SUMARIO 1 ÍNDICE DE FIGURAS 3 ÍNDICE DE TABLAS 6

Diseño de un reactor agitado para poliestireno en masa Pág. 1

Sumario SUMARIO ____________________________________________________1

ÍNDICE DE FIGURAS ___________________________________________3

ÍNDICE DE TABLAS____________________________________________6

A. DEFINICIÓN DEL PROCESO ________________________________7 A.1 Resultados........................................................................................................... 7 A.2 Bibliografía........................................................................................................... 8

B. CINÉTICA DE LA POLIMERIZACIÓN __________________________9 B.0 Glosario ............................................................................................................... 9 B.1 Introducción....................................................................................................... 11 B.2 Iniciación............................................................................................................ 11 B.3 Propagación ...................................................................................................... 12 B.4 Terminación....................................................................................................... 13 B.5 Transferencia de cadena ..................................................................................13 B.6 Parámetros cinéticos......................................................................................... 14 B.7 Selección del tipo de reactor............................................................................. 18 B.8 Determinación de la longitud de cadena en el reactor ..................................... 23 B.9 Bibliografía......................................................................................................... 24

C. DISEÑO MECÁNICO INICIAL DEL REACTOR __________________26 C.0 Glosario ............................................................................................................. 26 C.1 Diseño del reactor ............................................................................................. 26 C.2 Bibliografía ........................................................................................................ 33

D. SELECCIÓN DE MATERIALES DEL REACTOR ________________34 D.1 Resultados ........................................................................................................ 34 D.2 Bibliografía ........................................................................................................ 35

E. DISEÑO DEL AGITADOR __________________________________36 E.0 Glosario ............................................................................................................. 36 E.1 Introducción....................................................................................................... 42 E.2 Fundamentos del cálculo de tensiones............................................................. 42

E.2.1 Cálculo en estado estático ......................................................................................42 E.3.2 Análisis a fatiga........................................................................................................57

E.3 Cálculo manual del agitador.............................................................................. 61

Pág. 2 Anexos A-F

E.3.1 Cálculo de la hélice ................................................................................................. 61 E.3.2 Dimensionado barras de unión hélice-eje .............................................................. 82 E.3.3 Dimensionado del eje.............................................................................................. 89

E.4 Bibliografía....................................................................................................... 101

F. DISEÑO DEL TANQUE DEL REACTOR ______________________102 F.0 Glosario ........................................................................................................... 102 F.1 Introducción ..................................................................................................... 103 F.2 Diseño del recipiente cilíndrico........................................................................ 105 F.3 Diseño del fondo inferior ................................................................................. 108 F.4 Diseño del fondo superior ............................................................................... 115 F.5 Bibliografía....................................................................................................... 123


Índice de figuras

Figura A.1 Diagrama de bloques del proceso de polimerización de estireno __________ 8

Figura B.1 Mecanismo de iniciación térmica espontánea de la polimerización de estireno12

Figura B.2 Esquema reactor continuo agitado de flujo estacionario ________________ 19

Figura C.1 Esquema de las dimensiones principales del agitador__________________ 27

Figura C.2 Gráfico de selección del tipo de agitador ____________________________ 31

Figura C.3 Valores de selección de velocidades de giro respecto la escala de agitación 32

Figura E.1 Esquema del prisma en estudio [E-1]_______________________________ 43

Figura E.2 Esquema del prisma a estudio [E-1]________________________________ 44

Figura E.3 Representación de la fuerza resultante [E-1] ________________________ 45

Figura E.4 Representación del momento resultante [E-1] _______________________ 46

Figura E.5 Representación de los componentes de la matriz de tensiones [E-1] ______ 47

Figura E.6 Esquema del esfuerzo normal sobre una sección plana ________________ 48

Figura E.7 Aplicación de la hipótesis de Bernouilli-Navier [E-1]____________________ 49

Figura E.8 Esquema de la sección de un prisma_______________________________ 51

Figura E.9 Esquemas del teorema del flujo cortante ____________________________ 52

Figura E.10 Distribución del valor de la tensión tangencial τ ______________________ 54

Figura E.11 Distribución de la tensión tangencial en una sección rectangular ________ 55

Figura E.12 Distribución de la tensión tangencial en una sección circular____________ 56

Pág. 4 Anexos A-F

Figura E.13 Diagrama logarítmico Resistencia fatiga – Número de ciclos ___________ 58

Figura E.14 Diagrama de Goodman modificado_______________________________ 59

Figura E.15 Representación en el diagrama de Goodman de los coeficientes de seguridad60

Figura E.16 Representación de las fuerzas que actúan sobre la hélice _____________ 62

Figura E.17 Descomposición de la fuerza hidrodinámica ________________________ 63

Figura E.18 Esquema de la fuerza de empuje sobre la hélice ____________________ 64

Figura E.19 Definición de los ejes de coordenadas ____________________________ 65

Figura E.20 Distribución de fuerzas contenidas en el plano de la hélice ____________ 66

Figura E.21 Representación de las dimensiones características sobre el plano de la hélice66

Figura E.22 Esquema simplificado de la hélice sobre su plano ___________________ 67

Figura E.23 Esquema distribución de la carga f sobre la hélice ___________________ 68

Figura E.24 Planteamiento general del cálculo a partir del primer teorema de Castigliano69

Figura E.25 Esquema barra curva cargada perpendicularmente __________________ 74

Figura E.26 Esquema simplificado de la aplicación de f_________________________ 76

Figura E.27 Parámetros característicos para el cálculo de K _____________________ 78

Figura E.28 Dimensiones principales de la sección de la hélice___________________ 81

Figura E.29 Representación de las barras unidas a la hélice_____________________ 83

Figura E.30 Dimensiones de la sección de la barra ____________________________ 83

Figura E.31 Representación de la barra respecto al agitador_____________________ 84


Figura E.32 Representación de las fuerzas y los ejes de coordenadas sobre la barra __ 85

Figura E.33 Dimensiones de la barra de unión ________________________________ 87

Figura E.34 Representación de la condición 1 ________________________________ 90

Figura E.35 Representación del eje en la condición 2___________________________ 92

Figura E.36 Descomposición sobre el eje de los esfuerzos y momentos de la barra___ 93

Figura E.37 Esquema de la disposición de las fuerzas fluctuantes _________________ 96

Figura E.38 Esquema del agitador de palas equivalente al agitador doble helicoidal ___ 97

Figura E.39 Diagrama de Goodman modificado para el eje en estudio_____________ 100

Figura F.1 Gráfico para la obtención de B a partir de A y de la temperatura en ºF ____ 107

Figura F.2 Esquema de fuerzas en el reactor ________________________________ 108

Figura F.3 Esquema de la cabeza torisférica [F-3] ____________________________ 109

Figura F.4 Esquema de una abertura [F-2] __________________________________ 113

Figura F.5 Esquema de fuerzas sobre el casco torisférico es superior _____________ 116

Pág. 6 Anexos A-F

Índice de tablas

Tabla E-1 Valores de α en función de h/b____________________________________ 55


A. Definición del proceso

A.1 Resultados

El proceso de producción de poliestireno para el que se realiza el diseño del reactor se basa en la polimerización térmica en masa de estireno puro. El producto final es poliestireno cristalino y es un proceso continuo, ya que este material presenta una gran demanda en el mercado.

El proceso de producción presenta básicamente cuatro etapas (Figura A.1): la primera, consta de un reactor en el que se introduce estireno monomérico y éste se polimeriza hasta llegar a una conversión (X) del 45%; la segunda etapa está constituida por un segundo reactor en el que continua la polimerización de estireno hasta llegar a un 99% de conversión; finalmente, la tercera etapa es una extrusora donde se introduce el poliestireno producido y se obtiene una barra de este material con la forma que se desea obtener. Normalmente a partir de este proceso se quiere obtener granza de poliestireno ya que ésta se usa como materia prima para procesos posteriores de obtención de productos de este material; es por ello que se coloca una cortadora al final de la extrusora, obteniendo granza de poliestireno. Finalmente, el estireno en forma de vapor al final de la extrusión se condensa y se devuelve a la alimentación inicial.

Cabe destacar que en el proceso anterior existen dos reactores para la polimerización. Ésta conlleva cambios importantes en las propiedades del material que se manipula, en especial la densidad y la viscosidad, factores que, unidos a la necesidad de eliminar el calor de la polimerización para mantener la temperatura del proceso constante, y el uso de un único reactor daría serios problemas para eliminar el calor generado.

Este proyecto se centra en el diseño del reactor inicial del proceso explicado anteriormente.

Pág. 8 Anexos A-F

Figura A.1 Diagrama de bloques del proceso de polimerización de estireno

Se fijan las condiciones de alimentación del sistema. Se introduce un flujo de entrada con un 99,9% en peso de estireno, un máximo de 10ppm de estireno polimerizado, 50ppm de peróxidos, sobretodo de peróxido de hidrógeno, 5ppm de cloruro, 5ppm de sulfuros, 100ppm de fenilacetileno, 500ppm de metilestireno, 1000ppm de etilbenceno y xileno y 100ppm de aldehídos; su temperatura de entrada es de 150ºC (se calienta justo antes de entrar en el reactor). Se realiza la conversión del 45% de estireno en la primera etapa, con un temperatura de reacción de 150ºC y el volumen del tanque del reactor es de 10m3.

A.2 Bibliografía

[A-1] WUNSCH, J.R., Polystyrene. iSmither Rapra, 2000, p. 5-28.

[A-2] MEYERS, ROBERT A. Handbook of petrochemicals production processes McGraw-Hill Professional, 2004 p.11.3-11.34.

Polimerización X=0.45

Polimerización X=0.99

Extrusión

Alimentación

Poliestireno (granza) Desvolatilización

Estireno


B. Cinética de la polimerización

B.0 Glosario

Letras

δ coeficiente de expansión

τ tiempo de residencia [s]

[η]T viscosidad intrínseca

A producto de la reacción Diels-Alder del estireno deshidrogenado

AH producto de la reacción Diels-Alder del estireno

C concentración [mol·L-1]

DP grado de polimerización

F caudal molar [mol·s-1]

k constante de velocidad de reacción [unidades dependientes de la ecuación]

M estireno

m masa [kg]

n, N moles

P molécula de polímero producto (no reaccionante)

PM peso molecular [g·mol-1]

R molécula de polímero reaccionante

r velocidad de reacción [mol·L-1·s-1]

T temperatura [K]

v caudal volumétrico [m3·s-1]

V volumen [m3]

Pág. 10 Anexos A-F

w masa relativa

X grado de conversión

ηr viscosidad relativa

μ viscosidad [cP]

ν longitud de cadena cinética

ρ densidad [kg·m-3]

Símbolos

[ ] concentración [mol·L-1]

Subíndices

0 inicial

A estireno

f final

i iniciación

m, n número de moléculas de monómero en el polímero

p propagación

pol polimerización

pr producto

r, s número de moléculas de monómero en el polímero

t terminación

tc terminación por combinación

td terminación por desproporción

tr transferencia de cadena

Superíndices


· radical libre

mon monómero

sol producto de la reacción Diels-Alder

B.1 Introducción

En este apartado, se estudia la cinética de la polimerización

En el reactor a diseñar se lleva a cabo la reacción de polimerización del estireno iniciada por calentamiento. Es una polimerización por adición, la cual se lleva a cabo en diferentes etapas.

B.2 Iniciación

El mecanismo de iniciación de la polimerización es el calor. Este paso consiste en una reacción Diels-Alder. Esta reacción es bastante compleja y se caracteriza por la reacción entre dos moléculas de estireno que presenta dos productos diferentes, (2) y (3) de la Figura B.1. Sólo el isómero axial de esta reacción (3) puede reaccionar con una molécula de estireno, dando lugar a dos radicales (5) que son los que propician el inicio de la polimerización radicalaria.

Pág. 12 Anexos A-F

Figura B.1 Mecanismo de iniciación térmica espontánea de la polimerización de estireno

En general, esta reacción se basa en una cinética de reacción de tercer orden:

[ ]3i ir k M= (Ec. B-1)

B.3 Propagación

Durante la propagación, varios millares de moléculas de estireno se unen a la cadena, formando un nuevo centro activo al final de ésta.

· ·1r rR M R ++ → (R. B-1)

Así, la velocidad de esta reacción es:

[ ] ·p pr k M R⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (Ec. B-2)

Donde ··

1n

nR R

∞

=

⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ , suma de todas las cadenas activas presentes en el reactor.


B.4 Terminación

La reacción de terminación en la polimerización del estireno suele producirse principalmente a partir de la combinación de dos radicacles poliméricos, cadenas activas de polímero. Existen dos modos de terminación:

- Combinación: los dos radicales se unen para formar una única molécula

· ·m n m nR R R ++ → (R. B-2)

- Desproporción: un átomo de hidrógeno se transfiere de un radical a otro para formar dos moléculas poliméricas

· ·m n m nR R R H R+ → − + (R. B-3)

La constante de velocidad de la reacción de terminación se calcula como la suma de las constantes de reacción de cada uno de los modos

t tc tdk k k= + (Ec. B-3)

De modo que:

2·t tr k R⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (Ec. B-4)

Donde ··

1n

n

R R∞

=


B.5 Transferencia de cadena

Además de las reacciones de terminación y propagación, se puede producir una transferencia en la cadena con las especies intermedias, ya sea el monómero o con el producto de la reacción Diels-Alder inicial.

· ·1r rR AH P R+ → + (R. B-4)

Donde AH puede ser, en este caso, tanto el producto de la reacción Diels-Alder como un monómero. Teniendo en cuenta esta reacción, la velocidad de transferencia de cadena queda:

Pág. 14 Anexos A-F

[ ]·tr trr k R AH⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (Ec. B-5)

Donde ··

1n

nR R

∞

=


B.6 Parámetros cinéticos

A continuación, se determinarán los parámetros del producto que se agitará en el reactor a diseñar a partir de la cinética de la polimerización del poliestireno explicada anteriormente.

Las reacciones de las etapas de polimerización se esquematizan para facilitar el cálculo y se deducen las velocidades de reacción a partir de ellas.

Iniciación

1

1

k

kM M AH

−

⎯⎯→+ ←⎯⎯ (R. B-5)

2kM AH M A• •+ ⎯⎯→ + (R. B-6)

3kM AH trimero+ ⎯⎯→ (R. B-7)

41

kA M R •• + ⎯⎯→ (R. B-8)

51

kM M R •• + ⎯⎯→ (R. B-9)

Propagación

1prk

r rR M R• •++ ⎯⎯→ (R. B-10)

Terminación

tckr s r sR R P• •

++ ⎯⎯→ (R. B-11)

tdkr s r sR R P P• •+ ⎯⎯→ + (R. B-12)

Transmisión de cadena

1

soltrk

r rR AH R P• •+ ⎯⎯→ + (R. B-13)


1

montrk

r rR M R P• •+ ⎯⎯⎯→ + (R. B-14)

A partir de las reacciones de iniciación, la velocidad de reacción ri de ésta se escribe como:

( )[ ]4 5ir k A k M M• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Ec. B-6)

Las velocidades de reacción de las etapas posteriores se escriben como:

[ ] ·p pr k M R⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (Ec. B-7)

2·t tr k R⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (Ec. B-8)

[ ]·sol soltr trr k R AH⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (Ec. B-9)

[ ]·mon montr trr k R M⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (Ec.B-10)

Al utilizar un reactor continuo, se aplica la aproximación al estado estacionario: la velocidad de aparición de las moléculas activadas es igual a la velocidad con la que éstas desaparecen, es decir, su variación de concentración con el tiempo es aproximadamente cero. Esta aproximación se aplica tanto a las moléculas activadas que inician la reacción como las cadenas activadas presentes en la propagación.

Utilizando esta aproximación a las cadenas activas del sistema da:

[ ] ( ) [ ] [ ]( )11 1 1 1... mon sol

i p t n tr tr

d Rr k R M k R R R k M k AH R

dt

•• • • • •

⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]( )( )1 ... 0;mon soltr tr nk M k AH R R• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Ec. B-11)

[ ] [ ] [ ]( )

[ ] [ ]( )

11 1 1

1

1

0

mon soli p t k tr tr

k

mon soltr tr k

k

d Rr k R M k R R k M k AH R

dt

k M k AH R

• ∞• • • •

=

∞•

=

⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦

∑

∑

[ ] [ ] [ ] [ ]( )21 2 2 2

10mon sol

p p t k tr trk

d Rk R M k R M k R R k M k AH R

dt

• ∞• • • • •

=

⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑

Pág. 16 Anexos A-F

El radical nR• se forma en un proceso de propagación, pero desaparece sólo por proceso de

terminación y transferencia de cadena.

[ ] [ ] [ ]( )11

0n mon solp n t n k tr tr n

k

d Rk R M k R R k M k AH R

dt

• ∞• • • •−

=

⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ (Ec. B-12)

Sumando todas las ecuaciones de estado estacionario de las cadenas activas, desaparecen todos los términos de propagación y transferencia de cadena dando:

2

10i t k

kr k R

∞•

=

⎛ ⎞⎡ ⎤− =⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠∑ (Ec. B-13)

La condición de polimerización en estado estacionario es, por consiguiente, que la velocidad de iniciación sea igual a la suma de todas las velocidades de terminación; esto es:

12 2

1 1

;i ik k

k kt t

r rR Rk k

∞ ∞• •

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ (Ec. B-14)

Si empleamos la aproximación de estado estacionario a los radicales libres en la iniciación obtenemos:

[ ][ ] [ ] [ ]22 4

4

0; ;d A kk AH M k M A A AH

dt k

•• •

⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Ec. B-15)

[ ][ ] [ ] [ ]22 5

5

0;d M kk AH M k M M M AH

dt k

•• •

⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Ec. B-16)

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]( )21 1 2 3 1 ... 0sol

tr n

d AHk M k AH k AH M k M AH k AH R R

dt• •

− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]21 1 2 3

10sol

tr kk

d AHk M k AH k AH M k M AH k AH R

dt

∞•

−=

⎡ ⎤= − − − − =⎣ ⎦∑ (Ec. B-17)

Se aísla la concentración del producto de la reacción Diels-Alder de la ecuación (Ec. B-17):

[ ] ( )[ ] [ ]21 1 2 3

1

soltr k

k

k M k k k M k R AH∞

•−

=

⎛ ⎞⎡ ⎤= + + +⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠∑


[ ] [ ]

( )[ ]

21

1 2 31

soltr k

k

k MAH

k k k M k R∞

•−

=

=⎛ ⎞⎡ ⎤+ + +⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

∑ (Ec. B-18)

Si se adopta la ecuación (Ec. B-14) en el cálculo anterior (Ec. B-18), se obtiene:

[ ] [ ]

( )[ ]

21

12

1 2 3sol itr

t

k MAH

rk k k M kk−

=⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ec. B-19)

Usando las ecuaciones obtenidas (Ec. B-15), (Ec. B-16) y (Ec. B-17) sobre la velocidad de iniciación (Ec. B-6), ésta queda:

[ ][ ] [ ]

( )[ ]

31 2

2 12

1 2 3

22 ;i i

sol itr

t

k k Mr k AH M r

rk k k M kk−

= =⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ec. B-20)

Para el estireno se puede reducir la ecuación de velocidad de iniciación con la suposición que el valor de 1k− en la ecuación (Ec. B-19) es mucho mayor que la suma del resto del

denominador, de modo que esta velocidad resulta:

[ ] [ ]3 31 2

1

2i ik kr M k Mk−

= = (Ec. B-21)

De modo que queda demostrado que la constante de la velocidad de iniciación es proporcional a la concentración del monómero al cubo.

Esta constante de reacción ya ha sido calculada y se ha obtenido de la bibliografía [B-7].

25

2

138082, 2·10 ·exp [ ]·i

Lk T Kmol s T⎡ ⎤ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦ (Ec. B-22)

Por otro lado, la velocidad de la reacción se considerada como la velocidad de desaparición de monómero, que resulta:

[ ] [ ] [ ] ( )[ ][ ] [ ] [ ]21 1 2 3 4 5pol

d Mr k M k AH k k M AH k M A k M M

dt• •

− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Pág. 18 Anexos A-F

[ ] [ ]monp trk M R k M R• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Ec. B-23)

Esta ecuación se puede reducir teniendo en cuenta que para las cadenas largas, la cantidad de monómero consumido tanto en la iniciación como en la transferencia de cadena es pequeña comparada con la que se consume en la etapa de propagación; así pues, la velocidad de reacción queda simplificada como:

[ ]pol pr k M R•⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (Ec. B-24)

A partir de la ecuación (Ec. B-14) y de la ecuación (Ec. B-21), la velocidad de reacción de polimerización rpol estudiada queda expresada en función de la concentración de monómero:

[ ] [ ]11

2 2 522

2 i pipol p

t t

k krr k M Mk k

⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(Ec. B-25)

Las constantes de velocidad de reacción de propagación y terminación se han extraído de la bibliografía [5]:

( )7 3 1 14.27·10 exp 3.909·10pk T Lmol s− −⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ (Ec. B-26)

( )9 1 12.2·10 exp 781.8 /tk T Lmol s− −⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ (Ec. B-27)

B.7 Selección del tipo de reactor

Una vez determinadas las ecuaciones cinéticas que intervienen en el reactor a diseñar, cabe tener en cuenta el tipo de reactor determinado y las ecuaciones que lo rigen.

El reactor seleccionado en la primera etapa del proceso consiste en un reactor de tanque agitado de flujo estacionario (Figura B.2). Se estudiará el reactor como si fuese ideal, es decir, la concentración en todo el volumen es constante. Un esquema de este tipo de reactor se muestra a continuación:


Figura B.2 Esquema reactor continuo agitado de flujo estacionario

A partir de la nomenclatura mostrada en la figura B.2, se aplica el balance de materia respecto al estireno al reactor:

Caudal entrada Desaparicion reaccion Caudal salida Acumulacionestireno estireno estireno estireno

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (Ec. B-28)

Al ser un reactor en estado estacionario, pues el proceso es continuo, el término de acumulación desaparece, la concentración de estireno en el reactor es la mismo que sale de éste. Entonces, se tiene:

Caudal entrada estireno ≡ ( ) { }0 0 0 01 0AO A A AO AF X X F Cυ− = = = = (Ec. B-29)

Caudal salida estireno ≡ ( ) ( )01 1AO A A f A AF X F C Xυ− = = − (Ec. B-30)

Desaparición reacción de estireno ≡ ( )polr V− (Ec. B-31)

Sustituyendo estas expresiones en el balance de masa anterior, se tiene:

( ) ;AO A polF X r V= − (Ec. B-32)

( )0 ;AO A polC X r Vυ = − (Ec. B-33)

( ) ( )0

;AO A pol polVC X r r τυ

= − = − (Ec. B-34)

Pág. 20 Anexos A-F

Donde τ resulta el tiempo espacial en el reactor. Para llevar a cabo el cálculo de éste, es necesario determinar la concentración de estireno en el reactor, pues de ello depende la velocidad de polimerización.

La concentración de estireno en el reactor y, por consiguiente, en la salida de éste se define como:

[ ] AA

nM CV

= = (Ec. B-35)

Si bien el volumen del reactor no varía, al presentar densidades muy diferentes el estireno y el poliestireno producido, cabe presentar un término en la ecuación anterior que lo tenga en cuenta: el coeficiente de expansión Aδ . Éste se presenta en el término de volumen de la

ecuación (Ec. B-35) como:

( )0 1 A AV V Xδ= + (Ec. B-36)

El coeficiente de expansión se calcula a partir de las densidades de estireno (ρA) y de poliestireno (ρPr) como:

Pr

1 1

1A

A

A

ρ ρδ

ρ

−= (Ec. B-37)

El número de moles de estireno restantes viene dado a partir del factor de conversión como:

( )0 1A A An n X= − (Ec. B-38)

Sustituyendo (Ec. B-36) y (Ec. B-38) en la ecuación (Ec. B-35) se obtiene

[ ] ( )( )0

0

11

A AA

A A

n XM C

V Xδ−

= =+

(Ec. B-39)

El término 0

0

AnV

se puede calcular a partir de la densidad y el peso molecular del estireno

como:

0 0· ;A A AA AA

A

n PM nmV V V PM

ρρ = = = (Ec. B-39)


Así pues, la concentración de estireno en el reactor queda:

[ ] ( )( )11

A AA

A A A

XM C

PM Xρ

δ−

= =+

(Ec. B-40)

Las densidades del estireno y del poliestireno así como la masa molecular del primero están calculadas en la bibliografía [6]:

( ) [ ]3924 0.918 273.1 /A T kg m T Kρ = − − (Ec. B-41)

( ) [ ]3Pr 1084.8 0.605 273.1 /T kg m T Kρ = − − (Ec. B-42)

1 1104 · 104 ·APM g mol kg kmol− −= = (Ec. B-43)

Al haber definido el proceso de polimerización en la primera etapa del proceso con una conversión 0.45AX = y una temperatura constante T=150ºC=423K, se calcula la

concentración de estireno en el reactor a partir de la ecuación:

( ) ( )( ) ( )

[ ] ( )( )( )

3

3

3 3

Pr3

3

423 924 0.918 423 273.1 786.3 · ;

423 1084.8 0.605 423 273.1 994.05 · ;

1 1994.05 786.3 0.209;1

786.3786.3 · 1 0.45

4.59 ·104 1 0.209 ·0.45

estireno

poliestireno

AA

A

K kg m

K kg m

m mkg kg

mkg

kg mM molkg

kmol

ρ

ρ

ρ ρδ

ρ

−

−

−

= − − =

= − − =

− −= = = −

−= =

+ −

1;L−

A partir de este valor, se calcula la velocidad de la reacción dentro del reactor:

( )

( )

( )

3 25 9

2

37

39 8

114.8·10423 2.2·10 ·exp 1.46·10 ;8.314·423 ·

32.5·10423 4.27·10 exp 4139.84 ;8.314·423 ·

6.5·10423 2.2·10 exp 3.46·10 ;8.314·423 ·

i

p

t

Lk Kmol s

Lk Kmol s

Lk Kmol s

−⎛ ⎞−= =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞−

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Pág. 22 Anexos A-F

[ ]1 1

2 59 22 5 2422

8

2 2·1.46·10 ·4139.84 4.59 5.43·10 ;3.46·10 ·

i ppol

t

k k molr Mk L s

−−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Con estos resultados, se puede resolver el caudal de entrada al reactor a partir de la ecuación (Ec. B-34), sabiendo que el volumen aproximado del reactor son 10m3, y que la entrada presenta una concentración de estireno de 99,9%, de acuerdo con lo expuesto en el apéndice A:

( ) ( ) ( )00

; ;AO A pol pol polAAO A

AA

V V VC X r r rC X X

PM

υ ρυ= − = − = − (Ec. B-44)

( ) ( ) 3

3 34 3

0

3

298 924 0.918 298 273.1 901.05 / ;

105.43·10 1.39·10 ;901.05· ·0.45104

A K kg m

mol m mkmolL s sm

ρ

υ − −

= − − =

= =

Por otro lado, es necesario determinar la viscosidad del producto dentro del reactor para calcular la parte mecánica del agitador. Con este fin, se aplica la ecuación hallada en la bibliografía [5]:

( ) [ ][ ]( ) [ ]

2079 1.09 11109 exp prr T

Tpr

wT K

w T

ηηη

⎧ ⎫+− ⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(Ec. B-45)

Donde rη es la viscosidad relativa de la mezcla estireno-poliestireno respecto la del estireno,

prw es la masa relativa de poliestireno en el reactor respecto la de masa de estireno en él, y

[ ]Tη es la viscosidad intrínseca del poliestireno con el mismo peso molecular en tolueno a

30ºC. Este último valor se determina generalmente en el laboratorio. En este caso, supondremos el valor que en la bibliografía aconseja: 0.7 (ver bibliografía [B-8]). La masa relativa de poliestireno respecto a la de estireno se determina a partir del grado de conversión y las masas moleculares de las dos substancias involucradas. En este caso, como en la polimerización no se introduce ningún elemento externo respecto el monómero, la masa molecular de poliestireno no es necesaria puesto que los moles convertidos pesan lo mismo que antes de la reacción:

0

0

· · 0.45 0.818(1 )· · (1 ) 1 0.45

poliestireno A A A Apr

estireno A A A A

m X PM N Xwm X PM N X

= = = = =− − −


Con este valor, se determina la viscosidad relativa a partir de la ecuación (B-45):

( )2079·0.818· 1.09·0.7 1(423 ) 1 0.818·109·0.7·exp 74736.85

423r Kη⎧ ⎫+

= + =⎨ ⎬⎩ ⎭

La viscosidad del estireno a 150ºC es de 0.22cP (ver bibliografía [B-8]), de modo que la viscosidad de la mezcla en el volumen es:

(423 ) 74736.85 74736.85·0.22 16442.1mezclar mezcla

estireno

K cP cPμη μμ

= = = =

B.8 Determinación de la longitud de cadena en el reactor

Por otro lado, es necesario calcular la longitud de cadena media para operaciones

posteriores. Con este fin, se calcula el grado medio de polimerización ( DP ). Éste se define como el número de moléculas de monómero contenido en una molécula de polímero. Para determinarlo, se emplea la fórmula obtenido en [B-8]:

( ) [ ]121 ·i

m

k MDP C

A−= + (Ec. B-46)

Donde Cm se refiere a la transferencia de cadena. Tanto la constante A como Cm varían con la conversión de acuerdo con las ecuaciones siguientes:

0 1·m mC C B X= + (Ec. B-47)

2 31 2 3· · ·

0 · A X A X A XA A e + += (Ec. B-48)

Se conocen los parámetros de las ecuaciones (Ec. B-47) y (Ec. B-48), así como el grado de conversión X y los valores de la concentración de monómero como la constante de velocidad de iniciación, de modo que se procede al cálculo del grado medio de polimerización

( )10040

5 64230 423 1.964·10 ·e 9.66·10A K

−−= =

( ) 31 423 2.57 5.05·10 ·423 0.4339A K −= − =

( ) 22 423 9.56 1.76·10 ·423 2.1152A K −= − =

Pág. 24 Anexos A-F

( ) 33 423 3.03 7.85·10 ·423 0.2906A K −= − + =

( ) 3 41

473.12 423423 1.013·10 ·log 6.143·10202.5

B K − −−⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 9423 1.46·10ik K −=

( )2820

1 44230 423 2.98·10 · 3.79·10mC K e

−− −= =

0.45X =

[ ] 4.59 molML

=

532

11.8505·10·

Amol s

−=

( ) 4423 6.554·10mC K −=

( ) ( )1 48.2447·10 1213DP DP−

−= → =

B.9 Bibliografía

[B-1] WUNSCH, J.R., Polystyrene. iSmither Rapra, 2000, p. 5-28.

[B-2] MEYERS, ROBERT A. Handbook of petrochemicals production processes McGraw-Hill Professional, 2004 p.11.3-11.34.

[B-3] BILLMEYER, FRED W. Ciencia de los polímeros. Reverté 1978, p. 409-437

[B-4] AVERY, H. E., ORDAX, FRANCISCO A., SENENT, SALVADOR Cinética química básica y mecanismos de reacción Reverté 1982, p.87-109

[B-5] LEVENSPIEL, OCTAVE, Ingeniería de las reacciones químicas Reverté 2000, p107-179.


[B-6] SEYMOUR, RAIMOND B., CARRRAHER, CHARLES E. Introducción a la química de los polímeros Reverté 1996, p. 321-361.

[B-7] MEYER, THIERRY, KEURENTJES, JOS Handbook of Polymer Reaction Engineering. Vol. 1, 2005, p. 153-213. WILEY-VCH.

[B-8] RASE, HOWARD F. Chemical Reactor Design for Process Plants, Vol.2 (Case Studies), 1970, p. 5-12 , John Wiley & Sons.

Pág. 26 Anexos A-F

C. Diseño mecánico inicial del reactor

C.0 Glosario

c espacio entre el agitador helicoidal y la pared del tanque [m]

d diámetro del agitador [m]

D diámetro del tanque reactor [m]

h altura del agitador [m]

H altura del fluido [m]

N velocidad del agitador [rev·s-1]

NR número de hélices en el agitador

p paso del agitador helicoidal [m]

P potencia consumida en el eje del agitador [W]

P0 número de potencia

Re número de Reynolds aparente

T par en el eje del agitador [N·m]

w anchura de la hélice [m]

μ viscosidad aparente [Pa·s]

ρ densidad [kg·m-3]

C.1 Diseño del reactor

Los parámetros iniciales de los que se dispone inicialmente son:

- En el reactor se lleva a cabo la polimerización del estireno en masa de modo que el agitador moverá un líquido de aproximadamente 17000cP de viscosidad


(aproximamos el valor obtenido en el anexo B para aumentar el coeficiente de seguridad de su funcionamiento).

- El volumen del reactor es medio, de 10m3.

A partir de estos datos se determinan las características del reactor.

Primeramente, al realizar la agitación de un líquido de viscosidad importante, se selecciona el tipo de agitador a partir de la Figura C.2 adjunta a partir de la viscosidad (17Ns/m2) y el volumen del tanque (10m3). Con estos datos, se determina que el agitador será una doble hélice helicoidal.

A continuación, es necesario determinar las dimensiones iniciales del reactor. Para ello, se toman los resultados obtenidos en el laboratorio y posteriormente publicados en [C-1].

Para realizar el diseño inicial, se respetan las relaciones dimensionales de los diferentes agitadores utilizados en el experimento, concretamente las del agitador tipo C. Se calculan las dimensiones a partir del volumen del reactor fijado (Figura C.1):

2 3 3

3

1.02· ;

· · ·1.02· 10 ;4 4

10·4 2.320·1.02

0.912· 2.1160.996· 2.1080.0485· 0.10260.0971· 0.2055

2R

H D

V D H D m

D m

d D m ph d mc d mw d mN

π π

π

=

= = =

= =

= = == == == ==

Figura C.1 Esquema de las dimensiones principales del agitador


Para calcular la potencia consumida por el reactor, es necesario definir la velocidad del agitador. Ésta puede ser estimada a partir de la Figura C.3 adjunta, que nos muestra las velocidades de agitación aconsejadas de acuerdo con el volumen del reactor y el nivel de agitación que queremos. También existen unas limitaciones recomendadas en la velocidad lineal (tip speed) del agitador según la transferencia de calor que sea necesaria en el proceso. Cabe destacar que son valores orientativos, pues pertenecen a datos de agitadores de turbina y para una viscosidad inferior a la que se ha determinado.

Con las dimensiones calculadas anteriormente y seleccionando un nivel de agitación relevante (8) para un volumen de 10m3 (unos 2000gal), la velocidad del agitador seria de 68rpm, pero este valor da uno de tip speed (se realiza la transferencia de calor en una agitación normal) que supera los 1200pies/min.

1 1 12,116 168min ·2 427.26 ·min · · 1482.1 ·min2 0.305

pierad rad m piem

π− − −= =

Es por ello que se escoge la velocidad de 56rpm, dando un tip speed algo superior al límite orientativo, aunque se acepta.

1 1 12,116 156min ·2 351.86 ·min · · 1220.6 ·min2 0.305

pierad rad m piem

π− − −= =

Una vez definido la velocidad del agitador, se procede a calcular el régimen en el que trabaja.

( )2 1 32 3

562.116 · · ·10· · 60Re 245

17 ·

kgm rev sd N m

Pa sρ

μ

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

De acuerdo con la bibliografía [C-2], para agitadores que trabajen en números de Reynolds alrededor de 100-200 se deben diseñar en régimen laminar.

En consecuencia, se calculamos la potencia que consume el agitador de acuerdo con la expresión publicada por Delaplace and Leuliet (ver bibliografía [C-3]):

0·Re pP K= (Ec. C-1)

( )0.31 0.37 0.16

0.79 191· · · 1 · · ·2p R

D p w HK Nd d d d

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(Ec. C-2)

Pág. 30 Memoria

0 3 5

PPN d ρ

= 2 · ·Re d N ρμ

=

Se aplican estas expresiones:


Figura C.2 Gráfico de selección del tipo de agitador

Pág. 32 Memoria

Figura C.3 Valores de selección de velocidades de giro respecto la escala de agitación

( )0.31 0.37 0.16

0.79 1 2.32 2.116 0.205 2.36691· 2 · · 1 · · · 3102 2.116 2.116 2.116 2.116p

m m mKm m m

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )2

33 2 56· · · 310·17 · · 2.116 · 43.7060p

revP K d N Pa s m kWs

μ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠


C.2 Bibliografía

[C-1] HALL, K. R., GODFREY, J. C. Power Consumption by Helical Ribbon Impellers Trans. Instn. Chem. Engrs. 1970 Vol 48

[C-2] PAUL, EDWARD L., ATIEMO-OBENG, VICTOR A., KRESTA, SUZANNE M. Handbook of industrial mixing: science and practice Wiley-IEEE, 2004 p. 507-531

[C-3] DELAPLACE, G., LEULIET, J.C., Power consumption of Helical ribbon impellers in highly viscous liquids – a review Entropie 227, 2000 p.10-21

Pág. 34 Memoria

D. Selección de materiales del reactor

D.1 Resultados

Con el objeto de determinar el material con el que fabricar el reactor se tienen en cuenta las condiciones que se producen dentro de éste.

La reacción de polimerización en masa con iniciación térmica se lleva a cabo a 150ºC. Además, se generará una masa mezcla de estireno-poliestireno con una viscosidad alrededor de 170 Poise, un valor moderado cuyo movimiento generará grandes esfuerzos mecánicos en el reactor, sobretodo en el agitador.

Por otro lado hay que tener en cuenta la composición de la alimentación del reactor. Ésta presenta una composición de un 99,9% en masa de estireno, pero también contiene aldehídos (hasta 100ppm), peróxidos (30-50ppm), cloruros (2-5ppm), sulfuros (2-5ppm), fenilacetileno (100ppm), metilestireno (150-500ppm), etilbenceno y xileno (100-1000ppm) como impurezas. De éstas cabe destacar la presencia de peróxidos, cloruros y sulfuros, que podría corroer el material del reactor. Asimismo, es necesario considerar la posible corrosión ambiental ya que no se suelen controlar las condiciones ambientales (sobretodo la humedad) de la localización de las instalaciones.

En cuanto a condiciones de fabricación, existirán elementos soldados tanto en el agitador como en el tanque. Finalmente, se requiere que los elementos del reactor presenten un ciclo de vida importante: el tanque debería soportar un ciclo de vida igual al ciclo de producción.

A partir de las consideraciones anteriores, las posibilidades de materiales adecuadas al diseño quedan reducidas, principalmente a la familia de aceros. Es necesario tener en cuenta que un tratamiento anticorrosivo adicional al material aumenta de manera remarcable el precio del material inicial. Es por ello que se decide como material de construcción tanto del agitador como del tanque el acero inoxidable.

La doble hélice helicoidal que conforma el agitador presenta un gran número de zonas de soldadura en puntos que soportarán grandes tensiones. Es por ello que la soldadura en éstos ha de ser excelente y así evitar que el material se debilite en ellos. Con esta limitación, los aceros inoxidables austeníticos son los más idóneos.

Concretamente, se selecciona la familia AISI 316 (UNE F-3534). Presentan una buena soldabilidad pues evitan la precipitación de carburos en la soldaduras, una tenacidad muy alta, una resistencia a la fatiga importante y una gran resistencia a la corrosión gracias a la


presencia de molibdeno. Asimismo, el molibdeno mejora las características mecánicas a temperaturas moderadamente altas del material.

Por otro lado, el tanque ha de soportar presiones internas relevantes. Asimismo, debe presentar resistencia a la corrosión y no ha de debilitarse en las zonas de soldadura que se producirán en él.

Con estos requisitos, se selecciona el acero AISI 316 Ti (UNE F-3534), de características similares al del acero seleccionado para el agitador, con un grado ligeramente inferior en cuanto a soldabilidad pero con una mayor resistencia a la corrosión.

Cabe destacar que los aceros de la familia AISI 316 son los de mayor aplicación en la industria química y en la industria alimentaria en ambientes de corrosión.

D.2 Bibliografía

[D-1] RIBA ROMEVA, CARLES Disseny de màquines IV: Selecció de materials 1 2005 p. 47-135, Edicions UPC.

[D-2] WUNSCH, J.R., Polystyrene. iSmither Rapra, 2000, p. 5-28.

[D-3] MEYERS, ROBERT A. Handbook of petrochemicals production processes McGraw-Hill Professional, 2004 p.11.3-11.34.

[D-4] BILURBINA ALTER, LUIS, LIESA MESTRES, FRANCISCO, IRIBARREN LACO, JOSÉ IGNACIO Corrosión y protección 2003 p. 13-69 y 141-247 Edicions UPC.

Pág. 36 Memoria

E. Diseño del agitador

E.0 Glosario

d f distribución de fuerzas

[ ]T matriz de tensiones

σ⎡ ⎤⎣ ⎦ matriz tensión

R vector fuerza resultante

M vector momento resultante

σ vector tensión en un punto según un plano

u⎡ ⎤⎣ ⎦ vector unitario normal

a anchura característica de la sección [m]; anchura de la barra [m]

A área de sección de la pieza [m2]

b altura característica de la sección [m]; altura de la barra [m]; anchura de la sección rectangular [m]

Bij coeficientes de repartición

c cosα

C curvatura

C1,C2 parámetros o coeficientes de la tensión normal

Cai coeficientes de repartición de las fuerzas sobre la biga empotrada

CH coeficiente hidrodinámico

Ci coeficientes de repartición de las fuerzas sobre la biga empotrada


CS coeficiente de seguridad

d diámetro exterior de la hélice [m]

da diámetro del agujero transversal [m]

de diámetro del eje central [m]

Di diámetro del agitador de palas i [m]

dm diámetro medio de la hélice [m]

e grosor de la hélice [m]

E módulo de elasticidad de la pieza [Pa]

Em módulo de elasticidad del metal [Pa]

f fuerza lineal [N·m-1]

FD fuerza de arrastre [N]

FE fuerza de empuje [N]

FF fuerza de fricción [N]

fH factor de servicio hidráulico

FH fuerza hidrodinámica [N]

Fi constante para el cálculo de desplazamiento y giros

FP peso [N]

Fr fuerza radial fluctuante sobre el agitador [N]

Fx fuerza sobre el eje X [N]

FY fuerza sobre el eje Y [N]

Fz fuerza sobre el eje Z [N]

g aceleración de la gravedad [m·s-2]

G centro de gravedad de una sección; módulo de elasticidad transversal [Pa]

Pág. 38 Memoria

h altura de la sección rectangular [m]; altura de líquido [m]

HA,HB reacciones horizontales sobre el punto A y B, respectivamente [N]

I inercia de la pieza [m4]

I0 momento de inercia polar de la sección recta respecto del centro de gravedad [m3]

Iz, Iy momentos de inercia de la sección recta respecto a sus ejes principales de inercia [m3]

K constante de rigidez torsional de la sección transversal [m4]

k1,k2 coeficientes geométricos de coeficientes de repartición

kd coeficiente de grandaria

Kf coeficiente de concentración de tensiones

Kfσ coeficiente de concentración de tensiones normal

Kfτ coeficiente de concentración de tensiones tangencial

kl coeficiente del tipo de carga

ks coeficiente de acabado superficial

Kt concentración de tensiones teórico

l longitud [m]; longitud de la hélice [m]; longitud del eje hasta el acoplamiento [m]

L longitud de las barras de unión [m]

LFH término de fuerza horizontal [N]

LFM término de momento [N]

LFV término de fuerza vertical [N]

Li distancia del agitador de palas i al acoplamiento del agitador [m]

m masa [kg]

MA,MB momentos flectores sobre el punto A y B, respectivamente [N]

Mb momento de flexión fluctuante [Nm]


MT momento torsor [Nm]

Mx momento torsor [Nm]

My momento sobre el eje Y [Nm]

Mz momento flector sobre el eje Z [Nm]

N esfuerzo normal [N]; número de ciclos; velocidad angular del eje [rev·s-1]

Nx esfuerzo normal [N]

p carga uniformemente repartida [N·m-1]; paso de la hélice [m]

P potencia [W]; presión [Pa]; punto de un prisma recto

Pi potencia del agitador de palas i [W]

q sensibilidad a la entalla

qc flujo cortante

R radio [m]; radio exterior de la hélice [m]; radio medio de la hélice [N]

r radio de curvatura [m]

r radio interior de la hélice [m]

Re límite de fluencia [Pa]

Rm radio medio [m]; resistencia a tracción [Pa]

rmax radio máximo de la sección circular [m]

s sinα

S,ΔS área de una sección [m2]

Sf límite de fatiga de la pieza [Pa]

Sf’ límite a fatiga de una probeta [Pa]

SN resistencia a fatiga [Pa]

T momento torsor [Nm]

Pág. 40 Memoria

TA momento torsor sobre el punto A [Nm]

TB momento torsor sobre el punto B [Nm]

Ty, Tz componentes del esfuerzo cortante respecto de los ejes principales de inercia de la sección [N]

u velocidad lineal del fluido [m·s-1]

Uf energía potencial elástica [J]

V volumen [m3]

VA,VB reacciones verticales sobre el punto A y B, respectivamente [N]

w anchura de la hélice [m]

Wu energía unitaria de deformación

Wz módulo resistente a flexión [m3]

y desplazamiento o giro

yA desplazamiento vertical sobre el punto A

yB desplazamiento vertical sobre el punto B

α ángulo de inclinación de la hélice [º]; coeficiente para el cálculo de la tensión producida por el momento torsor

β coeficiente

γ deformación angular

Δ f distribución de fuerzas

δHA desplazamiento horizontal en el punto A

δHB desplazamiento horizontal en el punto B

δVA desplazamiento vertical en el punto A

δVB desplazamiento vertical en el punto B


θ ángulo de giro de la hélice; ángulo de inicio de carga en la barra; ángulo mitad del giro de la barra

ΘA grado de rotación sobre el eje X en el punto A

ΘB grado de rotación sobre el eje X en el punto B

μ viscosidad dinámica [Pa·s]

ξ distancia a la superficie neutra [m]

π plano

ρ densidad del producto del reactor [kg·m-3]

ρagua densidad del agua [kg·m-3]

ρm densidad del metal [kg·m-3]

Σ sección de un prisma recto

σa tensión normal fluctuante alternativa [Pa]

σa’ tensión alternativa de Von Mises [Pa]

σadm tensión admisible [Pa]

σe tensión equivalente [Pa]

σii, σi tensión normal (i=x, y, z) [Pa]

σm tensión normal fluctuante media [Pa]

σm’ tensión media de Von Mises [Pa]

σmax tensión normal fluctuante máxima [Pa]

σMb tensión normal producida por el momento Mb [Pa]

σmin tensión normal fluctuante mínima [Pa]

τcz tensión tangencial generada sobre la superficie de un círculo [Pa]

τij tensión tangencial (i,j=x, y, z) (i≠j) [Pa]

τmax tensión tangencial máxima [Pa]

Pág. 42 Memoria

τn tensión tangencial normal sobre la superficie de un círculo [Pa]

υ coeficiente de Poisson

Φ ángulo de giro de la barra

ψA grado de rotación en el punto A; grado de rotación sobre el eje Z en el punto A

ψB grado de rotación en el punto B; grado de rotación sobre el eje Z en el punto B

ω velocidad angular en el reactor [rad·s-1]

Ф ángulo de inicio de la fuerza lineal sobre la hélice

E.1 Introducción

A partir de las dimensiones determinadas en el anexo C del agitador de doble hélice helicoidal, se calcula el grosor de sus componentes con el fin de soportar las fuerzas generadas en el reactor durante un ciclo de vida aceptable.

Previamente, cabe especificar que el agitador se construye con las hélices helicoidales de una sola pieza, unidas a un eje central mediante vigas rectangulares siguiendo la inclinación de las primeras. Estas uniones se realizarán por soldadura. Las vigas se unen a las hélices cada 90º de giro de éstas y se consideran las uniones suficientemente fuertes como para suponer las uniones empotradas, es decir, las fuerzas que se generan entre dos uniones en la hélices no se transmiten más que a estas dos. Cabe comentar, finalmente, que el cálculo que se lleva a cabo es aproximado a partir de suposiciones, de modo que es necesario, una vez realizados estos cálculos, su comprobación.

E.2 Fundamentos del cálculo de tensiones

E.2.1 Cálculo en estado estático

Inicialmente, se define el vector tensión hasta obtener las fórmulas que permitan el cálculo de la resistencia de la hélice diseñada.

Se parte de un prisma (Figura E.1) de sección Σ sobre el plano π, sobre el que se aplica una

distribución continua de fuerzas d f , definida para todos los puntos de la sección Σ. Si sobre

un punto P de la sección Σ y área ΔS recibe una fuerza Δ f , se define como tensión en el

punto P según el plano π el siguiente límite:


0limS

f dfS dS

σΔ →

Δ= =

Δ (Ec. E-1)

Figura E.1 Esquema del prisma en estudio [E-1]

El componente de σ , vector tensión, según la normal al plano, recibe el nombre de tensión normal, y la proyección de este vector sobre el plano recibe el nombre de tensión tangencial o cortante.

Si se considera ahora un entorno del prisma paralepipédico de aristas paralelas a los ejes cartesianos, aparece un vector tensión cuyos componentes normales tendrán las direcciones de los ejes de coordenadas, y los tangenciales se descomponen a su vez en las direcciones de los ejes paralelos a la cara considerada.

Denotando las tensiones normales como:

( ), ,ii i x y zσ =

, en donde el subíndice i indica el eje al cual son paralelas. Se asignan positivas si son de tracción, y negativas si son de compresión; y las tensiones tangenciales se expresan como:

( ), , ,ij i j x y z i jτ = ≠

Indicando con el primer índice i la dirección normal al plano en que actúa y el segundo j, la dirección del eje al cual es paralelo. Se asignan positivas si actuando en la cara vista tienen

el sentido positivo de los ejes de coordenadas; el vector tensión, σ , por consiguiente, queda definido como:

Pág. 44 Memoria

[ ]·T uσ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Donde (Ec. E-2)

[ ]xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

Tσ τ ττ σ ττ τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(Ec. E-3)

y u = vector unitario normal

Donde [ ]T recibe el nombre de matriz de tensiones.

Aplicando el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales, los componentes de las tensiones cortantes en un punto correspondiente a dos planos perpendiculares, en dirección normal a la arista de su diedro, son iguales, se obtiene:

xy yx xz zx yz zyτ τ τ τ τ τ= = = (Ec. E-4)

Así, la matriz de tensiones (Ec. C-3) queda:

[ ]xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

Tσ τ ττ σ ττ τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(Ec. E-5)

Una vez definida la matriz de tensiones, se procede a calcularla a partir de las fuerzas aplicadas sobre el prisma (Figura E.2).

Figura E.2 Esquema del prisma a estudio [E-1]


Se considera el mismo prisma anterior, pero en este caso se aplican una serie de fuerzas exteriores. Se realiza un corte del mismo, originando un sección mn recta, contenida en un plano normal a la línea media del prisma.

Eliminando la parte derecha cortada, sobre la parte izquierda aparecen una fuerza y un

momento que mantienen el equilibrio de la pieza. Estos son la fuerza R y el momento M resultantes respecto al centro de gravedad G de la sección (Figura E.3 y Figura E.4).

Figura E.3 Representación de la fuerza resultante [E-1]

La fuerza resultante R referida al sistema cartesiano con centro en G y vectores , ,u j k

tiene la expresión:

y zR Ni T j T k= + + (Ec. E-6)

El componente N se define como esfuerzo normal y da lugar a esfuerzos de tracción y compresión. Los componentes Ty y Tz se encuentran en el mismo plano, por lo que efectúan la misma clase de esfuerzo. Se denominan esfuerzos tangenciales o cortantes.

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Figura E.4 Representación del momento resultante [E-1]

De igual modo se descompone el momento resultante M en el mismo sistema cartesiano que la fuerza resultante:

x y zM M i M j M k= + + (Ec. E-7)

Mx se define como momento torsor, y también se representa como T; My y Mz se denominan momentos flectores y su resultante está contenida en el plano de la sección recta.

Para encontrar las relaciones entre los componentes de R y M y los componentes de la matriz de tensiones, se tiene en cuenta que las fuerzas generadas por las tensiones en toda

la sección recta forman un sistema cuya resultante es R y cuyo momento resultante

respecto G es M .

Por lo tanto, los componentes N, Ty y Tz se expresan en función de los componentes de la matriz de tensiones (Figura E.5) como:


Figura E.5 Representación de los componentes de la matriz de tensiones [E-1]

xx xS S

N dS dSσ σ= =∫∫ ∫∫ (Ec. E-8)

y xyS

T dSτ= ∫∫ (Ec. E-9)

z xzS

T dSτ= ∫∫ (Ec. E-10)

Las expresiones de los momentos torsor T y flectores My y Mz se obtienen de:

( )0 xz xy x xS S S S

x xy xz

i j kM y z i y z dS j z dS k y dS

dS dS dSτ τ σ σ

σ τ τ= = − + −∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ (Ec. E-11)

Por lo que los componentes son expresados como:

( )xz xyS

T y z dSτ τ= −∫∫ (Ec. E-12)

y xS

M z dSσ= ∫∫ (Ec. E-13)

z xS

M y dSσ= −∫∫ (Ec. E-14)

Por consiguiente, la matriz de tensiones (Ec. E-5) queda reducida a:

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[ ] 0 00 0

x xy xz

xy

xz

Tσ τ τττ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(Ec. E-15)

Con el fin de determinar el valor de cada componente de la matriz T, se aplicará como norma general, el principio de superposición, de modo que cada componente de la fuerza y momento resultantes que influya sobre un componente de la matriz de tensiones, se calculará de manera independiente y, a continuación, se sumarán las aportaciones a ellos.

- Esfuerzo normal N

Anteriormente se ha deducido la ecuación (Ec. E-8):

xS

N dSσ= ∫∫

Se aplica la hipótesis de Bernouilli o de conservación de las secciones planas: las secciones transversales del prima mecánico, que eran planas y perpendiculares a su línea media antes de la deformación, permanecen planas y normales a ésta después de la deformación.

Por lo tanto, al ser constante la deformación longitudinal unitaria en todos los puntos de la sección, también será constante la tensión σx, por lo que de la ecuación (Ec. E-8) se deduce:

xNS

σ = (Ec. E-16)

Siendo S el área de la sección que se considera (Figura E.6).

Figura E.6 Esquema del esfuerzo normal sobre una sección plana

- Momentos flectores My, Mz

La sección transversal de un prisma solicitado a flexión fuera por el momento flector My, Mz reducen las ecuaciones (Ec. E-8) a (Ec. E-10) y de (Ec. E-12) a (Ec. E-14) a:


0 xS

dSσ= ∫∫ (Ec. E-17)

0 xyS

dSτ= ∫∫ (Ec. E-18)

0 xzS

dSτ= ∫∫ (Ec. E-19)

( )0 xz xyS

y z dSτ τ= −∫∫ (Ec. E-20)

y xS

M z dSσ= ∫∫ (Ec. E-21)

z xS

M y dSσ= −∫∫ (Ec. E-22)

Se recurren a hipótesis, comprobadas experimentalmente; en este caso, la hipótesis de Bernouilli-Navier, que establece que en flexión, cada sección transversal de la viga permanece plana, girando alrededor de un eje contenido en la sección denominado eje neutro (Figura E.7).

Figura E.7 Aplicación de la hipótesis de Bernouilli-Navier [E-1]

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Teniendo en cuenta la ley de Hooke, el esfuerzo normal en un punto P situado a una distancia ξ de la superficie neutra es:

·x

Erξσ = (Ec. E-23)

Donde E es el módulo de elasticidad y r, el radio de curvatura de la pieza.

Aplicando esta ecuación sobre la ecuación (Ec. E-17):

· 0xS S S

E EdS dS dSr rξσ ξ= = =∫∫ ∫∫ ∫∫ (Ec. E-24)

De donde 0S

dSξ =∫∫ (Ec. E-25)

Teniendo en cuenta la ecuación (Ec. E-24) y la fórmula de giro de ejes, se deduce:

( ) 1 2cos sinxE y z C y C zr

σ γ γ= + = + (Ec. E-26)

Donde C1 y C2 son parámetros a determinar, por lo que sustituimos en (Ec. E-21) y (Ec. E-22):

( )1 2 1 2y yz yS

M z C y C z dS C I C I= + = +∫∫ (Ec. E-27)

( )1 2 1 2z z yzS

M y C y C z dS C I C I= − + = +∫∫ (Ec. E-28)

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

1 2z y y yz

y z yz

M I M IC

I I I−

=−

(Ec. E-29)

2 2y z z yz

y z yz

M I M IC

I I I−

= −−

(Ec. E-30)

Si los ejes y y z son principales de inercia, Iyz=0, la ecuación (Ec. E-26) queda:

yzx

z y

MM y zI I

σ = − + (Ec. E-31)


- Esfuerzos cortantes Ty, Tz

Cabe tener en cuenta que los esfuerzos tangenciales se encuentran relacionados con los momentos flectores. Es a partir de esto que se calculará la influencia de estos esfuerzos sobre la matriz de tensiones.

Se consideran dos secciones infinitamente próximas donde actúa una carga uniformemente repartida p que será función de la distancia x (Figura E.8).

Figura E.8 Esquema de la sección de un prisma

Se calculan momentos respecto al centro de gravedad G de la sección situada a la derecha, obteniendo:

2dxM Tdx M dM pdx+ = + + (Ec. E-32)

Donde despreciando el término de segundo orden, se obtiene:

dM Tdx

= (Ec. E-33)

Por lo que se afirma que el esfuerzo cortante en una sección de un prisma sometida a flexión coincide con la derivada de la función momento flector en dicha sección.

Por consiguiente, es necesario tener en cuenta la presencia de momentos flectores para calcular la influencia de los esfuerzos tangenciales en la pieza.

Así pues, se considera una porción de un prisma de longitud dx solicitada a momento flector M y esfuerzo cortante T que actúan en la sección transversal (Figura E.9 a). Se aísla un cilindro de base una curva C cerrada situada en esta sección y de altura dx y se establece el equilibrio en el eje X. Éste queda:

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Figura E.9 Esquemas del teorema del flujo cortante

( )0 0c c

x x x x cxS S Sc

F d dS dS dldxσ σ σ τ= + − − =∑ ∫∫ ∫∫ ∫∫ (Ec. E-34)

Donde el primero y segundo términos vienen dados por las fuerzas debidas a los esfuerzos normales que actúan sobre las bases del cilindro, generadas por los momentos flectores; y las originadas por los componentes según el eje x, cxτ , de los esfuerzos cortantes que

actúan sobre la superficie del cilindro SC. Reduciendo la ecuación (Ec. E-34) se obtiene:

C

xcx

C S

ddl dSdxστ =∫ ∫∫ (Ec. E-35)

Aplicando el teorema de Cauchy, el componente cxτ (figura E.9 b) que actúa sobre la

superficie del cilindro ha de ser igual, en cada punto de la curva C, al componente nτ según

la normal a C del esfuerzo cortante τ que actúa en la sección transversal del prisma (figura E.9); por lo tanto:

C

xn

C S

ddl dSdxστ =∫ ∫∫ (Ec. E-36)

El primer miembro de la ecuación (Ec. E-36) recibe el nombre de flujo cortante y se expresa como qc, por lo que:

C

xc

S

dq dSdxσ

= ∫∫ (Ec. E-37)

Aplicando la ecuación (Ec. E-31) y suponiendo los ejes y y z como principales de inercia, la expresión (Ec. E-37) queda:


1 1

c c

yzc

z yS S

dMdMq ydS zdSI dx I dx

= +∫∫ ∫∫ (Ec. E-38)

Sustituyendo en ésta la ecuación (Ec. E-33) se reduce a:

1 1

c c

yzc z y y z

z y z yS S

QQq T ydS T zdS T TI I I I

= + = +∫∫ ∫∫ (Ec. E-39)

Donde c

zS

Q zdS= ∫∫ c

yS

Q ydS= ∫∫

Se admite la hipótesis de que la tensión tangencial τ que produce el esfuerzo cortante tiene su misma dirección; por consiguiente:

y xy z xzT Tτ τ→ →

Se supondrá que únicamente actúa Ty sobre la sección rectangular (figura E.9 c):

zc xy y

z

Qq dl TI

τ= =∫ (Ec. E-40)

Se escoge como curva C el rectángulo mnpq (figura E.9). Se escoge esta curva pues el flujo cortante en el contorno de la sección ha de ser nulo, de acuerdo con el teorema de Cauchy. Se sustituye:

12 2 2

mnpq

zS

h hQ zdS b y y⎛ ⎞⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫ (Ec. E-41)

3

12zbhI = (Ec. E-42)

xy xyC mn

dl dlτ τ=∫ ∫ (Ec. E-43)

Se obtiene:

22

3· 64

yxy xy

mn

T hdl b yh

τ τ⎛ ⎞

= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (Ec. E-44)

Por lo que:

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22

364

yxy

T h ybh

τ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ec. E-45)

Esta expresión queda representada en la Figura E.10

Figura E.10 Distribución del valor de la tensión tangencial τ

Lo mismo que deduce para xzτ pero cambiando las dimensiones b y h:

22

364

zxz

T b zhb

τ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ec. E-46)

- Momento torsor T

Si se aplica un momento torsor sobre un prisma de sección rectangular se comprueba experimentalmente que las secciones rectas antes de la torsión no se mantienen planas después de la deformación, sino que se alabean (principio de Saint-Venant)

Aplicando este principio en una sección rectangular solicitada a torsión por un momento MT, se obtiene la siguiente distribución de esfuerzos (Figura E.11).


Figura E.11 Distribución de la tensión tangencial en una sección rectangular

Donde los esfuerzos cortantes máximos corresponden a los puntos medios de los lados mayores. Su valor es:

max 2· ·TM

h bτ

α= (Ec. E-47)

Donde es un parámetro tabulado según la relación de h y b (Tabla E-1):

h/b 1 1.5 1.75 2 2.5 3 4 6 8 10 ∞

α 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333

Tabla E-1 Valores de α en función de h/b

Para secciones circulares, se acepta la teoría de Coulomb, de modo que cuando se aplica un momento torsor MT sobre una sección circular, ésta se mantiene plana y sólo gira alrededor del eje perpendicular a esta sección. Se obtiene la siguiente distribución de esfuerzos (Figura E.12):

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Figura E.12 Distribución de la tensión tangencial en una sección circular

Donde los esfuerzos cortantes máximos corresponden a los puntos más exteriores de la sección. Su valor es:

max max0

·TM rI

τ = (Ec. E-48)

Donde I0 es el momento de inercia a torsión y rmax, el radio de la sección circular.

El criterio de resistencia se escoge de acuerdo con el tipo de material con el que se está trabajando, en este caso, acero. El acero es un material dúctil, por lo que el criterio con el que mejor resultados se obtienen es el criterio de Von Mises.

Este criterio es conocido también como criterio de la energía de distorsión y se basa en que la rotura en un punto de un sólido elástico se produce cuando la energía de distorsión por unidad de volumen en el entorno de este punto alcanza el valor de dicha energía en el ensayo a rotura en tracción.

La energía unitaria de deformación en un punto de la estructura viene dado por la siguiente expresión:

2

2 2 21 1 · · · ·2

x y zu x y x z y z xy xz yzW

E Gσ σ σ

σ σ σ σ σ σ τ τ τ⎛ ⎞⎡ ⎤+ +⎣ ⎦⎜ ⎟⎡ ⎤= − + + − − −⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ec. E-49)


La energía unitaria de deformación en el ensayo de tracción simple es:

212

euW

Eσ

= (Ec. E-50)

Donde σe es la tensión equivalente. De acuerdo con el criterio, se igualan estas energías:

( ) ( )22 2 2 2· · · ·e x y z x y x z y z xy xz yzEG

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= + + − + + − − − (Ec. E-51)

En el acero, E/G=3, de modo que:

( )2 2 2 2 2 2 2· · · 3·e x y z x y x z y z xy xz yzσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= + + − − − + + + (Ec. E-52)

Para los casos presentados, la expresión se reduce a:

( )2 2 2 23·e x xy xzσ σ τ τ= + + (Ec. E-53)

Aislando la tensión equivalente:

( )2 2 23·e x xy xzσ σ τ τ= + + (Ec. E-54)

Así pues, se admite una tensión equivalente si cumple la expresión:

adme

sCσσ ≤ (Ec. E-55)

Donde σadm es la tensión máxima admisible para el material, tabulado en diferente bibliografía, y Cs es el coeficiente de seguridad, debido a que el cálculo es aproximado y presentar una cierta seguridad para su construcción.

E.3.2 Análisis a fatiga

El análisis de fatiga comprende el estudio de piezas solicitadas a tensiones que varían a lo largo del tiempo.

Este cálculo resulta más complicado que en el apartado anterior ya que además de la rigidez de la pieza, influye la masa y el amortiguamiento, así como la necesidad de determinar las expresiones de las tensiones variables en el tiempo.

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Principalmente, estas tensiones fluctuantes quedan determinadas a partir de su valor medio, σm, y valor alternativo, σa, calculados como:

max min

2mσ σσ +

= (Ec. E-56)

max min

2mσ σσ −

= (Ec. E-57)

Donde σmax y σmin, son los valores de la tensión máxima y mínima obtenidos a partir de su estudio.

Igualmente, los datos para el estudio de la fatiga son principalmente experimentales.

El fallo por fatiga empieza con una grieta pequeña, la cual es difícil de observar a simple vista. Una vez producida, aumenta el efecto de la concentración de tensiones y la grieta progresa más rápidamente. A medida que el área no dañada se va reduciendo, aumenta el valor de la tensión hasta que el área residual se rompe de repente.

Las falladas por fatiga son repentinas y peligrosas. Además, es un fenómeno complicado y parcialmente comprendido.

Por este motivo, los datos para el estudio de la fatiga son principalmente experimentales.

A partir de ensayos realizados sobre probetas del mismo material sometidas a tensiones fluctuantes, principalmente con la máquina de Moor, se obtiene un diagrama logarítmico Resistencia a fatiga (SN) – Número de ciclos antes de la ruptura (N) (Figura E.13)

Figura E.13 Diagrama logarítmico Resistencia fatiga – Número de ciclos


Se puede observar en este diagrama que esta representación de los datos genera dos rectas, las cuales dividen el diagrama en dos sectores: el sector derecho (o sector de vida infinita) y el sector izquierdo (o sector de vida finita). La línea horizontal que genera el sector derecho únicamente se presenta en aleaciones férricas y en aceros y se produce alrededor del millón de ciclos de trabajo; la tensión correspondiente se conoce como límite de fatiga Sf’ y se define como la resistencia máxima que presenta un material sin que falle a fatiga en su funcionamiento.

Este límite de fatiga puede variar respecto al que presentan las probetas estándar en los ensayos. Las condiciones que hacen variar este límite son diversas y se tienen en cuenta mediante los coeficientes de modificación, representados en la ecuación siguiente:

'1· · · ·f l d S ff

S k k k SK

= (Ec. E-58)

Donde Sf es el límite de fatiga de la pieza, kl, el coeficiente del tipo de carga, kd, el coeficiente de grandaria, ks, el coeficiente de acabado superficial, y Kf, el coeficiente de concentración de tensiones.

Estos coeficientes están tabulados y se extraen de la bibliografía [E-2]

Por otro lado, es necesario determinar las tensiones fluctuantes que actúan sobre la pieza. Como se ha expresado al inicio de este apartado, éstas quedan caracterizadas por dos parámetros, principalmente por σm y σa. Se ha intentado establecer una expresión que se ajuste a la representación gráfica de estos parámetros mediante el uso de diversas expresiones lineales, de las que destaca por su mayor aplicación la recta de Goodman.

Esta recta queda representada en la Figura E.14

Figura E.14 Diagrama de Goodman modificado

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Donde Rm es la resistencia a tracción del material y Sf, el límite a fatiga de la pieza.

Se puede observar que el diagrama no es simétrico debido a que las tensiones de compresión no tienen el mismo efecto que las de tracción sobre las tensiones alternativas.

Con el fin de aumentar la seguridad por posibles fallos por fluencia, se modifica la línea de Goodman mediante una recta que valora el límite a fluencia (Re) que intersecta la primera, de modo que en ningún punto se alcanza la tensión de fluencia.

Cualquier punto que trabaje dentro de la zona comprendida entre la recta de Goodman y los ejes de coordenadas no presenta fallo a fatiga.

Para determinar el coeficiente de seguridad de la pieza mediante este diagrama, se presentan 4 posibles cálculo dependiendo de cómo afecte la sobrecarga sobre las tensiones media y alternativa. Estos coeficientes quedan representados en el diagrama de la Figura E.15.

Figura E.15 Representación en el diagrama de Goodman de los coeficientes de seguridad

Para utilizar este diagrama, la pieza debe estar sometida a cargas simples (flexión sola, tracción-compresión sola, tensión sola). Para el caso de cargas combinadas, cargas con componentes axiales y tangenciales, no existe un método consistente, si bien se toman una hipótesis que deben usarse con cierta cautela.

Igualmente, éstas se aplican exclusivamente a materiales dúctiles.

En el caso de tensiones combinadas biaxiales (tensión normal – tensión tangencial) fluctuantes se definen:


- Tensión media de Von Mises

' 2 2m m mσ σ τ= + (Ec. E-59)

- Tensión alternativa de Von Mises

( ) ( )2 2' · ·a f a f aK Kσ τσ σ τ= + (Ec. E-60)

Donde los parámetros σm y τm representan las tensione medias normales y tangenciales respectivamente, σa y τa, las tensiones alternativas normales y tangenciales respectivamente, y Kfσ y Kfτ, los coeficientes de concentración de tensiones normal y tangencial respectivamente.

Para este caso, la resistencia a fatiga Sf se calcula con los coeficientes kd y ks de modificación, pero los coeficientes Kfσ y Kfτ se introducen dentro de σa’.

Estos valores de σm’ y σa’ se introducen en el diagrama de Goodman para el caso de flexión simple.

En el caso de tensiones medias de compresión, se expresa la tensión media de Von Mises como:

2' 2

2 2m m

m mσ σσ τ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (Ec. E-61)

E.3 Cálculo manual del agitador

E.3.1 Cálculo de la hélice

Se definen las fuerzas que actúan sobre las hélices durante su funcionamiento (Figura E.16). Se considerará para este cálculo que la hélice se comporta como una placa plana inclinada fija y es el fluido dentro del reactor el que se desplaza a una velocidad lineal igual a la que se da en el extremo de la hélice al girar a la velocidad angular nominal:

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Figura E.16 Representación de las fuerzas que actúan sobre la hélice

1 12 0.971·2.3256min · · 6.2 ·60 / min 2

radu m m ssπ− −= =

El ángulo α se calcula a partir de las dimensiones calculadas en el anexo C:

sinm

pd

απ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ec. E-62)

( )2.116arcsin 20.64º

· 2.116 0.2055m

mα

π⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

- Fuerza hidrodinámica (FH)

Es la fuerza que recibe la hélice al impactar sobre ella un fluido en movimiento. Ésta se puede descomponer en un fuerza de arrastre, paralela a la velocidad del fluido, y en una fuerza de sustentación, perpendicular a esta velocidad. Se demuestra que la fuerza hidrodinámica es proporcional a la velocidad lineal del fluido al cuadrado según la ecuación siguiente, en forma diferencial:

2· · ·H HdF C u dSρ= (Ec. E-63)

Para una superficie de corona circular, la ecuación se escribe como:

2· · · · ·H HdF C u r dr dρ θ= (Ec. E-64)

Con el fin de de determinar CH es necesario tener en cuenta las condiciones del fluido, en especial su número de Reynolds:

· ·Re u dρμ

= (Ec. E-65)

dθ u

FP α

FE FH


Este número se puede calcular a partir de los datos obtenidos en los anexos anteriores:

3 3 117000 10 6.2 · 2.116cP kgm u m s d mμ ρ − −= = =

Así pues: 3Re 771.7 10= ≈

Además de esta suposición, se acepta que la fuerza hidrodinámica que soporta la placa es provocada por la velocidad del fluido perpendicular a la placa, mientras que la paralela a ésta genera una fuerza de fricción sobre las dos superficies paralelas a ella (Figura E.17).

Figura E.17 Descomposición de la fuerza hidrodinámica

A partir de la velocidad perpendicular y de los datos obtenidos de coeficientes CD para este tipo de placas, con una relación b/h= pues se tiene en cuenta esta fuerza como lineal sobre toda la hélice de modo que se acepta esta suposición (bibliografía [E-3]) CD=2; por lo tanto:

( )232·10 · 6.2·sin · ·DF d r drα θ= (Ec. E-65)

A partir de la velocidad paralela se puede observar que al tenerla presente en un diferencial de superficie y al ser un superficie curva, su valor puede ser despreciado.

Así pues:

( )232·10 · 6.2·sin · ·HF d r drα θ= (Ec. E-66)

- Peso (FP)

Es la fuerza que aparece en todo objeto dentro de un campo gravitatorio, en este caso el terrestre, perpendicular a éste y, por lo tanto, vertical en sentido inferior. Se calcula, en forma diferencial, como:

· · ·P mdF m g dV gρ= = (Ec. E-67)

u α

FF FF

α

FD

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Esta fuerza también aparece en toda la superficie de la hélice por lo que se considera como fuerza lineal y se expresa de forma diferencial; teniendo en cuenta como superficie, la corona circular:

· · · · · ·P mdF m g g e r dr dρ θ= = (Ec. E-68)

Donde e es el grosor de la hélice del agitador, variable que se quiere calcular en este anexo. Con este fin, se supondrá un grosor inicial de 10mm, grosor mínimo para tener unas buenas condiciones en las soldaduras, y de forma iterativa se obtendrá el espesor adecuado. La densidad del acero se considera:

3 37.98·10 ·m kg mρ −=

- Fuerza de empuje (FE)

Cuando un cuerpo se encuentra total o parcialmente sumergido en un fluido, experimenta una fuerza ascendente que actúa sobre él, llamada fuerza de empuje o flotación. La causa de esta fuerza es la diferencia de presiones existente sobre las superficies superior e inferior.

También se considera como fuerza que es soportada a lo largo de la superficie de la hélice, de modo que se escribirá de forma diferencial. Se supone que dentro del reactor habrá una presión interna p. Se determina el empuje gráficamente (Figura E.18):

Figura E.18 Esquema de la fuerza de empuje sobre la hélice

( )( )· · · · · · · · ·E agua agua aguadF P g h e P g h dS g e r dr dρ ρ ρ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Ec. E-69)

Una vez definidas las fuerzas que actúan sobre la hélice, se calculan las tensiones sobre ésta y las reacciones de las barras sobre ella. Con este fin y para facilitar su cálculo dimensional se ajustan los ejes de coordenadas de modo que el eje X sea paralelo a la superficie de la hélice. Se puede observar que estos ejes de coordenadas rotan conforme avanzan sobre la superficie de la hélice (Figura E.19).

dFE P+ρgh α

P+ρg(h+e·sinα)

P


Figura E.19 Definición de los ejes de coordenadas

En consecuencia, se descomponen las fuerzas presentes en estos ejes:

Eje X ( ) ( )·sin · · · · · · · · · · sinE P agua mdF dF g e r dr d g e r dr dα ρ θ ρ θ α≡ − = −

( )· · ·sin · · · ;agua m g e r dr dρ ρ α θ= − (Ec. E-70)

Eje Y ( ) ( )23·cos 2·10 · 6.2·sin · ·H E PdF dF dF d r drα α θ≡ + − = +

( )· · ·sin · · · · · · · · cosagua mg e r dr d g e r dr dρ α θ ρ θ α+ − =

( ) ( )232·10 · 6.2·sin · · ·cos · · · ;agua m g e r dr dα ρ ρ α θ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ (Ec. E-71)

Hay que tener en cuenta que las fuerzas de empuje y peso descompuestas sobre el eje X giran con éste pues son perpendiculares al radio de curvatura.

Para llevar a cabo el cálculo de las reacciones sobre las barras de la hélice se descompone el problema en dos partes, aplicando el principio de superposición: una primera serían las reacciones provocadas a partir de las fuerzas sobre el plano X-Z, y la segunda, serían las provocadas por las fuerzas aplicadas sobre el eje Y. Una vez determinadas, se acoplarán ambos resultados y se determinará el espesor e necesario para que las hélices puedan soportar las tensionas a las que están sometidas.

Al suponer uniones empotradas con las barras que unen las hélices con el eje, sólo es necesario calcular las tensiones y reacciones de las hélices para un única superficie comprendida entre dos de estas barras; es decir, 90º de giro de una hélice.

• Cálculo de reacciones a partir de las fuerzas sobre el plano x-z

x y

α

x z

Pág. 66 Memoria

Se observa que la fuerza combinada empuje-peso aplicada sobre la superficie de la hélice queda esquematizada (Figura E.20) como:

Figura E.20 Distribución de fuerzas contenidas en el plano de la hélice

Donde f es la fuerza lineal que se ha definido antes en el plano x-z.

Se transforma la fuerza aplicada sobre el plano X-Z calculada anteriormente en un término de fuerza lineal. Se tiene en cuenta como longitud de cálculo el radio medio de la hélice (Figura E.21). Así pues, se calcula f como:

Figura E.21 Representación de las dimensiones características sobre el plano de la hélice

( ) ( )· · ·sin · · ··sin m aguaE P

m

g e r dr ddF dFf

dl R dρ ρ α θα

θ−− −

= = =∫ ∫

( ) ( ) ( )2 2

· · ·sin · · ·sin ·2

R

m agua m aguam mr

R rrdrg e g eR R

ρ ρ α ρ ρ α−

= − = −∫ (Ec. E-72)

f

f

R

Rm r


Con esta configuración, el problema se asemeja a un arco. Asimismo, el problema queda simplificado a una estructura en dos dimensiones (Figura E.22).

Figura E.22 Esquema simplificado de la hélice sobre su plano

Primeramente, se han de cumplir las ecuaciones de la estática.

0F =∑ (Ec. E-73)

0M =∑ (Ec. E-74)

Estas ecuaciones quedan reducidas en el plano, teniendo en cuenta que el arco se encuentra en el plano x-z, como:

0xF =∑ (Ec. E-75)

0zF =∑ (Ec. E-76)

( ) 0yM B =∑ (Ec. E-77)

Para desarrollar las ecuaciones (Ec. E-75), (Ec. E-76) y (Ec. E-77), es necesario tener en cuenta la descomposición de la fuerza lineal f a lo largo del arco:

2

0

0; · ·sin 0x A BF H V df dl

π

θ= + − =∑ ∫ (Ec. E-78)

MA

HA

MB

VA

HB

VB

Pág. 68 Memoria

2

0

0; · ·cos 0z A BF V H df dl

π

θ= − + =∑ ∫ (Ec. E-79)

( ) 0;yM B =∑

( )( )2

2

0

· · · · · sin · 1 sin cos 0B A A m A m mM M V R H R df dl R

π

θ θ θ⎡ ⎤+ + + + − − =⎣ ⎦∫ (Ec. E-80)

Se observa cómo el número de incógnitas del problema, 6, es superior al número de ecuaciones, 3, de modo que se trata de un problema hiperestático. Entonces, arcos estáticamente indeterminados (debido a los extremos empotrados) se pueden resolver mediante el primer teorema de Castigliano a partir de las ecuaciones siguientes (en este caso se acepta que el radio de curvatura es mayor a 10 veces la anchura de la sección):

dUydP

= (Ec. E-81)

2

2fMU dxEI

= ∫ (Ec. E-82)

Este caso se encuentra deducido en las tablas 18 de la bibliografía [E-4] como referencia de carga tangencial uniforme (5i). Se presenta la situación siguiente (Figura E.23):

Figura E.23 Esquema distribución de la carga f sobre la hélice

Con el fin de calcular estas reacciones se parte de una situación general (Figura E.24): se tiene un arco con un grado de curvatura igual a 2θ. Uno de sus extremos (B) está empotrado y recibe reacciones horizontal (HB), vertical (VB) y de momento (MB). Entonces se calcula para el su otro extremo (A) sus reacciones horizontal (HA), vertical (VA) y de momento (MA) teniendo en cuenta el desplazamiento horizontal (δHA), vertical (δVA) y su grado de rotación (ψA):


Figura E.24 Planteamiento general del cálculo a partir del primer teorema de Castigliano

Aplicando el primer teorema de Castigliano sobre el arco, obtenemos las siguientes ecuaciones de deformación y rotación:

Deformación horizontal en A

3A

HA HH A HV A HM HR MB H B V B LFEI R

δ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ec. E-83)

Deformación vertical en A

3A

VA VH A VV A VM VR MB H B V B LFEI R

δ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ec. E-84)

Rotación angular en A

2A

A MH A MV A MM MR MB H B V B LFEI R

ψ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ec. E-85)

Donde los coeficientes Bij se calculan como:

( )21 22 2HHB c k sc k scθ θ= + − − (Ec. E-86)

222 2HV VHB B sc k sθ= = − + (Ec. E-87)

22 2HM MHB B c k sθ= = − + (Ec. E-88)

Pág. 70 Memoria

( )21 22 2VVB s k sc k scθ θ= + + − (Ec. E-89)

2VM MVB B sθ= = (Ec. E-90)

2MMB θ= (Ec. E-91)

Y donde LFH, LFV y LFM son los términos de fuerza que vienen definidos por el tipo de carga que presenta la estructura. Hay que tener en cuenta que R se refiere en este caso al radio medio del agitador helicoidal.

Para el cálculo de los coeficientes Bij, es necesario conocer que:

cosc θ= (Ec. E-92)

sins θ= (Ec. E-93)

1 2 2

615

I EIkAR GAR

= − − (Ec. E-94)

2 21 IkAR

= − (Ec. E-95)

Se observa que es necesario conocer tanto las propiedades del material como la sección de la hélice para obtener los valores de las constantes. Por consiguiente, al haber determinado el material de construcción en el anexo D y la sección inicial de iteración en el inicio de este anexo, se pueden obtener estos valores:

Acero UNE F-3534

( ) ( )

5

55

2·102·10 1.55·10

1 1 0.29

E MPaEG MPaυ

=

= = =+ +

Determinamos el área de la sección y su momento de inercia:

3 2

3 5 4

0.01·0.2055 2.055·101 ·0.01·0.2055 7.96·10

12

A m

I m

−

−

= =

= =

Así pues, calculamos las constantes k1 y k2:


5 5 5

1 2 23 5 3

5

2 23

7.96·10 6·2·10 ·7.96·101 0.8952.116 0.2055 2.116 0.20552.055·10 5·1.55·10 ·2.055·10

2 27.96·101 0.958

2.116 0.20552.055·102

k

k

− −

− −

−

−

= − − =− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − =−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

En este caso, la biga presenta una carga tangencial uniformemente distribuida a lo largo de toda su longitud (Figura E.23)

Por consiguiente, se calculan estos términos de acuerdo con las ecuaciones siguientes:

( )21 22 2HLF fR c k s sc k sθ θ θ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ (Ec. E-96)

( ) ( )2 3 21 22 2 2VLF fR s k s c s s k c s scθ θ θ⎡ ⎤= − + − − + + −⎣ ⎦ (Ec. E-97)

2 222 2MLF fR k sθ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ (Ec. E-98)

Por otro lado, al ser las uniones soldadas consideradas como uniones empotradas, entonces

las deformaciones y rotación angular en A valen 0 ( )0AH AV Aδ δ ψ= = = , por lo cual, las

ecuaciones de deformación y rotación quedan reducidas a:

AHH A HV A HM H

MB H B V B LFR

+ + = (Ec. E-99)

AVH A VV A VM V

MB H B V B LFR

+ + = (Ec. E-100)

AMH A MV A MM M

MB H B V B LFR

+ + = (Ec. E-101)

Una vez definidos todos los coeficientes y ecuaciones, se calculan las reacciones en el punto A:

( )22 cos 45º 0.895· sin 45º·cos 45º 0.958·2·sin 45º·cos 45º4 4

0.562

HHB π π⎛ ⎞= + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Pág. 72 Memoria

( )22 ·sin 45º·cos 45º 0.958·2· sin 45º 0.1734HV VHB B π

= = − + =

2 ·cos 45º 0.958·2·sin 45º 0.2444HM MHB B π

= = − + =

( )22 sin 45º 0.895· sin 45º·cos 45º 0.958·2·sin 45º·cos 45º4 4

0.978

VVB π π⎛ ⎞= + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

2 sin 45º 1.1114VM MVB B π

= = =

2 1.5714MMB π

= =

( )

2 2

3 33 2

2.116 2.116 2·0.2052 2

7.98·10 10 ·9.81 ·0.01 ·sin 20.64º·2.116 0.2052

2

49.48

kg mf m mm s

Nm

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= − =−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

=

22.116 0.20549.48 · · 2 ·cos 45º 0.895·sin 45º· sin 45º·cos 45º2 4 4

2.116 0.20549.48 · ·0.958·2· ·sin 45º 0.532 4

HNLF mm

N m Nm

π π

π

⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦−⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

( )

23

2

2.116 0.20549.48 · 2 ·sin 45º 0.895·sin 45º cos 45º sin 45º sin 45º2 4 4

2.116 0.20549.48 · 2·0.958· cos 45º sin 45º 2sin 45º· cos 45º 6.062 4

VLF N

N N

π π

π

⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

22.116 0.20549.48 · 2 0.958·2· sin 45º 13.032 4M

NLF m Nm

π⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

0.562 0.173 0.244 0.532.116 0.205

2

AA A

MH V Nm

+ + = −−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠


0.173 0.978 1.111 6.062.116 0.205

2

AA A

MH V Nm

+ + = −−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

0.244 1.111 1.571 13.032.116 0.205

2

AA A

MH V Nm

+ + = −−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2.8616.40

20.33

A

A

A

H NV NM Nm

=== −

( )

( )

23 3

3 20

2 2

3 3 23 2

2.85 7.98·10 10 ·9.81 ·0.01 ·sin 20.64º· sin · · 0;

2.116 2.116 2·0.2052 2

7.98·10 10 ·9.81 ·0.01 ·sin 20.64º2

2.85 44.43

R

Br

B

kg mN V m d r drm s

kg mV m mm s

N N

π

θ θ+ − − =

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= − −

− =

∫ ∫

( )

( )

23 3

3 20

2 2

3 3 33 2

16.40 7.98·10 10 ·9.81 ·0.01 ·sin 20.64º· cos · · 0

2.116 2.116 2·0.2052 2

7.98·10 10 ·9.81 ·0.01 ·sin 20.64º·2

16.40 63.68

R

Br

B

kg mN H m d r drm s

kg mH mm s

N N

π

θ θ− + − =

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= − +

+ =

∫ ∫

( ) ( )

( )

( )

3 33

22

20

3 33 2

2.116 0.20520.33 2.85 16.40 · 7.98·10 10 ·2

2.116 0.205·9.81 ·0.01 ·sin 20.64º· sin · 1 sin cos · · 0;2

2.11638.72 7.98·10 10 ·9.81 ·0.01 ·sin 20.64º·

B

R

r

B

kgM Nm N mm

m m m d r drs

kg mM Nm mm s

π

θ θ θ θ

−⎛ ⎞− + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎡ ⎤− − =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

−= − −

∫ ∫

2 2

2

0.205 ·2

2.116 2.116 2·0.2052 2

· 1 12.942 2

m

m Nmπ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎝ ⎠ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Pág. 74 Memoria

• Cálculo de reacciones a partir de las fuerzas sobre el eje y

Si se considera únicamente la fuerza aplicada sobre el eje y, el problema queda reducido a un arco cargado perpendicularmente al radio de giro, esquematizado en la Figura E.25:

Figura E.25 Esquema barra curva cargada perpendicularmente

La barra está curvada Φ radianes, sobre la que se aplica una fuerza f lineal, perpendicular al radio de giro, que carga la barra a partir de θ radianes desde el punto A.

Igual que en el apartado anterior, se transforma la fuerza aplicada sobre el eje y calculada anteriormente en un término de fuerza lineal. Se tiene en cuenta como longitud de cálculo el radio medio de la hélice. Además, cabe definir w en el mismo sentido que en el gráfico, por lo que se introduce un signo negativo delante de la integral. Así pues, se calcula f como:

( ) ( ) ( )232·10 · 6.2·sin sin · · ·cos ··cos agua mH E P

m

g edF dF dFf

dl R d

α ρ α ρ ααθ

⎡ ⎤+ −+ − ⎣ ⎦= − = −∫ ∫

( ) ( )23· · · 2·10 · 6.2·sin · · ·cosR

agua mm mr

r dr d rdrg eR d R

θ α ρ ρ αθ

⎡ ⎤= − + − =⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( )2 2232·10 · 6.2·sin · · ·cos ·

2agua mm

R rg e

Rα ρ ρ α

−⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ (Ec. E-102)

Igual que en el apartado anterior, se aplican las ecuaciones de la estática (Ec. E-74) y (Ec. E-75):

0F =∑


0M =∑

Que, aplicadas al sistema que se presenta se reducen a:

0yF =∑ (Ec. E-103)

( ) ( ) 0xM B T B= =∑ ∑ (Ec. E-104)

( ) 0zM B =∑ (Ec. E-105)

Se obtienen tres ecuaciones mientras que el problema presenta 6 incógnitas; de modo que el arco constituye una pieza hiperestática.

Del mismo modo que en el apartado anterior, estas ecuaciones se obtienen a partir de la aplicación del segundo teorema de Castigliano:

dUydP

= (Ec. E-106)

2

2fMU dxEI

= ∫ (Ec. E-107)

Este se aplica al desplazamiento vertical y a las rotaciones en los dos ejes perpendiculares al y en los extremos de la porción de corona circular de 90º definida, de modo que obtenemos tres ecuaciones más.

Estas ecuaciones, primero las procedentes de la estática y a continuación las del segundo teorema de Castigliano, son:

2B AV V fR π= − (Ec. E-108)

2· ·B A AM V R T f R= − − (Ec. E-109)

2· · 12B A AT V R M f R π⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (Ec. E-110)

2 2 3 4

1 2 3 13· · · ·· · · · · ·· · · ·

A A AB A A A a

M R T R V R f Ry y R R F F F FE I E I E I E I

ψ= +Θ + + + + − (Ec. E-111)

Pág. 76 Memoria

2 3

4 5 6 16· · · ·· · · ·

· · · ·A A A

B A aM R T R V R f RF F F FE I E I E I E I

ψΘ = + + + − (Ec. E-112)

2 3

7 8 9 19· · · ·· · · ·

· · · ·A A A

B A aM R T R V R f RF F F FE I E I E I E I

ψ = −Θ + + + − (Ec. E-113)

Donde Fi son constantes que se calculan a partir de las dimensiones y propiedades de la porción de corona circular, así como las condiciones de aplicación de la carga en ella. El radio R se refiere, como en el apartado anterior, al radio medio que presenta la hélice.

Además, cabe tener en cuenta las restricciones de la hélice: los extremos estarán soldados de manera que se comportaran como extremos empotrados (Figura E.26). Con esta condición, se deducen las condiciones siguientes:

Figura E.26 Esquema simplificado de la aplicación de f

0A By y= = (Ec. E-114)

0A BΘ = Θ = (Ec. E-115)

0A Bψ ψ= = (Ec. E-116)

De modo que de las tres ecuaciones del teorema de Castigliano se pierden 6 incógnitas. En consecuencia, se presenta un sistema con seis ecuaciones y seis incógnitas, por lo que se puede resolver.

Por otro lado, este problema ya ha sido calculado y resuelto en la bibliografía [E-4], de modo que se aplican las ecuaciones encontradas para determinar las reacciones y las tensiones sobre el segmento de corona circular de hélice:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

13 4 8 5 7 16 2 7 1 8 19 1 5 2 4

1 5 9 6 8 4 3 8 2 9 7 2 6 3 5

· · · · · ·· ·

· · · · · ·a a a

A

C C C C C C C C C C C C C C CV f R

C C C C C C C C C C C C C C C− + − + −

=− + − + −

(Ec. E-117)


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

13 5 9 6 8 16 3 8 2 9 19 2 6 3 52

1 5 9 6 8 4 3 8 2 9 7 2 6 3 5

· · · · · ·· ·

· · · · · ·a a a

A

C C C C C C C C C C C C C C CM f R


=− + − + −

(Ec. E-118)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

13 6 7 4 9 16 1 9 3 7 19 3 4 1 62

1 5 9 6 8 4 3 8 2 9 7 2 6 3 5

· · · · · ·· ·

· · · · · ·a a a

A

C C C C C C C C C C C C C C CT f R


=− + − + −

(Ec. E-119)

Donde los coeficientes Ci se calculan de la siguiente manera:

( )1 61 ·sin 1 cos

2C C β φ φ β φ+

= = − − (Ec. E-120)

( )2 91 ·cos sin

2C C β φ φ φ+

= = − (Ec. E-121)

( ) ( )31sin ·cos sin

2C ββ φ φ φ φ φ+

= − − − − (Ec. E-122)

41 1·cos ·sin

2 2C β βφ φ φ+ −

= + (Ec. E-123)

5 71 ·sin

2C C β φ φ+

= = − (Ec. E-124)

81 1sin · ·cos

2 2C β βφ φ φ− +

= − (Ec. E-125)

( )2

1311 cos ·sin 2 2·cos

2 2aC φ ββ φ φ φ φ⎛ ⎞ +

= − − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ec. E-126)

( ) ( )161sin sin ·cos

2aC ββ φ φ φ φ φ+= − − + − (Ec. E-127)

( )191 ·sin 2 2·cos

2aC β φ φ φ+= − + (Ec. E-128)

··

E IG K

β = (Ec. E-129)

A partir de los datos que se tienen tanto de la hélice a estudiar como del material obtenemos:

Pág. 78 Memoria

( ) ( )

3 8 4

5

55

90º2

1 ·0.01 ·0.2055 1.71·10122·10

2·10 1.55·101 1 0.29

rad

I m

E MPaEG MPa

πφ

υ

−

= =

= =

=

= = =+ +

Únicamente es necesario conocer K de la ecuación (Ec. E-129). Se define K como la constante de rigidez torsional de la sección transversal (Figura E.27). Su fórmula para secciones rectangulares, obtenida en la bibliografía [E-4], es la siguiente:

Figura E.27 Parámetros característicos para el cálculo de K

43

4

16 3.36 13 12

b bK aba a

⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (Ec. E-130)

Sabiendo que 2a=0.2055m y 2b=0.01m, se procede al cálculo de las reacciones en los extremos de la porción de hélice:

43 8 4

4

16 0.005 0.0050.103·0.005 3.36 1 6.66·103 0.103 12·0.103

K m−⎡ ⎤⎛ ⎞= − − =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

5 8

5 8

2·10 ·1.171·10 0.2271.55·10 ·6.66·10

β−

−= =

( )1 6

2 9

3

1 0.227 ·sin 90º 0.227 1 cos90º 0.7372 2

1 0.227 ·cos90º sin 90º 0.6142 2

1 0.2270.227 sin 90º ·cos90º sin 90º 0.4842 2 2

C C

C C

C

π

π

π π

+= = − − =

+ ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


4

5 7

8

2

13

1 0.227 1 0.227· ·cos90º ·sin 90º 0.3872 2 2

1 0.227· ·sin 90º 0.9642 2

1 0.227 1 0.227sin 90º · ·cos90º 0.3872 2 2

1 0.22720.227 1 cos90º ·sin 90º 2 2·cos90º 0.212 2 2a

C

C C

C

C

π

π

π

ππ

+ −= + =

+= = − = −

− += − =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟= − − − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

16

19

0

1 0.2270.227 sin 90º sin 90º ·cos90º 0.4842 2 2

1 0.227 ·sin 90º 2 2·cos90º 0.2632 2

a

a

C

C

π π

π

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ ⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )23 3 3

2 2

2·10 · 6.2·sin 20.64º 10 7.98·10 ·9.81·0.01·cos 20.64º ·

2.116 2.116 2·0.2052 2

· 1826.912.116 0.2052

2

f

Nm

⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = −

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

2 2

2

0.210 0.387 0.964 0.484·2.116 0.20551826.91· ·2 0.737 0.964·0.614 0.737·0.387 0.387·

· 0.614·0.964 0.737·0.387 0.263 0.737· 0.964 0.614·0.387

· 0.484·0.387 0.614 0.964 0.614·0.737 0.484·0.964

13

AV− +−⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ − +⎝ ⎠

− − − +=

− − − +

= − 69.41N

( )( )

( ) ( )( )

2

2

2

0.210 0.964·0.614 0.737·0.387 0.484·2.116 0.20551826.91· ·2 0.737 0.964·0.614 0.737·0.387 0.387·

· 0.484·0.387 0.614 0.263 0.614·0.737 0.484·0.964

· 0.484·0.387 0.614 0.964 0.614·0.737 0.484·0.96

AM− +−⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ − +⎝ ⎠

− − − +

− − − +( )4

373.07Nm

=

=

Pág. 80 Memoria

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

2

2

2

0.210 0.737· 0.964 0.387· 0.614 0.484·2.116 0.20551826.91· ·2 0.737 0.964·0.614 0.737·0.387 0.387·

· 0.737· 0.614 0.484· 0.964 0.263 0.484·0.389 0.737

· 0.484·0.387 0.614 0.964 0.614·0.737 0.484·0

AT− − − +−⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ − +⎝ ⎠

− − − − −

− − − +( ).964

10.10Nm

=

= −

2.116 0.2051369.41 1826.91 · · 1371.232 2B

NV N m Nm

π−⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

222.116 0.205 2.116 0.2051369.41 · 10.10 1826.91 ·

2 2369.56

BNM N m Nm mm

Nm

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

222.116 0.205 2.116 0.2051369.41 · 373.07 1826.91 1

2 2 216.65

BNT N m Nm mm

Nm

π− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Una vez calculadas las fuerzas en los soportes, verificamos que con el grosor predeterminado la hélice aguante. Para ello, se calcula la resistencia de la hélice a las tensiones a las que está sometida. Finalmente, se aplicará el criterio de Von Mises para el cálculo de la tensión equivalente y se comprobará que el grosor predeterminado permita una tensión admisible en la pieza. En caso contrario, se repetirán los cálculos variando el espesor hasta conseguir un valor aceptable.

• Cálculo de las tensiones aplicadas sobre la hélice

De determinan las tensiones que sufre la hélice a partir de las solicitaciones.

A la vista de los resultados obtenidos en el cálculo de reacciones, los valores obtenidos con el estudio en el plano x-z influyen poco sobre las tensiones en vista a los datos obtenidos en el análisis de fuerzas en el eje y. Igualmente ocurre con el momento torsor. Por este motivo, no se tienen en cuenta en el cálculo de tensiones por sí que, con el fin de tener una sección admisible para el caso, aumentan el valor del coeficiente de seguridad.

Asumiendo esta aproximación, se calculan las expresiones de Ty y Mz en función del ángulo de giro de la hélice. Estas expresiones se encuentran determinadas en [E-4]:

( ) · ·y AT V f Rθ θ= − (Ec. E-131)


( ) ( )2· ·sin ·cos ·sin · · 1 cosz A A AM V R M T f Rθ θ θ θ θ= + − − − (Ec. E-132)

Se resuelven las expresiones de la matriz de tensiones para este caso, recordando las dimensiones (Figura E.28):

Figura E.28 Dimensiones principales de la sección de la hélice

( ) ( )2

3

· ·sin ·cos ·sin · · 1 cos· ·

·12

z A A Ax

z

M V R M T f Ry y

w eIθ θ θ θ θ

σ+ − − −

= = (Ec. E-133)

( ) 2 22 2

3 3

· ·6 6· 4 · 4

y Axy y

T e V f R ey T yw e w eθ θτ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Ec. E-134)

Estas ecuaciones están expresadas para ángulos en radianes, de modo que si se quiere calcular el ángulo en grados, cabe tener en cuenta el factor de conversión π/180 para pasar de grados a radianes. Este factor se utilizará para cálculos posteriores.

Para determinar el punto de mayor solicitación cabe tener previamente elegido el criterio de resistencia. Se considera inicialmente como si la hélice estuviera cargada estáticamente.

Con el fin de calcular la tensión equivalente, es necesario conocer tanto la sección como el punto en ésta donde se produce la solicitación máxima

Un análisis gráfico de la sección permite distinguir los puntos críticos en la sección al cambio de dirección de la tensión tangencial del momento torsor, la distribución de la tensión normal debida al momento flector en la sección y la distribución de la tensión tangencial debido al esfuerzo tangencial vertical:

Los puntos críticos de la sección son:

Punto A (y=±e/2): Recibe la tensión del momento flector máxima. El signo de y depende de si la tensión es de compresión o tracción, ya que en compresión, la resistencia es mayor

y

e

w

z

Pág. 82 Memoria

Punto B (y=0): Recibe la tensión tangencial del esfuerzo vertical máxima. El signo de z depende de las direcciones relativas entre las dos tensiones de modo que se sumen y no se resten, y así obtener el valor máximo.

Por otro lado, la condición de solicitación máximo, es decir, se debería obtener a partir de de la derivación de la expresión de la tensión equivalente (Ec. E-54) e igualando a 0:

( )2 2 2

1 · 2· · 6· · 6· ·2· 3·

2· · 6· · 6· · 0

xye x xzx xy xz

x xy xz

xyx xzx xy xz

τσ σ τσ τ τθ θ θ θσ τ τ

τσ τσ τ τθ θ θ

∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+ +

∂∂ ∂= + + =

∂ ∂ ∂

No obstante, con esta derivada se obtiene los valores mínimos de ésta, comprobando su segunda derivada y dando un valor positivo. Por ello, se deduce que los valores máximos de la tensión equivalente se obtienen en los extremos de la longitud de la hélice, donde se aplican las reacciones calculadas anteriormente

Punto A (y=±e/2)

0º 108.9390º 107.9

e

e

MPaMPa

θ σθ σ= == =

Punto B (y=0)

0º 1.7390º 1.73

e

e

MPaMPa

θ σθ σ= == =

Con estos valores de tensión equivalente, sabiendo que la tensión máxima admisible para el acero AISI 316 a 150ºC es de unos 600Mpa (ver [F-10]) y con un coeficiente de seguridad de 1,5 de modo que la tensión admisible es:

600 4001.5admMPa MPaσ = =

E.3.2 Dimensionado barras de unión hélice-eje

A continuación, se dimensionan las barras de sujeción de la hélice al eje central. Con este fin, se simplificarán los cálculos de modo que únicamente recibe en su extremo las fuerzas de empotramiento supuesto en el apartado anterior para el dimensionado de la hélice, sabiendo que cada barra (a excepción de las dos del extremo) presentan fuerzas aplicadas por cada lado de la hélice; se descarta la transmisión de momentos entre barras aplicando el


método de Hardy-Cross. Hay que tener presente que es un cálculo aproximado para iniciar las iteraciones posteriores mediante elementos finitos.

Asimismo, debido a la geometría de la hélice, las barras se encuentran giradas el mismo ángulo que el de paso de la hélice respecto la horizontal, hecho que se tendrá presente para la descomposición de fuerzas.

Así pues, en una barra (no situada en los extremos de la hélice) que soporta la hélice, las fuerzas que actúan sobre su extremo debido a ésta son (Figura E.29):

Figura E.29 Representación de las barras unidas a la hélice

0

0

0

60.822740.6428.03

x

y

z

N NT NT N

==

=

0

0

0

045.9826.75

x

y

z

M NmM NmM Nm

==

=

Además de estas fuerzas en su extremo, la barra presenta las mismas fuerzas aplicada que la hélice; no obstante, su expresión es algo diferente pues no presentan la misma geometría (Figura E.30).

Figura E.30 Dimensiones de la sección de la barra

Por otro lado, el análisis de las fuerzas se iniciará en el extremo de unión con la hélice y acabará en la unión con el eje central, de acuerdo con la Figura E.31 siguiente:

hélice

barra

y

z

b

a

Pág. 84 Memoria

Figura E.31 Representación de la barra respecto al agitador

Fuerza hidrodinámica (FH)

La ecuación diferencial de la fuerza hidrodinámica es (a partir de la ecuación (Ec. E-63)):

2· · ·H DdF C u dSρ= (Ec. E-63)

Consideraremos CD=2 para obtener una mayor seguridad en el dimensionado. Por otro lado, la velocidad lineal cambia con el desplazamiento a lo largo de la barra, paralela al radio de giro; por ello, se ha de expresar la velocidad como el producto de la velocidad angular y el radio. Igualmente, las barras presentan el mismo ángulo que la hélice con el fin de facilitar su unión soldada. Por ello el valor de la velocidad lineal aplicado a la barra será algo menor (ver apartado E.2 Dimensionado de la hélice):

( )· ·sinu L xω α= − (Ec. E-135)

La expresión queda:

( ) ( )2

2 23 2 2 3 256·2·10 · · ·sin · 2·10 · ·sin 20.64º· · ·30HdF L x dS L x a dxπω α ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (Ec. E-136)

Peso (FP)

La ecuación diferencial se expresa, a partir de las dimensiones de la sección de la barra, como:

33 2· · · · · · 7.98·10 ·9.81 · · ·P m m

kg mdF g dV g a b dx a b dxm s

ρ ρ= = = (Ec. E-137)

Fuerza de empuje (FE)

Su expresión diferencial queda definida como:

eje hélice

dx

L


33 2· · · · · · 10 ·9.81 · · ·E agua agua

kg mdF g dV g a b dx a b dxm s

ρ ρ= = = (Ec. E-138)

Con el fin de realizar el cálculo de fuerzas y, posteriormente, de tensiones, se descomponen estas fuerzas en los ejes x, y y z de la sección de la barra (Figura E.32):

Figura E.32 Representación de las fuerzas y los ejes de coordenadas sobre la barra

0Eje x ≡ (Ec. E-139)

( )·cosD P EEje y dF dF dF α≡ − − (Ec. E-140)

( )·sinP EEje z dF dF α≡ − (Ec. E-141)

Se calculan las tensiones en el extremo de la barra con el eje central, pues es el punto de mayor solicitación de ésta; para ello, cabe predeterminar un diámetro aproximado del eje central para definir la longitud de la barra: por ello, se supone un valor de 300mm de diámetro.

De este modo, la longitud de la barra es:

( )2.116 0.2055 0.3 0.8052 2

L m−

= − =

Así pues, se calculan las fuerzas internas en la barra en el extremo con el eje central:

0x xN N= (Ec. E-142)

( )0 0·cos

L

y y H P ET T dF dF dF α= + − −∫ (Ec. E-143)

y

z α

FD FE

FP

Pág. 86 Memoria

( )0 0·sin

L

z z P ET T dF dF α= + −∫ (Ec. E-144)

0x xM M= (Ec. E-145)

( )0 0 0· ·sin ·

L

y y z P EM M T L dF dF xα= + + −∫ (Ec. E-146)

( )( )0 0 0· ·cos ·

L

z z y H P EM M T L dF dF dF xα= + + − −∫ (Ec. E-147)

Aplicando en las expresiones anteriores las ecuaciones (Ec. E-136), (Ec. E-137) y (Ec. E-138):

60.82xN N=

( )

( ) [ ]

0.805 2

0

0.805 33 3

0

2740.64 8546.17· 0.805 · ·

0.8057.98·10 10 ·9.81·cos 20.64º· · · 2740.64 8546.17· · 51583.37· ·3

yT N x a dx

a b dx a a b N

= + − −

− − = + −

∫

∫

( )[ ]

0.805 3 3

028.03 7.98·10 10 ·9.81·sin 20.64º· · ·

28.03 19430· ·

zT N a b dx

a b N

= + − =

= +

∫

0xM =

( )[ ]

0.805 3 3

045.98 28.03·0.805 7.98·10 10 ·9.81·sin 20.64º· · · ·

68.54 7820.58· ·

yM Nm Nm x a b dx

a b Nm

= + + − =

= +

∫

( )

( ) [ ]

0.805 2

00.805

3 3

0

26.75 2740.64·0.805 8546.17· 0.805 · · ·

7.98·10 10 ·9.81·cos 20.64º· · · · 2232.97 299.07· 20762.31· ·

zM Nm Nm x x a dx

a b x dx a a b Nm

= + + − −

− − = + −

∫

∫

Para calcular la tensión máxima en la sección de la barra a partir de las fórmulas anteriores, se simplifican las fuerzas a las que está sometida la barra a las de mayor valor y así facilitar el cálculo. Igualmente, se dará un valor mayor de coeficiente de seguridad. En este caso, las fuerzas se reducirán al momento flector Mz y a la fuerza tangencial vertical Ty.


Por consiguiente, a partir de las ecuaciones presentadas en el apartado E.2.1, se calcula la expresión de la tensión equivalente en la barra (Figura E.33):

Figura E.33 Dimensiones de la barra de unión

32232.97 299.07· 20762.31· ·· ·

·12

zx

z

M a a by ya bI

σ + −= = (Ec. E-148)

2 22 2

3 3

2740.64 1486.07· 51583.37· ·6 6· 4 · 4

yxy

T b a a b by ya b a b

τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −

= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(Ec. E-149)

2 23·e x xyσ σ τ= + (Ec. E-150)

Los puntos críticos de la sección extrema de la barra son:

Punto C (y=±e/2): Recibe la tensión del momento flector máxima. El signo de y depende de si la tensión es de compresión o tracción, ya que en compresión, la resistencia es mayor

Punto D (y=0): Recibe la tensión tangencial del esfuerzo vertical máxima. El signo de z depende de las direcciones relativas entre las dos tensiones de modo que se sumen y no se resten, y así obtener el valor máximo.

No obstante, previamente al cálculo exacto de la tensión equivalente, es necesario concretar las dimensiones de la barra. Para ello, se consulta la bibliografía [G-5] para considerar las dimensiones comunes para este tipo de barra. Así pues, se sugiere unas dimensiones de barra a=16mm y b=10mm.

Se calcula la tensión equivalente para cada punto crítico y se compara con la tensión admisible del material de la barra (AISI 316):

( )max 423 600 4001.5adm

s

K MPa MPaC

σσ = = =

y

b

a

z

Pág. 88 Memoria

Punto C (y=±b/2; z=0)

2

23

2232.97 299.07· 20762.31· ··6

2232.97 299.07·0.016 20762.31·0.016·0.01 8381.25 4000.016·0.01

6

e xa a b

a b

Nm MPa MPam

σ σ + −= = =

+ −= >

Punto D (y=0)

2

3

2740.64 1486.07·0.016 51583.37·0.016·0.01 0.013· 3·6 00.016·0.01 4

44 400

e xy

MPa MPa

σ τ⎛ ⎞+ −

= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= <

Se observa cómo el punto C no soportaría el esfuerzo; por ello, se iteran diversos perfiles. Finalmente se obtiene el perfil a=50mm b=30mm, con el que se obtiene en el punto C:

23

2232.97 299.07·0.05 20762.31·0.05·0.03 295.6 4000.05·0.03

6

e Nm MPa MPam

σ + −= = <

Con un coeficiente de seguridad

600 2295.6s

MPaCMPa

= =

Para el caso de las barras que soportan los extremos de la hélice, las fuerzas aplicadas en el extremo son algo diferentes, pues solo reciben de un lado las fuerzas de ésta. El valor máximo en éstas es:

0 63.68xN N=

0 1371.23yT N=

0 44.03zT N= −

0 373.07xM Nm=

0 20.33yM Nm=


0 10.10zM Nm=

Se puede observar que básicamente aparece un momento torsor que se transmite por toda la sección y aumenta la tensión equivalente. No obstante, resulta ser poco relevante, de modo que se aceptan las dimensiones anteriores de las barras.

E.3.3 Dimensionado del eje

A continuación, se dimensiona el eje central del agitador. Cabe tener en cuenta que para el apartado G- se ha preseleccionado un diámetro inicial para el eje central (D=300mm).

Por lo tanto, inicialmente cabe comprobar este dimensionado. Esta comprobación se realizará para dos situaciones diferentes:

- Condición 1: Potencia nominal calculada en el anexo C y el peso del eje (como también el empuje)

- Condición 2: Reacciones de las barras sobre el eje calculadas en el apartado E-XXX y el peso del eje (junto con el empuje)

Se simplificará el cálculo desestimando el valor de la fuerza de fregamiento que realiza el líquido sobre el eje central.

Condición 1

Del anexo C, se conoce la potencia necesaria para el agitador así como la velocidad angular nominal, de modo que se conoce el momento torsor al que se somete el eje central, suponiendo un rendimiento de transmisión igual a la unidad:

·TP M ω= (Ec. E-151)

43700 7451.8656

30

TP WM Nmrad

sπω

= = =

Peso (FP)

Su expresión se reduce a:

Pág. 90 Memoria

( )22 33 2· · · · · · 7.98·10 ·9.81 · · 0.3 ·2.108

4 411664.74

P m m ekg mF g V g d h m mm s

N

π πρ ρ= = = =

=

Empuje (FE)

Esta fuerza se calcula como:

( )22 33 2· · · · · · 10 ·9.81 · · 0.3 ·2.108

4 41461.75

E agua agua ekg mF g V g d h m mm s

N

π πρ ρ= = = =

=

Estas dos fuerzas actúan perpendicularmente a la sección del eje (Figura E.34).

Figura E.34 Representación de la condición 1

De modo que el esfuerzo normal máximo que sufrirá la sección será:

11664.74 1461.75 10203xN N N N= −

Así pues, las expresiones de tensión del apartado E.2.1 aplicadas para esta situación quedan:

2 2

10203 114.340.3

4

xx

N N kPaS m

σ π= = =

FE

FP


max 4 37541.86· 1.41

· ·232 16

Txy

M D Nm MPaD D

τ τπ π

= = = =

Cabe tener en cuenta que la tensión máxima de diseño del eje difiere de manera importante con el general del material, de acuerdo con la tabla 21-3 de la bibliografía [E-6]. Como material acero inoxidable 316, esta tensión máxima es de 68.9Mpa.

2 2 2 23· 0.11434 3·1.41 2.44 68.9e x xy MPa MPaσ σ τ= + = + = <

Por lo tanto, estas condiciones son admisibles para este diámetro.

Condición 2

Para calcular estas tensiones cabe tener en cuenta la situación de las reacciones de las barras sobre el eje, teniendo en cuenta que el eje sujeta dos hélices con una barra cada 90º de giro, así como que las barras están giradas en el ángulo de la hélice; por lo tanto, hay que descomponer las reacciones de los ejes de sección de las barras a los ejes de sección del eje central (Figura E.35).

Pág. 92 Memoria

Figura E.35 Representación del eje en la condición 2

Se puede observar cómo los valores de las reacciones perpendiculares a la superficie cilíndrica se neutralizan entre sí, gracias a la doble hélice, así como los momentos flectores en el eje z local. Los esfuerzos verticales se combinan entre ellos, así como las reacciones en el eje z local crean un momento torsor adicional al momento My combinado de las barras situadas de manera opuesta en el eje (Figura E.36).


Figura E.36 Descomposición sobre el eje de los esfuerzos y momentos de la barra

'·cos '·siny y zT T Tα α= − (Ec. E-152)

'·sin '·cosz y zT T Tα α= + (Ec. E-153)

'·cos '·siny y zM M Mα α= − (Ec. E-154)

'·sin '·cosz y zM M Mα α= + (Ec. E-155)

Igualmente, cabe tener en cuenta las expresiones de la fuerza del peso y el empuje.

( )22 33 2· · · · · · 7.98·10 ·9.81 · · 0.3 ·2.108

4 411664.74

P m m ekg mF g V g d h m mm s

N

π πρ ρ= = = =

=

( )22 33 2· · · · · · 10 ·9.81 · · 0.3 ·2.108

4 41461.75

E agua agua ekg mF g V g d h m mm s

N

π πρ ρ= = = =

=

Se conocen los valores de las reacciones de la barra sobre el eje central:

Pág. 94 Memoria

' 60.82' 2737.57' 57.18

x x

y

z

N N NT NT N

= ==

=

0' 80.27' 2216

x

y

z

M NmM NmM Nm

==

=

Así pues, se procede a calcular el valor de tensiones para una sección situada por encima de la barra más alta:

2737.57·cos 20.64º 57.18·sin 20.64º 2541.7yT N= − =

2737.57·sin 20.64º 57.18·cos 20.64º 1018.5zT N= + =

80.27·cos 20.64º 2216·sin 20.64º 706yM Nm= − = −

80.27·sin 20.64º 2216·cos 20.64º 2102.1zM Nm= + =

-Referencia ejes eje central-

11664.74 1461.75 10·2541.7 15214xN N= − − = −

( )5· 2·706 · 1018.5 ·0.300 5532.25xM N m N m Nm= − =

( )2

15214 215.23· 0.3

4

xx

N N kPaS m

σ π−

= = = −

max 35532.25 1.04

·0.316

xyNm MPaτ τ

π= == =

( ) ( )2 20.21523 3· 1.04 1.81 68.9e MPa MPa MPa MPaσ = − + = <

De modo que el dimensionado inicial del eje central queda con un diámetro de=300mm

Asimismo, se puede observar que la potencia calculada en el anexo C (P=43.7kW) se aproxima al valor estimado a partir de los cálculos de tensiones en este apartado:


156·· 5532.25 · · · 32.4430xP M N m rad s kWπω −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Por otro lado, si bien difieren en un 20%, el coeficiente de seguridad dado al sistema permite que no sea necesario calcular de nuevo las dimensiones del agitador.

Por otro lado, se observa claramente como el dimensionado inicial es excesivo para el eje, de modo que se recalcula.

A partir de los valores calculados de esfuerzos en el eje, si bien presentan valores algo mayores para un eje de menor diámetro, se asumen los valores calculados para determinar el diámetro mínimo aceptable. Se asumen las condiciones extremas de las condiciones anteriores:

152147451.56

x

T

N NM Nm

= −=

Además, se ha podido observar que la fuerza que influye en mayor medida en el cálculo de esfuerzos es la fuerza hidrodinámica del fluido a mezclar. Si bien se ha supuesto constate para el cálculo anterior, en verdad esta fuerza es fluctuante en el tiempo y en cada unidad de volumen, de modo que la fuerza resultante, suma de las fuerzas periféricas perpendiculares a la superficie del eje no es nula continuamente sino que aparece un vector fuerza Fr, radial, que fluctúa estocásticamente tanto en módulo como en dirección. Esta fuerza resultante genera un momento flector sobre el eje del agitador igual a (Figura E.37):

Pág. 96 Memoria

Figura E.37 Esquema de la disposición de las fuerzas fluctuantes

·b rM F l= (Ec. E-156)

Igual ocurre con las fuerzas verticales que se generan en la hélice, cuya fluctuación también puede generar un momento flector:

( )·2

eb y

d dM T

−=∑ (Ec. E-157)

Para determinar este valor de momento flector, existe una expresión empírica que permite aproximar estos valores al valor máximo que tiene (bibliografía [E-6]):

max1

0.048· · ··

ni i h

i i

P L fMN D=

= ∑ (Ec. E-158)

Donde Pi es la potencia del agitador i [W], Li, su distancia al acoplamiento del agitador [m], fH el factor de servicio hidráulico, N, la velocidad angular del eje [rev·s-1], y Di, su diámetro [m].

Esta expresión está referida a agitadores de palas múltiples. No obstante, se puede aplicar para el caso de la doble hélice diseñada si se supone que cada dos barras de unión eje-hélice enfrentadas, si bien tiene giro opuesto, comprenden una turbina de palas de diámetro (d-w) y la potencia de cada turbina supuesta es proporcional a las fuerzas que reciben.


Así pues, el esquema de la doble hélice helicoidal queda representada en forma de turbinas de palas en la Figura E.38

Figura E.38 Esquema del agitador de palas equivalente al agitador doble helicoidal

Como factor de servicio hidráulico fH, se escoge el caso más extremo a partir de la tabla 21-2 de la bibliografía [H-6].

fH =7

Así pues, el valor del momento flector vale:

max 1371.4M Nm=

A partir de estos valores, se procede al cálculo del diámetro mínimo:

2 2

6 max2 3 368.9·10 3·

· · ·4 32 16

x Te

e e e

N M MPad d d

σπ π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(Ec. E-159)

El valor de de mínimo es de=0.105m.

250mm

529mm

529mm

529mm

529mm

P1=4.37kW

P5=4.37kW

P4=8.74kW

P3=8.74kW

P2=8.74kW

acoplamiento

Pág. 98 Memoria

Teniendo en cuenta que las dimensiones de las barras son 5x3cm, el diámetro se escoge 0.12m, para tener un coeficiente de seguridad superior a 1.5 debido a todas las hipótesis presentadas durante su cálculo.

Para acabar el diseño del eje, se realiza su análisis a fatiga. Para ello, cabe tener presente que las condiciones de solicitación son las de carga combinada.

Primeramente, se definen las tensiones medias y alternativas a las que el eje está sometido.

Debido a la falta de mayor información, se supone como tensión normal media el esfuerzo de compresión sobre el eje Nx.

( )215240 1.35

· 0.124

xm

N N MPaS m

σπ−

= = = −

Como tensión tangencial media, se determina la tensión tangencial producida por el momento torsor del motor sobre el eje MT.

( )30

7451.86 21.96· 0.12

16

Tm

M Nm MPaI m

τπ

= = =

Como tensiones alternativas, se supone que actúa únicamente la tensión normal producida por el momento flector Mb generado por la fluctuación de carga, el cual también es fluctuante; se calcula en su valor máximo, obtenido para el cálculo estático anterior:

( )31371.4 8.08

· 0.1232

bMb

z

M Nm MPaW m

σπ

= = =

Se puede observar que al ser fluctuante, el valor de la tensión de Mb puede presentar tanto el mismo signo que la tensión normal media como el signo contrario, de modo que genera las tensiones normales máxima y mínima:

max m Mbσ σ σ= +

min m Mbσ σ σ= −

De la definición de la tensión normal fluctuante en la ecuación (Ec. E-57), se tiene:


max min 2·2 2

Mba Mb

σ σ σσ σ−= = = (Ec. E-160)

Por otro lado, como la tensión normal media es de compresión, la tensión media de Von Mises se calcula a partir de la ecuación (Ec. E-61)

2' 2 21.3

2 2m m

m m MPaσ σσ τ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

A continuación, se calcula la tensión alternativa de Von Mises, sabiendo que únicamente se supone tensión normal alternativa, a partir de la ecuación (Ec. E-60):

' ·a f MbK σσ σ= (Ec. E-161)

Kfσ se obtiene e la bibliografía [E-2] a partir de la expresión:

( )1 · 1f f tK K q Kσ = = + − (Ec. E-162)

Donde q es la sensibilidad a la entalla, comprendida entre 0 y 1, y Kt, el coeficiente de concentración de tensiones teórico o geométrico.

Si se desconoce el valor de q, entonces se puede suponer el valor del coeficiente de concentración de tensiones igual al teórico, de modo que si al final no resulta tan sensible el material, se obtiene una mayor seguridad de funcionamiento.

Kt se determina a partir de la figura 3.17 de la bibliografía [H-2]:

0 3at

e

d Kd

= → =

Así pues, se obtiene el valor de la tensión alternativa de Von Mises aplicando la ecuación (Ec. E-161)

' 3·8.08 24.25a MPa MPaσ = =

Una vez definidas las tensiones medias y alternativas del eje, se procede a determinar el diagrama de Goodman.

Primero, se calcula el límite de fatiga de la pieza Sf.

Pág. 100 Memoria

De la bibliografía [E-7], se obtiene el límite a fatiga del material, la resistencia a tracción, y de la bibliografía [E-8], su límite de fluencia:

' 270 600 393f m eS MPa R MPa R MPa= = =

Se aplica la ecuación (Ec. E-58) suponiendo Kf=1 puesto que este coeficiente está incluido dentro de σa’.

'· · ·f l d s fS k k k S= (Ec. E-163)

Se calculan los coeficientes de la ecuación a partir de los gráficos y figuras de [E-2]:

kl=1 (Tabla 4 bibliografía [E-2], flexión)

kd=0.85 (Tabla 6 bibliografía [E-2], 7.6mm<d<50mm)

ks=0.9 (Figura 3.5Tabla 6 bibliografía [E-2], rectificado)

De modo que el límite a fatiga de la pieza (Ec. E-163) es:

Sf=0.9·0.85·270MPa=206.55MPa

Así pues, se representa en el diagrama de Goodman modificado el punto de funcionamiento (Figura E.39).

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 100 200 300 400 500 600 700

σm [MPa]

σa [M

Pa]

Figura E.39 Diagrama de Goodman modificado para el eje en estudio


Se observa cómo el punto de funcionamiento (21.30, 24.25) se encuentra dentro del espacio limitado por las dos rectas, por lo que el funcionamiento del eje está asegurado a vida infinita.

E.4 Bibliografía

[E-1] BERROCAL, LUIS ORTIZ “Resistencia de Materiales” McGraw-Hill , 1990

[E-2] BIGORDA I PEIRO, JACINT, FENOLLOSA I CORAL, JOSEP “La fatiga dels elements mecànics” Edicions UPC 1997

[E-3] GERHART, P., GROSS, R., HOCHSTEIN, J. Fundamentos de mecánica de fluidos 1995 p. 649-731, Addison-Wesley Iberoamericana.

[E-4] ROARK, RAYMOND J., YOUNG, WARREN G. Formulas for Stress and Strain 1975 p. 209-286, McGraw-Hill International Student Edition

[E-5] CHEVALIER, A. Dibujo Industrial 2005 p. 256-258, Limusa Noriega Editores.

[E-6] PAUL, EDWARD L., ATIEMO-OBENG, VICTOR A., KRESTA, SUZANNE M. Handbook of industrial mixing: science and practice p. 1250-1310 Wiley-IEEE, 2004

[E-7] RIBA ROMEVA, CARLES Disseny de màquines IV: Selecció de materials 1 p. 122-123, Edicions UPC, 2005

[E-8] Grupo Infra

www.infra.com.mx/servicio_atencion/libreria/eisa/documentos/manual_electrodos/ aceros_inox.pdf [15 de mayo de 2009]

[E-9] TOTENHAUPT, PETER, TODTENHAUPT, ERICH EKATO Handbook of Mixing Technology p. ME.1-ME.15 Schopfheim, 2000

[E-10] DI CAPRIO, GABRIELLE, Los aceros inoxidables p. 85 Grupinox, 1999

Pág. 102 Memoria

F. Diseño del tanque del reactor

F.0 Glosario

A área requerido para resistir la presión interna [mm2]; coeficiente para la determinación a presión externa

A1 área de espesor excedente [mm2]

A2 área del espesor excedente de la pared de la boquilla [mm2]

A3 área de extensión de la boquilla hacia el interior [mm2]

A4 área de las soldaduras [mm2]

B coeficiente de presión admisible [Pa]

c sobreespesor de corrosión [mm]

d diámetro interno sin el sobreespesor de una tubería [m]

D0 diámetro externo [m]

E eficiencia de soldadura

Ff fuerza de reacción externa sobre el fondo inferior [N]

g aceleración de la gravedad ( = 9.81m·s-2)

h altura de la superficie esférica del fondo torisférico [m]

h longitud de boquilla hacia el interior del recipiente [m]

h1 altura vertical del fondo torisférico [m]

h2 altura circunferencial del fondo torisférico [m]

h3 altura del fondo torisférico [m]

L altura del recipiente [m]

M coeficiente para el cálculo del fondo torisférico


m masa [kg]

Pa presión admisible [Pa]

Patm presión atmosférica (=101300Pa)

Pext presión externa [Pa]

Pint presión interna [Pa]

R radio [m]

r radio interno del fondo torisférico [m]

S esfuerzo permitido para el material del recipiente [Pa]

s espesor del fondo torisférico [mm]

S superficie esférica del fondo

t espesor [mm]

tc espesor por tensión circunferencial [mm]

tL espesor por tensión longitudinal [mm]

tn espesor nominal de la tubería [mm]

tr espesor calculado para el fondo, sin el margen de corrosión [mm]

trn espesor requerido de la pared de la boquilla [mm]

α semiángulo de la superficie esférica del fondo torisférico

F.1 Introducción

Existen diversos manuales para dimensionar tanques a presión, tales como el Merkblätter o el código ASME. Estos códigos están diseñados por comités de ingenieros con experiencia en el diseño y fabricación de tanques y son revisados periódicamente. Para el diseño del tanque de este caso, se ha escogido el código ASME sección VIII división 1 debido a que es la norma internacionalmente más reconocida y de uso más frecuente.

Pág. 104 Memoria

Esta norma cubre el diseño, la selección de materiales, la fabricación, la inspección, las pruebas, los criterios de aprobación y la documentación resultante de las distintas etapas a cumplir.

Antes de iniciar su aplicación, se recopila toda la información expuesta y predeterminada de las características del tanque a diseñar.

El tanque del proceso de polimerización presenta un diámetro interno de 2.32m y una altura aproximada de 2.366m. Estará sometido a una presión interna de 2atm para facilitar la salida del producto por la parte inferior, compensando las posibles pérdidas de carga en su conducción. Asimismo, estará envuelto por una camisa para mantener la temperatura del reactor a 150ºC de la reacción. Por otro lado, el material seleccionado para el recipiente es acero inoxidable AISI 316 Ti.

Cabe destacar que el tanque, unido a la chaqueta de enfriamiento será sujetado por un soporte en forma de falda mediante soldadura. Igualmente se determinan los orificios que presentará el recipiente, ya sea para la entrada o salida de productos, introducción de sondas o reparaciones; en la parte superior, además del orificio para el eje del agitador, una boca de hombre de 16”, además de 1 abertura de 10”, 4 de 2”, 4 de 1,5”, 3 de 1” y 3 abertura más de 0.5”; en el fondo se dispondrán 1 abertura de 10” y 2 casquillos de 0.5”.

Las dimensiones nominales de las tuberías para estas aberturas se escogen de las páginas 118 a 122 de [F-2].

Además, el tanque presentará uniones soldadas con cada uno de sus elementos a excepción del soporte con el reductor y el motor situado en la parte superior de éste, el cual presentará uniones atornilladas.

Una vez definidas las características principales del tanque, se procede a la aplicación de la norma ASME sección VIII división 1 [F-1].

Primeramente, se determina el valor de esfuerzo permitido para el material del recipiente. En este caso, el acero AISI 316 Ti trabajando a 150ºC presenta una resistencia máxima a tracción de:

6.89413400 · 92.381

kPapsi MPapsi

=

Valor extraído de la página 160 de [F-2].


El cálculo de las dimensiones del tanque se realizan de modo separado por elementos de éste: se empieza por su parte central cilíndrica, cuyas dimensiones se han calculado en el anexo C, y se prosigue con los fondos, o cabezas, superior e inferior.

F.2 Diseño del recipiente cilíndrico

A continuación, se empieza el cálculo del tanque de acuerdo con su presión interna máxima de operación. Como se ha fijado, la presión interna será de 2atm. También es necesario computar el valor de la presión hidrostática del líquido. Al tener la altura del tanque y la densidad aproximada del recipiente (datos extraídos de los anexos B y C, h≈2.366m ρ≈1000kg/m3) y recordando que la presión hidrostática se calcula como:

· ·hidP g hρ=

Se obtiene una presión final de:

3int 3 2

12 10 ·9.81 ·2.366 · 2.23101300

kg m atmP atm m atmm s Pa

= + =

Se recomienda diseñar el recipiente y sus componentes para una presión mayor que la de operación; para ello, se utiliza una presión un 10% más que la presión de trabajo, de modo que:

5int 1.1·2.23 2.453 2.5·10P atm atm Pa= =

Por otro lado, cabe tener en cuenta la eficiencia de las juntas de soldadura (E). Normalmente los tanques se realizan por doblado de chapa y una unión soldada longitudinalmente. Por ello, se valor E como 0.85, considerando que las soldaduras son examinadas por zonas.

Asimismo, la corrosión también es un factor importante para determinar las dimensiones del tanque. En este caso, la corrosión puede ser importante, debido a la presencia de agentes corrosivos en el recipiente (anexo D), lo que hará incrementar el espesor que se determine en 4mm.

De acuerdo con la sección UG-27 del código [F-1], para recipientes cilíndricos se determina el grosor del tanque como el máximo obtenido según si la tensión longitudinal o la circunferencial es mayor:

5

int6 5

int

2.322.5·10 ·· 2 3.7 4· 0.6· 92.38·10 ·0.85 0.6·2.5·10c

mPaP Rt mm mmS E P Pa Pa

= = =− −

Pág. 106 Memoria

5

int6 5

int

2.322.5·10 ·· 2 1.8 22· · 0.4· 2·92.38·10 ·0.85 0.4·2.5·10L

mPaP Rt mm mmS E P Pa Pa

= = = =+ +

De modo que el grosor teórico es:

4ct t mm= =

Cabe tener en cuenta, asimismo, el sobreespesor de corrosión. Puesto que las condiciones de trabajo no son severas, se considera un espesor de corrosión igual a 2mm:

c = 2mm

Por lo tanto, el espesor de pared a presión interna es:

6ct t c mm= + =

Una vez determinado su grosor en condiciones de presión interna, se calcula este mismo grosor pero ahora en condiciones de presión externa. Ésta se ha determinado en 1atm, presión atmosférica. Como en el caso anterior, se calcula el espesor para una presión un 10% superior para asegurarse su correcto diseño:

5int 1.1·1 1.1 1.11·10P atm atm Pa= =

Se aplica el apartado UG-28 (c) para tanques cilíndricos. Se asume un D0/t>10 puesto que un grosor inferior a este supondría unos 232mm de grosor para 1atm aproximada, hecho que sería poco probable cuando los datos del diseño a presión interna han dado un grosor inferior 10mm.

Se supone un valor de 8mm de grosor, contando la corrosión posible, de modo que las relaciones entre ésta, el diámetro exterior y la longitud del tanque quedan:

0

2.366 1.012.32 2·0.008

L mD m m

= =+

0 2.32 2·0.008 292.50.008

D m mt m

+= =

Con estos valores determina A a partir de la figura UGO-28.0 de [F-2].

0.00025A =


Una vez calculado A se valora gráficamente B a partir de la Figura F.1 obtenido de la página 45 de [F-2].

Figura F.1 Gráfico para la obtención de B a partir de A y de la temperatura en ºF

3500 24.13B psi MPa= =

Usando el valor de B, se calcula el valor de la presión externa máxima admisible:

0

4· 4·24.13 0.12 1.093·292.53·

aB MPaP MPa atmDt

= = = =

Así pues Pext=1.1atm≈1.09atm, por lo que se acepta este valor de grosor calculado a partir de la presión interna.

Finalmente, cabe añadir el sobreespesor por corrosión. De acuerdo con [F-1], para condiciones poco severas, este sobreespesor vale 2mm; por lo tanto, el grosor de la pared del tanque es:

t=10mm

Entre los dos valores obtenidos, a presión interna y a presión externa, se escoge este último.

Por lo tanto, el espesor del recipiente cilíndrico es de 10mm

Pág. 108 Memoria

F.3 Diseño del fondo inferior

Una vez finalizado el cálculo del espesor de la parte central del tanque, se prosigue con el cálculo de los fondos superior e inferior del recipiente. Se eligen como fondos del recipiente cabezas torisféricas.

Para su diseño, cabe tener en cuenta una presión interna igual al del recipiente (2.2atm) y como presión externa, la presión aproximada que ejercería todo el reactor sobre éste, de acuerdo con la Figura F.2 del diseño aproximado de éste:

Figura F.2 Esquema de fuerzas en el reactor

Donde Ff es la fuerza que presiona sobre el exterior del fondo inferior, la se iguala al peso de todo el conjunto. Se aproxima la masa total del reactor a unas 20Tm, ya que en sí, el producto dentro del reactor pesaría la mitad de esto.

La eficiencia de la junta continúa considerándose 0.85.

Las dimensiones del fondo se ajustan a las normas DIN 28011 (Figura F.3)

m·g

Ff Ff

Patm


Figura F.3 Esquema de la cabeza torisférica [F-3]

Donde se aprecian las relaciones siguientes:

0R D= (Ec. F-1)

00.1·r D= (Ec. F-2)

1 3.5·h s= (Ec. F-3)

2 00.1935· 0.455·h D s= − (Ec. F-4)

3 1 2h h h= + (Ec. F-5)

De estas relaciones, únicamente se conoce D0 o diámetro exterior, el cual es el mismo que para el recipiente cilíndrico calculado en el apartado F.1.

D0=2.34m

Igualmente, cabe tener en cuenta que en la superficie del fondo se han de producir tres orificios, uno de 10” de diámetro justo en el centro, para la salida de producto, y dos más de 0.5” alrededor de éste, para insertar dispositivos de medida de temperatura y nivel. Estos orificios disminuyen la superficie del fondo, de modo que esto se tiene en cuenta en el cálculo de la presión externa.

Se procede al cálculo del espesor del fondo a presión interna. Su expresión es:

int

int

· ·2· · 0.2·

P R MtS E P

=−

(Ec. F-6)

Pág. 110 Memoria

Donde M es un coeficiente que se calcula a partir de la relación R/r del fondo. En este caso, al definir las características del fondo a partir de las expresiones (Ec. F-1) y (Ec. F-2), esta relación se conoce, por lo que se obtiene M a partir de los datos en [F-2].

10 1.54R Mr= → =

De este modo, se aplica la ecuación (Ec. F-6) puesto que se conocen todos los datos:

5

6 5

2.5·10 ·2340 ·1.54 5.7 62·92.38·10 ·0.85 0.2·2.5·10

Pa mmt mm mmPa

= =−

Cabe añadir el sobreespesor de corrosión, el cual es el mismo que para el recipiente cilíndrico (c=2mm)

t=8mm

Previamente a proceder al cálculo del fondo a presión externa, cabe determinar esta presión a partir de la carga a la que está sometida (aproximada a 30Tm) y de la superficie del fondo.

Esta superficie se aproxima a la de la parte esférica del fondo.

La superficie esférica del fondo se calcula como:

2· · ·S R hπ= (Ec. F-7)

Donde S es la superficie esférica del fondo, R, el radio de la superficie, y h, la altura de superficie esférica que presenta el fondo.

De la expresión (Ec. F-7) se desconoce h; ésta, se extrae de las relaciones trigonométricas de las dimensiones del fondo:

( )00.1935· 0.455· ·cosh D s r α= − − (Ec. F-8)

0

2arcsin

D s r

R rα

⎛ ⎞− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(Ec. F-9)

Se supone un espesor de fondo igual a 10mm (s=10mm) para realizar este cálculo. Así pues, se calcula la superficie S:


2.34 0.01 0.2342arcsin 26.39º

2.34 0.234

m m m

m mα

⎛ ⎞− −⎜ ⎟= =⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )0.1935·2.34 0.455·0.01 0.234 ·cos 26.39º 0.239h m m m m= − − =

22· ·2.34 ·0.239 3.51S m m mπ= =

Así pues, la presión externa a la que está sometido el fondo inferior es:

3

2

· 20·10 ·9.81 101300 1571973.51ext

m g NP PA PaS m

= = +

Para la presión externa calculada, se procede a la determinación de su espesor.

El procedimiento es idéntico al realizado para el recipiente cilíndrico

Se calcula la relación D0/t suponiendo un grosor inicial t; este grosor inicial se coge del valor obtenido para la presión interna sin el sobreespesor de corrosión

t=6mm 0 2.34 3900.006

D mt m= =

Se calcula el factor A a partir de la fórmula siguiente:

4

0

0.125 0.125 3.2·10390

A Dt

−= = =

Con este valor de A se entra en el gráfico de material aplicable de la figura F.1, a la misma temperatura que en el apartado anterior, obteniendo el factor de presión B:

A=0.000032 B = 4000psi = 27.576MPa

Se aplica la fórmula de la presión admisible para este caso:

6

0

27.576·10 70700 158000390a

B PaP Pa PaDt

= = = <

Por lo tanto, se busca otro grosor.

Pág. 112 Memoria

Finalmente, con un grosor de t=10mm, se obtiene, mediante el procedimiento anterior:

0 2.34 2340.01

D mt m= =

4

0

0.125 0.125 5.34·10234

A Dt

−= = =

A=0.00053 B = 6500psi = 44.815MPa

6

0

44.815·10 191517 158000234a

B PaP Pa PaDt

= = = >

Por lo tanto, se escoge un grosor de t=10mm

De este modo, el grosor del fondo inferior, añadiendo el sobreespesor de corrosión indicado, es:

t=s=12mm

De esta manera, quedan perfectamente definidas las dimensiones del fondo torisférico inferior, de (Ec. F-3) a (Ec. F-5).

1 3.5·12 42h mm mm= =

2 0.1935·2340 0.455·12 447.33h mm mm mm= −

3 1 2 42 447.33 489h h h mm mm mm= + = +

Por otro lado, cabe diseñar las aberturas para el fondo inferior:

- 1 abertura de 10” para la salida de producto

- 2 aberturas de 0.5” para la instalación de sensores

Para el diseño de las aberturas del fondo inferior, se siguen las normas de UG-36 a UG-43 de [F-1] puesto que el diámetro de éstas no supera la tercera parte del diámetro nominal del tanque ni los 1000mm. Para todas las aberturas, se considera que la longitud suya que entra dentro del fondo es de 10mm.


Abertura de 10”

Se calcula el espesor a partir de las fórmulas ya vistas para recipientes cilíndricos a presión interna y externa.

Para este caso, la presión interna a la que está sometida la abertura es la misma que la máxima del tanque, Pint=2.5atm, mientras que la presión externa únicamente es de 1atm. Sabiendo que el diámetro interno de la abertura es 254mm, el espesor de pared nominal, 16mm, de acuerdo con los catálogos de tuberías de 10” de [F-2], el material, el mismo que el recipiente (cuya tensión máxima admisible es de 92.38MPa), la eficiencia de soldadura se considera la unidad, se calculan los espesores tanto a tensión longitudinal como circunferencial y se escoge el máximo:

5

6 5

2542.5·10 ·2 0.344

92.38·10 0.6·2.5·10c

Pa mmt mm

Pa Pa= =

−

5

6 5

2542.5·10 ·2 0.172

2·92.38·10 0.4·2.5·10L

Pa mmt mm

Pa Pa= =

+

En general, toda abertura superior a 3” debe reforzarse alrededor con una superficie aproximadamente igual a la que se ha eliminado.

El método que se sigue para determinar esta área de refuerzo es la siguiente:

Se calcula el área requerido para resistir la presión interna (A). A ésta, se restan las áreas excedentes disponibles dentro del límite A1, A2, A3 y A4. Si la suma de éstas últimas es igual o mayor a A, entonces la abertura está reforzada adecuadamente. En caso contrario, debe complementarse la diferencia por un parche de refuerzo A5. Las dimensiones necesarias para su cálculo vienen definidas en la Figura F.4.

Figura F.4 Esquema de una abertura [F-2]

Sus expresiones son las siguientes:

Pág. 114 Memoria

·A d t= (Ec. F-10)

Donde d es el diámetro interno sin el sobreespesor de corrosión de la tubería y tr, el espesor calculado para el fondo, sin el margen de corrosión.

En este caso:

A= (254mm) ·12mm= 3048mm2

El área de espesor excedente A1 se calcula como:

A1 = (t-tr) ·d (Ec. F-11)

O bien

A1 = (tn+t) ·2 (Ec. F-12)

Se escoge el valor máximo del resultado de aplicar estas dos expresiones, siendo t el espesor nominal calculado del fondo, tn, el espesor nominal de la tubería.

Se procede a su determinación y se obtiene que el valor máximo es:

A1 = 508mm2

El área del espesor excedente de la pared de la boquilla A2 se expresa como:

A2 = (tn-trn) ·5·t (Ec. F-13)

O bien

A2 = (tn-trn) ·5·tn (Ec. F-14)

Donde trn es el espesor requerido de la pared de la boquilla. De estas dos ecuaciones se escoge la que de un valor menor.

Si se procede con el cálculo, se obtiene:

A2 = 1200mm2

A3 se denomina como el área de extensión de la boquilla hacia el interior. Se calcula como:

A3 = (tn-c) ·2·h (Ec. F-15)

Donde c es el sobreespesor de corrosión, y h, la longitud de boquilla dentro del recipiente.


Para este caso, esta área vale:

A3 = 280mm2

A4 se define como el área de las soldaduras

Se considera un tamaño de cordón de soldadura de 5mm, por lo que A4 es:

A4=25mm2

La suma de estas áreas da:

A1+A2+A3+A4= 2013mm2

Como esta área es menor de la requerida por el esfuerzo A, se necesita refuerzo adicional. se opta por un parche de refuerzo de un área aproximada de 1035mm2. Se utiliza una placa también de acero AISI 316, de diámetro interno igual al diámetro externo de la tubería; por lo tanto el diámetro exterior mínimo del parche es:

( )22 2 201035 · 254 2·16

4mm D mmπ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

D0=288.3mm

Aberturas de 0.5”

Al presentar un diámetro inferior a 3”, no es necesario calcular la necesidad de refuerzo. Únicamente se selecciona unas dimensiones que admitan una presión interna de 2.5atm. Su espesor de pared, por lo tanto, de acuerdo con los catálogos de tuberías de 0.5” de [F-2], es de:

tn= 3.7mm

F.4 Diseño del fondo superior

Se procede con la misma metodología que con el diseño del fondo inferior.

Se escoge como fondo superior uno torisférico. Sus dimensiones se ajustan a las normas DIN 28011, presentadas en la figura F.3 y en las ecuaciones (Ec. F-1) a (Ec. F-5).

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Las aberturas que presenta son una boca de hombre de 16”, 1 abertura 10”, 4 de 2”, 4 de 1,5”, 3 de 1” y 3 aberturas 0.5”, además de la abertura correspondiente para la entrada del eje del agitador mecánico al recipiente.

Por otro lado, la presión interna de diseño se considera de 2.1atm (un 10% superior a la interior para mayor seguridad), mientras que, para determinar la presión externa, se valoran las fuerzas externas que recibe el fondo, básicamente el peso del conjunto mecánico del agitador (Figura F.5) y se determina la superficie del fondo, eliminando la superficie de las aberturas que presenta.

Figura F.5 Esquema de fuerzas sobre el casco torisférico es superior

De acuerdo con lo supuesto en el apartado F.3, si la masa aproximada del reactor es de 20Tm, restando la masa del producto, que es de unas 10Tm, la masa del conjunto mecánico se supone de 10Tm.

Respecto a la superficie del fondo, se conoce su diámetro exterior, igual al diámetro exterior del recipiente cilíndrico, D0=2.34m; de modo que la se calcula la superficie que aguanta el peso del conjunto mecánico a partir de la ecuación (Ec. F-7) y de las relaciones entre las dimensiones del fondo, (Ec. F-8) y (Ec. F-9).

2· · ·S R hπ= (Ec. F-7)

( )00.1935· 0.455· ·cosh D s r α= − − (Ec. F-8)

0

2arcsin

D s r

R rα

⎛ ⎞− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(Ec. F-9)

Se supone un espesor de fondo igual a 10mm (s=10mm) para realizar este cálculo. Así

m·g

Patm


Pues, se calcula la superficie S:

2.34 0.01 0.2342arcsin 26.39º

2.34 0.234

m m m

m mα

⎛ ⎞− −⎜ ⎟= =⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )0.1935·2.34 0.455·0.01 0.234 ·cos 26.39º 0.239h m m m m= − − =

22· ·2.34 ·0.239 3.51S m m mπ= =

A continuación, se le resta la superficie de las aberturas ya que algunas son de tamaño importante.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 22 3 3 3 3

2 2 23 3 2

3.51 · 3· 12.7·10 3· 25.4·10 4· 50.8·10 3· 38.1·104

· 254·10 406.4·10 0.12 3.34

S m m m m m

m m m m

π

π

− − − −

− −

⎡ ⎤= − + + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

Por consiguiente, la presión externa de diseño es:

3

2

· 10·10 ·9.81 101300 1290273.3ext atm

m g NP P PaS m

= + = + =

Se procede al cálculo del espesor del fondo a presión interna; para ello, se usa la ecuación (Ec. F-6):

int

int

· ·2· · 0.2·

P R MtS E P

=−

(Ec. F-6)

Donde M es un coeficiente que se calcula a partir de la relación R/r del fondo. En este caso, al definir las características del fondo a partir de las expresiones (Ec. F-1) y (Ec. F-2), esta relación se conoce, por lo que se obtiene M a partir de los datos en [F-2].

10 1.54R Mr= → =

De este modo, se aplica la ecuación (Ec. F-6) puesto que se conocen todos los datos:

5

6 5

2.1·10 ·2340 ·1.54 4.82 52·92.38·10 ·0.85 0.2·2.1·10

Pa mmt mmPa

= =−

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Cabe añadir el sobreespesor de corrosión, el cual vale 2mm para condiciones no severas de corrosión.

t=7mm

Para la presión externa calculada, se procede a la determinación de su espesor.

El procedimiento es idéntico al realizado para el recipiente cilíndrico

Se calcula la relación D0/t suponiendo un grosor inicial t; este grosor inicial se coge del valor obtenido para la presión interna sin el sobreespesor de corrosión

t=5mm 0 2.34 4680.005

D mt m= =

Se calcula el factor A a partir de la fórmula siguiente:

4

0

0.125 0.125 2.6·10468

A Dt

−= = =

Con este valor de A se entra en el gráfico de material aplicable de la Figura F.1, a la misma temperatura que en el apartado anterior, obteniendo el factor de presión B:

A=0.000027 B = 3500psi = 24.13MPa


6

0

24.13·10 51559 129000468a

B PaP Pa PaDt

= = = <

Por lo tanto, se cambia este grosor.

Finalmente, se escoge un espesor de 9mm.

t=9mm 0 2.34 2600.009

D mt m= =

4

0

0.125 0.125 4.8·10260

A Dt

−= = =


A=0.00043 B = 6000psi = 41.37MPa


6

0

41.37·10 159115 129000260a

B PaP Pa PaDt

= = = >

De este modo, el grosor del fondo inferior, añadiendo el sobreespesor de corrosión indicado, es:

t=s=11mm

De esta manera, quedan perfectamente definidas las dimensiones del fondo torisférico inferior, de (Ec. F-3) a (Ec. F-5).

1 3.5·11 38.5h mm mm=

2 0.1935·2340 0.455·11 447.8h mm mm mm= −

3 1 2 38.5 447.8 486.3h h h mm mm mm= + = + =

Por otro lado, cabe diseñar las aberturas para el fondo inferior:

- 1 abertura de 120mm para la entrada del eje. Ésta abertura no presenta tubería, pues es donde se coloca el soporte para el eje y el sistema mecánico de agitación.

- 1 abertura de 16” como boca de hombre

- 1 abertura de 10” para la salida de producto

- 4 aberturas de 2”.

- 4 aberturas de 1.5”

- 3 aberturas de 1”

- 3 aberturas de 0.5”

Para el diseño de las aberturas del fondo inferior, se siguen las normas de UG-36 a UG-43 de [F-1] puesto que el diámetro de éstas no supera la tercera parte del diámetro nominal del tanque ni los 1000mm. Para todas las aberturas, se considera que la longitud suya que entra dentro del fondo es de 10mm.

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Abertura de 16”

Se calcula el espesor a partir de las fórmulas para recipientes cilíndricos a presión interna y externa.

Para este caso, la presión interna a la que está sometida la abertura es la misma que la máxima del fondo, Pint=2.1atm, mientras que la presión externa únicamente es de 1atm. Sabiendo que el diámetro externo de la abertura es 406.4mm, el espesor de pared nominal, 14.5mm, de acuerdo con los catálogos de tuberías de 16” de [F-2]; el material, el mismo que el recipiente (cuya tensión máxima admisible es de 92.38MPa), la eficiencia de soldadura se considera la unidad, se calculan los espesores tanto a tensión longitudinal como circunferencial y se escoge el máximo:

5

6 5

406.42.1·10 ·2 0.46

92.38·10 0.6·2.1·10c

Pa mmt mm

Pa Pa= =

−

5

6 5

406.42.1·10 ·2 0.23

2·92.38·10 0.4·2.1·10c

Pa mmt mm

Pa Pa= =

+

Para terminar con su diseño, es necesario conocer el refuerzo para esta abertura. Por consiguiente, se aplican las ecuaciones (Ec. F-10) a (Ec. F-15)

Área requerida para resistir el esfuerzo A (Ec. F-10)

A= d·t= (406.4mm) ·11mm= 4470.4mm2

El área de espesor excedente A1 (Ec. F-11):

A1 = (t-tr) ·d =1128.3mm2

Área del espesor excedente de la pared de la boquilla A2 (Ec. F-13):

A2 = (tn-trn) ·5·t = 1039.5mm2

Área de extensión de la boquilla hacia el interior A3 (Ec. F-15):

A3 = (tn-c) ·2·h = 250mm2




A4=64mm2


A1+A2+A3+A4= 2481.8mm2

Como esta área es menor de la requerida por el esfuerzo A, se necesita un elemento de refuerzo; se opta por un parche de refuerzo de un área aproximada de 2000mm2. Se utiliza una placa también de acero AISI 316, de diámetro interno igual al diámetro externo de la tubería; por lo tanto el diámetro exterior mínimo del parche es:

( )22 2 202000 · 406.4 2·14.5

4mm D mmπ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

D0=438.3mm

Abertura de 10”

Se calcula el espesor a partir de las fórmulas ya vistas para recipientes cilíndricos a presión interna y externa.

Para este caso, la presión interna a la que está sometida la abertura es la misma que la máxima del tanque, Pint=2.1atm, mientras que la presión externa únicamente es de 1atm. Sabiendo que el diámetro externo de la abertura es 254mm, el espesor de pared nominal, 16mm, de acuerdo con los catálogos de tuberías de 10” de [F-2], el material, el mismo que el recipiente (cuya tensión máxima admisible es de 92.38MPa), la eficiencia de soldadura se considera la unidad, se calculan los espesores tanto a tensión longitudinal como circunferencial y se escoge el máximo:

5

6 5

2542.1·10 ·2 0.289

92.38·10 0.6·2.1·10c

Pa mmt mm

Pa Pa= =

−

5

6 5

2542.1·10 ·2 0.144

2·92.38·10 0.4·2.1·10c

Pa mmt mm

Pa Pa= =

+

Para terminar con su diseño, es necesario conocer el refuerzo para esta abertura. Por consiguiente, se aplican las ecuaciones (Ec. F-10) a (Ec. F-15)

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Área requerida para resistir el esfuerzo A (Ec. F-10)

A= (254mm) ·11mm= 2794mm2

El área de espesor excedente A1 (Ec. F-11):

A1 = (t-tr) ·d =581.2mm2

Área del espesor excedente de la pared de la boquilla A2 (Ec. F-13):

A2 = (tn-trn) ·5·t = 375mm2

Área de extensión de la boquilla hacia el interior A3 (Ec. F-15):

A3 = (tn-c) ·2·h = 825mm2



A4=25mm2


A1+A2+A3+A4= 1806.2mm2

Como esta área es menor de la requerida por el esfuerzo A, se necesita refuerzo adicional. Se opta por un parche de refuerzo de un área aproximada de 1000mm2. Se utiliza una placa también de acero AISI 316, de diámetro interno igual al diámetro externo de la tubería; por lo tanto el diámetro exterior mínimo del parche es:

( )22 2 201000 · 254 2·16

4mm D mmπ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

D0=288.2mm

Aberturas de 2”

Al presentar un diámetro inferior a 3”, no es necesario calcular la necesidad de refuerzo. Únicamente se selecciona unas dimensiones que admitan una presión interna de 2.1atm. Su espesor de pared, por lo tanto, de acuerdo con los catálogos de tuberías de 2” de [F-2], es de:

tn= 4.9mm


Aberturas de 1.5”


tn= 6.2mm

Aberturas de 1”

Al presentar un diámetro inferior a 3”, no es necesario calcular la necesidad de refuerzo. Únicamente se selecciona unas dimensiones que admitan una presión interna de 2.1atm. Su espesor de pared, por lo tanto, de acuerdo con los catálogos de tuberías de 1” de [F-2], es de:

tn= 5.6mm

Aberturas de 0.5”


tn= 3.7mm

F.5 Bibliografía

[F-1] ASME Boiler & Pressure Vessel Code VIII Divison1

[F-2] MEGYESY, EUGENE F. Manual de recipientes a presión: Diseño y cálculo Grupo Noriega Editores 1992

[F-3] Fabricante de fondos L-Nielsen www.l-nielsen.dk/bunde.htm [15 de mayo de 2009]

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