Superconductividad

Georgina Olivares,Beatriz Gonzalez,

Ivan Rosado,Hipolito Garcıa,Christian Moran

12 de Abril, 2005.

La resistividad electrica de muchos metales y aleaciones baja deliberada-mente a cero cuando la muestra es enfriada a temperaturas lo suficientementebajas, comunmente a temperaturas en el rango del helio lıquido.

1. Investigacion experimental

1.1. ¿Que es superconductividad?

La superconductividad es el fenomeno por medio del cual algunas sustan-cias pierden su resistividad electrica cuando la temperatura es reducida.

En el estado de superconductividad la resistividad electrica a la corrientedirecta es cero o muy cercana a cero, de tal forma que corrientes electricasque fluyen dentro del material no son atenuadas.

En algunos materiales superconductores se han observado tiempos de de-caimiento finitos; esto se debe a que existe una redistribucion irreversible delflujo magnetico dentro del material.

El estado de superconductividad es un estado ordenado de la conduccionde electrones de un metal. Este orden se da en la fomacion de pares deelectrones que se asocian debilmente.

1

Figura 1: Lıneas de Campo Magnetico en un Superconductor

1.2. Ocurrencia de superconductividad

La superconductividad ocurre en metales, aleaciones, compuestos inter-metalicos y semiconductores. Los rangos de temperaturas de transicion sonde 23,3 K a ,01 K.

1.3. Destruccion de la superconductividad por camposmagneticos

Un campo magnetico lo suficientemente fuerte destruira la supercon-ductividad. El valor crıtico del campo magnetico aplicado para la destruc-cion se denota como Hc(T ). A temperatura crıtica el campo crıtico es cero:Hc(T ) = 0.

Las curvas de umbral (threshold) separan al estado superconductor (ubi-cado en la parte inferior izquierda) del estado normal (en la parte superiorderecha).

2

Figura 2: Curvas del campo crıtico Hc vs T

1.4. Efecto Meissner

Meissner y Ochsenfeld encontraron que si un superconductor es enfriadodentro de un campo magnetico por debajo de la temperatura de transicion,entonces las lıneas de induccion son expulasadas de la muestra. El efectoMeissner muestra que un superconductor bajo estas condiciones se comportacomo si B = 0 dentro de la muestra.

El resultado ~B = 0 no puede ser obtenido de la caracterizacion del super-conductor como un medio con resistencia cero.

Una diferencia importante entre un superconductor y un conductor per-fecto - en el cual los electrones tienen un mean free path infinito - es que elsegundo no puede producir una corriente de remolino (eddy current) per-manente en presencia de un campo magnetico, sino que el campo pene-trara aproximadamente 1 cm por hora.

3

Otros materiales presentan una curva de magnetizacion de la forma mostra-da en la figura (3) y se conocen como superconductores tipo II.

Figura 3: Magnetizacion vs Campo magnetico aplicado Ba

Los superconductores tipo II tienen propiedades electricas superconduc-toras hasta un campo denotado por Hc2. Entre el campo crıtico inferior Hc1

y el campo crıtico superior Hc2 la densidad de flujo B 6= 0 y se dice que elefecto Meissner es incompleto. El valor de Hc2 puede ser 100 veces mayor queel valor del campo crıtico Hc - o incluso mayor que eso - calculado de la ter-modinamica de la transicion. En la region entre Hc1 y Hc2 el superconductores penetrado por lıneas de flujo y se dice que esta en estado de vortex.

1.5. Capacidad Calorıfica

En todos los superconductores la entropıa decrece marcadamente al en-friarse por debajo de la temperatura crıtica Tc. El decremento en entropıaentre el estado normal y el estado superconductor nos dice que el segundo esun sistema mas ordenado que el primero, dado que la entropıa es una medidadel desorden de los sistemas. Todos o algunos de los electrones termicamenteexcitados en el sistema normal estan ordenados en el estado superconductor.

4

1.6. Bandas de Energıa

La presencia de bandas de energıa (energy gap) es una caracterıstica muyimportante del estado superconductor. La naturaleza de las mismas es to-talmente diferente a las bandas de energıa en aislantes. En un aislante, labanda es provocada por la interacciones entre los electrones y la red. En unsuperconductor la interaccion importante es entre electrones, la cual ordenaa los electrones en el espacio k con respecto al gas de Fermi de electrones.

La transicion en campo magnetico nulo del estado superconductor al es-tado normal se identifica como una transicion de fase de segundo orden.

1.7. Propiedades en Microondas y en Infrarrojo

La existencia de una banda de energıa en superconductores significa quelos fotones de energıa menor a la banda de energıa no son absorbidos. Casitodos los fotones incidentes son reflejados debido a la inconcordancia de laimpedancia en la frontera entre el vacıo y el metal, pero para pelıculas muydelgadas (∼ 20 A) mas fotones son transmitidos en el estado superconductorque en el estado normal.

Para energıas de foton menores que la banda de energıa, la resistividad deun superconductor se desvanece en el cero absoluto. En T ¿ Tc la resistenciaen el estado de superconduccion tiene un umbral pronunciado en la banda deenergıa. Los fotones de energıa menor observan una superficie sin resistencia,mientras que los fotones de energıa mayor ven una resistencia que se aproxi-ma a aquella del estado normal porque tales fotones provocan transiciones aniveles normales de energıa desocupados por encima de la banda.

A medida que se incrementa la temperatura no solo decrece la bandade energıa, sino que la resistividad para fotones de energıas bajas ya nodesaparece, excepto a frecuencia cero. A frecuencia cero los electrones super-conductores provocan un corto circuito con todos los electrones normales quehayan sido excitados termicamente por encima de la banda. A frecuencias fini-tas la inercia de los electrones superconductores previene el apantallamientototal del campo eletrico, de tal manera que los electrones normales excitadostermicamente pueden absorber energıa.

5

1.8. Efecto Isotopo

Se ha observado que la temperatura crıtica de los superconductores varıacon la masa isotopica. La temperatura de transicion cambia suavemente cuan-do combinamos diferentes isotopos del mismo elemento. Los resultados ex-perimentales dentro de cada serie de isotopos pueden ser ajustados por unarelacion de la forma

MαTc = constante. (1)

2. Investigacion Teorica

2.1. Termodinamica de la Transicion Superconductora

La transicion entre los estados normal y superconductor es termodinami-camente reversible, de la misma forma que la transicion entre las fases lıquidasy gaseosas del agua.

En general, se trabaja con un superconductor tipo I con efecto Meissnercompleto, de modo que B = 0 dentro del superconductor. Mas adelante ver-emos que el campo crıtico Hc es una medida cuantitativa de la diferencia deenergıa entre los estados normal y superconductor a temperatura constante.La energıa de estabilizacion de un superconductor con respecto al estadonormal puede determinadase por mediciones calorimetricas o magneticas.

En el metodo magnetico la energıa libre de estabilizacion se obtiene delvalor del campo magnetico aplicado que destruira el estado superconductora temperatura constante.Considere el trabajo realizado sobre un superconductor cuando es traıdo(a temperatura constante) desde una posicion en infinito donde el campoaplicado es cero a una posicion ~r en el campo de un iman permanente:

W = −∫ Ba

0

~M · d ~Ba, (2)

por unidad de volumen de la muestra. Este trabajo aparece en la energıadel campo magnetico.

Para un superconductor con ~M relacionado a ~Ba por (??) tenemos que

(CGS) dFS =1

4πBadBa; (3)

6

(SI) dFS =1

µ0

BadBa.

Entonces el incremento en densidad de energıa del superconductor es

(CGS) FS(Ba)− FS(0) =B2

a

8π; (4)

(SI) FS(Ba)− FS(0) =B2

a

2µ0

,

al ser traıdo desde una posicion donde el campo aplicado es cero a unaposicion donde el campo aplicado es Ba. Ahora considere un metal normal nomagnetico. Si despreciamos la pequena susceptibilidad del metal en el estadonormal, entonces M = 0 y la energıa del metal normal es independiente delcampo. En el campo crıtico tenemos que

FN(Bac) = FN(0). (5)

Los resultados (4) y (5) son todo lo que se necesita para determinar laenergıa de estabilizacion del estado superconductor en cero absoluto. En elvalor crıtico Bac del campo magnetico aplicado las energıas son iguales en losestados normal y superconductor:

(CGS) FN(Bac) = FS(Bac) = FS(0) +B2

ac

8π, (6)

(SI) FN(Bac) = FS(Bac) = FS(0) +B2

ac

2µ0

,

En unidades SI Hc ≡ Bac/µ0, mientras que en unidades CGS Hc ≡ Bac.

La muestra es estable en cualquier estado cuando el campo aplicado esigual al campo crıtico. Ahora bien, de (5) vemos que

∆F = FN(0)− FS(0) =B2

ac

8π, (7)

donde ∆F es la densidad de energıa libre de estabilizacion del estadosuperconductor.

7

2.2. Ecuacion de London

Vimos que el efecto Meissner implica una susceptibilidad magnetica deχ = −1/4π en CGS en el estado superconductor, o χ = −1 en SI. Ahora bi-en, ¿Podemos modificar una ecuacion constitutiva de electrodinamica (comola ley de Ohm) de alguna manera que podamos obtener el efecto Meissner?De ninguna manera se desea modificar las ecuaciones de Maxwell. La con-ductividad electrica en el estado normal de un metal esta descrita por la leyde Ohm ~j = σ ~E. Es necesario modificar drasticamente esta ecuacion paradescribir la conductividad y el efecto Meissner en el estado superconductor.

Podemos decir que en un estado de superconduccion la densidad decorriente es directamente proporcional al potencial vectorial ~A del campomagnetico local, donde ~B = ∇× ~A. El gauge de ~A sera especificado. En CGSse expresa la constante de proporcionalidad como −c/4πλ2

L, donde c es lavelocidad de la luz y λL es una constante con dimensiones de longitud. EnSI la constante de proporcionalidad se expresa como −1/µ0λ

2L. Entonces,

(CGS) ~j = − c

4πλ2L

~A; (SI) ~j = − 1

µ0λ2L

~A. (8)

Esta es la ecuacion de London.

La ecuacion de London (8) esta escrita con el potencial vectorial ~A en

el gauge de London, en la cual ∇ · ~A = 0 y An = 0 en cualquier superficieexterna sobre la cual no se alimenta corriente externa alguna. El subındicen se utiliza para denotar la componente normal a la superficie. Entonces,∇ ·~j = 0 y ~jn = 0, las cuales son las condiciones fısicas de frontera.

Primero mostramos que la ecuacion de London lleva al efecto Meissner.Por una ecuacion de Maxwell sabemos que

(CGS) ∇× ~B =4π

c~j; (SI) ∇× ~B = µ0

~j; (9)

bajo condiciones estaticas. Tomamos el rotacional en ambos lados paraobtener

(CGS) ∇×(∇× ~B

)= −∇2 ~B =

4π

c∇×~j;

(SI) ∇×(∇× ~B

)= −∇2 ~B = µ0∇×~j;

8

la cual puede combinarse con la ecuacion de London (??) para establecerque

∇2 ~B =~B

λ2L

. (10)

Esta ecuacion considera el efecto Meissner ya que no permite una solucionuniforme en el espacio, de tal modo que un campo magnetico uniforme nopuede existir en un superconductor.Este resultado es evidente porque ∇2 ~B0

es siempre cero, pero ~B0/λ2L no es cero a menos que ~B0 sea cero. Ademas,

(9) asegura que ~j = 0 en una region donde ~B = 0.

Figura 4: Penetracion de un campo magnetico aplicado sobre un supercon-ductor semi-infinito.

En el estado superconductor puro el unico campo permitido es amortigua-do exponencialmente a medida que nos internamos en el material desde lasuperficie del mismo. Suponga que se tiene un superconductor semi-infinitoque ocupa el espacio en el lado positivo del eje x, como en la figura (4). SiB(0) es el campo en la frontera de plano, entonces el campo dentro es

B(x) = B(0)e−xλL , (11)

dado que esta es una solucion de (10). El campo magnetico se suponeparalelo a la superficie. Por tanto vemos que λL mide la profundidad depenetracion del campo magnetico, y se le conoce como la profundidad depenetracion de London.

9

(CGS) λL =

√mc2

4πnq2; (SI) λL =

√ε0mc2

nq2(12)

para partıculas con carga q y masa m en concentracion n.

2.3. Longitud de Coherencia

La profundidad de penetracion de London λL es una longitud fundamen-tal que caracteriza a un superconductor. Otra longitud independiente de igualimportancia es la longitud de coherencia ξ. La longitud de coherencia es unamedida de la distancia dentro de la cual la concentracion de electrones su-perconductores no puede cambiar drasticamente en un campo magnetico quevarıa espacialmente.

El incremento de energıa necesario para modular es ~2kq/2m. Si este au-mento en energıa es mayor que la banda de energıa Eg, la superconductividadsera destruida. El valor crıtico q0 del vector de onda modulador esta dadopor

~2

2mkfq0 = Eg. (13)

Definimos una longitud de coherencia intrınseca ξ0 relacionada conla modulacion crıtica por ξ0 = 1/q0. Tenemos entonces que

ξ0 =~2kf

2mEg

=~vF

Eg

, (14)

donde vF es la velocidad del electron en la superficie de Fermi. En lateorıa BCS se encuentra un resultado similar:

ξ0 =2~vF

πEg

. (15)

La longitud de coherencia intrınseca ξ0 es caracterıstica de un supercon-ductor puro.

muy pequeno, entonces ξ ≈ (ξ0l)1/2 y λ ≈ λL(ξ0/l)

1/2, tal que λ/ξ ≈ λL/l.Este es el lımite del “superconductor sucio”. El cociente λ/ξ se denota comoκ.

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2.4. Teorıa BCS de Superconductividad

Existe una “Teorıa BCS de Superconductividad” con una gran variedadde aplicaciones.Algunos de los principales logros de la teorıa BCS con el modelo de la funcionde onda BCS son:

1. Una interaccion de atraccion entre electrones puede llevarnos a un es-tado base separado de los estados excitados por una banda de energıa.El campo crıtico, las propiedades termicas, y la mayor parte de laspropiedades electromagneticas son consecuencia de la banda de energıa.

2. La interaccion electron-red-electron nos lleva a una banda de energıade magnitud ya observada. La interaccion indirecta procede cuando unelectron interactua con la red y la deforma, entonces un segundo elec-tron “ve” la red deformada y se ajusta a sı mismo para tomar ventajade la deformacion y disminuir su energıa. Ası, el segundo electron in-teractua con el primero a traves de la deformacion de la red.

3. La profundidad de penetracion y la longitud de coherencia emergen co-mo consecuencias naturales de la teorıa BCS. La ecuacion de London seobtiene para campos magneticos que varıan lentamente en el espacio.Ası, el fenomeno central en superconductividad, el efecto Meissner, seobtiene naturalmente.

4. El criterio para la temperatura de transicion de un elemento o aleacioninvolucra la densidad electronica de orbitales D(εF ) de un spin en elnivel de Fermi y la interaccion electron-red U , las cuales pueden es-timarse de la resistividad electrica ya que esta es una medida de lainteraccion electron-fonon a temperatura ambiente. Para UD(εF ) ¿ 1la teorıa BCS predice que

Tc = 1,14θe− 1

UD(εF ) , (16)

donde θ es la temperatura de Debye y U es una interaccion de atraccion.El resultado para Tc es satisfecho por lo menos cualitativamente por los

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datos experimentales. Existe una interesante paradoja aparente: cuantomayor sea la resistividad a temperatura ambiente, mayor sera U , y portanto es mas probable que el metal sea un superconductor al enfriarse.

5. El flujo magnetico a traves de un anillo superconductor esta cuantizadoy la unidad efectiva de carga es 2e en lugar de e. El estado base BCSinvolucra pares de electrones, ası que la cuantizacion en terminos de lacarga del par 2e es una consecuencia de la teorıa.

2.5. Estado Base BCS

El oceano de electrones completamente lleno, conocido como oceano deFermi, es el estado base de un gas de Fermi de electrones que no interactuan.Este estado permite arbitrariamente excitaciones pequenas - podemos for-mar un estado excitado tomando un electron de la superficie de Fermi yelevandolo justo por encima de esta. La teorıa BCS muestra que con unainteraccion atractiva apropiada entre electrones, el estado base es supercon-ductor y esta separado de su estado excitado mas bajo por una energıa finitaEg.

La formacion del estado base BCS se muestra en la figura (5). El estadoBCS en (b) contiene mezclas de orbitales de un electron que estan por encimade la energıa de Fermi εF . A primera vista, el estado BCS aparenta tenermayor energıa que el estado de Fermi: la comparacion de (b) con (a) muestraque la energıa cinetica del estado BCS es mayor que la del estado de Fermi.

La caracterıstica central del estado BCS es que los orbitales de unapartıcula estan ocupados en pares: si un orbital con vector de onda ~k yspin ↑ esta ocupado, entonces el orbital con vector de onda −~k y spin ↓ tam-bien esta ocupado. Si ~k ↑ esta desocupado, entonces tambien lo esta −~k ↓.Estos pares se denominan pares de Cooper, los cuales tienen spin nulo ypresentan muchos atributos de bosones.

2.6. Cuantizacion de flujo en un anillo superconductor

Anteriomente se demostro que el flujo magnetico total que pasa a travesde un anillo superconductor solo puede tomar valores cuantizados, es decir,

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Figura 5: (a)Probabilidad de ocupacion de orbitales con energıa cinetica ε.(b)Estado base BCS y banda de energıa Eg.

multiplos enteros del flujo cuantico 2π~c/q, donde experimentalmente se de-dujo que q = 2e (la carga de un par electronico). La cuantizacion del flujoes un ejemplo de un efecto cuantico de largo alcance en el cual la coherenciadel estado superconductor se extiende a solenoides o anillos.

Primero consideremos al campo electromagnetico como un ejemplo de uncampo similar de bosones. La intensidad del campo electrico E(~r) actua cual-itativamente como amplitud de un campo probabilıstico. Cuando el numerototal de fotones es grande, la densidad de energıa puede escribirse como

E∗(~r)E(~r)/4π ∼= n(~r)~ω ,

donde n(~r) es la densidad de fotones con frecuencia ω. Entonces podemosexpresar el campo electrico en una aproximacion semiclasica como

E(~r) ∼= (4π~ω)1/2n(~r)1/2eiθ(~r) E∗(~r) ∼= (4π~ω)1/2n(~r)1/2e−iθ(~r)

donde θ(~r) es la fase del campo. Una amplitud probabilıstica similar de-scribe los pares de Cooper.

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Un gas de bosones cargado obedece la ecuacion de London. Sea ψ(~r) laamplitud probabilıstica de una partıcula. Entonces podemos escribir

ψ = n1/2eiθ(~r); ψ∗ = n1/2e−iθ(~r). (17)

La fase θ(~r) es importante para lo siguiente. En unidades SI, c = 1 en lasecuaciones que a continuacion se presentan.

De las ecuaciones de Hamilton se sabe que la velocidad de una partıcula(en el sistema CGS) es

~v =1

m

(~p− q

c~A)

=1

m

(−i~∇− q

c~A)

.

El flujo de partıculas esta dado por

ψ∗~vψ =n

m

(~∇θ − q

c~A)

, (18)

tal que la densidad de corriente electrica es

~j = qψ∗~vψ =nq

m

(~∇θ − q

c~A)

. (19)

Podemos tomar el rotacional de ambos lados para obtener la ecuacion deLondon:

∇×~j = −nq2

mc~B, (20)

utilizando el hecho de que el rotacional del gradiente de un escalar esidentico a cero. Recordemos que el efecto Meissner es una consecuencia de laecuacion de London.

Tomemos ahora un camino cerrado C por el interior del material super-conductor, alejado lo suficiente de la superficie. El efecto Meissner nos diceque ~B y ~j son nulos en el interior.

~c∇θ = q ~A. (21)

Nosotros formamos∮

C

∇θ · dl = θ2 − θ1

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para el cambio de fase generado al dar una vuelta alrededor del anillo.

La amplitud de probabilidad ψ puede medirse en la aproximacion clasica,de tal forma que ψ debe ser inyectiva y

θ2 − θ1 = 2πs, (22)

donde s es un entero. Por el teorema de Stokes,

∮

C

~A · dl =

∫

C

(∇× ~A) · d~σ =

∫

C

~B · d~σ = Φ, (23)

donde d~σ es un elemento de area en la superficie limitada por la curvaC, y ~Φ es el flujo magnetico a traves de C. De (21), (22) y (23) tenemos que2π~cs = qΦ, o

Φ = (2π~c/q)s. (24)

Ası, el flujo a traves del anillo esta cuantizado en multiplos enteros de2π~c/q.

Experimentalmente se sabe que q = −2e lo cual resulta apropiado parapares electronicos, de manera que el cuanto de flujo en un superconductor es

(CGS) Φ0 = 2π~c/2e ∼= 2,0678× 10−7 gauss cm2 (25)

(SI) Φ0 = 2π~c/2e ∼= 2,0678× 10−15 tesla m2 (26)

Este flujo cuantico se denomina fluxoide o fluxon.

El flujo a traves del anillo es la suma del flujo Φext de fuentes externas yel flujo Φsc de las corrientes superconductoras persistentes las cuales fluyenen la superficie del anillo: Φ = Φext + Φsc.

2.7. Duracion de corrientes persistentes

Considere una corriente persistente que fluye en un anillo formado por unalambre de superconductor tipo I de longitud L y area de seccion transversalA. La corriente persistente mantiene un flujo magnetico a traves del anillo,cuya magnitud es un numero entero de fluxoides.

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La probabilidad por unidad de tiempo de que exista la fuga de un fluxoideesta dada por el producto

P = (frecuencia de intento)(factor de activacion de barrera). (27)

El factor de activacion de barrera es exp (−∆F/kBT ), donde la energıalibre de la barrera es

∆F = (volumen mınimo)(densidad de energıa libre excesiva del estadonormal).

El volumen mınimo del anillo que debe estar en estado normal para per-mitir que un fluxoide escape es del orden de Rξ2, donde ξ es la longitud decoherencia del superconductor y R es el grosor del alambre. La densidad deenergıa libre en exceso del estado normal es H2

c /8π, por lo que la energıalibre de la barrera es

∆F ≈ Rξ2H2c /8π. (28)

La frecuencia caracterıstica con la cual el mınimo volumen puede intentarcambiar su estado debe ser del orden de Eg/~.

La edad de nuestro universo es solo 108 s, ası que un fluxoide no se fu-gara en la edad del universo bajo las condiciones asumidas anteriormente.Por consiguiente, la corriente persistente se mantiene.

Existen dos situaciones en las cuales la energıa de activacion es muchomenor y se puede observar que un fluxoide se escape del anillo - ya sea cuandose esta muy cerca de la temperatura crıtica, donde Hc es muy pequeno, ocuando el material del anillo es un superconductor tipo II y ya tiene fluxoidesinmersos en el.

2.8. Superconductores Tipo II

No existe diferencia en el mecanismo de superconductividad en el tipo I yel tipo II, ambos tipos tienen propiedades termicas similares en la transicionnormal dentro de un campo magnetico igual a cero; la dieferencia existe enel efecto Meissner.

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Un buen superconductor tipo I excluye al campo magnetico hasta que lasuperconductividad se destruye repentinamente, y el campo magnetico pene-tra completamente. Un buen super conductor tipo II excluye completamenteal campo por encima de un campo Hc1.

Una diferencia importante entre el tipo I y el tipo II es el mean freepath de los electrones de conduccion en el estado normal. Si la longitud decoherencia ξ es mayor que la longitud de penetracion λ, el superconductorsera de tipo I,

λ

ξ< 1. (29)

Ahora, cuando el mean free path es pequeno, la longitud de coherenciaes pequena y la longitud de penetracion es mayor, bajo estas condiciones elsuperconductor sera de tipo II,

λ

ξ> 1. (30)

Consideremos ahora la interfase entre una region en el estado de super-conductividad y otra en el estado normal. La interfase tiene una energıa desuperficie que puede ser positiva o negativa y que decrece cuando el campomagnetico se incrementa. Un superconductor es de tipo I si la energıa desuperficie es siempre positiva mientras el campo magnetico se incrementa, yes de tipo II si la energıa de superficie se vuelve negativa mientras el campose incrementa.

La energıa libre de un superconductor se incrementa cuando el campomagnetico es expulsado. Por otra parte, un campo magnetico paralelo puedepenetrar una pelıcula muy delgada de forma casi uniforme, solo una partedel flujo es expulsado, y la energıa de la pelıcula superconductora se incre-mentara de manera lenta mientras el campo magnetico crece. Esto causa unincremento mayor en la intensidad del campo requerido para la destruccionde la superconductividad. La pelıcula tiene la banda de energıa usual y notendra resistencia. Una pelıcula delgada no es superconductor de tipo II, perolos resultados muestran que bajo ciertas condiciones la superconductividadpuede existir dentro de campos magneticos grandes.

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Figura 6: (a)Penetracion CM en una pelıcula igual λ. (b)Penetracion CM enun estado de vortex.

2.8.1. Estado de Vortex

El resultado para pelıculas delgadas sugiere la pregunta: ¿Existen config-uraciones estables de un superconductor dentro de campos magneticos conregiones en el estado normal, cada region normal rodeada por una regionsuperconductora?. En este estado combinado, llamado estado de vortex, elcampo magnetico externo penetrara regiones delgadas normales de manerauniforme, y el campo tambien penetrara, de algun modo, dentro del materialsuperconductor rodeado.

2.9. Tunelamiento de una partıcula

Considere dos metales separados por un aislante como en la figura (7). Elaislante normalmente actua como barrera al flujo de electrones de conduc-cion de un metal a otro. Si la barrera es lo suficientemente delgada existe laprobabilidad de que un electron que choca en la barrera pase de un metal aotro: esto se llama tunelamiento (tunneling).

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Figura 7: Dos metales A,B separados por aislante C

Cuando ambos metales son conductores normales, la relacion corriente-voltaje del sistema es ohmica a bajos voltajes, con la corriente directamenteproporcional al voltaje aplicado. Giaever descubrio que si uno de los metaleses un superconductor la relacion cambia de una lınea recta a una curva, comose muestra en la figura (8).

Figura 8: (a)Relacion lineal corriente-voltaje.(b)Relacion corriente-voltajecon un metal normal y otro superconductor.

2.10. Tunelamiento de Superconductores de Joseph-son

Bajo ciertas condiciones observamos efectos asociados al tunelamiento depares electronicos superconductores de un superconductor a traves de una

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Figura 9: (a)Densidad de orbitales. (b)Funcion corriente-voltaje entunelamiento

capa de aislante dentro de otro superconductor. Tal union es llamada enlacedebil. Los efectos de un par incluyen: Efecto DC de Josephson, Efecto ACde Josephson, e Interferencia Cuantica.

2.10.1. Efecto DC Josephson.

Una corriente directa fluye a traves de la union en ausencia de cualquiercampo electrico o magnetico.

Entonces podemos concluir que la corriente J de un par de superconduc-tores a traves de la union depende de la diferencia de fase como

J = J0 sin δ = J0 sin (θ2 − θ1). (31)

2.10.2. Efecto AC de Josephson

Un voltaje DC se aplica a traves de la union causando oscilaciones decorrientes RF a traves de la union. Este efecto ha sido utilizado en la deter-minacion del valor ~/e. Despues, un voltaje RF aplicado con el voltaje DC

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puede causar una corriente directa a traves de la union.

La supercorriente dada por la ecuacion con la fase:

J = J0 sin [δ(0)− (2eV t/~)]. (32)

La corriente oscila con frecuancia

ω = 2eV/~. (33)

2.10.3. Inteferencia Cuantica Macroscopica de Largo Alcance.

Un campo magnetico DC aplicado a traves de un circuito superconductorconteniendo dos uniones causa la supercorriente maxima para mostrar efectosde interferencia como funcion de la intensidad del campo magnetico.

Figura 10: Arreglo experimental en interferencia cuantica macroscopica.

El flujo total es la suma de los flujos producidos por los campos magneticosexternos y por las corrientes en el circuito mismo.

Consideremos dos uniones Josephson en paralelo, como en la figura (10).Ningun voltaje es aplicado. Dejemos que la diferencia de fase entre los puntos1 y 2 tomando un camino atraves de la union a sea δa. Cuando tomemos elcamino por la union b, la diferencia de fase sera δb. En ausencia de un campomagnetico estas dos fases deben ser iguales.

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La corriente total es la suma de Ja y Jb. La corriente a traves de cadaunion es de la forma (31), entonces

JTotal = J0

{sin

(δ0 +

e

~cΦ

)+ sin

(δ0 − e

~cΦ

)}= 2(J0 sin δ0) cos

eΦ

~c.

La corriente varıa con el flujo Φ y tiene un maximo cuando

eΦ/~c = sπ, (34)

s = entero.

El perıodo corto es producido por interferencia de las dos uniones, comolo predice (34). El perıodo largo es un efecto de difraccion y se debe a lasdimensiones finitas de cada union, esto hace que Φ dependa del camino deintegracion que se utilice.

3. Superconductores de Alta Temperatura

Cuando se menciona una Tc elevada, o el termino HTS, se hace referencia asuperconductividad en materiales (principalmente oxidos del cobre) con tem-peraturas de transicion elevadas, ası como corrientes y campos magneticoscrıticos grandes. Para 1988, la temperatura Tc tope de 23 K habıa sido ele-vada a 125 K en oxidos superconductores; estos nuevos materiales pasaronlas principales pruebas de superconductividad, es decir, el efecto Meissner, elefecto AC de Josephson, la presencia de corrientes persistentes de larga du-racion y practicamente resistividad cero en DC. Algunos avances memorablesen superconductores de alta temperatura son:

BaPb0,758Bi0,25O3 Tc = 12 K [BPBO]La1,85Ba0,15CuO4 Tc = 36 K [LBCO]YBa2Cu3O7 Tc = 90 K [YBCO]Tl2Ba2Ca2Cu3O10 Tc = 120 K [TBCO]Hg0,8Tl0,2Ba2Ca2Cu3O8,33 Tc = 138 K

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