … n Recursos

1 C11 C12 … C1n s1

2 C21 C22 … C2n s2

… ……………………………… … Origen

m Cm1 Cm2 … Cmn sm

Demanda d1 d2 … dn

La formulación de programación lineal para el problema de transporte es la siguiente:

∑∑= =

=m

i

n

jijij xcZ

1 1Minimizar

sujeta a:

jix

njdx

misx

ij

j

m

iij

i

n

jij

y

para

para

∀≥

==

==

∑

∑

=

=

,0

,,2,1

,,2,1

1

1

K

K

En la tabla A2 se muestran los coeficientes de las restricciones. Nótese su estructura especial. Cualquier problema de programación lineal que se ajuste a esta formulación especial es del tipo de transporte, sin importar su contexto físico[6].

Tabla A2 Coeficientes de las restricciones para el problema de transporte.

Coeficiente de x11 x12 … X1n x21 x22 … X2n … xm1 xm2 … Xmn

1 1 … 1

1 1 … 1

1 1 … 1

Restricciones de suministro

1 1 1

1 1 1

.

…

=

1 1 1

Restricciones de demanda

. .

A-7


Anexo B. Herramientas de Programación Cuadrática. B.1 Solver de Excel Solver de Excel es parte de una serie de comandos a veces denominados herramientas de análisis. Con Solver, puede buscarse el valor óptimo para una fórmula de celda, denominada celda objetivo, en una hoja de cálculo. Solver funciona en un grupo de celdas que estén relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula de la celda objetivo. Solver ajusta los valores en las celdas cambiantes que se especifiquen, denominadas celdas ajustables, para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo. Pueden aplicarse restricciones para restringir los valores que puede utilizar Solver en el modelo y las restricciones pueden hacer referencia a otras celdas a las que afecte la fórmula de la celda objetivo. Hojas de cálculo de ejemplo de solver Microsoft Excel incluye un libro, Solvsamp.xls en la carpeta Office\Samples, que demuestra los tipos de problemas que pueden resolverse. Pueden utilizarse las hojas de cálculo de muestra en Solvsamp.xls como ayuda para resolver los problemas. Para utilizar cualquiera de las seis hojas de cálculo: Productos varios, Rutas de distribución, Organización de personal, Optimización de ingresos, Cartera de Valores y Diseño Técnico, abra el libro, cambie a la hoja de cálculo que desee utilizar y, a continuación, haga clic en la opción SSoollvveerr del menú HHeerrrraammiieennttaass. La celda objetivo, las celdas ajustables y las restricciones de la hoja de cálculo ya están especificadas. B.1.1. Algoritmos y métodos. La herramienta Microsoft Excel Solver utiliza el código de optimización no lineal (GRG2) desarrollado por la Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y la Universidad Allan Waren (Cleveland). Los problemas lineales y enteros utilizan el método más simple con límites en las variables y el método de ramificación y acotamiento, implantado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline Systems, Inc.

B-1


B.1.2. Definir y resolver un problema con Solver

1. En el menú HHeerrrraammiieennttaass, haga clic en SSoollvveerr.

2. Si el comando SSoollvveerr no está disponible en el menú HHeerrrraammiieennttaass, deberá instalar el programa de complemento (complemento: programa suplementario que agrega funciones o comandos personalizados a Microsoft Office.) Solver.

Procedimiento 1. En el menú HHeerrrraammiieennttaass, elija CCoommpplleemmeennttooss. 2. Si el complemento (complemento: programa suplementario que agrega funciones o

comandos personalizados a Microsoft Office.) que desea utilizar no aparece en la lista del cuadro CCoommpplleemmeennttooss ddiissppoonniibblleess, haga clic en EExxaammiinnaarr y, a continuación, localice el complemento.

3. En el cuadro CCoommpplleemmeennttooss ddiissppoonniibblleess, active la casilla de verificación situada junto al complemento que desee cargar y, a continuación, haga clic en AAcceeppttaarr.

4. Si es necesario, siga las instrucciones del programa de instalación.

3. En el cuadro CCeellddaa oobbjjeettiivvoo, escriba una referencia de celda (referencia de celda: conjunto de coordenadas que ocupa una celda en una hoja de cálculo. Por ejemplo, la referencia de la celda que aparece en la intersección de la columna B y la fila 3 es B3.) o un nombre (nombre: palabra o cadena de caracteres que representa una celda, rango de celdas, fórmula o valor constante. Utilice nombres fáciles de entender, como Productos para referirse a rangos difíciles de entender, como Ventas!C20:C30.) para la celda objetivo. La celda objetivo debe contener una fórmula (fórmula: secuencia de valores, referencias de celda, nombres, funciones u operadores de una celda que producen juntos un valor nuevo. Una formula comienza siempre con el signo igual (=).).

4. Siga uno de estos procedimientos: o Para que el valor de la celda objetivo sea el valor máximo posible, haga clic en MMááxx. o Para que el valor de la celda objetivo sea el valor mínimo posible, haga clic en MMíínn. o Para que la celda objetivo tenga un valor determinado, haga clic en VVaalloorr y, a

continuación, introduzca el valor en el cuadro.

5. En el cuadro CCaammbbiiaannddoo llaa cceellddaa, introduzca un nombre o referencia para cada celda ajustable, separando con comas las referencias no adyacentes. Las celdas ajustables deben estar directa o indirectamente relacionadas con las celdas objetivo. Pueden especificarse 200 celdas ajustables como máximo.

6. Si desea que Solver proponga automáticamente las celdas ajustables basadas en la celda objetivo, haga clic en AAuuttoorrrreeddiissttrriibbuuiirr.

B-2


7. En el cuadro SSuujjeettaass aa llaass ssiigguuiieenntteess rreessttrriicccciioonneess, introduzca todas las restricciones (restricciones: limitaciones aplicadas a un problema de Solver. Puede aplicar restricciones a celdas ajustables, la celda de destino u otras celdas que estén directa o indirectamente relacionadas con la celda de destino.) que desee aplicar.

Agregar una restricción. 1. En el cuadro de diálogo PPaarráámmeettrrooss ddee SSoollvveerr de SSuujjeettaass aa llaass rreessttrriicccciioonneess, haga clic

en A

Aggrreeggaarr.

2. En el cuadro Referencia de celdaReferencia de celda, escriba la referencia de celda (referencia de celda: conjunto de coordenadas que ocupa una celda en una hoja de cálculo. Por ejemplo, la referencia de la celda que aparece en la intersección de la columna B y la fila 3 es B3.) o el nombre (nombre: palabra o cadena de caracteres que representa una celda, rango de celdas, fórmula o valor constante. Utilice nombres fáciles de entender, como Productos para referirse a rangos difíciles de entender, como Ventas!C20:C30.) del rango de celdas para los que desee restringir el valor.

3. Haga clic en la relación ( <=, =, >=, Ent, o Bin<=, =, >=, Ent, o Bin ) que desee que haya entre la celda a la que se hace referencia y la restricción (restricciones: limitaciones aplicadas a un problema de Solver. Puede aplicar restricciones a celdas ajustables, la celda de destino u otras celdas que estén directa o indirectamente relacionadas con la celda de destino.). Si hace clic en Entt, en el cuadro RestricciónEn Restricción aparecerá "entero". Si hace clic en Binn, en el cuadro Restricciónn aparecerá "binario". Bi Restricció

4. En el cuadro RestricciónRestricción, escriba un número, una referencia de celda, un nombre o una fórmula (fórmula: secuencia de valores, referencias de celda, nombres, funciones u operadores de una celda que producen juntos un valor nuevo. Una formula comienza siempre con el signo igual (=).).

5. Siga uno de estos procedimientos: • Para aceptar una restricción y agregar otra, haga clic en Agregarr. Agrega

• Para aceptar la restricción y regresar al cuadro de diálogo Parámetros de SolverParámetros de Solver, haga clic en Aceptarr. Acepta

Notas Solamente pueden aplicarse las relaciones Entt y BinEn Bin en las restricciones en celdas ajustables.

Si se activa la casilla de verificación Adoptar modelo linealAdoptar modelo lineal en el cuadro de diálogo Opciones de SolverOpciones de Solver, no habrá límite en el número de restricciones. En problemas no lineales, cada celda ajustable puede tener hasta 100 restricciones, además de límites y restricciones enteras en las variables.

B-3


Cambiar o eliminar una restricción 1. En el cuadro de diálogo Parámetros de SolverParámetros de Solver bajo la sección Sujetas a las siguientes

restriccionesSujetas a las siguientes

restricciones, haga clic en la restricción (restricciones: limitaciones aplicadas a un problema de Solver. Puede aplicar restricciones a celdas ajustables, la celda de destino u otras celdas que estén directa o indirectamente relacionadas con la celda de destino.) que desee cambiar o eliminar.

2. Haga clic en Cambiarr y realice los cambios, o haga clic en Eliminarr. Cambia Elimina

8. Haga clic en Resolverr, lleve a cabo una de las acciones siguientes: Resolveo Para mantener los valores de la solución en la hoja de cálculo, haga clic en

Conservar la solución de SolverConservar la solución de Solver en el cuadro de diálogo Resultados de SolverResultados de Solver.

o Para restaurar los datos originales, haga clic en Restaurar valores originaless. Restaurar valores originale

Sugerencia Puede interrumpirse el proceso de solución presionando ESC. Microsoft Excel vuelve a realizar los cálculos de la hoja de cálculo con el último valor encontrado para las células ajustables.

B-4


B.2 Matlab

B.2.1 La función Quadprog Esta función Resuelve el problema de programación cuadrática siguiente

Min ½ x T H x + f T x, x

tal que: A x ≤ b Aeq x = beq lb ≤ x ≥ ub

donde H, A, y Aeq son matrices, y f, b, beq, lb, ub, and x son vectores. Syntaxis x = quadprog(H,f,A,b) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval] = quadprog(...) [x,fval,exitflag] = quadprog(...) [x,fval,exitflag,output] = quadprog(...) [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...) Descripción x = quadprog(H,f,A,b) se obtiene un vector x que minimiza 1/2*x'*H*x + f'*x sujeto a A*x <= b.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) resuelve el problema precedente mientras adicionalmente se satisfacen las restricciones de igualdad Aeq*x = beq.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) define un grupo de cotas superiores e inferiores en las variables de diseño, x, tal que la soluciónesté en el rango lb <= x <= ub.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) ajusta el punto de arranque a x0.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) minimiza con las opciones de optimización especificadas en las opciones de estructura. Usa optimset para ajustar estas opciones.

[x,fval] = quadprog(...) obtiene el valor de la función objetivo en x: fval = 0.5 * x' * H * x + f' * x.

[x,fval,exitflag] = quadprog(...) Obtiene un valor exitflag que describe la condición de salida de quadprog.

B-5


[x,fval,exitflag,output] = quadprog(...) obtiene una estructura de salida que contiene información sobre la optimización.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...) obtiene una estructura lambda cuyos campos contienen los multiplicadores de Lagrange en la solución x.

Argumentos de entrada Los Argumentos de la función contienen descripciones generales de argumentos anteriores en quadprog. Las Opciones proporcionan detalles de la función-específica para los valores de opciones. Argumentos de salida Los Argumentos de la función contienen descripciones generales de argumentos obtenidos por quadprog. Esta sección proporciona detalles de función-especifica para exitflag, lambda, y output: Exitflag Entero identificando la razón por la que el algoritmo terminó. A continuación se listan

los valores de exitflag y las razones correspondientes por las que el algoritmo terminó. 1 La función convergió para una solución x. 3 El cambio en el valor de la función objetivo fue mas pequeño que la

tolerancia especificada. 4 Se encontró un mínimo local. 0 Numero de iteraciones excedidas options.MaxIter. -2 El Problema es infactible. -3 El Problema no está acotado. -4 La dirección de búsqueda actual no fue en una dirección descenso. El

progreso adicional no podrá ser hecho. -7 La magnitud de la dirección de búsqueda llegó a ser demasiado

pequeño. El progreso adicional no podrá ser hecho. Lambda La estructura contiene los multiplicadores de Lagrange en la solución x (separada

por el tipo de restricción). Los campos son:

Lower Cota inferior lb Upper Cota superior ub Ineqlin Desigualdades Lineales Eqlin Igualdades Lineales

B-6


Output La estructura contiene información acerca de la optimización. Los campos son: Iterations Número de iteraciones tomadas Algorithm Algoritmo usado cgiterations Número de iteraciones PCG (solo para algoritmos a gran escala) firstorderopt Medida de optimalidad de primer orden (solo en algoritmos a gran

escala). Para problemas restringidos acotados a gran escala, la optimalidad de primer orden es la norma infinito de v.*g, donde v esta definido como en las restricciones encuadradas, y g es el gradiente. Para problemas a gran escala solo con igualdades lineales, la optimalidad de primer orden es la 2-norm del residual escalado (z = M\r) del reducido cálculo de gradiente conjugado precondicionado. Ver Algoritmo en "Preconditioned Conjugate Gradients," y también en problemas restringidos linealmente.

Opciones. Optimization options. Usar optimset para ajustar o cambiar los valores de estas opciones. Algunas opciones aplican a todos los algoritmos, algunos son relevantes solo cuando se usa el algoritmo de gran escala, y otros son relevantes solo cuando se usa algoritmos de mediana escala. Notas. En general quadprog localiza una solución local a menos que el problema sea estrictamente convexo. Probablemente se tendrán mejores resultados numéricos si se especifica explicitamente igualdades, usando Aeq y beq, usando lb y ub. B.2.2 Algoritmo. Optimización a gran escala. El algoritmo a gran escala es un método de subespacio de región factible basado en el método de Newton interior-reflectivo. Cada iteración involucra la solución aproximada de un sistema lineal grande usando el método de gradientes conjugados precondicionado (PCG). Ver métodos de región factible para minimización no lineal y gradientes conjugados precondicionados. Optimización a mediana escala. La función quadprog usa un método de ajuste activo, que también es un método de proyección. Se encuentra una solución factible inicial por medio de resolver un problema de programación lineal.

B-7


B.2.3 Métodos Quasi-Newton De los métodos que usan información de gradiente, los mas favorecidos son los métodos quasi-Newton. Estos métodos construyen una información sobre una curvatura en cada iteración para formular un problema con modelo cuadrática de la forma Min ½ x T H x + c T x + b x

donde la matriz Hessiana, H, es una matriz simétrica definida positiva, c es un vector constante y b es una constante. La solución óptima para este problema ocurre cuando las derivadas parciales de x llegan a cero, por ejemplo

0**)( =+=∇ cxHxf El punto de la solución óptima, x*, puede escribirse como x* = -H-1c Los métodos del tipo Newton (como el opuesto a los métodos quasi-Newton) calculan H directamente y proceden en una dirección de descenso para localizar el mínimo después de un número de iteraciones. Calcular H numéricamente involucra una gran cantidad de cálculo. Los métodos Quasi-Newton evitan esto usando el comportamiento observado de f(x) y ∇ f(x) para construir información en la curvatura para hacer una aproximación a H usando una técnica de actualización apropiada. Un gran número de métodos que actualizan la matriz Hessiana han sido desarrollados. Sin embargo, la fórmula de Broyden, Fletcher, Goldfarb y Shanno (BFGS) se piensa como el mas efectivo a usarse en un método de propósito general. La formula dada por BFGS es

kkTk

kkTk

Tk

kTk

Tkk

kk sHsHssH

sqqq

HH −+=+1

donde

( ) ( kkk

kkk

xfxfqxxs

∇−∇=

−=

+

+

1

1

)

B-8


Como un punto de arranque, H0 puede ajustarse cualquier matriz definida positiva simétrica, por ejemplo, la matriz identidad I. Para evitar la inversión de la matriz Hessiana H, se puede derivar un método de actualización que evita la inversión directa de H usando una formula que hace una aproximación de la Hessiana inversa H-1 en cada actualización. Un procedimiento bien conocido es la formula DFP de Davidon, Fletcher y Powell, que usa la misma formula como la del método BFGS excepto que qk es substituida por sk

La información del gradiente es suministrada a través de gradientes calculados analíticamente, o derivado por derivadas parciales usando un método de diferenciación numérica mediante diferencias finitas. Esto involucra perturbaciones en cada una de las variables designadas, x, en turno y calculando la tasa de cambio en la función objetivo. En cada iteración mayor, k, una línea de búsqueda es desarrollada en la dirección

( )kk xfHd ∇⋅−= −1 El método quasi-Newton es ilustrado en la figura B.1, Método BFGS por medio de la trayectoria de solución en la función de Rosenbrock's ( ( ) 2

1212 )1()(100 xxxxf −+−= ). El método es

capaz de seguir la forma del valle y converge al mínimo después de 140 evaluaciones de la función usando solamente gradientes de diferencias finitas.

Figura B.1. Método BFGS en la función de Rosenbrock's.

B-9


Programación Cuadrática Secuencial (SQP). Los métodos SQP representan el estado del arte en métodos de programación no lineal. Schittkowski, por ejemplo, ha implementado y probado unas versiones nuevas en términos de eficiencia, precisión y porcentaje de soluciones exitosas, sobre un gran número de problemas probados. Basado en el trabajo de Biggs, Han y Powell, el método permite acercarse al método mímico de Newton para optimización restringida justamente como se hace para la optimización no restringida. En cada iteración, se hace una aproximación de la matriz Hessiana de la función Lagrangiana usando un método de actualización quasi-Newton. Entonces esto es usado para generar un sobproblema de programación cuadrática, de quien la solución es usada para formar una dirección de búsqueda mediante un procedimiento de línea de búsqueda. La idea principal es la formulación de un subproblema de programación cuadrática basado en una aproximación cuadrática de la función Lagrangiana.

∑=

⋅+=m

iii xgxfxL

1)()(),( λλ

Se simplifica las ecuaciones de Kuhn Tucker, asumiendo que las restricciones acotadas han sido expresadas como restricciones de desigualdad. Se obtiene un sobproblema de programación cuadrática linealizando las restricciones no lineales. Programación cuadrática

mmixgdxg

mixgdxg

dxfdHd

ekiT

ki

ekiT

ki

Tkk

Tnd

,,10)()(

,,10)()(

)(21

K

K

+=≤+∇

==+∇

∇+ℜ∈

minimizar

Este subproblema puede ser resuelto usando cualquier algoritmo de programación cuadrática, como el establecido en la sección B.3. La solución es usada para formar una nueva iteración

kkkk dxx α+=+1

El parámetro longitud de paso αk está determinado mediante un procedimiento de búsqueda de línea apropiado tal que sea obtenido un decremento suficiente en una función de merito (ver actualizando la matriz Hessiana). La matriz Hk es una aproximación definida positiva de la

B-10


matriz Hessiana de la función Lagrangiana. Hk puede ser actualizadapor cualquiera de los métodos quasi-Newton, aunque el método BFGS parezca ser el mas popular Un problema restringido no linealmente a menudo puede resolverse en pocas iteraciones que un problema sin restricciones usando SQP. Una de las razones, se debe a los límites en el área factible, el optimizador puede hacer decisiones informadas respecto a las direcciones de búsqueda y longitud de paso.

B-11


B.2.4 Implementación del SQP. La implementación del SQP consiste de tres etapas principales, que son discutidas brevemente en las secciones siguientes:

I.Actualizando la matriz Hessiana de la función Lagrangiana. II.Solución al problema de programación cuadrática.

III.Línea de búsqueda y cálculo de la función mérito. I. Actualizando la matriz Hessiana. En cada iteración se calcula una aproximación quasi-Newton definida positiva de la Hessiana de la función Lagrangiana, H, usando el método BFGS, donde λi (i = 1, …, m)es un estimado de los multiplicadores de Lagrange.

kkTk

kkTk

Tk

kTk

Tkk

kk sHsHssH

sqqq

HH −+=+1

donde

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇⋅+∇−∇⋅+∇=

−=

∑∑==

++

+

n

ikiik

n

ikiikk

kkk

xgxfxgxfq

xxs

1111

1

)()( λλ

Powell recomienda conservar la Hessiana definida positiva aunque podría ser indefinida positiva en un punto de solución. Una Hessiana definida positiva es mantenida proporcionando sea positiva en cada actualización y que H sea iniciada con una matriz definida positiva. Cuando no es positiva, q

kTk sq

kTk sq k es modificada sobre una base elemento – por – elemento, tal

que 0 → > 0. La intención general de esta modificación es distorsionar los elementos de q

kTk sq

k, que contribuyen en una actualización definida positiva, tan pequeña como sea posible. Por lo tanto, en la fase inicial de la modificación, el elemento mas negativo de es fraccionado repetidamente. Este procedimiento continua hasta que ≥ 1e-5. Si después de este procedimiento, aún no es positivo, modifique q

kTk sq

kTk sq

kTk sq k agregando un vector v multiplicado por

una constante escalar w, esto es. qk = qk + wv donde

)()()()( 11 kikikikii xgxgxgxgv ⋅∇−⋅∇= ++

B-12


Si (qk)i • w < 0 y (qk)i • (sk)i < 0 (i=1, …, m) vi = 0 de otra forma incremente w sistemáticamente hasta que sea positiva. k

Tk sq

Cuando el subproblema de programación cuadrática es infactible, entonces infactible es desplegado. Tal despliegue usualmente no son una causa de preocupación pero indican que el problema es altamente no lineal y que la convergencia podría tomar mas tiempo de lo usual. A menudo, se despliega el mensaje de “no actualizado”, indicando que está cercano al cero. Esto puede ser indicativo que el problema formulado esté equivocado o se está intentando minimizar una función no continua.

kTk sq

II. Solución a la Programación Cuadrática. En cada iteración del método de SQP, un problema de programación cuadrática de la siguiente forma es resuelto

mmibdAmibdA

dcdHddqminimizar

eii

eii

TTnd

,,1,,1

21

)(

K

K

+=≤

==

+=ℜ∈

donde Ai se refiere a la i ésima fila de la matriz Amxn

El método usado en la caja de herramientas de optimización es una estrategia de grupo activo (también conocido como método de proyección) similar al de Gill y colaboradores. Ha sido modificado para Programación lineal y problemas de Programación cuadrática. El procedimiento de solución involucra dos fases. La primera fase involucra el cálculo de un punto factible (si existe). La segunda fase involucra la generación de una secuencia iterativa de puntos factibles que convergen a la solución. En este método un grupo activo, kA , es mantenido, que es una estimación de las restricciones activas en el punto solución. Virtualmente, todos los algoritmos de programación cuadrática son métodos de ajuste activo.

B-13


Este punto se enfatiza por que existen muchos métodos diferentes muy similares en estructura pero están descritos en términos ampliamente distintos.

kA es actualizada en cada iteración k, y esto es usado para formar una base para una dirección de búsqueda . Las restricciones de igualdad permanecen siempre en el ajuste activo

kd̂

kA . La notación para la variable aquí es usada para distinguirla de en la iteraciones del método de SQP. La búsqueda de dirección es calculada y minimiza la función objetivo mientras permanece sobre cualquier límite restrictivo activo. El subespecie factible para es formado desde una base , donde las columnas son ortogonales para la estimación del ajuste activo

kd̂ kd

kd̂

kd̂ kZ

kA . Por que una búsqueda de dirección, que está formada por una sumatoria lineal de cualquier combinación de las columnas de , es garantizada en permanecer en los límites de las restricciones activas.

kZ

La matriz se forma desde las últimas columnas m – l de la descomposición QR de la matriz kZ

TkA , donde l es el número de restricciones activas y 1<m. Esto es, está dado por: kZ

[ ]mlQZ k :1:, +=

donde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0R

AQ Tk

T

Una vez encontrado a , una nueva búsqueda de dirección es determinado que minimice q(d), donde está en un espacio nulo de las restricciones activas. Esto es, es una combinación lineal de las columnas de para algún vector p.

kZ kd̂

kd̂ kd̂pZdZ kkk =ˆ:

Entonces si se ven términos cuadráticos como una función de p, substituyendo para , se tiene

kd̂

pZcpZHZppq kT

kTk

T +=21)(

Diferenciando con respecto a p resulta

cZpZHZpq Tkk

Tk +=∇ )(

)( pq∇ es referido como el gradiente proyectado de la función cuadrática debido a que es el

gradiente proyectado en el subespacio definido mediante . El término es llamada kZ kTk ZHZ

B-14


la Hessiana proyectada. Suponiendo que la matriz Hessiana H es definida positiva ( que es el caso en esta implementación de SQP), entonces el mínimo de la función q(p) en el subespeacio definido mdiante ocurre cuando kZ 0)( =∇ pq , el cual es la solución del sistema de ecuaciones lineales

cZpZHZ Tkk

Tk −=

Entonces es tomado un paso de la forma

pZddxx Tkkkkk =+=+

ˆˆ1 dondeα

en cada iteración, debido a la naturaleza cuadrática de la función objetivo, existen solamente dos elecciones de longitud de paso α. Un paso de unidad a lo largo de es el paso exacto hacia el mínimo de la función restringida para el espacio nulo de

kd̂

kA . Si tal paso puede ser tomado, sin violación de las restricciones, entonces esta es la solución de la programación cuadrática. De otra forma, el paso a lo largo de para la restricción mas cercana es menor que la unidad y una nueva restricción se incluye en el ajuste activo de la próxima iteración. La distancia a los límites de la restricción en cualquier dirección está dada por:

kd̂

kd̂

( )),,1(ˆmin mi

dAbxA

ki

ikii

K=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −−

=α

el cual está definido para restricciones no en el ajuste activo, y donde la dirección es hacia los límites de la restricción, por ejemplo,

kd̂

midA ki ,,1,0ˆ K=>

Cuando son incluidas las restricciones independiente n en el ajuste activo, sin localización del mínimo, son calculados los multiplicadores de Lagrange, kλ , tal que satisfagan al grupo no singular de ecuaciones lineales

cA kTk =λ

Si todos los elementos de kλ son positivos, es la solución óptima de la programación cuadrática. Sin embargo, si cualquier elemento de

kx

kλ es negativo y no corresponden para una

B-15


restricción de igualdad, entonces los elementos correspondientes son eliminados del grupo activo y se prosigue con una nueva iteración. Inicialización. El algoritmo requiere un punto factible para empezar. Si el punto actual del método de SQP no es factible, entonces se puede encontrar un punto para resolver el problema de programación lineal.

mmibxAmibxA

minimizar

eii

eii

nx

,,1,,1

,

K

K

+=≤−

==ℜ∈ℜ∈

γ

γγ

La notación indica la i ésima fila de la matriz A. Se puede encontrar un punto factible (si existe) para el sistema de ecuaciones anterior ajustando un valor a x que satisfaga las restricciones de igualdad. Se puede determinar este valor resolviendo un sub o sobredeterminado ajuste de ecuaciones lineales formadas del grupo de restricciones de igualdad. Si existe una solución a este problema, entonces la variable inactiva γ se ajusta al máximo de las restricciones de desigualdad en este punto.

iA

Se puede modificar el algoritmo de programación cuadrática precedente para problemas de programación lineal ajustando la dirección de búsqueda al mayor paso en dirección de descenso en cada iteración, donde es el gradiente de la función objetivo (igual a los coeficientes de la función objetivo lineal).

kg

kTkkk gZZd −=ˆ

Si se encuentra un punto factible usando el método precedente de programación lineal, entra la fase principal de programación cuadrática. La dirección de búsqueda es inicializada con una dirección de búsqueda encontrado resolviendo el grupo de ecuaciones lineales

kd̂

1d̂

kgdH −=1ˆ

donde es el gradiente de la función objetivo en la iteración corriente xkg k (por ejemplo,

). cxH k + Si no se encuentra una solución factible para el problema de programación cuadrática, es tomada la dirección de búsqueda para la rutina principal SQP como una que minimiza γ. kd̂

B-16


B-17

donde | | representa la norma Eucladiana.

Esto asegura contribuciones mas grandes al parámetro de penalidad de las restricciones con gradientes mas pequeños, lo cual podría ser el caso para restricciones activas en el punto de solución.

La solución al subproblema de programación cuadrática produce un vector d , el cual es usado para formar una nueva iteración.

III. Búsqueda de línea y Función Mérito.

kˆ

kkk dxx

α+=+1

{ }∑∑+==

⋅+⋅=Ψm

emiii

em

iiix xgrxgrxf

11)( )(,0max)()(

El parámetro de longitud de paso αk está determinado a fin de producir un decremento suficiente en una función mérito. La función mérito usada por Han y Powell de la forma siguiente es usada en esta implementación.

Esto permite una contribución positiva de las restricciones que están inactivas en la solución de programación cuadrática. En esta implementación, el parámetro de penalidad ri inicialmente se ajusta a

Powell recomienda ajustar el parámetro de penalidad

( ) mirri

iki ,,1,max)1( K=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +=+= iiki λ)(r

21,λ

||||

)()(

xgxfr

ii ∇

∇=


C-1

Anexo C. Resultados

Tabla C1. Demandas Pronosticadas en cada nodo en A de la zona de Estudio.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30D1 70 72 75 78 81 85 88 90 93 96 99 102 105 107 109 111 113 115 118 119 120 121 122 124 125 125 126 126 127 128 128D2 68 70 73 76 79 82 86 88 91 93 96 99 102 104 106 108 110 112 114 115 116 117 118 119 121 121 122 122 123 124 124D3 68 70 73 76 79 82 86 88 91 93 96 99 102 104 106 108 110 112 114 115 116 117 118 119 121 121 122 122 123 124 124D4 70 72 75 78 81 85 88 90 93 96 99 102 105 107 109 111 113 115 118 119 120 121 122 124 125 125 126 126 127 128 128D5 70 72 75 78 81 85 88 90 93 96 99 102 105 107 109 111 113 115 118 119 120 121 122 124 125 125 126 126 127 128 128D6 68 70 73 76 79 82 86 88 91 93 96 99 102 104 106 108 110 112 114 115 116 117 118 119 121 121 122 122 123 124 124D7 68 70 73 76 79 82 86 88 91 93 96 99 102 104 106 108 110 112 114 115 116 117 118 119 121 121 122 122 123 124 124D8 70 72 75 78 81 85 88 90 93 96 99 102 105 107 109 111 113 115 118 119 120 121 122 124 125 125 126 126 127 128 128D9 70 72 75 78 81 85 88 90 93 96 99 102 105 107 109 111 113 115 118 119 120 121 122 124 125 125 126 126 127 128 128D10 68 70 73 76 79 82 86 88 91 93 96 99 102 104 106 108 110 112 114 115 116 117 118 119 121 121 122 122 123 124 124D11 68 70 73 76 79 82 86 88 91 93 96 99 102 104 106 108 110 112 114 115 116 117 118 119 121 121 122 122 123 124 124D12 68 70 73 76 79 82 86 88 91 93 96 99 102 104 106 108 110 112 114 115 116 117 118 119 121 121 122 122 123 124 124D13 85 88 91 95 99 103 107 110 113 116 120 124 127 129 132 134 137 140 143 144 145 147 148 150 151 151 152 153 154 154 155D14 85 88 91 95 99 103 107 110 113 116 120 124 127 129 132 134 137 140 143 144 145 147 148 150 151 151 152 153 154 154 155D15 93 96 100 104 108 113 117 120 124 127 131 135 139 141 144 147 150 153 156 157 159 160 162 163 165 165 166 167 168 169 170D16 93 96 100 104 108 113 117 120 124 127 131 135 139 141 144 147 150 153 156 157 159 160 162 163 165 165 166 167 168 169 170D17 93 96 100 104 108 113 117 120 124 127 131 135 139 141 144 147 150 153 156 157 159 160 162 163 165 165 166 167 168 169 170D18 53 55 57 59 62 64 67 69 71 73 75 77 80 81 83 84 86 88 90 90 91 92 93 94 95 95 95 96 96 97 97D19 85 88 91 95 99 103 107 110 113 116 120 124 127 129 132 134 137 140 143 144 145 147 148 150 151 151 152 153 154 154 155D20 85 88 91 95 99 103 107 110 113 116 120 124 127 129 132 134 137 140 143 144 145 147 148 150 151 151 152 153 154 154 155D21 93 96 100 104 108 113 117 120 124 127 131 135 139 141 144 147 150 153 156 157 159 160 162 163 165 165 166 167 168 169 170D22 93 96 100 104 108 113 117 120 124 127 131 135 139 141 144 147 150 153 156 157 159 160 162 163 165 165 166 167 168 169 170D23 93 96 100 104 108 113 117 120 124 127 131 135 139 141 144 147 150 153 156 157 159 160 162 163 165 165 166 167 168 169 170D24 53 55 57 59 62 64 67 69 71 73 75 77 80 81 83 84 86 88 90 90 91 92 93 94 95 95 95 96 96 97 97D25 53 55 57 59 62 64 67 69 71 73 75 77 80 81 83 84 86 88 90 90 91 92 93 94 95 95 95 96 96 97 97D26 85 88 91 95 99 103 107 110 113 116 120 124 127 129 132 134 137 140 143 144 145 147 148 150 151 151 152 153 154 154 155D27 93 96 100 104 108 113 117 120 124 127 131 135 139 141 144 147 150 153 156 157 159 160 162 163 165 165 166 167 168 169 170D28 93 96 100 104 108 113 117 120 124 127 131 135 139 141 144 147 150 153 156 157 159 160 162 163 165 165 166 167 168 169 170D29 93 96 100 104 108 113 117 120 124 127 131 135 139 141 144 147 150 153 156 157 159 160 162 163 165 165 166 167 168 169 170D30 53 55 57 59 62 64 67 69 71 73 75 77 80 81 83 84 86 88 90 90 91 92 93 94 95 95 95 96 96 97 97

2300 2374 2469 2569 2673 2787 2898 2972 3067 3146 3246 3346 3445 3501 3575 3640 3714 3788 3867 3893 3932 3967 4006 4046 4092 4092 4118 4136 4162 4187 4201

Año

Nodo

TOTAL


C-2

Tabla C2. Capacidad de Suministro Disponibles (Recursos) en A de la zona de Estudio.

S1 S2 S3 S4 S5 S61 1800 300 300 200 600 150 33502 1800 300 300 200 600 150 33503 3600 300 300 200 600 150 51504 3600 300 300 200 600 150 51505 3600 300 300 200 600 150 51506 3600 300 300 200 600 150 51507 3600 300 300 200 600 150 51508 3600 300 300 200 600 150 51509 3600 300 300 200 600 150 5150

10 3600 300 300 200 600 150 515011 3600 300 300 200 600 150 515012 3600 300 300 200 600 150 515013 3600 300 300 200 600 150 515014 3600 300 300 200 600 150 515015 3600 300 300 200 600 150 515016 3600 300 300 200 600 150 515017 3600 300 300 200 600 150 5150

Recursos - Suministros

Año

Total

18 3600 300 300 200 600 150 515019 3600 300 300 200 600 150 515020 3600 300 300 200 600 150 515021 3600 300 300 200 600 150 515022 3600 300 300 200 600 150 515023 3600 300 300 200 600 150 515024 3600 300 300 200 600 150 515025 3600 300 300 200 600 150 515026 3600 300 300 200 600 150 515027 3600 300 300 200 600 150 515028 3600 300 300 200 600 150 515029 3600 300 300 200 600 150 515030 3600 300 300 200 600 150 5150


Tabla C3. Costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente en miles de $/ A2 de la alternativa 2.


11.2 8.8 7.9 12.5 8.8 5.6 3.9 11.8 7.9 3.9 0.0 3.9 12.5 8.8 5.6 3.9 5.6 8.8 14.2 11.2 8.8 7.9 8.8 11.2 14.2 14.2 12.5 11.8 12.5 14.2


20.1 16.3 12.5 23.7 19.7 15.8 11.8 24.0 20.1 16.3 12.5 8.8 24.9 21.2 17.6 14.2 11.2 8.8 26.5 23.0 19.7 16.7 14.2 12.5 11.8 25.3 22.3 19.7 17.6 16.3


21.2 24.9 28.7 16.3 20.1 24.0 27.9 15.8 19.7 23.7 27.6 31.6 16.3 20.1 24.0 27.9 31.8 35.7 17.6 21.2 24.9 28.7 32.5 36.4 40.2 23.0 26.5 30.0 33.7 37.4


26.5 28.4 30.8 21.2 23.0 25.3 27.9 17.6 19.7 22.3 25.3 28.4 14.2 16.7 19.7 23.0 26.5 30.0 11.2 14.2 17.6 21.2 24.9 28.7 32.5 12.5 16.3 20.1 24.0 27.9


28.7 27.9 27.6 26.5 24.9 24.0 23.7 23.0 21.2 20.1 19.7 20.1 19.7 17.6 16.3 15.8 16.3 17.6 16.7 14.2 12.5 11.8 12.5 14.2 16.7 11.2 8.8 7.9 8.8 11.2


30.8 28.4 26.5 30.8 27.9 25.3 23.0 28.4 25.3 22.3 19.7 17.6 26.5 23.0 19.7 16.7 14.2 12.5 24.9 21.2 17.6 14.2 11.2 8.8 7.9 20.1 16.3 12.5 8.8 5.6 Tabla C4.

Costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente en miles de $/ A2 de la alternativa 3. C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

C1,1 C1,2 C1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 C1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 C1,29 C1,30

21.2 20.1 19.7 19.7 17.6 16.3 15.8 16.7 14.2 12.5 11.8 12.5 14.2 11.2 8.8 7.9 8.8 11.2 12.5 8.8 5.6 3.9 5.6 8.8 12.5 7.9 3.9 0.0 3.9 7.9


20.1 16.3 12.5 23.7 19.7 15.8 11.8 24.0 20.1 16.3 12.5 8.8 24.9 21.2 17.6 14.2 11.2 8.8 26.5 23.0 19.7 16.7 14.2 12.5 11.8 25.3 22.3 19.7 17.6 16.3


21.2 24.9 28.7 16.3 20.1 24.0 27.9 15.8 19.7 23.7 27.6 31.6 16.3 20.1 24.0 27.9 31.8 35.7 17.6 21.2 24.9 28.7 32.5 36.4 40.2 23.0 26.5 30.0 33.7 37.4


26.5 28.4 30.8 21.2 23.0 25.3 27.9 17.6 19.7 22.3 25.3 28.4 14.2 16.7 19.7 23.0 26.5 30.0 11.2 14.2 17.6 21.2 24.9 28.7 32.5 12.5 16.3 20.1 24.0 27.9


28.7 27.9 27.6 26.5 24.9 24.0 23.7 23.0 21.2 20.1 19.7 20.1 19.7 17.6 16.3 15.8 16.3 17.6 16.7 14.2 12.5 11.8 12.5 14.2 16.7 11.2 8.8 7.9 8.8 11.2


30.8 28.4 26.5 30.8 27.9 25.3 23.0 28.4 25.3 22.3 19.7 17.6 26.5 23.0 19.7 16.7 14.2 12.5 24.9 21.2 17.6 14.2 11.2 8.8 7.9 20.1 16.3 12.5 8.8 5.6

C-3


Tabla C.5

Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 1 al año 30 de la alternativa 1, resuelto con Solver. Año i 1,1 i 1,2 i 1,3 i 1,4 i 1,5 i 1,6 i 1,7 i 1,8 i 1,9 i 1,10 i 1,11 i 1,12 i 1,13 i 1,14 i 1,15 i 1,16 i 1,17 i 1,18 i 1,19 i 1,21 i 1,22 i 1,23 i 1,24 i 1,25 i 1,27 i 1,28 i 1,29 i 2,3 i 2,7 i 2,12 i 2,18 i 3,1 i 3,4 i 3,8 i 3,13 i 4,19 i 4,20 i 4,26 i 5,20 i 5,26 i 5,27 i 5,28 i 5,29 i 5,30 i 6,24 i 6,25 i 6,30

1 46 70 33 47 72 70 36 53 72 70 70 29 71 88 96 96 96 19 58 96 96 96 55 15 48 40 36 37 34 41 36 26 25 19 17 30 44 41 44 47 48 56 60 19 0 40 36

2 48 73 34 49 75 73 38 56 75 73 73 30 73 91 100 100 100 20 59 100 100 100 57 16 50 42 38 39 35 43 37 27 26 19 18 32 46 43 46 48 50 58 62 20 0 41 37

3 49 76 35 51 78 76 39 58 78 76 76 31 76 95 104 104 104 21 62 104 104 104 59 16 52 43 39 41 37 45 38 29 27 20 19 33 48 45 48 50 52 61 65 20 0 43 39

4 51 79 37 53 81 79 41 60 81 79 79 33 80 99 108 108 108 22 65 108 108 108 62 17 54 45 41 42 38 46 40 30 28 21 19 34 50 47 50 52 54 63 67 21 0 45 41

5 54 82 38 56 85 82 42 63 85 82 82 34 83 103 113 113 113 23 67 113 113 113 64 18 57 47 43 44 40 48 41 31 29 22 20 36 52 49 52 54 57 66 70 22 0 46 42

6 56 86 40 58 88 86 44 65 88 86 86 36 86 107 117 117 117 24 70 117 117 117 67 18 59 49 44 46 42 50 43 32 30 23 21 37 54 50 54 57 59 68 73 23 0 49 44

7 57 88 41 59 90 88 45 67 90 88 88 36 89 110 120 120 120 24 72 120 120 120 69 19 60 50 45 47 43 52 45 33 31 23 21 38 55 52 55 58 60 70 75 24 0 50 45

8 59 91 42 61 93 91 47 69 93 91 91 38 91 113 124 124 124 25 74 124 124 124 71 20 62 52 47 49 44 53 46 34 32 24 22 39 57 53 57 60 62 72 77 25 0 51 46

9 61 93 43 63 96 93 48 71 96 93 93 38 93 116 127 127 127 26 76 127 127 127 73 20 64 53 48 50 45 55 47 35 33 25 23 40 58 55 58 61 63 74 79 25 0 53 48

10 63 96 45 65 99 96 49 74 99 96 96 40 97 120 131 131 131 26 78 131 131 131 75 21 65 55 50 51 47 56 49 36 34 25 23 42 60 57 60 63 66 76 81 26 0 54 49

11 64 99 46 66 102 99 51 75 102 99 99 41 99 124 135 135 135 27 81 135 135 135 30 23 67 56 51 53 48 58 50 38 36 27 25 43 62 58 62 66 68 79 84 28 47 54 49

12 68 102 48 69 105 102 53 78 105 102 102 42 102 127 139 139 139 28 83 139 139 139 31 26 69 58 53 54 49 60 52 37 36 27 25 44 64 60 64 67 70 81 86 32 49 54 48

13 69 104 48 70 107 104 54 79 107 104 104 43 104 129 141 141 141 29 85 141 141 141 32 27 70 59 54 56 50 61 52 38 37 28 25 44 65 61 64 68 71 82 87 34 49 54 47

14 71 106 49 71 109 106 55 81 109 106 106 44 106 132 144 144 144 29 86 144 144 144 34 29 72 60 55 57 51 62 54 38 38 28 26 46 66 62 66 70 72 84 89 36 49 54 47

15 72 108 50 73 111 108 56 82 111 108 108 45 107 134 147 147 147 30 78 147 147 147 35 29 73 61 56 58 52 63 54 39 38 29 27 56 73 71 61 63 74 86 91 37 49 55 47

16 74 110 51 74 113 110 57 83 113 110 110 46 109 137 150 150 150 30 82 150 150 150 37 31 75 63 57 59 53 64 56 39 39 30 28 55 74 71 63 66 75 87 93 40 49 55 46

17 75 112 52 75 115 112 58 85 115 112 112 46 111 140 153 153 153 31 86 153 153 153 38 33 76 64 58 60 54 66 57 40 40 30 29 54 74 71 66 69 77 89 95 43 50 55 45

18 78 114 53 77 118 114 59 87 118 114 114 47 114 143 156 156 156 32 89 156 156 156 40 35 78 65 59 61 55 67 58 40 41 31 29 54 75 71 68 72 78 91 97 45 50 55 45

19 78 115 53 78 119 115 59 88 119 115 115 48 114 144 157 157 157 32 90 157 157 157 40 35 78 66 60 62 56 67 58 41 41 31 30 54 75 71 69 73 79 91 97 45 50 55 45

20 79 116 54 79 120 116 60 88 120 116 116 48 115 145 159 159 159 32 92 159 159 159 41 36 79 67 60 62 56 68 59 41 41 32 30 53 75 71 70 74 80 92 99 46 50 55 45

21 80 117 54 79 121 117 60 89 121 117 117 49 116 147 160 160 160 32 94 160 160 160 42 36 80 67 61 63 57 68 60 41 42 32 31 53 75 72 72 75 80 93 99 47 50 56 45

22 81 118 55 80 122 118 61 90 122 118 118 49 117 148 162 162 162 33 95 162 162 162 43 37 81 68 62 63 57 69 60 41 42 32 31 53 76 72 72 76 81 94 100 49 50 56 44

23 82 119 55 82 124 119 61 91 124 119 119 49 119 150 163 163 163 33 98 163 163 163 44 38 81 69 62 64 58 70 61 42 42 33 31 52 76 72 74 78 82 94 101 50 50 56 44

24 83 121 56 82 125 121 62 92 125 121 121 50 119 151 165 165 165 33 99 165 165 165 45 39 82 70 63 65 59 71 62 42 43 33 32 52 76 72 75 79 83 95 102 51 50 56 44

25 83 121 56 82 125 121 62 92 125 121 121 50 119 151 165 165 165 33 99 165 165 165 45 39 82 70 63 65 59 71 62 42 43 33 32 52 76 72 75 79 83 95 102 51 50 56 44

26 84 122 57 83 126 122 63 92 126 122 122 51 120 152 166 166 166 33 100 166 166 166 45 39 83 70 63 65 59 71 62 42 43 34 32 52 76 72 76 80 83 96 103 51 50 56 44

27 84 122 57 83 126 122 63 92 126 122 122 51 121 153 167 167 167 34 101 167 167 167 46 40 83 70 64 65 59 71 62 42 43 34 32 52 76 72 77 81 84 97 103 52 50 56 44

28 85 123 57 84 127 123 63 93 127 123 123 51 121 154 168 168 168 34 103 168 168 168 46 40 84 71 64 66 60 72 62 42 43 34 33 51 77 72 77 82 84 97 104 52 50 56 44

29 86 124 58 84 128 124 64 94 128 124 124 52 121 154 169 169 169 34 103 169 169 169 47 41 84 71 64 66 60 72 63 42 44 34 33 51 77 72 77 82 85 98 105 54 50 56 43

30 86 124 58 84 128 124 64 94 128 124 124 52 122 155 170 170 170 34 104 170 170 170 47 41 85 72 65 66 60 72 63 42 44 34 33 51 77 72 78 83 85 98 105 54 50 56 43

C-4


Tabla C.6


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1 47 70 43 41 72 70 52 41 72 70 70 46 50 88 96 96 96 28 38 96 96 96 55 19 39 38 39 27 18 24 27 25 31 31 38 50 44 41 44 47 57 58 57 18 0 36 37

2 49 73 45 43 75 73 54 43 75 73 73 48 52 91 100 100 100 29 40 100 100 100 57 20 41 39 41 28 19 25 28 26 32 32 39 51 46 43 46 48 59 61 59 19 0 37 38

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9 62 93 58 55 96 93 69 55 96 93 93 62 66 116 127 127 127 37 50 127 127 127 73 25 52 50 52 35 24 31 37 34 41 41 50 66 58 54 58 62 75 77 75 24 0 48 49

10 64 96 59 56 99 96 71 57 99 96 96 64 68 120 131 131 131 38 52 131 131 131 75 26 53 52 53 37 25 32 38 35 43 42 52 68 60 56 60 64 78 79 78 25 0 49 50

11 66 99 61 58 102 99 73 59 102 99 99 66 70 124 135 135 135 39 54 135 135 135 34 27 55 53 55 38 26 33 39 36 44 43 54 70 62 58 62 66 80 82 80 26 43 50 51

12 68 102 63 60 105 102 75 60 105 102 102 67 72 127 139 139 139 40 55 139 139 139 35 28 57 55 57 39 27 35 40 37 45 45 55 72 64 60 64 67 82 84 82 27 45 52 53

13 72 104 64 61 107 104 74 62 107 104 104 67 74 129 141 141 141 41 56 141 141 141 36 29 58 57 58 40 30 37 41 35 46 45 55 73 65 61 64 68 83 84 83 29 45 52 52

14 72 106 64 62 109 106 74 62 109 106 106 67 75 132 144 144 144 42 60 144 144 144 38 30 61 59 61 42 32 39 42 37 47 47 57 72 66 62 66 70 83 85 83 30 45 53 53

15 74 108 65 63 111 108 74 64 111 108 108 67 76 134 147 147 147 42 63 147 147 147 39 31 62 61 62 43 34 41 42 37 48 47 58 71 67 62 67 72 85 86 85 31 45 53 53

16 73 110 68 64 113 110 82 65 113 110 110 74 78 137 150 150 150 43 63 150 150 150 42 33 61 59 61 42 28 36 43 40 49 48 59 74 66 61 71 76 89 91 89 32 44 53 54

17 76 112 69 66 115 112 83 66 115 112 112 74 80 140 153 153 153 44 66 153 153 153 45 35 63 61 63 43 29 38 44 39 49 49 60 74 66 60 74 80 90 92 90 34 43 53 54

18 79 114 70 68 118 114 83 68 118 114 114 75 82 143 156 156 156 45 69 156 156 156 47 37 64 62 64 44 31 39 45 39 50 50 61 74 66 60 77 83 92 94 92 36 43 53 54

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20 81 116 71 69 120 116 84 70 120 116 116 76 83 145 159 159 159 46 70 159 159 159 48 38 65 63 65 45 32 40 46 39 51 50 62 75 66 60 79 85 94 96 94 38 43 53 53

21 82 117 72 69 121 117 85 70 121 117 117 76 84 147 160 160 160 46 72 160 160 160 48 39 66 64 66 45 32 41 46 39 52 51 63 75 65 59 82 88 94 96 94 39 44 53 53

22 83 118 73 70 122 118 85 71 122 118 118 77 85 148 162 162 162 47 72 162 162 162 48 40 67 65 67 45 33 41 47 39 52 51 63 76 65 59 83 89 95 97 95 40 45 53 53

23 84 119 73 71 124 119 86 72 124 119 119 77 86 150 163 163 163 47 76 163 163 163 48 42 67 65 67 46 33 42 47 40 53 52 64 74 66 59 84 91 96 98 96 42 46 52 52

24 85 121 74 72 125 121 87 72 125 121 121 78 87 151 165 165 165 48 79 165 165 165 49 43 68 66 68 47 34 43 48 40 53 53 64 72 67 60 84 91 97 99 97 43 46 52 52

25 85 121 74 72 125 121 87 72 125 121 121 78 87 151 165 165 165 48 79 165 165 165 49 43 68 66 68 47 34 43 48 40 53 53 64 72 67 60 84 91 97 99 97 43 46 52 52

26 85 122 75 72 126 122 88 73 126 122 122 79 87 152 166 166 166 48 80 166 166 166 49 43 68 66 68 47 34 43 48 41 54 53 65 72 67 60 85 92 98 100 98 43 46 52 52

27 86 122 75 72 126 122 87 73 126 122 122 78 88 153 167 167 167 48 81 167 167 167 51 43 69 67 69 47 35 44 48 40 54 53 65 72 68 60 85 93 98 100 98 44 45 53 52

28 87 123 75 73 127 123 88 74 127 123 123 79 89 154 168 168 168 48 82 168 168 168 51 43 69 68 69 48 35 44 48 40 54 53 65 72 68 60 86 94 99 100 99 44 45 53 52

29 88 124 76 74 128 124 88 74 128 124 124 79 89 154 169 169 169 49 82 169 169 169 53 44 70 68 70 48 36 45 49 40 54 54 65 72 68 60 86 94 99 101 99 44 44 53 53

30 88 124 76 74 128 124 88 74 128 124 124 79 89 155 170 170 170 49 83 170 170 170 53 44 70 69 70 48 36 45 49 40 54 54 66 72 68 60 87 95 100 101 100 44 44 53 53

C-5


Tabla C.7


0 35 68 27 31 70 68 30 34 70 68 68 29 45 85 93 93 93 23 40 93 93 93 53 21 66 91 66 41 38 39 30 35 39 36 40 45 43 40 43 45 27 2 27 17 0 32 36

1 36 70 27 32 72 70 31 35 72 70 70 29 47 88 96 96 96 24 42 96 96 96 55 22 68 94 68 43 39 41 31 36 40 37 41 46 44 42 44 46 28 2 28 18 0 33 37

2 38 73 29 33 75 73 32 36 75 73 73 31 48 91 100 100 100 25 43 100 100 100 57 22 71 98 71 44 41 42 32 38 42 39 43 48 46 43 46 48 29 2 29 19 0 35 38

3 39 76 30 34 78 76 33 38 78 76 76 32 50 95 104 104 104 26 45 104 104 104 59 23 74 102 74 46 43 44 33 39 44 40 45 50 48 45 48 50 30 2 30 19 0 36 40

4 41 79 31 36 81 79 35 39 81 79 79 33 52 99 108 108 108 27 47 108 108 108 62 24 77 106 77 48 44 46 35 41 45 42 47 52 50 47 49 52 31 2 31 20 0 38 42

5 43 82 32 37 85 82 36 41 85 82 82 34 55 103 113 113 113 28 49 113 113 113 64 25 80 110 80 50 46 48 36 43 48 44 48 54 52 49 52 54 33 3 33 21 0 39 43

6 44 86 34 39 88 86 38 43 88 86 86 36 57 107 117 117 117 30 51 117 117 117 67 26 83 114 83 52 48 50 37 44 49 45 50 56 54 51 54 56 34 3 34 22 0 41 45

7 45 88 34 40 90 88 39 44 90 88 88 37 58 110 120 120 120 31 52 120 120 120 69 27 85 117 85 54 49 51 38 45 50 46 52 58 55 52 55 58 35 3 35 22 0 42 47

8 47 91 36 41 93 91 40 45 93 91 91 38 60 113 124 124 124 31 54 124 124 124 71 28 88 121 88 55 51 53 40 47 52 48 53 59 57 54 57 59 36 3 36 23 0 43 48

9 48 93 36 42 96 93 41 47 96 93 93 39 61 116 127 127 127 32 55 127 127 127 73 29 90 124 90 57 52 54 41 48 54 49 55 61 58 55 58 61 37 3 37 24 0 44 49

10 50 96 38 43 99 96 42 48 99 96 96 40 64 120 131 131 131 33 57 131 131 131 75 29 93 128 93 58 54 56 42 50 56 51 56 63 60 57 60 63 38 3 38 24 0 46 51

11 51 99 39 45 102 99 44 50 102 99 99 42 66 124 135 135 135 34 59 135 135 135 38 30 96 132 96 60 55 57 43 51 57 52 58 65 62 59 62 65 39 3 39 25 39 47 52

12 53 102 39 47 105 102 44 51 105 102 102 41 68 127 139 139 139 35 60 139 139 139 35 30 99 133 99 63 58 61 45 53 58 54 59 67 64 60 64 67 40 6 40 25 45 50 55

13 54 104 41 48 107 104 45 52 107 104 104 43 69 129 141 141 141 36 61 141 141 141 35 31 98 131 98 63 59 61 45 54 59 55 60 68 64 61 65 68 43 10 43 26 46 50 55

14 55 106 41 49 109 106 46 53 109 106 106 45 70 132 144 144 144 37 63 144 144 144 40 32 101 143 101 65 60 61 46 55 60 56 62 69 66 63 66 69 43 1 43 27 43 51 56

15 56 108 47 53 111 108 48 55 111 108 108 45 70 134 147 147 147 37 62 147 147 147 42 33 101 130 101 61 60 63 47 56 58 56 64 72 66 63 68 71 46 17 46 28 42 51 56

16 57 110 43 50 113 110 48 55 113 110 110 46 73 137 150 150 150 38 67 150 150 150 43 35 106 147 106 67 62 64 48 57 63 58 64 70 67 63 70 74 44 3 44 30 43 51 56

17 58 112 44 52 115 112 48 56 115 112 112 46 75 140 153 153 153 38 70 153 153 153 45 37 109 149 109 68 64 66 50 58 63 59 65 70 67 63 73 77 44 4 44 32 43 51 56

18 59 114 44 53 118 114 49 57 118 114 114 46 76 143 156 156 156 39 73 156 156 156 47 39 112 151 112 70 65 68 51 59 65 61 67 70 68 62 75 81 44 5 44 34 43 51 56

19 60 115 45 54 119 115 49 58 119 115 115 46 77 144 157 157 157 39 74 157 157 157 47 39 112 152 112 70 66 69 51 60 65 61 67 70 68 62 76 82 45 5 45 34 43 51 56

20 60 116 45 54 120 116 49 58 120 116 116 47 77 145 159 159 159 39 75 159 159 159 48 40 114 153 114 71 67 69 52 60 66 62 68 70 68 62 77 83 45 6 45 35 43 51 56

21 61 117 45 55 121 117 49 59 121 117 117 47 79 147 160 160 160 40 77 160 160 160 48 42 115 153 115 72 68 70 52 61 66 62 68 70 68 62 79 85 45 7 45 36 44 50 56

22 61 118 45 55 122 118 50 59 122 118 118 47 79 148 162 162 162 40 79 162 162 162 49 42 116 155 116 73 68 71 53 61 67 63 69 69 69 62 79 86 46 7 46 37 44 51 56

23 62 119 46 56 124 119 50 60 124 119 119 48 80 150 163 163 163 41 82 163 163 163 51 43 117 156 117 73 69 71 53 62 68 64 70 68 69 63 81 87 46 7 46 38 43 51 56

24 63 121 48 57 125 121 52 61 125 121 121 49 80 151 165 165 165 41 83 165 165 165 54 43 118 159 118 73 69 72 54 63 68 64 71 68 69 63 82 88 47 6 47 38 41 52 57

25 63 121 48 57 125 121 52 61 125 121 121 49 80 151 165 165 165 41 83 165 165 165 54 43 118 159 118 73 69 72 54 63 68 64 71 68 69 63 82 88 47 6 47 38 41 52 57

26 63 122 48 58 126 122 52 61 126 122 122 49 81 152 166 166 166 41 84 166 166 166 54 43 119 160 119 74 70 73 54 63 68 65 71 68 69 63 83 89 47 6 47 38 41 52 57

27 63 122 49 58 126 122 52 61 126 122 122 49 81 153 167 167 167 42 81 167 167 167 55 44 120 161 120 73 70 73 54 63 68 65 72 72 67 61 86 92 47 6 47 39 41 52 57

28 64 123 49 58 127 123 53 62 127 123 123 50 82 154 168 168 168 42 82 168 168 168 55 44 120 161 120 74 70 73 54 64 69 65 72 72 67 61 87 93 48 7 48 39 41 52 57

29 64 124 49 59 128 124 52 62 128 124 124 49 82 154 169 169 169 42 81 169 169 169 55 46 121 161 121 75 72 75 55 64 69 66 72 73 67 60 87 94 48 8 48 41 42 51 56

30 64 124 49 59 128 124 52 62 128 124 124 49 83 155 170 170 170 42 82 170 170 170 55 46 122 162 122 75 72 75 55 64 69 66 72 73 67 60 88 95 48 8 48 41 42 51 56

C-6


Tabla C.8

Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 0 al año 30 de la alternativa 1, resuelto con Matlab. Año i 1,1 i 1,2 i 1,3 i 1,4 i 1,5 i 1,6 i 1,7 i 1,8 i 1,9 i 1,10 i 1,11 i 1,12 i 1,13 i 1,14 i 1,15 i 1,16 i 1,17 i 1,18 i 1,19 i 1,21 i 1,22 i 1,23 i 1,24 i 1,25 i 1,27 i 1,28 i 1,29 i 2,3 i 2,7 i 2,12 i 2,18 i 3,1 i 3,4 i 3,8 i 3,13 i 4,19 i 4,20 i 4,26 i 5,20 i 5,26 i 5,27 i 5,28 i 5,29 i 5,30 i 6,24 i 6,25 i 6,30

0 45.3 68 42.1 39.8 70 68 50.3 40.3 70 68 68 45 48.3 85 93 93 93 26.5 37 93 93 93 53 18.3 37.9 36.7 37.9 25.9 17.7 23 26.5 24.7 30.2 29.7 36.7 48 42.5 39.9 42.5 45.1 55.1 56.3 55.1 17.8 0 34.7 35.2

1 46.6 70 43.4 40.9 72 70 51.8 41.4 72 70 70 46.4 50 88 96 96 96 27.5 38.3 96 96 96 55 19 39.2 37.9 39.2 26.6 18.2 23.6 27.5 25.4 31.1 30.6 38 49.7 44 41.3 44 46.7 56.8 58.1 56.8 18.4 0 36 36.6

2 48.5 73 45.2 42.6 75 73 54 43.2 75 73 73 48.4 51.7 91 100 100 100 28.5 39.6 100 100 100 57 19.7 40.8 39.5 40.8 27.8 19 24.6 28.5 26.5 32.4 31.8 39.3 51.4 45.5 42.8 45.5 48.2 59.2 60.5 59.2 19.1 0 37.3 37.9

3 50.5 76 47.1 44.3 78 76 56.2 44.9 78 76 76 50.3 54 95 104 104 104 29.5 41.3 104 104 104 59 20.4 42.4 41.1 42.4 28.9 19.8 25.7 29.5 27.5 33.7 33.1 41 53.7 47.5 44.6 47.5 50.4 61.6 62.9 61.6 19.8 0 38.6 39.2

4 52.4 79 48.9 46 81 79 58.5 46.6 81 79 79 52.3 56.3 99 108 108 108 31 43 108 108 108 62 21.4 44.1 42.6 44.1 30.1 20.5 26.7 31 28.6 35 34.4 42.7 56 49.5 46.5 49.5 52.5 63.9 65.4 63.9 20.8 0 40.6 41.2

5 55 82 50.8 48.3 85 82 60.7 48.9 85 82 82 54.3 58.6 103 113 113 113 32 44.8 113 113 113 64 22.1 46.1 44.6 46.1 31.2 21.3 27.7 32 30 36.7 36.1 44.4 58.2 51.5 48.4 51.5 54.6 66.9 68.4 66.9 21.5 0 41.9 42.5

6 56.9 86 53.3 50 88 86 63.7 50.6 88 86 86 57 60.8 107 117 117 117 33.5 46.5 117 117 117 67 23.1 47.7 46.2 47.7 32.7 22.3 29 33.5 31.1 38 37.4 46.2 60.5 53.5 50.3 53.5 56.7 69.3 70.8 69.3 22.5 0 43.9 44.5

7 58.2 88 54.5 51.2 90 88 65.1 51.8 90 88 88 58.3 62.5 110 120 120 120 34.5 47.8 120 120 120 69 23.8 49 47.4 49 33.5 22.9 29.7 34.5 31.8 38.8 38.2 47.5 62.2 55 51.7 55 58.3 71 72.6 71 23.1 0 45.2 45.9

8 60.2 91 56.4 52.9 93 91 67.4 53.5 93 91 91 60.3 64.2 113 124 124 124 35.5 49.1 124 124 124 71 24.5 50.6 49 50.6 34.6 23.6 30.7 35.5 32.8 40.1 39.5 48.8 63.9 56.5 53.1 56.5 59.9 73.4 75 73.4 23.8 0 46.5 47.2

9 62.1 93 57.6 54.6 96 93 68.8 55.3 96 93 93 61.6 65.9 116 127 127 127 36.5 50.4 127 127 127 73 25.2 51.8 50.1 51.8 35.4 24.2 31.4 36.5 33.9 41.4 40.7 50.1 65.6 58 54.5 58 61.5 75.2 76.9 75.2 24.5 0 47.8 48.5

10 64.1 96 59.5 56.3 99 96 71 57 99 96 96 63.6 68.2 120 131 131 131 37.5 52.2 131 131 131 75 25.9 53.5 51.7 53.5 36.5 25 32.4 37.5 34.9 42.7 42 51.8 67.8 60 56.4 60 63.6 77.5 79.3 77.5 25.1 0 49.1 49.9

11 66 99 61.3 58 102 99 73.3 58.7 102 99 99 65.6 70.5 124 135 135 135 38.5 53.9 135 135 135 33.7 26.6 55.1 53.3 55.1 37.7 25.7 33.4 38.5 36 44 43.3 53.5 70.1 62 58.3 62 65.7 79.9 81.7 79.9 25.8 43.3 50.4 51.2

12 68.4 102 63 59.8 105 102 74.9 60.5 105 102 102 67.1 72.3 127 139 139 139 40 55.2 139 139 139 35.1 27.8 56.9 55.1 56.9 39 27.1 34.9 40 36.6 45.2 44.5 54.7 71.8 63.5 59.7 63.5 67.3 82.1 83.9 82.1 27.1 44.9 52.2 52.9

13 71.8 104 63.6 61.3 107 104 74.2 61.9 107 104 104 66.6 73.9 129 141 141 141 40.5 56.1 141 141 141 35.9 28.6 58.3 56.8 58.3 40.4 29.8 37.4 40.5 35.2 45.7 45.1 55.1 72.9 64.5 60.7 64.5 68.3 82.7 84.2 82.7 28.5 45.1 52.4 52.5

14 72.5 106 63.8 61.9 109 106 73.9 62.5 109 106 106 66.9 75 132 144 144 144 41.5 60 144 144 144 38.1 30.5 60.5 59.1 60.5 42.2 32.1 39.1 41.5 36.5 47.1 46.5 57 72 65.9 62 66.1 70 83.5 84.9 83.5 30.4 44.9 52.5 52.6

15 74.1 108 64.7 63.1 111 108 74.3 63.6 111 108 108 67.3 76.2 134 147 147 147 42 63 147 147 147 39.3 31.2 62.1 60.8 62.1 43.3 33.7 40.7 42 36.9 47.9 47.4 57.8 71 66.6 62.4 67.4 71.6 84.9 86.2 84.9 31.4 44.7 52.8 52.6

16 73 110 68 64 113 110 81.9 64.8 113 110 110 73.7 77.6 137 150 150 150 43 63.5 150 150 150 42.4 33.4 61.4 59.4 61.4 42 28.1 36.3 43 40 49 48.2 59.4 73.5 65.5 60.9 71.5 76.1 88.6 90.6 88.6 32.2 43.6 52.6 53.8

17 76 112 69.3 65.6 115 112 83 66.4 115 112 112 74.4 79.9 140 153 153 153 44 66.2 153 153 153 44.8 35 62.5 60.5 62.5 42.7 29 37.6 44 39 49.4 48.6 60.1 73.8 65.7 60.5 74.3 79.5 90.5 92.5 90.5 34.2 43.2 53 53.8

18 79.2 114 70.3 67.6 118 114 83.4 68.3 118 114 114 74.8 82 143 156 156 156 45 68.7 156 156 156 46.9 36.7 63.9 62 63.9 43.7 30.6 39.2 45 38.8 50.4 49.7 61 74.3 65.7 60 77.3 83 92.1 94 92.1 36.4 43.1 53.3 53.6

19 79.9 115 70.9 68.2 119 115 84.1 68.9 119 115 115 75.5 82.5 144 157 157 157 45 69.6 157 157 157 46.9 36.7 64.3 62.4 64.3 44.1 30.9 39.5 45 39.1 50.8 50.1 61.5 74.4 65.7 59.9 78.3 84.1 92.7 94.6 92.7 36.4 43.1 53.3 53.6

20 81 116 71.4 68.9 120 116 84.3 69.6 120 116 116 75.7 83.2 145 159 159 159 45.5 70.2 159 159 159 47.8 37.7 65.3 63.4 65.3 44.6 31.7 40.3 45.5 39 51.1 50.4 61.8 74.8 65.6 59.6 79.4 85.4 93.7 95.6 93.7 37.5 43.2 53.3 53.5

21 81.9 117 71.9 69.5 121 117 84.7 70.2 121 117 117 76.1 84.4 147 160 160 160 46 71.7 160 160 160 48.3 38.9 65.8 63.9 65.8 45.1 32.3 40.9 46 39.1 51.5 50.8 62.6 75.3 65.4 59.2 81.6 87.8 94.2 96.1 94.2 38.8 43.7 53.1 53.2

22 82.5 118 72.5 70 122 118 85.4 70.7 122 118 118 76.7 85 148 162 162 162 46.5 72.4 162 162 162 48.2 40.4 66.6 64.8 66.6 45.5 32.6 41.3 46.5 39.5 52 51.3 63 75.6 65.3 59 82.7 89 95.4 97.2 95.4 40.4 44.8 52.6 52.6

23 83.7 119 73.2 71.1 124 119 86.3 71.8 124 119 119 77.5 86.1 150 163 163 163 47 75.6 163 163 163 47.7 42.1 67 65.1 67 45.8 32.7 41.5 47 40.3 52.9 52.2 63.9 74.4 66.1 59.5 83.9 90.5 96 97.9 96 42.2 46.3 51.9 51.8

24 84.7 121 74.2 71.8 125 121 87.2 72.5 125 121 121 78.3 86.7 151 165 165 165 47.5 78.5 165 165 165 49.1 42.8 67.9 66.1 67.9 46.8 33.8 42.7 47.5 40.3 53.2 52.5 64.3 72.5 67.2 60.3 83.8 90.7 97.1 98.9 97.1 43.1 45.9 52.2 51.9

25 84.7 121 74.2 71.8 125 121 87.2 72.5 125 121 121 78.3 86.7 151 165 165 165 47.5 78.5 165 165 165 49.1 42.8 67.9 66.1 67.9 46.8 33.8 42.7 47.5 40.3 53.2 52.5 64.3 72.5 67.2 60.3 83.8 90.7 97.1 98.9 97.1 43.1 45.9 52.2 51.9

26 85.4 122 74.9 72.4 126 122 87.9 73.1 126 122 122 78.9 87.3 152 166 166 166 47.5 79.5 166 166 166 49.1 42.8 68.3 66.5 68.3 47.1 34.1 43.1 47.5 40.6 53.6 52.9 64.7 72.5 67.3 60.2 84.7 91.8 97.7 99.5 97.7 43.1 45.9 52.2 51.9

27 86 122 74.6 72.5 126 122 87 73.2 126 122 122 78.1 88 153 167 167 167 48 81.1 167 167 167 51.3 43.1 69 67.2 69 47.4 35 43.9 48 40 53.5 52.8 65 71.9 67.7 60.5 85.3 92.5 98 99.8 98 43.6 44.7 52.9 52.4

28 86.6 123 75.2 73.1 127 123 87.7 73.7 127 123 123 78.8 88.6 154 168 168 168 48 82.1 168 168 168 51.3 43.1 69.4 67.6 69.4 47.8 35.3 44.2 48 40.4 53.9 53.3 65.4 71.9 67.7 60.4 86.3 93.6 98.6 100 98.6 43.6 44.7 52.9 52.4

29 87.8 124 75.6 73.7 128 124 87.7 74.4 128 124 124 78.8 88.7 154 169 169 169 48.5 82.2 169 169 169 53.2 43.6 70 68.3 70 48.4 36.3 45.2 48.5 40.2 54.3 53.6 65.3 71.8 67.8 60.4 86.2 93.6 99 101 99 44.2 43.8 53.4 52.8

30 87.8 124 75.6 73.7 128 124 87.7 74.4 128 124 124 78.8 89.3 155 170 170 170 48.5 83.1 170 170 170 53.2 43.6 70.4 68.7 70.4 48.4 36.3 45.2 48.5 40.2 54.3 53.6 65.7 71.9 67.8 60.3 87.2 94.7 99.6 101 99.6 44.2 43.8 53.4 52.8

C-7


Tabla C.9

Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 0 al año 30 de la alternativa 2, resuelto con Matlab. Año i 1,1 i 1,2 i 1,3 i 1,4 i 1,5 i 1,6 i 1,7 i 1,8 i 1,9 i 1,10 i 1,11 i 1,12 i 1,13 i 1,14 i 1,15 i 1,16 i 1,17 i 1,18 i 1,19 i 1,21 i 1,22 i 1,23 i 1,24 i 1,25 i 1,27 i 1,28 i 1,29 i 2,3 i 2,7 i 2,12 i 2,18 i 3,1 i 3,4 i 3,8 i 3,13 i 4,19 i 4,20 i 4,26 i 5,20 i 5,26 i 5,27 i 5,28 i 5,29 i 5,30 i 6,24 i 6,25 i 6,30

0 35 68 27 31 70 68 30 34 70 68 68 29 45 85 93 93 93 23 40 93 93 93 53 21 66 91 66 41 38 39 30 35 39 36 40 45 43 40 43 45 27 2 27 17 0 32 36

1 36 70 27 32 72 70 31 35 72 70 70 29 47 88 96 96 96 24 42 96 96 96 55 22 68 94 68 43 39 41 31 36 40 37 41 46 44 42 44 46 28 2 28 18 0 33 37

2 38 73 29 33 75 73 32 36 75 73 73 31 48 91 100 100 100 25 43 100 100 100 57 22 71 98 71 44 41 42 32 38 42 39 43 48 46 43 46 48 29 2 29 19 0 35 38

3 39 76 30 34 78 76 33 38 78 76 76 32 50 95 104 104 104 26 45 104 104 104 59 23 74 102 74 46 43 44 33 39 44 40 45 50 48 45 48 50 30 2 30 19 0 36 40

4 41 79 31 36 81 79 35 39 81 79 79 33 52 99 108 108 108 27 47 108 108 108 62 24 77 106 77 48 44 46 35 41 45 42 47 52 50 47 49 52 31 2 31 20 0 38 42

5 43 82 32 37 85 82 36 41 85 82 82 34 55 103 113 113 113 28 49 113 113 113 64 25 80 110 80 50 46 48 36 43 48 44 48 54 52 49 52 54 33 3 33 21 0 39 43

6 44 86 34 39 88 86 38 43 88 86 86 36 57 107 117 117 117 30 51 117 117 117 67 26 83 114 83 52 48 50 37 44 49 45 50 56 54 51 54 56 34 3 34 22 0 41 45

7 45 88 34 40 90 88 39 44 90 88 88 37 58 110 120 120 120 31 52 120 120 120 69 27 85 117 85 54 49 51 38 45 50 46 52 58 55 52 55 58 35 3 35 22 0 42 47

8 47 91 36 41 93 91 40 45 93 91 91 38 60 113 124 124 124 31 54 124 124 124 71 28 88 121 88 55 51 53 40 47 52 48 53 59 57 54 57 59 36 3 36 23 0 43 48

9 48 93 36 42 96 93 41 47 96 93 93 39 61 116 127 127 127 32 55 127 127 127 73 29 90 124 90 57 52 54 41 48 54 49 55 61 58 55 58 61 37 3 37 24 0 44 49

10 50 96 38 43 99 96 42 48 99 96 96 40 64 120 131 131 131 33 57 131 131 131 75 29 93 128 93 58 54 56 42 50 56 51 56 63 60 57 60 63 38 3 38 24 0 46 51

11 51 99 39 45 102 99 44 50 102 99 99 42 66 124 135 135 135 34 59 135 135 135 38 30 96 132 96 60 55 57 43 51 57 52 58 65 62 59 62 65 39 3 39 25 39 47 52

12 53 102 39 47 105 102 44 51 105 102 102 41 68 127 139 139 139 35 60 139 139 139 35 30 99 133 99 63 58 61 45 53 58 54 59 67 64 60 64 67 40 6 40 25 45 50 55

13 54 104 41 48 107 104 45 52 107 104 104 43 69 129 141 141 141 36 61 141 141 141 35 31 98 131 98 63 59 61 45 54 59 55 60 68 64 61 65 68 43 10 43 26 46 50 55

14 55 106 41 49 109 106 46 53 109 106 106 45 70 132 144 144 144 37 63 144 144 144 40 32 101 143 101 65 60 61 46 55 60 56 62 69 66 63 66 69 43 1 43 27 43 51 56

15 56 108 47 53 111 108 48 55 111 108 108 45 70 134 147 147 147 37 62 147 147 147 42 33 101 130 101 61 60 63 47 56 58 56 64 72 66 63 68 71 46 17 46 28 42 51 56

16 57 110 43 50 113 110 48 55 113 110 110 46 73 137 150 150 150 38 67 150 150 150 43 35 106 147 106 67 62 64 48 57 63 58 64 70 67 63 70 74 44 3 44 30 43 51 56

17 58 112 44 52 115 112 48 56 115 112 112 46 75 140 153 153 153 38 70 153 153 153 45 37 109 149 109 68 64 66 50 58 63 59 65 70 67 63 73 77 44 4 44 32 43 51 56

18 59 114 44 53 118 114 49 57 118 114 114 46 76 143 156 156 156 39 73 156 156 156 47 39 112 151 112 70 65 68 51 59 65 61 67 70 68 62 75 81 44 5 44 34 43 51 56

19 60 115 45 54 119 115 49 58 119 115 115 46 77 144 157 157 157 39 74 157 157 157 47 39 112 152 112 70 66 69 51 60 65 61 67 70 68 62 76 82 45 5 45 34 43 51 56

20 60 116 45 54 120 116 49 58 120 116 116 47 77 145 159 159 159 39 75 159 159 159 48 40 114 153 114 71 67 69 52 60 66 62 68 70 68 62 77 83 45 6 45 35 43 51 56

21 61 117 45 55 121 117 49 59 121 117 117 47 79 147 160 160 160 40 77 160 160 160 48 42 115 153 115 72 68 70 52 61 66 62 68 70 68 62 79 85 45 7 45 36 44 50 56

22 61 118 45 55 122 118 50 59 122 118 118 47 79 148 162 162 162 40 79 162 162 162 49 42 116 155 116 73 68 71 53 61 67 63 69 69 69 62 79 86 46 7 46 37 44 51 56

23 62 119 46 56 124 119 50 60 124 119 119 48 80 150 163 163 163 41 82 163 163 163 51 43 117 156 117 73 69 71 53 62 68 64 70 68 69 63 81 87 46 7 46 38 43 51 56

24 63 121 48 57 125 121 52 61 125 121 121 49 80 151 165 165 165 41 83 165 165 165 54 43 118 159 118 73 69 72 54 63 68 64 71 68 69 63 82 88 47 6 47 38 41 52 57

25 63 121 48 57 125 121 52 61 125 121 121 49 80 151 165 165 165 41 83 165 165 165 54 43 118 159 118 73 69 72 54 63 68 64 71 68 69 63 82 88 47 6 47 38 41 52 57

26 63 122 48 58 126 122 52 61 126 122 122 49 81 152 166 166 166 41 84 166 166 166 54 43 119 160 119 74 70 73 54 63 68 65 71 68 69 63 83 89 47 6 47 38 41 52 57

27 63 122 49 58 126 122 52 61 126 122 122 49 81 153 167 167 167 42 81 167 167 167 55 44 120 161 120 73 70 73 54 63 68 65 72 72 67 61 86 92 47 6 47 39 41 52 57

28 64 123 49 58 127 123 53 62 127 123 123 50 82 154 168 168 168 42 82 168 168 168 55 44 120 161 120 74 70 73 54 64 69 65 72 72 67 61 87 93 48 7 48 39 41 52 57

29 64 124 49 59 128 124 52 62 128 124 124 49 82 154 169 169 169 42 81 169 169 169 55 46 121 161 121 75 72 75 55 64 69 66 72 73 67 60 87 94 48 8 48 41 42 51 56

30 64 124 49 59 128 124 52 62 128 124 124 49 83 155 170 170 170 42 82 170 170 170 55 46 122 162 122 75 72 75 55 64 69 66 72 73 67 60 88 95 48 8 48 41 42 51 56

C-8


C-9

i 1,1 i 1,2 i 1,3 i 1,4 i 1,5 i 1,6 i 1,7 i 1,8 i 1,9 i 1,10 i 1,11 i 1,12 i 1,13 i 1,14 i 1,15 i 1,16 i 1,17 i 1,18 i 1,19 i 1,21 i 1,22 i 1,23 i 1,24 i 1,25 i 1,27 i 1,28 i 1,29 i 1,33 i 1,37 i 1,42 i 1,48 i 1,61 i 1,64 i 1,68 i 1,73 i 1,109i 1,110i 1,116i 1,140i 1,146i 1,147i 1,149i 1,150i 1,174i 1,175i

Tabla C.10

Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 0 al año 30 de la alternativa 3, resuelto con Matlab. Año 1,180

35

1 3 7

2 3 8

3 3 9

4 4 1

5 4 3

6 4 5

7 4 6

8 4 7

9 4 9

10 50

11 51

12 53

13 54

14 55

15 56

16 56

17 56

18 56

19 56

20 56

21 56

22 56

23 56

24 56

25 56

26 56

27 56

28 56

29 57

30 57

35 68 26 32 70 68 29 34 70 68 68 28 45 85 93 93 93 23 40 93 93 93 53 21 64 93 64 42 39 40 30 35 38 36 40 45 43 40 43 45 29 29 18 32

6 70 27 33 72 70 30 35 72 70 70 29 47 88 96 96 96 24 42 96 96 96 55 21 66 96 66 43 40 41 31 36 39 37 41 46 44 42 44 46 30 30 18 34 3

8 73 28 34 75 73 31 36 75 73 73 30 49 91 100 100 100 25 43 100 100 100 57 22 69 100 69 45 42 43 32 38 41 39 42 48 46 43 46 48 31 31 19 35 3

9 76 30 35 78 76 33 38 78 76 76 31 51 95 104 104 104 26 45 104 104 104 59 23 72 104 72 47 43 45 33 39 43 40 44 50 48 45 48 50 32 32 20 36 3

1 79 31 37 81 79 34 39 81 79 79 33 53 99 108 108 108 27 47 108 108 108 62 24 75 108 75 48 45 46 35 41 44 42 46 52 50 47 50 52 33 33 21 38 4

3 82 32 38 85 82 35 41 85 82 82 34 55 103 113 113 113 28 49 113 113 113 64 25 78 113 78 50 47 48 36 43 47 44 48 54 52 49 52 54 35 35 21 39 4

4 86 33 40 88 86 37 43 88 86 86 36 57 107 117 117 117 30 50 117 117 117 67 26 81 117 81 53 49 50 37 44 48 45 50 57 54 50 54 57 36 36 22 41 4

5 88 34 41 90 88 38 44 90 88 88 36 59 110 120 120 120 30 52 120 120 120 69 27 83 120 83 54 50 52 39 45 49 46 51 58 55 52 55 58 37 37 23 42 4

7 91 35 42 93 91 39 45 93 91 91 38 60 113 124 124 124 31 53 124 124 124 71 28 86 124 86 56 52 53 40 47 51 48 53 60 57 53 57 60 38 38 24 43 4

8 93 36 43 96 93 40 47 96 93 93 38 62 116 127 127 127 32 55 127 127 127 73 28 88 127 88 57 53 55 41 48 53 49 54 61 58 55 58 61 39 39 24 45 4

50 96 37 45 99 96 41 48 99 96 96 40 64 120 131 131 131 33 57 131 131 131 75 29 90 131 90 59 55 56 42 50 54 51 56 63 60 57 60 63 41 41 25 46

51 99 38 46 102 99 42 49 102 99 99 41 66 124 135 135 135 34 58 135 135 135 39 30 93 135 93 61 57 58 43 51 56 53 58 66 62 58 62 66 42 42 26 39 47

53 102 40 47 105 102 44 51 105 102 102 42 68 127 139 139 139 35 60 139 139 139 40 31 96 139 96 62 58 60 45 53 58 54 59 67 64 60 64 67 43 43 27 40 49

54 104 40 48 107 104 45 52 107 104 104 43 69 129 141 141 141 36 61 141 141 141 41 31 97 141 97 64 59 61 45 54 59 55 60 68 65 61 65 68 44 44 27 41 50

55 106 41 49 109 106 45 53 109 106 106 44 70 132 144 144 144 37 62 144 144 144 42 32 99 144 99 65 61 62 46 55 60 56 62 70 66 62 66 70 45 45 28 42 51

56 108 42 50 111 108 46 54 111 108 108 45 72 134 147 147 147 37 64 147 147 147 42 33 102 147 102 66 62 63 47 56 61 57 62 70 67 63 67 71 45 45 28 42 51

57 110 43 51 113 110 47 55 113 110 110 46 73 137 150 150 150 38 67 150 150 150 44 34 104 150 104 67 63 64 48 57 62 58 64 70 67 63 70 74 46 46 30 42 52

58 112 43 52 115 112 48 56 115 112 112 46 75 140 153 153 153 39 70 153 153 153 46 36 106 153 106 69 64 66 49 58 63 59 65 70 67 63 73 77 47 47 32 42 52

59 114 44 53 118 114 49 57 118 114 114 47 76 143 156 156 156 40 73 156 156 156 48 38 108 156 108 70 65 67 50 59 65 61 67 70 67 62 76 81 48 48 34 42 52

60 115 45 54 119 115 49 58 119 115 115 48 77 144 157 157 157 40 74 157 157 157 48 38 108 157 108 70 66 67 50 60 65 61 67 70 67 62 77 82 49 49 34 42 52

60 116 45 54 120 116 50 58 120 116 116 48 77 145 159 159 159 40 75 159 159 159 50 39 110 159 110 71 66 68 51 60 66 62 68 70 67 62 78 83 49 49 35 41 52

61 117 45 55 121 117 50 59 121 117 117 48 78 147 160 160 160 41 77 160 160 160 51 40 110 160 110 72 67 69 51 61 66 62 69 70 67 62 80 85 50 50 36 41 52

61 118 46 55 122 118 51 59 122 118 118 49 79 148 162 162 162 41 78 162 162 162 52 41 112 162 112 72 67 69 52 61 67 63 69 70 68 62 80 86 50 50 37 41 52

62 119 46 56 124 119 51 60 124 119 119 49 80 150 163 163 163 42 80 163 163 163 53 42 113 163 113 73 68 70 52 62 68 64 70 70 68 62 82 88 50 50 38 41 52

63 121 47 56 125 121 52 61 125 121 121 50 81 151 165 165 165 42 81 165 165 165 54 42 114 165 114 74 69 71 53 63 69 64 70 70 68 62 83 89 51 51 39 41 53

63 121 47 56 125 121 52 61 125 121 121 50 81 151 165 165 165 42 81 165 165 165 54 42 114 165 114 74 69 71 53 63 69 64 70 70 68 62 83 89 51 51 39 41 53

63 122 47 57 126 122 52 61 126 122 122 50 81 152 166 166 166 42 82 166 166 166 54 42 115 166 115 75 70 72 53 63 69 65 71 70 68 62 84 90 51 51 39 41 53

63 122 47 57 126 122 52 61 126 122 122 50 82 153 167 167 167 42 83 167 167 167 55 43 115 167 115 75 70 72 54 63 69 65 71 70 68 62 85 91 52 52 40 41 53

64 123 48 57 127 123 53 62 127 123 123 51 82 154 168 168 168 42 84 168 168 168 55 43 116 168 116 75 70 72 54 64 70 65 72 70 68 62 86 92 52 52 40 41 53

64 124 48 58 128 124 53 62 128 124 124 51 82 154 169 169 169 43 84 169 169 169 56 44 117 169 117 76 71 73 54 64 70 66 72 70 68 62 86 92 52 52 40 41 53

64 124 48 58 128 124 53 62 128 124 124 51 83 155 170 170 170 43 85 170 170 170 56 44 117 170 117 76 71 73 54 64 70 66 72 70 68 62 87 93 53 53 40 41 53


Tabla C.11 Cargabilidad Óptima de las Subestaciones, del año 1 al año 30 de la alternativa 1, con

Solver. S1 S2 S3 S4 S5 S6

Zaragoza Los reyes Santa Cruz Pantitlan Netzahualcoyotl Aurora TotalAño

A A A A A A A

1 1674 148 87 116 273 76 23742 1742 154 90 120 284 79 24693 1813 160 94 125 296 81 25694 1885 167 98 130 307 85 26735 1967 173 102 136 321 88 27876 2044 181 106 141 333 92 28987 2096 186 109 145 342 95 29728 2164 192 112 149 352 98 30679 2219 197 116 153 361 101 3146

10 2290 203 119 158 373 103 324611 2314 208 125 163 386 150 334612 2387 215 126 167 400 150 344513 2427 219 128 170 407 150 350114 2480 224 130 174 417 150 357515 2518 228 133 200 411 150 364016 2572 232 136 200 424 150 371417 2626 237 138 200 437 150 378818 2684 241 141 200 450 150 386719 2704 243 143 200 454 150 389320 2733 245 144 200 460 150 393221 2758 247 145 200 466 150 396722 2788 250 146 200 473 150 400623 2817 252 148 200 479 150 404624 2851 256 150 200 485 150 409225 2851 256 150 200 485 150 409226 2871 257 151 200 489 150 411827 2883 258 151 200 494 150 413628 2903 260 152 200 497 150 416229 2922 262 153 200 500 150 418730 2932 262 153 200 503 150 4201

C-10





A A A A A A A

0 1614 93 121 130 272 70 23001 1665 96 125 135 281 73 23742 1733 100 130 140 292 75 24693 1803 104 135 146 304 78 25694 1874 108 141 152 316 82 26735 1955 112 147 158 330 84 27876 2033 118 153 164 342 88 28987 2084 121 156 169 351 91 29728 2152 124 161 173 362 94 30679 2207 127 166 178 371 96 3146

10 2277 131 171 184 383 99 324611 2304 135 177 190 395 145 334612 2372 141 181 195 406 150 344513 2413 148 181 198 411 150 350114 2465 155 187 200 418 150 357515 2514 160 190 200 426 150 364016 2571 149 197 200 447 150 371417 2626 153 197 200 461 150 378818 2684 159 200 200 475 150 386719 2703 160 201 200 479 150 389320 2732 162 202 200 485 150 393221 2756 164 204 200 493 150 396722 2784 166 206 200 500 150 400623 2813 167 209 200 507 150 404624 2850 171 210 200 511 150 409225 2850 171 210 200 511 150 409226 2870 172 212 200 514 150 411827 2883 174 211 200 517 150 413628 2903 175 213 200 521 150 416229 2923 178 213 200 523 150 418730 2932 178 214 200 527 150 4201

C-11





A A A A A A A

0 1645 148 150 128 161 68 23001 1697 153 155 132 166 71 23742 1767 159 161 137 172 73 24693 1838 166 168 143 179 76 25694 1911 173 174 149 187 80 26735 1994 179 182 155 195 82 27876 2073 188 189 161 202 86 28987 2125 192 193 165 208 89 29728 2194 199 200 170 214 91 30679 2250 203 206 174 219 94 3146

10 2321 210 212 180 227 96 324611 2354 216 219 186 234 137 334612 2413 227 224 191 240 150 344513 2446 228 228 193 255 150 350114 2512 233 233 198 250 150 357515 2548 231 234 200 277 150 364016 2616 242 241 200 264 150 371417 2670 248 245 200 274 150 378818 2728 254 251 200 284 150 386719 2747 256 253 200 287 150 389320 2777 259 255 200 291 150 393221 2800 262 257 200 297 150 396722 2831 265 259 200 301 150 400623 2860 266 263 200 306 150 404624 2900 268 265 200 309 150 409225 2900 268 265 200 309 150 409226 2920 270 267 200 311 150 411827 2930 270 267 200 318 150 413628 2950 272 269 200 320 150 416229 2963 277 271 200 326 150 418730 2974 277 272 200 328 150 4201

C-12



Matlab. S1 S2 S3 S4 S5 S6


A A A A A A A

0 1614 93 121 130 272 70 23001 1665 96 125 135 281 73 23742 1733 100 130 140 292 75 24693 1803 104 135 146 304 78 25694 1874 108 141 152 316 82 26735 1955 112 147 158 330 84 27876 2033 118 153 164 342 88 28987 2084 121 156 169 351 91 29728 2152 124 161 173 362 94 30679 2207 127 166 178 371 96 3146

10 2277 131 171 184 383 99 324611 2304 135 177 190 395 145 334612 2372 141 181 195 406 150 344513 2413 148 181 198 411 150 350114 2465 155 187 200 418 150 357515 2514 160 190 200 426 150 364016 2571 149 197 200 447 150 371417 2626 153 197 200 461 150 378818 2684 159 200 200 475 150 386719 2703 160 201 200 479 150 389320 2732 162 202 200 485 150 393221 2756 164 204 200 493 150 396722 2784 166 206 200 500 150 400623 2813 167 209 200 507 150 404624 2850 171 210 200 511 150 409225 2850 171 210 200 511 150 409226 2870 172 212 200 514 150 411827 2883 174 211 200 517 150 413628 2903 175 213 200 521 150 416229 2923 178 213 200 523 150 418730 2932 178 214 200 527 150 4201

C-13





A A A A A A A

0 1645 148 150 128 161 68 23001 1697 153 155 132 166 71 23742 1767 159 161 137 172 73 24693 1838 166 168 143 179 76 25694 1911 173 174 149 187 80 26735 1994 179 182 155 195 82 27876 2073 188 189 161 202 86 28987 2125 192 193 165 208 89 29728 2194 199 200 170 214 91 30679 2250 203 206 174 219 94 3146

10 2321 210 212 180 227 96 324611 2354 216 219 186 234 137 334612 2413 227 224 191 240 150 344513 2446 228 228 193 255 150 350114 2512 233 233 198 250 150 357515 2548 231 234 200 277 150 364016 2616 242 241 200 264 150 371417 2670 248 245 200 274 150 378818 2728 254 251 200 284 150 386719 2747 256 253 200 287 150 389320 2777 259 255 200 291 150 393221 2800 262 257 200 297 150 396722 2831 265 259 200 301 150 400623 2860 266 263 200 306 150 404624 2900 268 265 200 309 150 409225 2900 268 265 200 309 150 409226 2920 270 267 200 311 150 411827 2930 270 267 200 318 150 413628 2950 272 269 200 320 150 416229 2963 277 271 200 326 150 418730 2974 277 272 200 328 150 4201

C-14





A A A A A A A

0 1643 150 149 128 163 68 23001 1695 155 154 132 168 70 23742 1764 161 160 137 174 73 24693 1836 167 166 143 182 75 25694 1909 174 173 149 189 79 26735 1992 181 181 155 197 82 27876 2070 190 187 161 205 86 28987 2122 194 192 165 210 88 29728 2191 201 198 170 217 91 30679 2247 205 204 174 222 93 3146

10 2318 212 211 180 229 96 324611 2351 218 217 186 237 137 334612 2420 225 223 191 243 142 344513 2460 229 227 194 247 144 350114 2511 234 232 198 253 148 357515 2559 238 236 200 257 149 364016 2614 243 241 200 267 150 371417 2669 247 245 200 277 150 378818 2727 252 251 200 287 150 386719 2747 254 253 200 289 150 389320 2777 256 255 200 293 150 393221 2802 258 258 200 299 150 396722 2832 261 260 200 303 150 400623 2860 263 264 200 309 150 404624 2896 267 266 200 313 150 409225 2896 267 266 200 313 150 409226 2916 269 268 200 316 150 411827 2929 270 268 200 319 150 413628 2948 271 270 200 322 150 416229 2968 274 272 200 323 150 418730 2979 274 272 200 326 150 4201

C-15


Tabla C.17 Costo Total de las Pérdidas Eléctricas en la Red de Distribución, del año 0 al año 30 de

las alternativas 1, 2 y 3, con Solver. Costo Total de las Pérdidas Eléctricas

Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Año Millones de $ Millones de $ Millones de $

0 1.123 1.396 1.184

1 0.847 1.051 0.892

2 0.916 1.138 0.966

3 0.992 1.232 1.046

4 1.073 1.333 1.131

5 1.169 1.450 1.231

6 1.260 1.569 1.330

7 1.326 1.648 1.398

8 1.411 1.756 1.490

9 1.486 1.848 1.567

10 1.582 1.969 1.667

11 1.656 2.074 1.727

12 1.753 2.197 1.832

13 1.810 2.272 1.891

14 1.888 2.366 1.972

15 1.959 2.456 2.051

16 2.039 2.553 2.134

17 2.122 2.654 2.220

18 2.214 2.768 2.312

19 2.245 2.809 2.344

20 2.291 2.863 2.394

21 2.333 2.916 2.434

22 2.381 2.971 2.485

23 2.430 3.035 2.531

24 2.484 3.106 2.592

25 2.484 3.106 2.592

26 2.517 3.149 2.626

27 2.541 3.172 2.649

28 2.574 3.216 2.683

29 2.603 3.255 2.717

30 2.625 3.275 2.737

Total 58.134 72.603 60.825

C-16


Tabla C.18 Costo Total de las Pérdidas Eléctricas en la Red de Distribución, del año 0 al año 30 de

las alternativas 1, 2 y 3, con Matlab. Costo Total de las Pérdidas Eléctricas


0 1.123 1.395 1.183

1 0.848 1.052 0.893

2 0.917 1.138 0.967

3 0.993 1.233 1.047

4 1.074 1.334 1.132

5 1.170 1.451 1.232

6 1.262 1.569 1.331

7 1.327 1.649 1.399

8 1.413 1.757 1.492

9 1.487 1.849 1.568

10 1.584 1.969 1.669

11 1.658 2.075 1.729

12 1.755 2.197 1.833

13 1.811 2.273 1.893

14 1.889 2.368 1.974

15 1.960 2.455 2.050

16 2.041 2.554 2.134

17 2.125 2.655 2.220

18 2.216 2.769 2.313

19 2.247 2.810 2.345

20 2.294 2.864 2.395

21 2.335 2.917 2.435

22 2.383 2.972 2.486

23 2.432 3.036 2.532

24 2.486 3.107 2.594

25 2.486 3.107 2.594

26 2.519 3.150 2.628

27 2.543 3.173 2.651

28 2.576 3.217 2.685

29 2.604 3.255 2.719

30 2.626 3.275 2.739

Total 58.184 72.625 60.862

C-17


Tabla C.19 Costo Total a Valor Presente del Submodelo de Pérdidas Eléctricas en la Red de

Distribución de las tres alternativas, con los resultados del Programa Solver de Excel. Costo Total a Valor Presente de las Pérdidas

Eléctricas en la Red de Distribución Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Año

Millones de $ Millones de $ Millones de $ 0 1.123 1.396 1.184

1 0.799 0.992 0.842

2 0.815 1.013 0.860

3 0.833 1.034 0.878

4 0.850 1.056 0.896

5 0.874 1.084 0.920

6 0.888 1.106 0.938

7 0.882 1.096 0.930

8 0.885 1.102 0.935

9 0.880 1.094 0.928

10 0.883 1.099 0.931

11 0.872 1.093 0.910

12 0.871 1.092 0.910

13 0.849 1.065 0.887

14 0.835 1.046 0.872

15 0.817 1.025 0.856

16 0.803 1.005 0.840

17 0.788 0.986 0.824

18 0.776 0.970 0.810

19 0.742 0.928 0.775

20 0.714 0.893 0.746

21 0.686 0.858 0.716

22 0.661 0.824 0.690

23 0.636 0.795 0.663

24 0.613 0.767 0.640

25 0.579 0.724 0.604

26 0.553 0.692 0.577

27 0.527 0.658 0.549

28 0.504 0.629 0.525

29 0.480 0.601 0.501

30 0.457 0.570 0.477

Total 23.476 29.291 24.612

C-18


Tabla C.20 Costo Total a Valor Presente del Submodelo de Pérdidas Eléctricas en la Red de

Distribución de las tres alternativas, con los resultados del Programa Matlab. Costo Total a Valor Presente de las Pérdidas

Eléctricas en la Red de Distribución Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Año

Millones de $ Millones de $ Millones de $ 0 1.123 1.395 1.183

1 0.800 0.992 0.842

2 0.816 1.013 0.861

3 0.834 1.035 0.879

4 0.851 1.057 0.897

5 0.874 1.084 0.921

6 0.890 1.106 0.938

7 0.883 1.097 0.930

8 0.887 1.102 0.936

9 0.880 1.094 0.928

10 0.884 1.099 0.932

11 0.873 1.093 0.911

12 0.872 1.092 0.911

13 0.849 1.066 0.888

14 0.836 1.047 0.873

15 0.818 1.024 0.855

16 0.803 1.005 0.840

17 0.789 0.986 0.824

18 0.776 0.970 0.810

19 0.743 0.929 0.775

20 0.715 0.893 0.747

21 0.687 0.858 0.716

22 0.661 0.825 0.690

23 0.637 0.795 0.663

24 0.614 0.767 0.641

25 0.579 0.724 0.604

26 0.554 0.692 0.578

27 0.527 0.658 0.550

28 0.504 0.629 0.525

29 0.481 0.601 0.502

30 0.457 0.570 0.477

Total 23.497 29.301 24.627

C-19


Tabla C.21 Costo Total a Valor Presente del Submodelo de Pérdidas en la Línea de Transmisión de las tres alternativas, con los resultados de Cargabilidad del Programa Solver de Excel.

Costo Total a Valor Presente de las Pérdidas Eléctricas en la Línea de Transmisión


0 0.016 0.048 0.017

1 0.009 0.028 0.010

2 0.010 0.030 0.011

3 0.011 0.033 0.011

4 0.012 0.036 0.013

5 0.013 0.040 0.014

6 0.015 0.044 0.015

7 0.015 0.046 0.016

8 0.016 0.049 0.017

9 0.017 0.051 0.018

10 0.018 0.054 0.019

11 0.019 0.055 0.019

12 0.020 0.058 0.020

13 0.020 0.059 0.020

14 0.020 0.060 0.021

15 0.020 0.061 0.021

16 0.021 0.063 0.022

17 0.021 0.064 0.022

18 0.022 0.066 0.023

19 0.021 0.064 0.022

20 0.021 0.063 0.022

21 0.021 0.061 0.021

22 0.020 0.060 0.021

23 0.020 0.059 0.020

24 0.019 0.058 0.020

25 0.019 0.056 0.019

26 0.018 0.054 0.019

27 0.017 0.052 0.018

28 0.017 0.050 0.017

29 0.016 0.048 0.016

30 0.015 0.046 0.016

Total 0.541 1.615 0.557

C-20

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