Superposición De Ondas Estacionarias y sus Aplicaciones

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ÍNDICE DE CONTENIDOS

Pag.

Introducción 3 Objetivo 4

Capitulo I: Superposiciones y Ondas Estacionarias 5

1.1 Superposiciones e Interferencia de Ondas Senoidales 5

1.2 Ondas Estacionarias 8

1.3 Ondas Estacionarias en una Cuerda Fija en Ambos Extremos 10

1.4 Resonancia 12

1.5 Ondas Estacionarias en Columnas de Aire 12

1.6 Ondas Estacionarias en Barras y Placas 13

Capitulo II: Aplicaciones Generales 14

Conclusión 15

Bibliografía 16

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INTRODUCCIÓN

En este documento estaremos presentando los diferentes contenidos de la

superposición de ondas estacionarias y sus aplicaciones, Un importante aspecto de

las ondas es el efecto combinado de dos o más de ellas viajando en el mismo medio.

En un medio lineal, es decir, uno en el cual la fuerza restauradora del medio

proporcional al desplazamiento de éste, el principio de superposición puede

aplicarse para obtener la perturbación resultante. La importancia del principio de

superoposición se aplica para identificar el valor resultante de la función de onda en

cualquier punto. También identificaremos la importancia de diferentes ecuaciones de

cada tema para obtener el modo de aplicación correcto en los cálculos a realizar.

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Objetivo General

Comprender los diferentes conceptos detallados de superposición y ondas

estacionarias para entender los diferentes fenómenos que pasan alrededor de

nuestra naturaleza y entender sus diferentes aplicaciones.

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Capitulo I: Superposiciones y Ondas Estacionarias

Este capitulo trata del principio de superposición cuando este se aplica a ondas

senoidales. Si las ondas senoidales que se combinan en un medio determinado

tienen la misma frecuencia y longitud de onda, uno se encuentra que un patrón

estacionario, conocido como onda estacionaria, puede producirse a ciertas

frecuencias bajos extremos tiene un conjunto discreto de patrones de oscilación,

denominados modos de vibración, depende de la tensión y la masa por unidad de

longitud de cuerdas.

El termino interferencia se utilizó para describir el efecto producido por la

combinación de dos pulsos de onda que se mueven simultáneamente a través de un

medio.

1.1 Superposiciones e Interferencia de Ondas Senoidales

El principio de superposición nos indica que cuando dos o mas ondas se mueven en

el mismo medio lineal, el desplazamiento neto del medio (onda resultante) en

cualquier punto es igual a la suma algebraica de los desplazamiento causados por

todas las ondas. Aplicaremos este principio a dos ondas senoidales que viajan en la

misma dirección en un medio. Si dos ondas viajan hacia la derecha y tienen la

misma frecuencia, la longitud de onda y amplitud, pero difieren en fase, podemos

expresar sus funciones de onda individuales como:

Si establecemos a= Rx-wt, y b=Rx-wt-, encontramos que la función de onda

resultante y se reduce a:

Estos conceptos e informaciones referente al tema fueron extraídas de Física Serway 4ta edición. Pág. 501.

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 Características:

1. La función de onda resultante y es también armónica y tiene la misma

frecuencia y longitud de onda que las ondas individuales.

2. La amplitud de la onda resultante es 2Ao cos /2, y su fase es igual a   /2.

En función del valor de la constante de fase j se obtienen dos clases de

interferencias:

Si  = 0, 2p, 4p..., entonces cos /2 = ±1 y la amplitud de la onda resultante

es ±2Ao. En otras palabras, la onda resultante es el doble de amplia que las

ondas individuales. En este caso se dice que las ondas están en fase en todos

los puntos, es decir, las crestas y los valles de las ondas individuales ocurren

en las mismas posiciones. Este tipo de superposición se

denomina interferencia constructiva.

Si  =  (o cualquier múltiplo impar de veces , entonces cos /2 =0, y la onda

resultante tiene amplitud cero en cualquier parte. En este caso la cresta de una

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onda coincide con el valle de la otra y sus desplazamientos se cancelan en cada

punto. Este tipo de superposición se denomina interferencia destructiva.

Con frecuencia es útil expresar la diferencia de trayectoria en función de la

diferencia de fase entre las dos ondas. Puesto que la diferencia de trayectoria de

una longitud de onda corresponde a una diferencia de fase de 2 rad, obtenemos la

proporción /2=r/, o:

Ejemplo; Dos Ondas armónicas se describen por medio de:

Y1= (5.0m) sen [(4.0x-1200t)] : y2= (5.0m) sen [(4.0x-1200t-0.25)] donde x,

y1 y y2 están en metros y T en segundos. A) ¿cuál es la amplitud de toda la

onda resultante? B) ¿cual es la frecuencia de la onda resultante?

Y1{x,t}= (5.0m) sen [(4.0x-1200t)]

Y2{x,y}= (5.0m) sen [(4.0x-1200t-0.25)]

Parte (A)

Y=y1+y2

información extraída de Física Serway 4ta edición Pág. 504 Este problema fue extraído de Física Serway 4ta edición

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Sen a + sen b = 2 cos (a-b)/2 * sen (a+b)/2 1

Entonces y1+y2 = 5.0m [2 cos [0.25/2]*sen [(4.0x-1200t)-/2(0.25)]

Tenemos que Y resultante= (10.00m)cos (/8)*sen (4.0x-1200t-/8)

Amplitud= (10.00m)cos(/8)=10.00*0.924= 9.24m

Parte (b)

Tenemos: w=1200=2f

F= 1200/2=600Hz

1.2 Ondas Estacionarias

Si una cuerda tensada se sujeta de ambos extremos, las ondas viajeras se reflejan

desde los extremos fijos, creando ondas que viajan en ambas direcciones. Las ondas

incidente y reflejada se combinan de acuerdo con el principio de superposición.

*Ondas que viajan direcciones opuestas:

Donde y1 va a la derecha, y2 izquierda

Suma de estas dos funciones produce la función de onda resultante Y:

Utilizando una identidad trigonométrica, se llega a :

La expresión anterior indica que la onda resultante vibra armónicamente pero sin tener un desplazamiento aparente, a ésta configuración se le llama Onda estacionaria.

Puesto que la amplitud de la onda estacionaria 2Asen(Kx) depende de x, la amplitud máxima ocurre cuando sen(Kx) = 1, o cuando:

1 Esta ecuación esta en la 4ta edición de serway Pág. 502

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Ya que K=2p/l,, los puntos donde ocurre la máxima amplitud se les llama Antinodos, y se obtienen de la siguiente manera:

Donde, n = 1, 2, 3, .... La onda estacionaria tiene una amplitud mínima cero cuando sen(Kx)=0, o sea:

Kx = p, 2p, 3p, ...

Donde, n = 1, 2, 3, ... Estos puntos cuya amplitud es cero, se llaman Nodos.

Ejemplo: La función de onda para una onda estacionaria en una cuerda es:

Y=(0.30m)sen(0.25x) cos(120t)

Donde x esta en metros y t en segundos. Determine la longitud de onda y la

frecuencia de las ondas viajeras que interfieren.

Y=(0.30m)sen(0.25x) cos(120t) sabemos que: 0.25=2/ donde

=2/0.25=8=25.1m

Por otro lado: 120f tenemos F=60Hz

1.3 Ondas Estacionarias en una Cuerda Fija en Ambos Extremos

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Considere una cuerda de longitud L que esta fija en ambos extremos, las ondas

estacionarias son generadas en la cuerda por una superposición continua de ondas

incidentes y reflejadas en los extremos. La cuerda tiene un número de patrones

naturales de vibración, denominados modos normales. Cada uno de estos tiene una

frecuencia característica que se calcula con facilidad.

Una cuerda tensa de longitud L atada en ambos extremos.

Al poner a vibrar la cuerda se crean ondas estacionarias mediante la superposición

de ondas incidentes y ondas reflejadas desde los extremos. Las ondas estacionarias

en la cuerda vienen dadas por la expresión:

Dos nodos fijos son en los extremos de la cuerda, por lo tanto, para x = 0 y x = L :

En consecuencia, las longitudes de onda de los modos normales de vibración,

pueden expresarse de la siguiente forma:

Donde, n = 1, 2, 3, ... son los modos normales de vibración. Las frecuencias

naturales asociadas con estos modos de vibración se obtienen de la relación f = v / l ,

donde v es la velocidad de la onda que es la misma para todas las frecuencias , por lo

tanto:

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Donde, n = 1, 2, 3, ... son los modos normales de vibración. Lo anterior indica que

una cuerda fija en los dos extremos no puede vibrar a cualquier frecuencia arbitraria

sino a frecuencias correspondientes dadas por al expresión anterior. Todas las

frecuencias posibles dadas por esta expresión son múltiplos enteros de la mínima

frecuencia f0 = v / 2L, que se conoce como Frecuencia fundamental. Todas esas

frecuencias posibles que son múltiplos enteros de la fundamental se conocen como

frecuencias naturales de la cuerda o armónicas.

Frecuencia fundamental. Segunda armónica

Tercera armónica.

1.4 Resonancia

Hemos visto que un sistema como una cuerda tensa es capaz de oscilar en una o más

modos normales de oscilación. Si se aplica una fuerza periódica a tal sistema, la

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amplitud del movimiento resultante es mayor cuando la frecuencia de la fuerza

aplicada es igual a una de las frecuencias naturales del sistema. Este fenómeno,

conocido como resonancia. Debido a que un sistema oscilante presenta una gran

amplitud cuando impulsado en cualquiera de sus frecuencias naturales, estas

frecuencias se denominan a menudo frecuencias de resonancia.

La resonancia es muy importante en la excitación de los instrumentos musicales

sobre la base de columnas de aire.

1.5 Ondas Estacionarias en Columnas de Aire

Las olas bajo las condiciones de frontera del modelo también se pueden aplicar a las

ondas sonoras en una columna de aire tal como el interior de un tubo de órgano. Las

ondas estacionarias son el resultado de interferencia entre ondas sonoras

longitudinales que viajan en direcciones opuestas.

En un tubo cerrado en un extremo, el extremo cerrado un nodo de desplazamiento

debido a que la barrera rígida en este extremo no permite el movimiento longitudinal

del aire. Debido a que el onda de presión es de 90 ° fuera de fase con la onda de

desplazamiento, el extremo cerrado de una columna de aire corresponde a un

antinodo de presión (es decir, una punto de variación máxima de presión).

El extremo abierto de una columna de aire es de aproximadamente un antinodo de

desplazamiento y un nodo de presión. Podemos entender por qué hay variación de

presión se produce en un proceso abierto terminar señalando que el extremo de la

columna de aire está abierta a la atmósfera, por lo tanto, la presión en este extremo

debe permanecer constante a la presión atmosférica.

Podemos expresar las frecuencias naturales de oscilación en un tubo abierto como:

En un tubo abierto en ambos extremos, las frecuencias naturales de oscilación

forman un armónico serie que incluye todos los múltiplos enteros de la frecuencia

fundamental.

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Dado que todos los armónicos están presentes y por la frecuencia fundamental es

dada por la misma expresión que la de una cadena podemos expresar las frecuencias

naturales de oscilación como: en entubo cerrado

1.6 Ondas estacionarias en Barras y Placas

Las ondas estacionarias también se pueden configurar en las barras y las membranas.

Una varilla sujeta en la media y acariciado paralela a la varilla en un extremo oscila.

Las oscilaciones de los elementos de la varilla son longitudinales, y por lo que el

color rojo curvas representan desplazamientos longitudinales de varias partes de la

varilla. Para mayor claridad, los desplazamientos se han dibujado en la dirección

transversal, según se que eran para columnas de aire. El punto medio de un nodo de

desplazamiento, ya que está fijado por la pinza, mientras que los extremos son

vientres de desplazamiento, ya que están libres a oscilar. Las oscilaciones en esta

configuración son análogas a las de un tubo abierto en ambos extremos., para que la

longitud de onda es 2L y la frecuencia es f? v/2L, donde v es la velocidad de las

ondas longitudinales en la varilla. Otros modos normales pueden ser excitados por la

unión la varilla en diferentes puntos. Por ejemplo, el segundo modo normal es

excitado por la varilla de sujeción una distancia L / 4 de distancia de un extremo.

También es posible crear ondas estacionarias transversales en las barras.

Instrumentos musicales que dependerán de las ondas estacionarias transversales en

barras incluyen triángulos, marimbas, xilófonos, glockenspiels, carillones y

vibráfono. Otros dispositivos que hacen sonidos de barras vibrantes incluyen cajas

de música y campanas de viento. Oscilaciones de dos dimensiones se pueden instalar

en una membrana flexible estirada más de un aro circular, como la que en una piel

de tambor. Como la membrana es golpeado en algún momento, las ondas que llegan

en el límite fijo se reflejan muchas veces. La resultante de sonido no es armónica

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porque las ondas estacionarias tienen frecuencias que no están relacionados por

múltiplos enteros. Sin esta relación, el sonido puede ser más correctamente descrito

como ruido en lugar de como la música. La producción de ruido es en contraste con

la situación en instrumentos de viento y cuerda, que producen sonidos que

describimos como musical.

Capitulo II: Aplicaciones Generales

Un caso particular de la superposición de ondas que viste en el tema anterior y de

importancia fundamental en el estudio de las ondas sonoras, por su aplicación en la

música es el de las ondas estacionarias. Estas ondas aparecen en todos los

instrumentos de cuerda: guitarras, pianos, violines, etc...

Estas ondas se forman por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con

igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a

través de un medio, como puedes observar en la animación que acompaña estas

líneas. En ella dos ondas, una azul y otra roja, se superponen para dar lugar a la onda

estacionaria dibujada en negro. En transmisión de ondas de radio, las ondas

estacionarias en las líneas de transmisión son sumamente peligrosas para la

integridad física de los componentes. Un aparato, el ROE-metro, mide el porcentaje

de la onda incidente que es reflejada. En el caso ideal en que se estableciera una

onda estacionaria en la línea de transmisión, el transmisor terminaría por destruirse.

Una ROE (Relación de Onda Estacionaria) de 1,5 equivale a una reflexión de 4% de

la onda incidente, y se admite que es el máximo que un transmisor de 100 Watts a

transistores puede soportar sin sufrir daños. En cambio, los transmisores a válvulas

son menos sensibles a las ondas estacionarias.

Esta información fue extraída de l Internet

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Conclusión

En este documento analizamos las superposiciones y ondas estacionarias

y sus aplicaciones, vimos los diferentes conceptos referentes al tema y las

diferentes ecuaciones para la determinación y cálculos de los diferentes

problemas que se puedan presentar vimos el principio de superposición,

ondas estacionarias. etc…

Espero que este proyecto les haya satisfecho sus expectativas.

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BIBLIORAFIA

Física Reymond Serway Cuarta edición cap. 18

Notas: Todas las ecuaciones y Gráficos fueron extraído de este libro.

http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//3000/3212/html/21_ondas_estacionarias_en_cuerdas.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_estacionaria

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