Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz

8/3/2019 Superficies Cuadraticas - Jana Rodriguez Hertz

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superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos

Superficies cudricas

Jana Rodriguez Hertz

GAL2

IMERL

9 de noviembre de 2010
http://find/


2/88


definicin

superficie cudrica

definicin (forma cuadrtica)

una superficie cudrica est dada por la ecuacin:
http://find/http://goback/


3/88


definicin

superficie cudrica



a11x2+a22y

2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0
http://goforward/http://find/http://goback/


4/88


definicin

superficie cudrica



a11x2+a22y


o, equivalentemente,

XtAX+ 2BtX+ c= 0


5/88


definicin

superficie cudrica



a11x2+a22y


o, equivalentemente,

XtAX+ 2BtX+ c= 0

con A matriz simtrica, Bvector de R3, cconstante.

fi i d i l ifi i d l d i j l


6/88


definicin

ejemplo 1

ejemplo 1

la esfera unitaria

x2 + y2 + z2 = 1

es una cudrica

fi i d i l ifi i d l d i j l


7/88


definicin

ejemplo 1

ejemplo 1

la esfera unitaria

x2 + y2 + z2 = 1

es una cudrica



8/88


definicin

ejemplo 2

ejemplo 2

la cudrica xy = 0



9/88


definicin

ejemplo 2

ejemplo 2

la cudrica xy = 0

es la unin del plano x = 0 con el plano y = 0



10/88


definicin

ejemplo 2

ejemplo 2

la cudrica xy = 0

es la unin del plano x = 0 con el plano y = 0



11/88


forma reducida

ecuacin reducida

Nuestro objetivo es hacer un cambio de variables para que la

cudrica quede en una forma reducida:


12/88



13/88

p j p

forma reducida

ecuacin reducida



definicin

ecuacin reducida de una cudrica:

se obtiene por un cambio de variables ortogonal



14/88

p j p

forma reducida

ecuacin reducida



definicin



y tiene uno de los siguientes tipos:



15/88

forma reducida

ecuacin reducida



definicin




1 tipo I: x2 + y2 + z2 + = 0



16/88

forma reducida

ecuacin reducida



definicin




1 tipo I: x2 + y2 + z2 + = 02 tipo II: x2 + y2 + z= 0



17/88

forma reducida

ejemplos

ejemplo

el ejemplo 1 (esfera) es de tipo I con = = = 1 y = 1



18/88

forma reducida

ejemplos

ejemplo

el ejemplo 1 (esfera) es de tipo I con = = = 1 y = 1

el ejemplo 2 (xy = 0) no est en su forma reducida, yaveremos cul es



19/88

forma reducida

objetivos

1 ver cmo se llega a una ecuacin reducida



20/88

forma reducida

objetivos

1 ver cmo se llega a una ecuacin reducida

2 ver cul es el dibujo de la superficie en su forma reducida



21/88

centro de una cudrica


definicin

XtAX+ 2BtX+ c= 0 cudrica



22/88



definicin


Q= (xQ, yQ, zQ) centro de la cudrica si



23/88



definicin


Q= (xQ, yQ, zQ) centro de la cudrica si

A

xQyQ

zQ

+ B= 0



24/88


observacin

puede haber un nico centro (sistema compatible

determinado)



25/88


observacin


determinado)

puede haber infinitos centros (sistema compatible

indeterminado)



26/88


observacin


determinado)

puede haber infinitos centros (sistema compatible

indeterminado)

puede no haber centros (sistema incompatible)



27/88

teoremas

centro y clasificacin de cudricas

teorema 1

F(x, y, z) = XtAX+ 2BtX+ c= 0 cudrica



28/88

teoremas


teorema 1


P

1

AP= diag( , , ) con Portogonal



29/88

teoremas


teorema 1


P

1

AP= diag( , , ) con PortogonalSi existe un centro Q= (xQ, yQ, zQ)

t, entonces



30/88

teoremas


teorema 1


P

1


t, entonces

haciendo el cambio de variables X = PX + Q



31/88

teoremas


teorema 1


P

1


t, entonces

haciendo el cambio de variables X = PX + Q

la cudrica queda tipo I:

x2 + y2 + z2 + F(Q) = 0



32/88

teoremas

cuando no hay centro

teorema 2

Si la cudrica XtAX+ 2BtX+ c= 0 no tiene centro



33/88

teoremas


teorema 2


PtAP= diag(,, 0) y


t


34/88

teoremas


teorema 2


PtAP= diag(,, 0) y

la ecuacin reducida es de tipo II:

x2 + yz + z = 0 con = 0


tipo I


35/88

tipo I

cudricas de tipo I

tipo I

x2 + y2 + z2 + = 0 cudrica de tipo I


tipo I


36/88

tipo I

cudricas de tipo I

tipo I


hay dos casos importantes:


tipo I


37/88

tipo I

cudricas de tipo I

tipo I


hay dos casos importantes:1 = 0


tipo I


38/88

tipo I

cudricas de tipo I

tipo I


hay dos casos importantes:1 = 02 = 0


tipo I


39/88

t po

cudricas de tipo I

tipo I


hay dos casos importantes:1 = 0 x2 + y2 + z2 = 12 = 0


tipo I


40/88

p

cudricas de tipo I

tipo I


hay dos casos importantes:1 = 0 x2 + y2 + z2 = 12 = 0 x2 + y2 + z2 = 0


tipo I


41/88

clasificacin de cudricas de tipo I

clasificacin

cmo se clasifican?


tipo I


42/88


clasificacin

cmo se clasifican?

1ero por = 0 o = 0


tipo I


43/88


clasificacin

cmo se clasifican?

1ero por = 0 o = 0

luego por signo de , y


tipo I - = 0


44/88

elipsoide

elipsoide

elipsoide

+ + + 1

3x

2

+ y2

+ 4z2

= 1


tipo I - = 0


45/88

elipsoide

elipsoide

elipsoide

+ + + 1

3x

2

+ y

2

+ 4z

2

= 1


tipo I - = 0


46/88

hiperboloide de una hoja


hiperboloide de 1

hoja

+ + 1

x2 3y2 + z2 = 1


tipo I - = 0


47/88



hiperboloide de 1

hoja

+ + 1

x2 3y2 + z2 = 1


tipo I - = 0


48/88

hiperboloide de dos hojas


hiperboloide de 2

hojas

+ 1

x2 + y2 z2 = 1


tipo I - = 0


49/88



hiperboloide de 2

hojas

+ 1

x2 + y2 z2 = 1


tipo I - = 0


50/88

cilindro elptico

cilindro elptico

cilindro elptico

+ + 0 1

x

2

+ 2y

2

= 1


tipo I - = 0


51/88

cilindro elptico

cilindro elptico

cilindro elptico

+ + 0 1

x

2

+ 2y

2

= 1


tipo I - = 0

ili d hi bli


52/88

cilindro hiperblico

cilindro hiperblico

cilindro elptico

+ 0 1

x2 y2

=1


tipo I - = 0

ili d hi bli


53/88

cilindro hiperblico

cilindro hiperblico

cilindro elptico

+ 0 1

x2 y2

=1


tipo I - = 0

d l l l


54/88

dos planos paralelos


dos planos

paralelos

+ 0 0 1

4x2 = 1


tipo I - = 0

d l l l


55/88



dos planos

paralelos

+ 0 0 1

4x2 = 1


tipo I - = 0

otros casos


56/88

otros casos

1 0 1

0 0 1


tipo I - = 0

cono


57/88

cono

cono

cono

+ + 0

+ 0

x2

+ 2y2

z2

= 0


tipo I - = 0

cono


58/88

cono

cono

cono

+ + 0

+ 0

x2

+ 2y2

z2

= 0


tipo I - = 0

planos que se cortan


59/88



planos que secortan

+ + 0

+ 0

x2 y2 = 0


tipo I - = 0



60/88



planos que secortan

+ + 0

+ 0

x2 y2 = 0


tipo I - = 0

otros casos


61/88

otros casos

0 un punto 0 0 una recta

0 0 0 un plano


tipo II

tipo II


62/88

tipo II

tipo II

x2 + y2 + z= 0 con = 0


tipo II

tipo II


63/88

tipo II

tipo II

x2 + y2 + z= 0 con = 0

cmo se clasifican:


tipo II

tipo II


64/88

tipo II

tipo II

x2 + y2 + z= 0 con = 0

cmo se clasifican:

por el signo de . (el signo de no incide)


tipo II

paraboloide elptico


65/88

paraboloide elptico

paraboloide elptico

paraboloideelptico

. > 0

x2

+ 2y2

= z


tipo II

paraboloide elptico


66/88

paraboloide elptico

paraboloide elptico

paraboloideelptico

. > 0

x2

+ 2y2

= z


tipo II

paraboloide hiperblico


67/88

pa abo o de pe b co


paraboloidehiperblico

. < 0

4x2

2y2

= z


tipo II



68/88

p p


paraboloidehiperblico

. < 0

4x2

2y2

= z


tipo II

cilindro parablico


69/88

p

cilindro parablico

cilindro parablico

. = 0

2x2 = z


tipo II

cilindro parablico


70/88

p

cilindro parablico

cilindro parablico

. = 0

2x2 = z


ejemplo 1

ejemplo 1


71/88

j p

ejemplo 1Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0


ejemplo 1

ejemplo 1


72/88

ejemplo 1Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

A =

9 3 5

3 9 35 3 3


ejemplo 1

ejemplo 1


73/88

ejemplo 1Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

A =

9 3 5

3 9 35 3 3

B=

14

6

8


ejemplo 1

ejemplo 1


74/88

ejemplo 1Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

A =

9 3 5

3 9 35 3 3

B=

14

6

8

Ecuacin de centro: AQ+ B= 0


ejemplo 1

ejemplo 1


75/88

ejemplo 1Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

A =

9 3 5

3 9 35 3 3

B=

14

6

8

Ecuacin de centro: AQ+ B= 0 Q= (3y 1, y, 6y+ 1)( centros)


ejemplo 1

ejemplo 1


76/88

ejemplo 1Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

A =

9 3 5

3 9 35 3 3

B=

14

6

8


TIPO I


77/88


ejemplo 1

ejemplo 1


78/88

ejemplo 1

Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

A =

9 3 5

3 9 35 3 3

B=

14

6

8


TIPO I

vap de A: det(A I) = 3 + 212 92 = 0

(x regla Descartes) dos races + una 0 superficies cudricas clasificacin de las cudricas ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


79/88

ejemplo 1

Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

Q= (3y 1, y, 6y+ 1)


ejemplo 1

ejemplo 1


80/88

ejemplo 1

Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

Q= (3y 1, y, 6y+ 1)

ecuacin reducida: x2 + y2 + 0z2 + F(Q) = 0


ejemplo 1

ejemplo 1


81/88

ejemplo 1

Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

Q= (3y 1, y, 6y+ 1)


F(Q) = F(1, 0, 1) = 7 < 0


ejemplo 1

ejemplo 1


82/88

ejemplo 1

Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

Q= (3y 1, y, 6y+ 1)


F(Q) = F(1, 0, 1) = 7 < 0ecuacin reducida: 7 x

2 + 7y2 = 1


ejemplo 1

ejemplo 1


83/88

ejemplo 1

Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

Q= (3y 1, y, 6y+ 1)


F(Q) = F(1, 0, 1) = 7 < 0ecuacin reducida: 7 x

2 + 7y2 = 1

cilindro elptico


ejemplo 1

ejemplo 1


84/88

ejemplo 1Clasificar

9x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy 10xz 6yz+ 28x+ 12y 16z+ 15 = 0

ecuacin reducida: 7 x2 +7y2 = 1

cilindro elptico


ejemplo 1

ejemplo 2


85/88

ejemplo 2Clasificar

5x2 y2 + z2 + 4xy+ 6xz+ 2x+ 4y+ 6z 8 = 0

(clculo en pizarrn)


ejemplo 1

ejemplo 2


86/88

ejemplo 2Clasificar

5x2 y2 + z2 + 4xy+ 6xz+ 2x+ 4y+ 6z 8 = 0

(clculo en pizarrn)


ejemplo 1

ejemplo3


87/88

ejemplo 3Clasificar

x2 + yz+ 2x 4z 5 = 0

(clculo en pizarrn)


ejemplo 1

ejemplo3


88/88

ejemplo 3Clasificar

x2 + yz+ 2x 4z 5 = 0

(clculo en pizarrn)

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