D O C U M E N T O D E T R A B A J O

Instituto de EconomíaTESIS d

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

INSTITUTO DE ECONOMÍA

EFICIENCIA REAL DEL LSM Y CORRECCIÓN POR

INSTRUMENTOS

FELIPE EDUARDO SAFFIE KATTAN

Tesis para optar al grado de Magíster en Economía

Financiera

Comisión:

AUGUSTO CASTILLO

GONZALO EDWARDS

Santiago de Chile, Diciembre, 2007

© 2007, Felipe Eduardo Saffie Kattan

ii

Índice General

Índice de Tablas iii

Índice de Figuras v

Índice de Gráficos vi

Agradecimientos vii

Resumen viii

Abstract ix

1.- Introducción 1

2.- Revisión de la literatura 2

2.1.- Opciones Financieras 2

2.2.- Modelación Binomial 3

2.3.- Modelo de Black & Scholes 12

2.4.- Resolución por diferencias finitas 15

2.5.- El paso a la simulación 18

2.6.- Barraquand y Martineau 19

3.- El LSM de Longstaff y Schwartz (2001) 23

4.- Estudios acerca del LSM 36

5.- El uso práctico del LSM 39

6.- Eficiencia del uso de parámetros estimados 45

7.- Uso de un activo ficticio como “ancla” 53

8.- Experimentos y eficiencia 66

9.- Conclusiones y extensiones 76

10.- Bibliografía 79

11.- Anexo I: Oportunidades de arbitraje 82

12.- Anexo II: Matriz de varianza y covarianza no estocástica 92

13.- Anexo III: Efecto de la varianza del activo correlacionado 97

iii

Índice de Tablas

Tabla 3-2: Flujo de Caja de la Opción si se Espera hasta el Último

Período 27

Tabla 3-3: Primera Regresión 28

Tabla 3-4: Decisión Óptima en el Segundo Período 28

Tabla 3-5: Matriz de Pagos del Segundo Período 29

Tabla 3-6: Segunda Regresión 29

Tabla 3-7: Regla de Ejercicio Óptimo de la Opción 30

Tabla 3-8: Valor Presente Asociado a las Distintas Trayectorias 30

Tabla 6-1: Características de la Familia de Polinomios de Laguerre 48

Tabla 6-2: Resultados de Stentoft (2004) 49

Tabla 6-3: Aumento de la RECM cuando se Utiliza una Estimación

de la Desviación Estándar 51

Tabla 7-1: Resultados del LSM tradicional de Stentoft (2004) 59

Tabla 7-2: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Regresor cuando la

Varianza es Conocida (1) 60

Tabla 7-3: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Regresor cuando la

Varianza es Conocida (2) 60

Tabla 7-4: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Instrumento

cuando la Varianza es Conocida (1) 61

Tabla 7-5: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Instrumento

cuando la Varianza es Conocida (2) 61

Tabla 8-1: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Regresor cuando la

Varianza es Desconocida (1) 68

Tabla 8-2: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Regresor cuando la

Varianza es Desconocida (2) 68

Tabla 8-3: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Instrumento

cuando la Varianza es Desconocida (1) 69

Tabla 8-4: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Instrumento

cuando la Varianza es Desconocida (2) 69

Tabla 8-5: LSM Tradicional con Varianza Desconocida 70

Tabla 12-1: LSM con el Activo Ficticio como Regresor con 0.5ρ = ,

Utilizandoσ pero Simulando con ∑ para distintos 2σ (1) 94

Tabla 12-2: con el Activo Ficticio como Regresor con 0.5ρ = ,

Utilizandoσ pero Simulando con ∑ para distintos 2σ (2) 94

Tabla 12-3: LSM con el Activo Ficticio como Instrumento, para

Distintos ρ Utilizando para Simular (1) 95 ∑

Tabla 12-4: LSM con el Activo Ficticio como Instrumento, para

Distintos ρ Utilizando para Simular (2) 95 ∑

Tabla 12-5: LSM con el Activo Ficticio como Instrumento, para

Distintos ρ Utilizando para Simular (3) 96 ∑

Tabla 13-1: LSM con el Activo Ficticio como Regresor Utilizando

0.5ρ = para Distintos Valores de 2σ (1) 98

Tabla 13-2: LSM con el Activo Ficticio como Regresor Utilizando

0.5ρ = para Distintos Valores de 2σ (2) 98

Tabla 13-3: LSM con el Activo Ficticio como Instrumento Utilizando

0.5ρ = para Distintos Valores de 2σ (1) 99

Tabla 13-4: LSM con el Activo Ficticio como Instrumento Utilizando

0.5ρ = para Distintos Valores de 2σ (2) 99

iv

v

Índice de Figuras

Figura 2-1: Árbol de Precios de S 8

Figura 2-2: Pagos de la Opción Americana 9

Figura 2-3: Determinación de la Trayectoria de Ejercicio Óptima 10

Figura 2-4: Espacio de Diferencias Finitas 16

Figura 2-5: Esquema de Barraquand y Martineau (1995) 20

Figura 3-1: Esquema General del LSM 24

Figura 11-1: Nomenclatura de los estados de la Naturaleza 82

Figura 11-2: Precios Contingentes de los Activos de esta Economía 83

Figura 11-3: Patrón de Pagos de la Opción Europea 84

vi

Índice de Gráficos

Gráfico 6-1: Comparación de las RECM 51

Gráfico 7-1: RECM del LSM Tradicional y de la Variación al Modo

“Regresor” 62

Gráfico 7-2: RECM del LSM Tradicional y de la Variación al Modo

“Instrumento” 63

Gráfico 7-3: Comparación de las RECM 64

Tabla 8-5: LSM Tradicional con Varianza Desconocida 70

Gráfico 8-1: Desviación Estándar de los Distintos Métodos 72

Gráfico 8-2: Valor Absoluto del Sesgo de los Distintos Métodos 72

Gráfico 8-3: Desviación Estándar Promedio de los Distintos

Métodos 73

Gráfico 8-4: Valor Absoluto del Sesgo Promedio de los Distintos

Métodos 74

Gráfico 8-5: Promedio del Valor Absoluto del Sesgo de los Distintos

Métodos 74

Gráfico 13-1: Desviación estándar Promedio de los Distintos

Métodos 100

Gráfico 13-2: Valor Absoluto del Sesgo Promedio de los Distintos

Métodos 100

Gráfico13-3 Promedio del Valor Absoluto del Sesgo de los Distintos

Métodos 101

vii

Agradecimientos

En primer lugar dedico este trabajo a mis padres: Eduardo y Fernanda,

sin su apoyo nunca estaría optando al grado de Magíster. También quiero

agradecer a mis hermanos, en particular a Gonzalo. A su vez, la compañía

de Daniela fue fundamental en este largo proceso.

La ayuda de mi profesor y amigo Rodrigo Troncoso fue determinante a

la hora de programar, sin él esta empresa habría sido imposible. Así mismo,

el apoyo y la paciencia de la comisión me permitieron dedicarme sin temor a

este proyecto. Quiero agradecer especialmente la confianza de los profesores

Augusto Castillo, Rodrigo Cerda, Gonzalo Cortázar, Raimundo Soto y Felipe

Zurita, que aún sin conocer el proyecto en detalle siempre me exhortaron a

continuar.

Agradezco a su vez el apoyo de mis amigos Felipe Labbé y Nicolás

Birkner además no puedo dejar de mencionar a Carmen Garcés por su

inagotable atención y cariño.

Finalmente quiero dar las gracias a Fernando Luco y a mi primo Juan

Carlos Saffie por ayudarme con infinita paciencia a revisar y editar este

trabajo.

Cabe destacar que ninguna de las personas anteriores es responsable

de los resultados que expongo en este trabajo.

viii

Resumen

El objetivo de esta tesis es estudiar los efectos en la eficiencia del LSM

cuando se toma en cuenta que el investigador trabaja con aproximaciones de

los parámetros verdaderos que rigen el movimiento del subyacente. Para

comenzar, este trabajo elabora una reseña de los distintos métodos que

existen para valorar opciones americanas. Luego se centra en el estudio del

algoritmo LSM (Least Squares Montecarlo) propuesto por Longstaff y Schwartz

(2001). Los experimentos muestran que la varianza del LSM es cien veces

mayor que la sugerida por sus autores. A continuación se evalúa el uso de

algoritmos alternativos cuando se conocen con exactitud los parámetros que

rigen el movimiento del subyacente. Estos algoritmos se comportan incluso

mejor que la versión original. Finalmente se evalúa el uso de estos nuevos

algoritmos cuando se toma en cuenta el problema práctico que surge al no

conocer realmente los parámetros. Aunque el resultado de estos últimos

experimentos refleja alguna mejoría, sobre todo en materia de sesgo, se

concluye que los cambios no logran dar cuenta de la totalidad del problema

en cuestión. Por lo tanto, este trabajo llama a explorar otras posibles

soluciones para la ineficiencia práctica expuesta.

Abstract

This work studies the effects in LSM efficiency when considering the fact

that investigators work with estimations of real parameters which rule the

behavior of the underlying asset. To begin with, it resumes the different

existing methods for evaluating american options. It then moves onto the

study of the LSM algorithm (Least Squares Montecarlo) proposed by Longstaff

& Schwartz (2001). Experiments show that LSM volatility is a hundred times

greater than the one suggested by its authors. The use of alternative

algorithms is then considered, when knowing precisely the parameters that

rule the movement of the underlying asset. These algorithms behave even

better than the original version. Finally the use of these new algorithms is

evaluated when taking account of the practical problem that emerges when

the parameters are unknown. Although the result of these last experiments

reflect some advance, specially in terms of bias, it is concluded that changes

done the original LSM algorithm cannot solve the whole problem. Hence, this

work calls for alternative solutions for the practical inefficiency found.

ix

1.- Introducción:

El problema de la valoración de opciones y otros derivados ha cobrado

protagonismo en materia de economía financiera ganando adeptos incluso

más allá de las fronteras de su propio rubro. En efecto, la contribución de

los métodos de valoración ha trascendido el mundo de las finanzas,

constituyendo actualmente la punta de lanza en materia de valoración de

recursos naturales. Más allá incluso, podría decirse que la valoración

financiera se ha hecho cargo de uno de los problemas centrales de la

economía: la pregunta por el valor económico de un activo riesgoso.

La primera parte de este trabajo se hace cargo de dicha pregunta

exponiendo los principales métodos existentes para valorar opciones

americanas. El último gran avance en materia de valoración de opciones es

sin lugar a dudas el estudio seminal de Longstaff y Schwartz (2001). Sin

embargo, el presente trabajo busca encontrar fundamentos empíricos de

corte econométrico para perfeccionar este algoritmo que ya ha revolucionado

el mundo de la valoración de opciones. El primer resultado de este trabajo

consiste en estudiar los efectos en la eficiencia del algoritmo cuando se

toma en cuenta que los parámetros que éste utiliza son estimaciones

empíricas de los verdaderos. En esta materia se observa que la varianza del

algoritmo puede aumentar hasta cien veces. Un segundo objetivo consiste

en evaluar y proponer aumentos en la eficiencia de las estimaciones si se

reemplaza el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MICO) por métodos

de regresión más complejos. Luego de presentar la intuición que

fundamenta dicho cambio, se realizan algunos estudios numéricos que

permiten comparar con el original el nuevo algoritmo propuesto para

evaluar si es conveniente invertir un poco más en la econometría del

algoritmo.

1

2.- Revisión de la Literatura

Esta sección está dedicada al lector menos familiarizado con los

métodos de valoración de opciones financieras. Si usted conoce tanto las

metodologías tradicionales como los últimos avances en valoración de

opciones por simulación, puede obviar esta sección. Sin embargo, si éste no

fuese el caso, se le recomienda comenzar revisando esta sección.

2.1.- Opciones Financieras:

Una opción es un activo financiero que otorga a quien lo posee un

derecho a transar el subyacente en algún momento futuro a un cierto precio

pactado de antemano. Básicamente existen dos tipos de derechos: los

derechos de compra y los derechos de venta. Una Call otorga al poseedor el

derecho a comprar el activo subyacente y una Put el derecho a venderlo a

un precio prefijado. Si el derecho puede ser ejercido solamente al momento

del vencimiento del contrato, hablamos de una opción europea; en cambio,

si el poseedor del derecho puede ejercerlo además en cualquier momento

anterior a dicha fecha, la opción es llamada americana. A modo de ejemplo,

una Put al cobre como subyacente con precio de ejercicio y fecha de

maduración será europea, si sólo puede ser ejercida en T . En esa fecha,

el dueño del derecho puede vender una unidad de cobre al precio

obteniendo una ganancia de

P

T

P

P S− , es decir, la diferencia entre el precio al

que la opción le permite vender el cobre y el precio del metal en el mercado

spot en T . Si en cambio, el dueño del derecho puede ejercerla en cualquier

momento anterior a T entonces la opción será americana. Queda de

manifiesto que la opción americana otorga al poseedor un derecho más

amplio que la opción europea, por lo tanto, el valor de una opción

americana nunca puede ser inferior al de una opción europea de iguales

características.

t

2

2.2.- Modelación Binomial:

Para entender la diferencia fundamental en la valoración de opciones

americanas y europeas es conveniente simplificar la realidad y detenerse en

un ejemplo sencillo, donde la incertidumbre puede modelarse a través de un

proceso binomial. Esta modelación fue desarrollada por Cox et al. (1979).

Sea el precio hoy del activo subyacente, supongamos que dicho

precio puede subir en un

S

( )1 100%u − × con probabilidad y caer en un

con probabilidad

q

( )1 100%d− × ( )1 q− . El retorno esperado de dicho activo

puede expresarse como:

( )11 s

S u q S d qr

S∗ ∗ + ∗ ∗ −

+ = (1)

Sin embargo, dicho retorno incluye lo que usualmente llamamos un

premio por riesgo, por ejemplo, el cobre es un activo riesgoso y su retorno

no está asegurado. Por lo tanto, es muy difícil, sin una correcta teoría que

modele dicho premio por riesgo, basarse en sr para valorar los derivados del

cobre. En efecto, el valor de dicho premio por riesgo está anclado en las

preferencias de los individuos, en particular, en el nivel de su aversión al

riesgo, por lo tanto, la teoría financiera se ha alejado de los modelos de

equilibrio que necesitan supuestos acerca de las preferencias de los

individuos hacia modelos que utilizan argumentos de arbitraje. Los modelos

de arbitraje, al suponer completitud en el mercado financiero, pueden

replicar cualquier perfil de pagos en función de un conjunto de activos, de

esta forma, el valor del portafolio equivalente debe ser el mismo que el del

activo a valorar para evitar cualquier oportunidad de arbitraje. Estos

modelos se basan en los precios vigentes de los activos para encontrar los

precios de los derivados que eliminen las oportunidades de arbitrar.

3

Para entender la profundidad de este argumento consideremos una

generalización presentada por Hull1 (2003). Imaginemos un activo con un

precio hoy de y una opción cuyo precio es hoy 0S f . Manteniendo el

esquema binomial antes descrito, si postulamos un horizonte de tiempo

en el que existen dos estados de la naturaleza posibles, en uno de ellos el

precio del activo sube y resulta ser con . En ese escenario la opción

entrega un monto

T

0S u 1u >

uf . En el otro escenario el precio del activo es con

y el flujo de la opción resulta ser

0S d

1d < df . Postulamos también la existencia

de un activo libre de riesgo con retorno compuesto continuamente que

entrega el mismo retorno en T sin importar el estado de naturaleza

resultante. Claramente en este ejemplo existen mercados completos, es

decir, como mínimo, existe el mismo número de instrumentos no

redundantes que de posibles estados de la naturaleza y no hemos impuesto

ninguna restricción a la venta corta de activos financieros. Por lo tanto será

posible estructurar un argumento de arbitraje. Imaginemos un portafolio

constituido por Δ posiciones largas de y una posición corta en la opción.

Buscaremos encontrar el valor de

r

S

Δ que hace que el portafolio anterior sea

libre de riesgo, es decir, que hace que éste rinda exactamente lo mismo en

cualquiera de los dos estados de la naturaleza. Formalmente buscamos que:

0 0uS u f S d fdΔ − = Δ − (2)

1 Remitirse al capítulo décimo de dicho texto.

4

De donde obtenemos:

0 0

u df fS u S d

−Δ =

− (3)

El portafolio formado replica exactamente al activo libre de riesgo. Es

así como, en esta economía hemos construido dos caminos para asegurar

un flujo de 0 uS u fΔ − en el próximo período sin importar el estado de

naturaleza. Una forma es invertir ( )0rT

uS u f e−Δ − en el activo libre de riesgo y

la otra es invertir en el portafolio libre de riesgo que acabamos de

estructurar. Por lo tanto, para evitar cualquier oportunidad de arbitraje el

costo de ambos caminos ha de ser el mismo:

0S Δ − f

( )0rT

uS u f e S f−0Δ − = Δ − (4)

Lo que puede expresarse como:

( )0 1 rT rTuf S ue f e− −= Δ − + (5)

Reemplazando por el valor de Δ con un poco de álgebra podemos

postular:

( )1rTu df e pf p f−= + −⎡ ⎤⎣ ⎦ (6)

Donde:

rTe dpu d−

=−

5

La fórmula anterior no involucra en sentido alguno las probabilidades

de que se dé uno u otro estado de la naturaleza, sorprendentemente puede

valorarse la opción sin nunca hacer uso ni de ni del retorno q sr . Más aún,

en la fórmula final p se presenta claramente como una medida de la

probabilidad de que se dé el estado de naturaleza . A estas “pseudos”

probabilidades se les conoce como “probabilidades neutrales al riesgo”.

Utilicemos

u

p para calcular la esperanza del precio del subyacente en T .

( ) ( )0 1TE S pS u p S d= + − 0 (7)

Al reemplazar por la fórmula de p y reordenando obtenemos:

( ) 0rT

TE S S e= (8)

Por lo tanto, en esperanza bajo el régimen de probabilidad p , el activo

rinde exactamente la tasa libre de riesgo. En un mundo con agentes

neutrales al riesgo, los individuos sólo se preocupan por el pago esperado de

los activos sin exigir un premio por el riesgo que corren. En esas

condiciones todo activo debe rendir la tasa libre de riesgo. Por lo tanto, al

fijar

S

p como la probabilidad que rige los estados de la naturaleza estamos

valorando los activos como si estuviésemos en un mundo donde todos los

agentes son neutrales al riesgo. El ejemplo anterior pone de manifiesto un

principio fundamental en la valoración de activos financieros: se puede

asumir un mundo neutral al riesgo al momento de valorar activos

financieros y estar completamente seguro de que, bajo mercados completos,

los precios encontrados son válidos en cualquier otro mundo.

Recapitulando, si imaginamos una economía con agentes neutrales al

riesgo en la que se observan los mismos precios de equilibrio que en la

6

economía real, no existe razón para exigir a los activos un premio por riesgo,

todo activo debe rendir, en esperanza con probabilidades neutrales, la tasa

libre de riesgo. De esta forma, al estructurar una teoría de valoración de

activos podemos construir nuevas probabilidades ( ) y 1p p− que hagan que

el activo en cuestión rinda en esperanza la tasa libre de riesgo, y al trabajar

con dichas probabilidades podemos estar seguros que eliminamos las

oportunidades de arbitraje.

Derivemos dichas probabilidades neutrales al riesgo por el camino

inverso y en tiempo discreto. Sean p y ( )1 p− las probabilidades que hacen

que el retorno esperado del activo sea libre de riesgo:

( ) ( ) ( )* * * 11 f

S u p S d pr

Sρ

+ −= + = (9)

De aquí es posible obtener que:

y que 1d up pu d u dρ ρ− −

= − =− −

Bajo el régimen de probabilidad ajustado por riesgo todo activo debe

rendir la tasa libre de riesgo, y en base a dicho rendimiento podemos valorar

cualquier derivado de . En particular detengámonos en el siguiente

ejemplo acerca de una opción Put americana con precio de ejercicio de 110

y fecha de maduración .

S

2T =

7

El proceso del subyacente ajustado por riesgo puede esquematizarse

como2:

Figura 2-1: Árbol de Precios de S

100S = 104S u d× × =

80S d× =

130S u× =

2 64S d× =

2 169S u× =

0

Donde:100

1.30.8

1.11.1 0.8 0.61.3 0.8

Sudr

p

====

−= =

−

El flujo de la opción en cada nodo, por ser un derecho y no una

obligación, debe entenderse como )( ;0nodo tV Máx P S= − , donde es el precio

de ejercicio de la opción. Por lo tanto, los flujos asociados al ejercicio de la

opción pueden presentarse como:

P

2 Tanto u como d están constantes, por lo tanto, la probabilidad neutral al riesgo entre dos escenarios adyacentes sigue siendo la misma.

8

Figura 2-2: Pagos de la Opción Americana

10

6

30

0

46

0

Si la opción fuese una Put europea, el poseedor no tiene más

alternativa que evaluar su ejercicio en la fecha final3, de este modo, existen

tres trayectorias en las cuales ejercería su derecho y una en la que dejaría

que la opción venciese. Si ponderamos por las probabilidades neutrales al

riesgo y descontamos por la tasa libre de riesgo obtenemos el valor de la

opción que impide oportunidades de arbitraje. En este caso, el valor de la

opción europea es:

2

2

2 0.4 0.6 6 0.4 46 8.461.1EV × × × + ×

= = 4

Sin embargo, si la opción es americana el poseedor debe decidir en

cada oportunidad de ejercicio previa al vencimiento si ejercerá su derecho o

esperará hasta el período siguiente5. Para decidir si le conviene aguardar

3 Por construcción, incluso si vende el derecho en 1T = , obtiene en esperanza neutral al riesgo el valor de la opción. 4 En el primer anexo de este trabajo se demuestra que este precio no permite oportunidades de arbitraje. 5 Cabe destacar que si el poseedor ejerce hoy una opción americana obtiene una ganancia de 10 , por lo tanto, ese monto es ya un piso para dicho derivado.

9

hasta la fecha siguiente el poseedor compara el valor esperado de conservar

la opción con el flujo de caja que obtendría si la ejerce en ese momento.

Para esto se debe comenzar de la fecha 1T − y comparar el valor de ejercer

en dicha fecha, en cada trayectoria, con el valor esperado de esperar hasta

. Una vez que se tiene la trayectoria óptima de ejercicio el proceso de

valoración es análogo al caso anterior. Primero calculamos los valores

esperados de aguardar para cada nodo comenzando con el penúltimo:

T

2; 1

2; 2

1; 1

0.6*0 0.4*6 2.181.1

0.6*6 0.4*46 201.1

0.6*2..18 0.4*30 12.11.1

esperart nodo

esperart nodo

esperart nodo

V

V

V

= =

= =

= =

+= =

+= =

+= =

Luego comparamos el valor de esperar con el valor de ejercer:

Figura2-3: Determinación de la Trayectoria de Ejercicio Óptima

10 12.1< 6

30 20>

0 2.2<

46

0

10

Si el subyacente sube su precio en el primer período la opción sólo será

ejercida si en el segundo período el subyacente bajó. En cambio, si el cobre

baja inicialmente, la opción americana será ejercida inmediatamente. De

esta forma, el valor de la opción americana es de 12.1, claramente superior

al valor de la Put europea. El gran desafío en la valoración de opciones

americanas es determinar el momento óptimo de ejercicio del derecho en

cuestión, problema que en el caso de una opción europea no se enfrenta.

Aunque este método simplifica bastante la realidad, ha sido ocupado

ampliamente para la valoración de opciones americanas. Otros modelos de

esta familia comprenden la lógica extensión hacia árboles trinomiales. Por lo

demás este método es bastante realista si el número de períodos es alto y el

intervalo entre cada fecha es pequeño.

11

2.3.- Modelo de Black y Scholes (1973):

Si bien es cierto que el modelo binomial simplifica en extremo la

realidad, es un muy buen punto de partida para entender los desarrollos

más importantes en el área de valoración de opciones. Para acercarnos más

a la realidad debemos complejizar el movimiento del subyacente. Un

supuesto aceptado es que el activo subyacente sigue un proceso browniano

geométrico. Consideremos primero el proceso real del subyacente:

s sds S dt S dwμ σ= +

Donde

( )0,1dw dt

Nε

ε=

∼

Con independencia en los para pequeños lapsos de tiempo dw dt

En esta ecuación, sμ representa el retorno esperado del activo riesgoso

yS 2 sσ la varianza de dicho retorno. Nuevamente, para poder esgrimir

correctamente argumentos de no arbitraje escribimos el proceso bajo el

régimen de probabilidades neutrales al riesgo. Cabe destacar, que si bien el

retorno del subyacente debe coincidir con la tasa libre de riesgo, su varianza

se mantiene inalterada. El proceso neutral al riesgo puede representarse

como:

sds Srdt S dwσ= + (10)

Siguiendo con esta lógica, una opción financiera , sin importar sus

características, puede ser vista como una función del proceso de su

subyacente y del tiempo que resta para su vencimiento. Por lo tanto,

C

12

aplicando el lema de Îto podemos encontrar fácilmente el proceso

estocástico de la opción en cuestión:

)( 21;2s T ssdC S T C ds C dT C ds= + + (11)

( ) 2 212s s TdC C Srdt S dw C dt S dtσ= + − + sσ (12)

( )2 212s T s s sdC C Sr C S dt C S dwσ σ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (13)

Cabe destacar que la opción debe someterse a su vez al principio de

no arbitraje, es decir, su retorno ajustado por riesgo, el término que

acompaña a , debe corresponder a la tasa libre de riesgo. En base a esto

podemos plantear la siguiente ecuación diferencial:

C

dt

2 212s T sC Sr C S dt Crdtσ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (14)

2 21 02s T sC Sr C S Crσ− + − = (15)

La solución de la ecuación diferencial anterior en función de las

condiciones de borde propias de la naturaleza del derivado financiero que se

esté analizando, proporciona el valor del instrumento. En el caso de una

opción Call europea con precio de ejercicio y madurez , las condiciones

de borde son las siguientes:

K T

( )0; 0C t = (16)

( ) )(;C S T Máx S K= − ;0 (17)

Es decir, si en algún momento el subyacente llega a valer cero la opción

pierde la totalidad de su valor. En este sentido, cuando el precio del activo

13

subyacente toca el suelo es imposible que llegue a recuperarse, de hecho, si

existiese una posibilidad de que esto sucediera, su retorno esperado sería

positivo y por ende el valor del subyacente hoy no podría ser nulo. La

segunda condición expresa claramente la naturaleza de la opción, al

momento de su madurez el derivado tiene, por definición, un valor de

si es una opción de compra. )( ;0Máx S K−

Esta ecuación diferencial fue hallada y resuelta por Black y Scholes

(1973). Dicho trabajo es sin lugar a dudas la piedra angular de toda la

teoría de valoración de activos financieros. Resumiendo la resolución de los

autores, podemos decir que si suponemos que el logaritmo del retorno del

subyacente sigue un proceso normal podemos aplicar fácilmente las

resoluciones clásicas de la física a la ecuación anterior. En concreto, para el

caso de una Call Europea:

2 2

0

1ln ~ ;2

Ts s

S N r T TS

σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎟ (18)

( ) ( )rTsC SN h Ke N h Tσ−= − − (19)

ln12 s

s

ConS rTKh T

Tσ

σ

⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠= +

La fórmula anterior, que lleva el nombre de sus autores, es el

procedimiento generalizado para la valoración de opciones de compra

europeas6. Sin embargo, aunque la ecuación diferencial antes expuesta es

de validez general para cualquier instrumento financiero, su resolución

analítica en el caso de opciones americanas de plazo finito7 resulta

imposible. El fondo de esa imposibilidad es la movilidad de las condiciones

6 Existe una variante muy similar de dicha fórmula para opciones de venta. 7 Con excepción de una Call americana sin dividendos, en cuyo caso el valor coincide con el de la opción Call europea, pues jamás es óptimo ejercer anticipadamente.

14

de borde, en suma, el problema ya mencionado de la determinación de la

trayectoria óptima de ejercicio.

2.4.- Resolución por diferencias finitas:

Como vimos en la sección anterior, las condiciones de borde de la

ecuación diferencial dificultan enormemente su solución en el caso de una

opción americana. Sin embargo, gran parte del problema radica en el

carácter continuo del tiempo. En efecto, al discretizar la ecuación en

cuestión puede elaborarse una malla de valores que permita encontrar, para

un valor dado del subyacente, el correspondiente valor del derivado. En este

sentido, Brennan y Schwartz (1977) aplican a la ecuación diferencial

anterior la técnica de las diferencias finitas. En esta sección expondremos

esquemáticamente el procedimiento en su versión explícita, siguiendo la

exposición del texto de Hull8 (2003).

Para comenzar, es necesario definir el dominio del valor de la opción en

función de los parámetros que lo determinan, es decir, el precio del

subyacente y el plazo. Para fines expositivos definiremos de la manera más

simple dicho espacio, dándole una forma rectangular. Para comenzar

dividimos el espacio en pequeñas variaciones de ambos ejes, como muestra

el siguiente recuadro:

8 Remitirse al capítulo décimo octavo de dicho texto.

15

Figura 2-4: Espacio de Diferencias Finitas

Espacio rectangular de diferencias finitas

Oportunidades de ejercicio (i)

Cam

bio

suby

acen

te (j

)

i tΔ

j SΔ

A continuación se busca expresar de manera discreta la ecuación

diferencial ya mencionada. Imaginemos que se requiere valorar una opción

Put americana con precio de ejercicio y madurez T que notaremos . Por

lo tanto la ecuación diferencial es:

P C

2 21 02 s ss s tS C rSC C rCσ + + − = (20)

El siguiente paso es encontrar una expresión discreta para las

derivadas de . Usando las aproximaciones finitas explícitas obtenemos: C

1, 1 1, 1

2i j i j

s

C CC

S+ + + −⎡ ⎤−⎣ ⎦≈

Δ (21)

1, 1 1, 1, 12

2i j i j i jss

C C CC

S+ + + + −⎡ ⎤− +⎣ ⎦≈

Δ (22)

1, ,t j i jt

C CC

t+⎡ ⎤−⎣ ⎦≈Δ

(23)

16

Ahora, al reemplazar en la ecuación diferencial, podemos obtener una

aproximación robusta del valor de esperar en cada punto del espacio. De

esta forma se puede comparar, en todo punto, el flujo que se obtiene al

ejercer inmediatamente la opción con el valor esperado de aguardar, al que

llamamos valor de transición y definimos como:

, 1, 1 1, 1, 1transición

i j j i j j t j j i jV a V b V c V+ − + += + + + (24)

( )

2 2

2 2

2 2

:1 12 2

1

11

1 12 2

1

s

j

sj

s

j

con

rj t j ta

r t

j tb

r t

rj t j tc

r t

σ

σ

σ

⎛ ⎞− Δ + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ Δ

− Δ=

+ Δ

⎛ ⎞Δ + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ Δ

Por lo tanto, al definir el valor estado como:

)(, , ;0estadoi j i jV f máx P j S= = − Δ (25)

Podemos encontrar el valor de la opción en cada nodo definido como:

)(, , ,;estado transicióni j i j i jV Máx V V= (26)

17

La resolución de la ecuación diferencial comienza en el último período,

es decir en el borde derecho del espacio, y retrocede calculando primero el

valor de transición para el período inmediatamente anterior. Al comparar

dicho valor con el valor de estado, se obtiene el valor de la opción en el nodo

en cuestión. Repitiendo este proceso se calcula el valor de la opción en cada

punto del espacio. En particular, cuando tΔ es 0 , el valor corresponde al de

la opción hoy para distintos valores iniciales del subyacente posibles.

Cabe destacar que si bien se ha demostrado la robustez y consistencia

de este método, cuando los factores de riesgo aumentan, es decir, cuando el

valor del subyacente no es la única fuente de variabilidad en el valor de la

opción, la definición del espacio se hace cada vez más difícil y engorrosa. En

efecto, con más de dos factores de riesgo la resolución por esta vía pasa de

complicada a imposible. A esta falencia se le conoce con el nombre de la

maldición de la dimensionalidad.

2.5.- El paso a la simulación:

La evaluación de opciones americanas presenta un importante desafío

para la profesión. Desde el ya mencionado trabajo de Black y Scholes (1973)

surgieron diversos intentos para lograr una estrategia analítica que diera

con el valor de dichos instrumentos. Algunos de estos intentos se basan en

métodos de aproximación como Geske y Johnson (1984), a través de

distintos polinomios, o Barone-Adesi y Whaley (1987) con funciones

cuadráticas. Otros intentan basarse en la valoración de opciones europeas y

agregar un premio como Kim (1990) y Carr et al. (1992), pero esta familia de

soluciones requieren simplificar bastante el tipo de opciones por lo que

tienen un radio de acción muy limitado y son de muy poco uso en la

realidad.

18

Paralelamente, surgen los primeros intentos para valorar opciones

europeas por simulación, en particular, Boyle (1977) plantea que esta nueva

estrategia de valoración permite escapar a la ya mencionada maldición de la

dimensionalidad en este tipo de opciones. Sin embargo, la necesidad de

encontrar la trayectoria óptima de ejercicio en el caso de opciones

americanas, es decir, la necesidad de recorrer las trayectorias desde la

última fecha hasta la primera, parecía hacer imposible la utilización de

simulaciones, que se mueven en la dirección contraria, para la valoración de

esta clase de instrumentos.

Si bien es cierto que una estrategia pura de simulación parece estar

destinada al fracaso, los avances teóricos y computacionales permitieron la

aparición de algoritmos más completos que incluyen en las simulaciones

elementos de programación dinámica, es decir, que logren incorporar el

movimiento recursivo necesario para encontrar la trayectoria óptima de

ejercicio. Para clarificar esta nueva vía nos detendremos en el revolucionario

trabajo de Barraquand y Martineau (1995) para luego exponer en detalle, en

la sección siguiente, el algoritmo de Longstaff y Schwartz (2001).

2.6.- Barraquand y Martineau (1995)

La intuición del método de Barraquand y Martineau (1995) es sin duda

alguna el modelo de árboles de Cox et al. (1979), con el que comenzamos.

En efecto, los autores simulan distintas trayectorias para el subyacente del

instrumento y a partir de esas simulaciones arman una estructura muy

similar a los ya mencionados árboles. Si recordamos el modelo binomial, el

corazón de la resolución consistía en comparar el valor esperado de

continuar con el valor puntual de ejercer la opción, y de esta forma

construir la trayectoria óptima de ejercicio. En particular, para obtener el

valor esperado de continuar se necesitan, además de los flujos de caja del

siguiente período, las probabilidades neutrales al riesgo de pasar del estado

19

actual a cualquiera que lo siga. Para encontrar dichas probabilidades

neutrales al riesgo los autores dividen el espacio en celdas, y, como las

simulaciones fueron hechas de acuerdo a un proceso neutral al riesgo,

puede calcularse una probabilidad de transición entre una celda y cualquier

otra para el siguiente período de manera simple. Luego, con dichas

probabilidades es fácil recorrer el sistema comparando los valores de

continuar con los de ejercer, de manera de obtener la trayectoria óptima y

finalmente valorar la opción.

Formalmente, los autores dividen el espacio del pago de la opción en

celdas, donde . Además en el modelo existen oportunidades de

ejercicio de la opción igualmente distantes. El siguiente gráfico muestra

dicho procedimiento:

K

1,...,k = K d

Figura 2-5: Esquema de Barraquand y Martineau (1995)

Metódo de Celdas

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tiempo

Pago

s

Celda (k o l)

Trayectoria simulada a partir del precio spot hoy.

En cada celda k y para todo momento podemos definir el valor de

estado de la opción como el promedio del valor de ejercicio de la

t

,estado

t kV

20

opción en el momento , de todas las trayectorias t kω pertenecientes a la

celda . Es decir, suponiendo nuevamente una Put con precio de ejercicio

:

k

P

( ) )(

( ),

;0t kestadot k

t

Máx P SV

a kω−

= ∑ (27)

( )

con: trayectoria que pertenece a la celda k.

número de trayectorias en la celda k en t.k

ta kω

El siguiente punto es definir el valor de transición en el momento t .

Para esto, necesitamos calcular las probabilidades de pasar de la actual

celda a toda celda l . Como ya dijimos, esas probabilidades pueden

entenderse como simples frecuencias dado el alto número de simulaciones:

k

( ) ( )( )

( )( )

,,

donde:, corresponde a la cantidad de trayectorias que pasaron de la celda k a la l.

número de trayectorias en la celda k en t.

tt

t

t

t

b k lp k l

a k

b k l

a k

=

Con estas probabilidades podemos calcular el valor esperado de

continuar descontado al momento , es decir : t ,transición

k tV

( ),1

,K

transición r tk t t l t

l

V p k l V , 1 e− Δ+

=

⎡= ⎢⎣ ⎦∑ ⎤

⎥ (28)

21

Luego, con los valores de estado y de transición calculados, puede

determinarse la decisión óptima en cada nodo para obtener así el valor de la

opción en cada momento del tiempo:

( ) )(

( ) ( )k,t , 11

;0V ;

Kt k r t

t l tlt

Máx P SMáx p k l V e

a kω − Δ

+=

⎡ − ⎤⎡= ⎢ ⎥⎢⎣ ⎦ ⎦⎢⎣

∑ ∑ , ⎤⎥ (29)

Finalmente, retrocediendo hasta el momento inicial en donde nacen

todas las simulaciones, encontramos el precio de la opción americana en

cuestión. Este trabajo simplifica bastante el problema de valoración

obteniendo buenos resultados cuando existe un solo factor de riesgo. Sin

embargo, cuando existen múltiples factores de riesgo se ha de elegir uno, el

más importante, para definir los distintos estados. Por lo tanto, como es de

esperar, cuando existen varios factores relevantes las aproximaciones son

menos acertadas. Raymar y Swecher (1997) se hacen cargo de este

problema aumentando la dimensión de las celdas, es decir, dentro de cada

celda se realiza una segunda agrupación, sin embargo, el problema se

vuelve más complejo y podría decirse que se cae en una nueva versión de la

maldición de la dimensionalidad.

22

3.- El LSM de Longstaff y Schwartz (2001)

Recordemos que el mayor desafío en la valoración de opciones

americanas consiste en determinar satisfactoriamente la trayectoria óptima

de ejercicio del derivado. Es decir, estimar correctamente el valor esperado

de mantener la opción para así poder compararlo con el flujo que resultaría

de ejercerla inmediatamente. La gran intuición de Longstaff y Schwartz

(2001) consiste en buscar en la econometría dicha respuesta. En efecto,

cuando se realiza una regresión cualquiera, lo que se obtiene es la

esperanza condicional de la variable dependiente en función de los valores

de las independientes. De esta forma, a través del tipo más simple de

regresión, Mínimos Cuadrados Ordinarios (MICO), los autores logran

encontrar el patrón óptimo de ejercicio para la opción.

Dado que esta tesis está directamente basada en el LSM, el algoritmo

será expuesto con la mayor claridad posible. Para comenzar utilizaremos un

esquema simple que ilustre su funcionamiento, luego lo aplicaremos a un

ejemplo sencillo y finalmente expondremos el algoritmo en toda su

formalidad.

La primera aproximación al LSM que presentamos está inspirada en el

trabajo de Stentoft (2004). Imaginemos el caso de una opción Put con un

precio de ejercicio igual al nivel inicial del subyacente y maduración

en . Por lo tanto, la función de pagos de la opción, cuando es ejercida,

puede definirse como:

P (0)S

2t T=

( ) ( )( ) ( )( )0 , , ,0G P S S Max P Sτ τ τ= = − (30)

23

Donde τ indica el momento óptimo de ejercicio de la opción. La

primera parte del método consiste en simular trayectorias para el

subyacente, en este caso, imaginamos seis pos les patr ib ones j donde ( )j iS t

es el valor del subyacente bajo la trayectoria j en el momento it , los que

pueden representarse como:

Figura 3-1: Esquema General del LSM

Tiempo0

1t 2t T=

Región “in the money”

( )0S

( )2 iS t

( )4 iS t

( )1 iS t

( )6 iS t

( )3 iS t

( )5 iS t

( )1 iS t

( )6 iS t

( )2 iS t

( )5 iS t

( )4 iS t

( )3 iS t

Analizando primero el momento 2t T= , es decir, la fecha de expiración

de la opción, donde ya no puede postergarse más el ejercicio, constatamos

que el poseedor siempre ejercerá su derecho si el nivel del subyacente es

menor que , es decir, si la opción está “in the money”. Para calcular el

momento óptimo de ejercicio para los distintos patrones es útil constatar

que en la opción está “in the money” sólo para tres trayectorias,

particularmente: . Por lo tanto, sólo en estos tres patrones se nos

plantea la disyuntiva entre seguir esperando hasta o ejercer

inmediatamente. Ésta es la primera gran ventaja del LSM, sólo trabaja con

P

1t

3,5,6j =

2t

24

las trayectorias “problemáticas”, es decir, las que obligan al poseedor a

decidir si ejercer o esperar. En este punto, los autores proponen correr una

regresión por MICO que cuente con el valor presente de mantener la opción, ( ) ( )( )2 1 , 0r t t

je Max P S T− − × − , como variable dependiente y como variables

explicativas use transformaciones de ( )1jS t . La regresión se realiza sólo con

los datos de los patrones 3,5,6j = . Luego de efectuar la regresión, se utiliza

el modelo esperado para obtener la estimación en valor presente de

aguardar. Este valor sirve exclusivamente para decidir si la opción ha de ser

ejercida o no, en este ejemplo sencillo: Si el valor de ejercer en para algún 1t

j es mayor que la esperanza condicional que surge de la regresión,

entonces 1j tτ = para esa trayectoria, de no ser así j Tτ = . Si existen más

fechas, el procedimiento se repite hasta llegar al momento inicial, y allí se

toma el promedio del valor de la opción bajo todas las trayectorias. En

suma, el valor de la Put para M trayectorias es:

( )( )1

1 ,0jM

rLSM j j

j

P e Max P SM

τ τ−

=

⎡ ⎤= × × −⎣ ⎦∑ (31)

Luego de haber expuesto la intuición general del método de Longstaff y

Schwartz (2001), proponemos a continuación una aplicación numérica en

un ejemplo sencillo, inspirado en el trabajo original, que permitirá facilitar

la posterior exposición formal del algoritmo.

Supongamos que se quiere valorar una opción Put americana con

precio de ejercicio 1.10 y vencimiento en 3T = . Para comenzar simulamos

ocho posibles trayectorias del subyacente a partir del precio actual de 1.00 .

Para estas simulaciones nos basamos en un browniano geométrico simple

expresado por:

25

con 6% y 30%dS Srdt bSdw

r b= += =

Donde es la tasa libre de riesgo y b el parámetro de difusión del

proceso.

r

La siguiente tabla muestra los resultados de dichas simulaciones:

Tabla 3-1: Valores Simulados para el Subyacente

Trayectorias 0 1 2 31 1 0.59 0.52 0.512 1 0.84 0.65 0.593 1 0.97 0.91 0.834 1 1.14 1.68 1.775 1 1.02 0.57 0.556 1 1.27 1.49 1.457 1 1.51 1.8 2.278 1 1.02 1.25 0.84

T

Para comenzar nos centramos en 2t = . En esa fecha hay cuatro

trayectorias “in the money”, es decir, sólo en 1,2,3,5j = se plantea la

disyuntiva entre ejercer en 2t = o esperar hasta 3t = . Por lo tanto, para

todos esos patrones debemos conocer el valor esperado de continuar. La

siguiente tabla expone el valor obtenido en 3t = si la opción se ejerce en ese

período:

26

Tabla 3-2: Flujo de Caja de la Opción si se Espera hasta el Último Período

Trayectorias 0 1 2 31 - - - 0.52 - - - 0.53 - - - 0.24 - - - 05 - - - 0.56 - - - 07 - - - 08 - - - 0.2

Flujo de caja al ejercer en 3T

917

5

6

Dicho valor se obtiene aplicando en cada trayectoria la fórmula:

( )( )1.10 3 ,0jMax S t− = (32)

Luego, para formar la primera regresión, utilizamos como variable

explicativa las distintas formas funcionales del subyacente en para las

trayectorias “in the money”. El vector de variables explicadas son los valores

descontados que surgen del ejercicio racional en

2t =

3t = en las trayectorias

estudiadas, es decir:

( )( )1.10 3 ,0 para 1,2,3,5r tje Max S t j− × − = = (33)

La siguiente tabla resume la regresión que ha de ser efectuada:

27

Tabla 3-3: Primera Regresión

Trayectorias Y X1 0.56 0.522 0.48 0.653 0.26 0.915 0.52 0.57

Regresión en t=2

Luego de correr una regresión con las dos primeras potencias del

subyacente y una constante obtenemos el siguiente modelo estimado:

(34) 20.74 0.1 0.46Y X= − − X

Con este modelo podemos obtener la esperanza condicional en 2t = de

esperar. En efecto, reemplazando en cada trayectoria los valores

particulares del subyacente se calcula fácilmente la esperanza condicional

del flujo futuro, en valor presente, en función del precio actual del activo.

Luego ese valor se compara con el flujo que resulta del ejercicio inmediato

en y se toma la decisión óptima de continuar o esperar. La siguiente

tabla expone los resultados para este caso:

2t =

Tabla 3-4: Decisión Óptima en el Segundo Período

Trayectorias Ejercitar Continuar Decisión1 0.58 0.56 ejercer2 0.45 0.48 continuar3 0.19 0.26 continuar5 0.53 0.53 ejercer

Ejercicio óptimo en 2

Con esta primera parte de la trayectoria de ejercicio óptima podemos

obtener los flujos de caja de los dos últimos períodos. Cabe destacar, que si

28

se decide continuar en , el valor de la opción en el período siguiente no

será su esperanza condicional sino el flujo que surge al ejercer la opción

dado el valor efectivo en esa trayectoria en el período siguiente. Hasta ahora,

la matriz de pagos de la opción es la siguiente:

2t =

Tabla 3-5: Matriz de Pagos del Segundo Período

Trayectorias 1 2 31 - 0.58 02 - 0 0.513 - 0 0.274 - 05 - 0.53 06 - 07 - 08 - 0 0.26

Matriz de Pagos en t=2 T

0

00

Luego se repite el procedimiento para evaluar si, en las trayectorias que

se encuentran “in the money” en 1t = conviene esperar o ejercer. El

procedimiento es análogo, y la nueva regresión se resume en la siguiente

tabla:

Tabla 3-6: Segunda Regresión

Trayectorias Y X1 0.54 0.592 0 03 0 05 0.5 1.028 0 1

Regresión en t=1

.84

.97

.02

Dicha regresión permite completar la regla de movimiento, la que

podemos expresar como:

29

Tabla 3-7: Regla de Ejercicio Óptimo de la Opción

Trayectorias 1 21 - E2 E -3 E -

3---

4 - -5 - E6 - -7 - -8 - -

Regla de movimiento: E=ejercitarT

----E

Finalmente, siguiendo esa regla, descontamos los flujos hasta el primer

período y, dado que suponemos que todas las trayectorias son igualmente

probables, calculamos el valor de la opción como el promedio de los flujos

en . En este caso: 0t =

Tabla 3-8: Valor Presente Asociado a las Distintas Trayectorias

Trayectorias Valor de la trayectoria en 0 1 2 31 0.51 - 0.58 - 2 0.25 0.26 - - 3 0.12 0.13 - - 4 0.1 - - - 5 0.47 - 0.53 - 6 0.1 - - - 7 0.1 - - - 8 0.22 - - 0.26

Flujo de caja al ejercer óptimamente T

Si contamos la posibilidad de ejercer hoy

Y así el valor de la opción resulta ser hoy el promedio del valor presente

de todas las trayectorias, esto es: 0.23.

Luego de haber expuesto el funcionamiento del algoritmo de Longstaff y

Schwartz (2001), podemos expresarlo en toda su formalidad con suficiente

claridad. La siguiente exposición está basada en el trabajo original y en la

interpretación que Urzúa (2004) hace del algoritmo.

30

A pesar de la gran inversión en notación que se requiere para una

exposición formal de este tipo, es muy útil tener en mente el ejemplo

sencillo presentado en esta misma sección. Para comenzar, se realiza una

partición del espacio temporal en oportunidades de ejercicio, entre el

instante inicial 0 y la fecha de maduración de la opción T . Por lo tanto, la

secuencia de instantes puede representarse como 0

K

1 2 ... Kt t t T< < < < = . En el

ejemplo anterior . 3K =

Luego se realizan simulaciones del conjunto de las h variables

estocásticas subyacentes de la opción que agrupamos en el vector

N

tx de

dimensión , h ω representa una trayectoria particular del conjunto de

patrones generados. Por lo tanto, en cada oportunidad de ejercicio se tiene

una matriz tX de dimensión N h× que agrupa todas las realizaciones de los

subyacentes de la opción. En el ejemplo anterior 8N = y . 1h =

El método supone que el dueño de la opción sigue una política de

ejercicio racional, siendo óptima para todo momento tal que . De

esta forma, se define como el flujo de caja de la opción dado que

ésta no ha sido ejercida ni con anterioridad ni en el momento t . Por lo

tanto, en cada oportunidad de ejercicio puede construirse un vector

de dimensión N con los flujos asociados a todas las trayectorias. En el

ejemplo anterior serían las tablas intermedias con el flujo de caja asociado a

cada trayectoria. Asimismo definimos

s t s T< <

( , ; ,C s t Tω )

kt ktC

( ), iG tω como el valor esperado de

continuar para la realización ω en la oportunidad , pero el método

aproxima dicho valor a través de las distintas regresiones, a ese valor

aproximado le llamamos y al vector de dimensión que agrupa el

las aproximaciones del valor esperado de continuar para todas las

trayectorias lo llamaremos .

kt

( , iG tω ) N

( )iG t

31

El verdadero valor esperado de continuar en cada trayectoria,

puede expresarse como:

( ), iG tω

(35) ( ) ( ) ( )1

, exp , , , ,j

k

k

tK

Qk j

j k t

G t E r s ds C t t T fω ω ω= +

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − ×

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∫ /k t

)

En la expresión anterior se deja abierta la posibilidad de que la tasa

del activo libre de riesgo también siga un proceso estocástico, por esta razón

la notamos como ( ,r tω . Por otro lado, la medida de probabilidad Q

corresponde a las probabilidades neutrales al riesgo, condicional en la

partición de eventoskt

f . El valor de esta función es desconocido, sin

embargo, puede encontrarse una aproximación a dicha función. El gran

supuesto de Longstaff y Schwartz (2001) es que la función anterior

pertenece al espacio de Hilbert y por lo tanto admite una representación en

base a una combinación lineal de funciones finitas. Por lo tanto, podría

encontrarse una representación exacta de la función anterior de la forma:

(36) ( ) (1

, k j jj

G t a L xω∞

=

=∑ )t

Es decir, existe una forma exacta del valor de continuar que puede ser

expresado mediante funciones ( )j tL x combinadas según las constantes .

El vector

ja

tx contiene todas las variables estocásticas contenidas en el

cálculo del valor esperado de continuar. Como ya hemos dicho en varias

ocasiones, el meollo del problema es encontrar el valor de continuación para

poder definir la trayectoria óptima de ejercicio. La novedad del LSM es

modificar la expresión original de la función de continuación y expresarla

como una combinación lineal finita. De esta forma, pueden aplicarse

32

mínimos cuadrados ordinarios para estimar el valor de las constantes y así

poder estimar la verdadera función de continuación con la elección de un

número finito de M polinomios que notamos:

(37) ( ) ( )1

,k

M

jk jj

G t a L xω=

=∑ t

Para este proceso, los autores proponen muchas funciones básicas que

dan forma a los polinomios ( )j tL x . Entre ellas están las familias de

funciones de Laguerre, Chebyshev, Gegenbauer y Jacobi y algunas formas

más simples. En la sección siguiente trataremos brevemente el tema de la

elección del polinomio.

Como ya vimos en el ejemplo anterior, la resolución comienza de atrás

hacia delante. De esta forma, nos situamos en la fecha de maduración de la

opción , donde el vector de pagos es conocido. Si definimos T TC ( )1, kVI tω −

como el valor de ejercer inmediatamente la opción en la trayectoria ω en el

momento , podemos encontrar los flujos de caja para el momento 1kt − 1T − . Al

igual que en el simple ejemplo numérico antes visto, debemos comparar el

valor esperado de aguardar sin hacer efectiva la opción con el flujo de caja

que surge del ejercicio inmediato del derecho. Dicha comparación puede

exponerse en los siguientes términos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2

1 1 2 1

1 1 2 1

Si , , , , , ,

Si , , , , , , , , exp ,k

k

k k k k

t

k k k kt

VI t G t C s t T VI t

VI t G t C s t T C s t T r s ds

ω ω ω ω

ω ω ω ω ω−

−

− − − −

− − − −

≥ → =

⎛ ⎞≤ → = × −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

En suma, para una trayectoria ω , si el valor esperado de continuar es

menor que el flujo de caja que resulta del ejercicio inmediato de la opción,

33

entonces el pago de la opción en ese momento y para ese patrón, coincide

con el valor de ejercicio inmediato. En caso contrario, como ya se había

señalado, el valor de la opción no es el valor esperado de continuar, sino el

verdadero flujo que se obtiene en caso de continuar. En efecto, según lo

indicado por Bossaerts en el artículo de Longstaff y Schwartz (2001), al

utilizar el valor esperado de continuar el pago de la opción se obtendría

según la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( ))(2 1, , , , ; ,k kC s t T Máx VI t G tω ω− −= 1kω −

)

)

(38)

Como ya hemos dicho, es una aproximación del valor presente

del flujo que resulta de no ejercer, y como tal, tiene un error de medición,

por lo tanto, dada la convexidad del operador máximo, aplicando la

desigualdad de Jensen puede constatarse que utilizar en el calculo

del flujo de la opción produce un sesgo sistemático al alza.

( 1, kG tω −

( 1, kG tω −

El procedimiento anterior ha de repetirse hasta el momento inicial, una

vez allí es claro que no puede realizarse una última regresión, ya que todas

las trayectorias comienzan con el mismo vector de valores inicial de los

subyacentes. Por lo tanto, considerando que todas las trayectorias ocurren

con igual probabilidad, se calcula el promedio aritmético de los valores

descontados asociados al patrón óptimo ya obtenido, es decir, el valor

aproximado de continuar en el momento inicial se expresa como:

( ) ( ) ( )1

0

0 11

1 exp ,tN

t

G t C r s dsN ω

ω ω=

⎛ ⎞= × −⎜⎜

⎝ ⎠∑ ∫ ⎟⎟ (39)

34

Finalmente, si suponemos, al igual que en el ejemplo anterior, que la

opción puede ser ejercida hoy, el valor de dicho derecho en el momento

inicial es:

( ) ( ))( 0 0, ;V Máx VI t G tω= (40)

Una vez expuesto con claridad el algoritmo, es necesario revisar

algunos estudios acerca del mismo. La siguiente sección presenta los

principales resultados de la literatura acerca del método LSM.

35

4.- Estudios acerca del LSM

En esta sección, nos detendremos brevemente en las especificaciones

de los polinomios utilizados para aproximar la función de continuación del

algoritmo.

Moreno y Navas (2003) estudian la robustez del LSM. En particular, los

autores analizan la sensibilidad del método a la familia de polinomios

utilizada y al número de términos incluidos para aproximar la función de

continuación. Los autores examinan diez especificaciones alternativas e

incluyen hasta veinte términos para cada familia de polinomios. En una

primera parte comparan los distintos resultados del LSM con los del método

binomial para una Put americana. Los resultados de este primer

experimento muestran que, dado un número de términos, las distintas

familias de polinomios arrojan precios similares para el derivado. Sin

embargo, dado un tipo de polinomio, el valor de la opción no aumenta

monotónicamente. Para los cinco primeros términos, el valor suele

aumentar, pero al incluir más polinomios, el valor decrece y luego incluso

puede volver a aumentar. En este sentido, el criterio de Longstaff y Schwartz

(2001) para determinar el largo óptimo del polinomio a utilizar resulta

confuso. En efecto, existe más de un número de términos que cumple con la

propiedad de que el valor de la opción ya no aumente. Por otro lado, aunque

los resultados son bastante cercanos a la solución binomial y las

desviaciones estándar son muy pequeñas, existe una leve pero persistente

tendencia del algoritmo a subestimar el precio la opción, en relación a la

solución binomial. Luego estos autores amplían su análisis a un problema

con más factores de riesgo. El caso que analizan es el de un derivado cuyo

pago depende del máximo valor alcanzado por uno de cinco activos no

correlacionados. El punto de comparación en esta parte es el intervalo de

confianza obtenido por Broadie y Glasserman (1997b). Un primer análisis

indica que se necesitan al menos dos polinomios de alguna familia para

36

entrar a dicho intervalo, y nuevamente, al incluir más elementos el valor del

derivado aumenta, aunque sólo hasta el quinto término. Sin embargo,

algunas familias de polinomios comienzan a distanciarse del resto. En

efecto, tanto en este ejemplo de complejidad intermedia como en el último

experimento de estos autores, resulta evidente que la elección de la familia

del polinomio ya no es irrelevante.

Stentoft (2004) realiza un segundo estudio acerca de las propiedades

del algoritmo. En una primera parte del trabajo, el autor analiza el efecto en

el desempeño del algoritmo que surge de alterar tanto el número de

polinomios que se usa en las regresiones como la cantidad de patrones

simulados. En el trabajo de Longstaff y Schwartz (2001), los autores utilizan

simulaciones o patrones y se centran en la familia de polinomios de

Laguerre. Stentoft (2004), realiza sus experimentos aumentando el número

de polinomios de la familia de Laguerre desde uno hasta cinco, y para cada

elección varía también el número de patrones comenzando con 10.000

patrones y realiza aumentos sucesivos de 10.000 hasta completar las 100.000

simulaciones. El punto de comparación es el valor que arroja el método

binomial con pasos. Al igual que en el estudio de Moreno y Navas

(2003) el autor encuentra que, dada la no monotonicidad del precio

estimado al numero de regresores, el criterio de Longstaff y Schwartz (2001)

para determinar el número óptimo de regresores resulta confuso. Sin

embargo, Stentoft (2004) encuentra que con un número bajo de polinomios

(uno o dos) el precio de la opción se subestima, por lo tanto recomienda la

utilización de tres o cuatro regresores como mínimo. Para resumir sus

conclusiones, los autores realizan una regresión entre el error cuadrático

medio de cada experimento y el logaritmo del número de patrones y del

número de regresores. En términos generales se concluye que el error

cuadrático medio disminuye a medida que aumentan ambas variables y

dichos efectos son estadísticamente significativos. En suma, el algoritmo

parece ser consistente.

100.000

50.000

37

Por otra parte, Stentoft (2004) analiza el desempeño de distintas

familias de polinomios alternativos. Si bien todas las familias analizadas

muestran la convergencia antes descrita, la familia de Legendre se comporta

mejor que las demás especificaciones, por tener un menor sesgo cuando se

usan pocos regresores. Finalmente, el autor define un trade-off entre el

tiempo computacional requerido y la precisión del método. Sobre esta

materia, dado que la familia de Legendre puede ser reducida a

combinaciones de polinomios ordinarios y que ésta resulta ser la familia que

exhibe el trade-off más favorable, el autor determina que la elección óptima

radica en utilizar dos o tres regresores de polinomios simples. En la sección

final del trabajo el autor compara la especificación anterior del algoritmo

con distintos métodos alternativos y concluye que el algoritmo de Longstaff

y Schwartz (2001) bajo esta especificación es la mejor alternativa para

valorar opciones americanas con múltiples subyacentes.

En alguna medida la tesis de Urzúa (2004) utiliza los resultados de los

estudios anteriores para sus aplicaciones del algoritmo LSM. En efecto, en

dicho trabajo el autor utiliza en sus regresiones potencias simples de los

precios teóricos que tendrían los contratos futuros del subyacente. Los

resultados que obtiene utilizando solamente las tres primeras potencias de

los contratos son extremadamente eficientes en problemas de opciones

reales clásicos de hasta tres factores de riesgo. Cabe destacar que la

fórmula teórica para la valoración de un contrato futuro incluye tanto al

subyacente como la tasa libre de riesgo y al retorno por conveniencia, por lo

tanto, cuando los tres factores son estocásticos el uso de potencias simples

de futuros reduce considerablemente el número de polinomios necesario

para encontrar un resultado eficiente.

38

5.- El uso práctico del LSM

En la práctica, para poder aplicar correctamente el algoritmo de

Longstaff y Schwartz (2001), es necesario conocer con exactitud el proceso

que sigue el subyacente. Para que el precio teórico del derivado corresponda

a su precio real, el investigador debe estar razonablemente seguro de que lo

que ha simulado, en el proceso de valoración, corresponde al movimiento

del subyacente. Aunque es bastante razonable asumir que los retornos del

subyacente siguen algún tipo de browniano geométrico, los parámetros

concretos que rigen dicho movimiento pueden estar sujetos a controversia.

En efecto, toda estimación de los parámetros fundamentales del browniano

está sujeta a un intervalo de confianza, es decir, no es posible conocer de

manera absolutamente confiable los valores que rigen las simulaciones. En

el trabajo original de Longstaff y Schwartz (2001) y en el estudio de Stentoft

(2004), los autores suponen el conocimiento exacto del patrón de

movimiento del subyacente. En esta sección estudiaremos el efecto de

incluir en las simulaciones el hecho empírico de que los parámetros

fundamentales del proceso están sujetos a variación, es decir, levantamos el

supuesto teórico de que el investigador conoce con exactitud el proceso

verdadero del subyacente.

Siguiendo el texto de Campbell, Lo y Mackinlay9 (1997) el investigador

sabe que el subyacente que necesita simular sigue un proceso como el

presentado a continuación:

( ) ( ) ( ) [ ], ; , , ( ) 0,dP t a P t dt b P t dB t t Tα β= + ∈ (41)

9 Remitirse al capítulo noveno de dicho texto.

39

Donde ( )B t es un proceso de Wiener estándar y [ ]' 'θ α β≡ es un vector

de parámetros que el investigador desconoce. Como ya fue introducido al

comienzo de este trabajo, las funciones ( ), ;a P t α y ( ), ,b P t β son la tendencia

y la difusión del proceso. A modo de ejemplo, en el sencillo caso del modelo

de Black y Scholes (1973) estas funciones están dadas por:

( ), ;a P t Pα μ= (42)

( ), ,b P t Pβ σ= (43)

Existen diversas formas para estimar el vector de parámetros θ , sin

embargo, incluso las más exactas y complejas están sujetas a un intervalo

de confianza. Es decir, cuando el investigador simula se ve forzado a hacerlo

con el vector θ̂ previamente estimado. A continuación, nos centraremos en

la estimación de θ̂ por máxima verosimilitud en el caso general, para

posteriormente, encontrar en el caso de Black y Scholes (1973) la varianza

de los parámetros fundamentales usados en las simulaciones.

La forma más directa de encontrar el vector θ̂ es estimarlo a partir de

los datos históricos. Supongamos que tenemos una secuencia de 1n +

observaciones históricas de ( )P t para un conjunto de fechas . La

distribución de densidad conjunta

0 1 ... nt t t< < <

f de la muestra está dada por:

( ) ( ) (0 0 0 11

,..., ; ; , / , ;n

n k kk

f P P f P f P t P t )1k kθ θ − −=

= ∏ θ (44)

Donde , ( )k kP P t≡ 0 0( )f P es la función de densidad marginal en y 0P

( 1 1, / , ;k k k kf P t P t )θ− − es la función de densidad condicional de dado kP 1kP − ,

40

siguiendo a Campbell, Lo y Mackinlay10 (1997) llamaremos a esta última

simplemente kf .

Para estimar θ̂ por máxima verosimilitud es necesario definir la

función de log-verosimilitud como el logaritmo natural de la función de

densidad conjunta a través de la muestra expresada en función de θ . Es

decir:

( )0log

n

kk

fθ=

=∑ (45)

El estimador de máxima verosimilitud está dado por:

( )arg maxθ θ≡ (46)

Con algunos supuestos de regularidad, puede demostrarse la

consistencia de θ̂ y obtenerse su distribución aproximada en el límite:

( ) ( )( ) ( ) ( )21 10, , lim

'

a

nn N I I E

nθ

θ θ θ θθ θ

−

→∞

⎡ ⎤⎡ ⎤∂− ≡ −⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∼ (47)

Donde ( )I θ corresponde a la matriz de información. Cuando n es

grande, la distribución asintótica anterior permite aproximar la varianza de

θ como:

( )11Var In

θ θ−⎡ ⎤ ≈⎣ ⎦ (48)

Donde la matriz de información puede ser estimada como:

10 Remitirse al capítulo noveno de dicho texto.

41

( )2

1'

In

θ

θ θ

∂=

∂ ∂ (49)

Cabe destacar que θ es de todos los estimadores consistentes y

uniformemente asintóticamente normales, el de menor varianza asintótica.

Por lo tanto, éste es el método preferido cuando puede realizarse. A pesar de

que es muy difícil encontrar expresiones exactas para las funciones de

densidad condicional, el texto de Campbell, Lo y Mackinlay11 (1997) explica

como soslayar este problema.

Si nos concentramos en el proceso utilizado por Black y Scholes (1973),

donde:

21log2

d P dt dB dt dBμ σ σ α σ⎛ ⎞= − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

(50)

Es común asumir que los precios ( )P t siguen una distribución

lognormal y por simplicidad suponemos que la muestra está dividida en n

intervalos de tiempo constantes de duración en h [ ]0,T de tal manera que

para con T( )kP P kh≡ 0,1,...,k = n nh= . Los retornos logarítmicos del

subyacente, ( )1

log kk

k

Pr hP −

⎛ ⎞≡ ⎜

⎝ ⎠⎟ son normales e IID con media hα y varianza

2hσ . Con esta notación y bajo los supuestos habituales de Black y Scholes

(1973) es simple obtener los estimadores de máxima verosimilitud antes

mencionados.

La función de log-verosimilitud puede expresarse como:

11 Remitirse al capítulo noveno de dicho texto.

42

( ) ( ) ( )(2

22

1

1, log 22 2

n

kk

n h r hh

α σ πσ ασ =

= − − −∑ )h (51)

Por lo tanto, los estimadores de máxima verosimilitud tienen una forma

finita dada por:

( )1

1 n

kk

r hnh

α=

= ∑ (52)

( )(2

2

1

1 n

kk

r h hnh

σ=

= −∑ )α (53)

De esta forma, el estimador de máxima verosimilitud coincide con los

momentos de la muestra. Si aplicamos en este caso las fórmulas de la

varianza asintótica a los estimadores de máxima verosimilitud antes

expuestas obtenemos:

2a

VarTσα⎡ ⎤ ≈⎣ ⎦ (54)

42a

Varnσσ⎡ ⎤ ≈⎣ ⎦ (55)

Cuando valoramos derivados utilizando el algoritmo LSM, no

simulamos los procesos reales de los activos, sino los ajustados por riesgo.

De esta forma, el parámetro α puede suponerse conocido con razonable

certeza, ya que corresponde a la tasa libre de riesgo vigente en el mercado.

Sin embargo, el parámetro 2σ ha de ser estimado, y en la práctica, se utiliza

con frecuencia la varianza histórica de los retornos. Pero, como ya ha sido

expuesto, dicha estimación está sujeta a su vez a una varianza. Por lo tanto,

al momento de estudiar las propiedades del LSM es necesario tomar en

cuenta que el investigador sólo trabaja con una aproximación de los

parámetros verdaderos del browniano del subyacente. En la siguiente

43

sección, se desarrollará un experimento para testear las propiedades del

algoritmo en el caso de un proceso simple cuando se toma en cuenta dicho

problema.

44

6.- Eficiencia del uso de parámetros estimados

En esta sección buscaremos cuantificar el efecto de la varianza en los

parámetros utilizados, al momento de simular, en la eficiencia del LSM. Con

este fin, diseñaremos un conjunto de experimentos comparables con los

resultados tanto de Longstaff y Schwartz (2001) como de Stentoft (2004).

Por esta razón, recurriremos a las mismas formas funcionales en las

regresiones, los mismos parámetros y el mismo punto de comparación que

los trabajos anteriores. En una primera parte expondremos la forma en que

se han simulado los distintos procesos, luego se mostrará la familia de

polinomios que se utilizó y el número de funciones de dicha familia.

Finalmente se compara la eficiencia de los resultados obtenidos con la de

los resultados de los trabajos antes mencionados.

Siguiendo a Stentoft (2004), buscamos simular un proceso browniano

geométrico con la siguiente ecuación diferencial:

( ) ( ) ( ) ( )dS t rS t dt S t dW tσ= + (56)

Donde es un proceso de Wiener estándar y tanto como W r σ se

asumen constantes a través del tiempo. Lo primero es presentar la solución

de la ecuación diferencial anterior, es decir, expresar todos los puntos

futuros en función del punto inicial de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )210 exp2

S t S r t W tσ σ⎧ ⎫⎛ ⎞= − +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

(57)

Si reemplazamos el proceso de Wiener por su forma usual obtenemos:

45

( ) ( ) ( )210 exp2

S t S r t tZ tσ σ⎧ ⎫⎛ ⎞= − +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

Donde podemos fácilmente obtener una secuencia de

precios para fechas discretas arbitrariamente espaciadas tal que

utilizando la siguiente expresión:

( ) ( )0,1Z t N∼

1 20 ... Nt t t T< ≤ ≤ =

( ) ( ) ( ) ( )21 1

1exp2i i i i i i iS t S t r t t t t Z tσ σ+ + 1 1+ +

⎧ ⎫⎛ ⎞= − − + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

(58)

Donde . ( ) (1 0,1iZ t IIN+ ∼ )

El procedimiento anterior puede extenderse fácilmente para el caso de

activos correlacionados, como en secciones posteriores utilizaremos también

esta herramienta es útil exponer inmediatamente la forma en que esto

puede realizarse. En la última ecuación es necesario reemplazar la

perturbación estocástica ( )Z t por un vector normal multivariado ( )Z t con

distribución , donde (0,N ∑) ∑ corresponde a una matriz de varianza y

covarianza con elemento típico ij ij i jρ σ σ∑ = , en que ijρ es el coeficiente de

correlación de dos perturbaciones de varianza 2iσ y 2

jσ . La forma más

simple de construir este vector es crear en primer lugar L variables

estocásticas normales estándar tal que:

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2, ,..., LZ t Z t Z t Z t= (59)

Y luego escoger una descomposición para ∑ tal que . Por lo

general se suele utilizar una descomposición de Cholesky para este efecto.

'CC∑ =

46

De esta forma . Finalmente puede obtenerse el vector (0,CZ N ∑∼ ) ( )Z t en

función del vector ( )Z t y de la matriz C :

( ) ( )( )

( )

t

t( ) ( )

( ) ( )

1 111

2 1 221 212

11

...

...L LL LL

Z t C Z

Z t C Z C Z t

t C C Z t

=

+

i

Z t

= +

= +

(60)

Z

En la tercera sección de Longstaff y Schwartz (2001), los autores

calculan el valor de una opción americana usando 100.000 patrones

simulados, en las regresiones utilizan una constante y los primeros tres

polinomios ponderados de Laguerre. Cabe destacar que de las 100.000

simulaciones, son variables antitéticas, utilizadas como técnica

estándar para la disminución de varianza. Stentoft (2004) expresa la forma

general de las regresiones usadas por Longstaff y Schwartz (2001) con la

siguiente fórmula:

50.000

( ) ( )( ) ( )( ) ( )11

K

i k i k ik

y t x t L x tα β ω υ−=

= + +∑ t

)

(61)

Donde ( )(1k iL x t− es el polinomio número de la familia de Laguerre

evaluado en

k

( )ix t y los parámetros α y β son las variables a estimar.

Stentoft (2004) utiliza en sus regresiones la misma ponderación que

Longstaff y Scwartz (2001), es decir:

( )( ) ( )exp2

ii

x tx tω

⎛ ⎞= −⎜

⎝ ⎠⎟ (62)

47

Stentoft (2004) no utiliza la fórmula exacta de los polinomios de

Laguerre sino una forma reducida que facilita enormemente la

programación. A continuación presentamos las características generales de

esta familia de polinomios:

Tabla 6-1: Características de la Familia de Polinomios de Laguerre

Nombre Ponderación Intervalo Definición

Laguerre

Primer término Segundo término Tercer término Fórmula General

Características Generales

Fórmula Recursiva

xe− [ )0,∞ ( ) ( )!

x kk x

k k

e dL x x ek d x

−=

( )0 1L x = ( )1 1L x x= − ( )2

24 22

x xL x − += ( ) ( ) ( )1 1

2 11 1k k

k x kL x L x L xk k+ −

+ −= −

+ + k

Stentoft (2004) analiza, en su primer experimento, las propiedades del

LSM aumentando el orden de los polinomios desde 1K = hasta 5K = y

variando el número de simulaciones usadas desde 10.000 hasta 100.000 .

Para cada combinación de los parámetros anteriores el autor reporta el

promedio de 100 realizaciones distintas y la correspondiente desviación

estándar. Además, usando como referencia el valor que entrega el método

binomial calcula el sesgo aproximado del LSM. Las características de la

opción analizada por Stentoft (2004) son las mismas que las de uno de los

derivados que analizan Longstaff y Schwartz (2001). Es decir, una Put

americana que expira en un año con diez oportunidades de ejercicio

igualmente espaciadas y un precio de ejercicio de 40 . El subyacente

comienza con un valor de y tiene una volatilidad anualizada del . La

tasa de interés está constante durante el período en un . El valor de

comparación es el entregado por el método binomial con 50.000 pasos que

entrega un valor de .

36 40%

6%

7.071

48

Tanto Longstaff y Schwartz (2001) como Stentoft (2004) destacan la

baja desviación estándar de sus experimentos. En el primer trabajo, luego

de constatar la escasa diferencia con la solución de diferencias finitas, los

autores afirman que el error estándar es muy bajo ubicándose entre 0. y

centavos de dólar, valor que pertenece al intervalo del spread entre

oferta y demanda para este tipo de opciones. En el caso de Stentoft (2004) la

eficiencia es también clara, por ejemplo, en el caso de la desviación

estándar disminuye desde los 3 centavos para 10.000 simulaciones hasta .9

centavos con 100.000 patrones. A modo de ilustración presentamos el

fragmento en cuestión de la segunda tabla de Stentoft (2004) y agregamos la

raíz del error cuadrático medio definida como:

7

2.4

2K =

( )22M LSM MBRECM σ ρ ρ= + − (63)

Tabla 6-2: Resultados de Stentoft (2004)

10000 7.0670 0.0300 -0.0040 0.030320000 7.0650 0.0200 -0.0060 0.020930000 7.0610 0.0170 -0.0100 0.019740000 7.0660 0.0120 -0.0040 0.012650000 7.0650 0.0120 -0.0060 0.013460000 7.0640 0.0100 -0.0070 0.012270000 7.0640 0.0100 -0.0070 0.012280000 7.0630 0.0090 -0.0080 0.012090000 7.0650 0.0090 -0.0060 0.0108

100000 7.0630 0.0090 -0.0080 0.0120

RECMPatrones Valor LSM Des Est. Sesgo2K =

Los resultados de Stentoft (2004) son claros, tanto el sesgo como la

varianza del algoritmo son bajos y existe una clara disminución de ambos a

medida que se aumenta el número de simulaciones realizadas. Sin embargo,

como anunciamos en la sección anterior, la volatilidad del subyacente es

49

solamente una aproximación, más o menos acertada, de la varianza

verdadera del proceso verdadero. A continuación analizaremos los efectos

tanto en sesgo como en eficiencia que surgen al tomar en cuenta este

fenómeno. En términos generales, asumiremos los mismos parámetros que

Stentoft (2004), pero, para cada uno de los 100 experimentos, utilizaremos

una estimación de la varianza verdadera fundada en la varianza del método

de máxima verosimilitud expuesto en la sección anterior. Para obtener la

desviación estándar σ que utilizaría un individuo que calcula con datos

históricos el precio de un activo utilizamos la siguiente fórmula:

42

nσσ σ ε= + (64)

Donde . Además, se asume que el investigador utiliza una

muestra de datos pasados para la estimación de

(0,1Nε ∼ )

σ del mismo largo y con la

misma periodicidad que el horizonte de simulación.

A continuación presentamos los resultados de un experimento

equivalente al de Stentoft (2004) considerando que en cada uno de los 100

experimentos realizados con los distintos números de simulaciones, se

utiliza el parámetro σ en lugar de σ . Por motivos de simplicidad no se

utiliza ninguna ponderación en los polinomios y nos limitamos al caso de

. La siguiente tabla reporta en cada celda el valor promedio de los cien

experimentos, su desviación estándar, su sesgo y la raíz del error cuadrático

tanto para este experimento como el reportado por Stentoft (2004). Donde

2K =

2Mσ es la varianza de los cien experimentos realizados con M simulaciones y

los parámetros LSMρ y MBρ representan respectivamente el promedio del

valor del derivado por el método LSM y el valor que arroja el modelo

binomial con las características ya mencionadas.

50

Tabla 6-3: Aumento de la RECM cuando se Utiliza una Estimación de la Desviación Estándar

M10000 6.8532 0.8992 -0.2178 0.9252 0.030320000 7.0852 1.0006 0.0142 1.0007 0.020930000 6.9895 1.1113 -0.0815 1.1143 0.019740000 6.9433 0.9745 -0.1277 0.9828 0.012650000 6.8162 0.9675 -0.2548 1.0005 0.013460000 7.0497 1.1138 -0.0213 1.1140 0.012270000 7.0018 0.9493 -0.0692 0.9518 0.012280000 6.7699 1.0110 -0.3011 1.0549 0.01290000 7.1526 1.0376 0.0816 1.0408 0.0108100000 6.9623 0.9844 -0.1087 0.9904 0.012

LSM con y2K = σ

LSMρMσ LSM MBρ ρ− RECM

σ RECMσ

A continuación se grafica la evolución de la raíz del error cuadrático

medio para ambos experimentos en función del número de simulaciones

utilizadas:

Gráfico 6-1: Comparación de las RECM

RECM en función de M

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1000

020

000

3000

040

000

5000

060

000

7000

080

000

9000

0

1000

00

M

REC

M

RECM con varianzadesconocidaRECM con varianzaconocida

51

Los resultados del experimento anterior son decidores. La desviación

estándar del LSM cuando se toma en cuenta que el investigador no conoce

con exactitud la desviación estándar que rige el browniano del activo

subyacente es alrededor de cien veces la calculada tanto por Longstaff y

Schwartz (2001) como Stentoft (2004). Además, el sesgo presentado por el

método es significativamente mayor que el reportado por los trabajos

anteriores. Finalmente, no existe ninguna tendencia a la disminución de la

desviación estándar o del valor absoluto del sesgo a medida que se aumenta

el número de simulaciones utilizadas. En este sentido, la difundida creencia

de que las estimaciones mejoran cuando se aumenta el número de patrones

utilizados se ve drásticamente socavada. Es más, éste y otros de los

resultados principales reportados por Stentoft (2004) parecen ser válidos

sólo en el supuesto absolutamente teórico de que el investigador conoce la

desviación estándar verdadera del proceso.

Este primer experimento pone en tela de juicio la aplicación práctica

del algoritmo más utilizado en el mundo de las finanzas. Esta visión crítica

del LSM es el primer resultado del presente trabajo. En las secciones

posteriores proponemos una variación al LSM y estudiamos en que medida

ésta puede lidiar con el problema práctico expuesto.

52

7.- Uso de un activo ficticio como “ancla”

Como expusimos en la sección anterior, el uso práctico del LSM es

bastante menos eficiente de lo que podría pensarse. En la realidad el

operador de una mesa de dinero no conoce el valor exacto de los parámetros

que rigen el movimiento del subyacente. Más aún, dada la velocidad de las

transacciones, es muy poco probable que disponga del tiempo necesario

para realizar una estimación más acertada que la que hemos utilizado en

nuestro ejemplo, y seguramente, aplicará una sola vez el algoritmo,

exponiéndose a la totalidad de la varianza del precio. En el caso de un

modelo simple como el ya presentado, si el investigador conociese el

verdadero valor de σ esto no sería un gran problema. Ya que, en ese

escenario, la desviación estándar de su estimación, como bien dicen

Longstaff y Schwartz (2001), mantiene el precio al interior del intervalo de

oferta y demanda del derivado. Sin embargo, está desviación aumenta

drásticamente cuando se permite un mínimo error en la estimación de σ .

En efecto, la desviación estándar se ubica en la vecindad de un dólar por

unidad de derivado, lo que, dada la intensidad de las transacciones

bursátiles puede ser una verdadera catástrofe. De aquí que sea de absoluta

relevancia la búsqueda de variaciones al algoritmo que permitan lidiar

satisfactoriamente con el problema empírico expuesto.

¿Qué es realmente lo que sucede cuando utilizamos una desviación

estándar distinta de la verdadera en las simulaciones de los procesos

financieros? La desviación estándar en el browniano es también llamada el

parámetro de dispersión, y como tal, da cuenta de la amplitud de los

movimientos del subyacente. Por lo tanto, cuando usamos un σ mayor al

verdadero permitimos que nuestra simulación sobre reaccione con respecto

al proceso real. Sin embargo, el activo subyacente no se encuentra aislado

en el mercado. El inmenso desarrollo de los mercados financieros modernos

53

y la gran rapidez con que fluye la información permiten comparar casi sin

costo los precios de distintos activos. De esta forma, en una mesa de dinero

los operadores no están solamente atentos al movimiento del activo que es

de su interés, sino que observan el mercado como un todo. Las distintas

correlaciones históricas entre los activos aportan información sobre el

movimiento de los mismos. De esta forma, un operador suele estudiar con

mayor detalle el movimiento de un activo desalineado en relación al

mercado o con respecto a otro activo de similares características.

Imaginemos el caso extremo de dos compañías del mismo rubro y de similar

constitución. Claramente sus acciones han de mostrar una alta correlación

histórica. Mientras el movimiento de ambas sea similar, el operador no se

preocupará mayormente de éstas. Pero, si en algún momento, una de ellas

reaccionara fuertemente sin que la otra se alterara en demasía, los

esfuerzos del operador claramente se centrarían en entender las causas.

La idea de esta sección es lograr incluir en el LSM la intuición antes

descrita. Es decir, agregar información sobre otro activo correlacionado con

el subyacente del derivado de manera que el algoritmo “no confíe”

plenamente y sin reservas en σ sino que corrija por la realización del otro

proceso correlacionado. De esta forma, parte del efecto del error de

estimación inherente al σ puede ser amainado por la correlación con el otro

proceso. En el mundo real ningún proceso es conocido con exactitud y

menos las correlaciones entre procesos. Sin embargo, en este caso no

necesitamos verdaderamente conocer el proceso del activo correlacionado,

de hecho, no necesitamos siquiera que dicho activo exista.

Lo que realmente buscamos en el activo correlacionado es un “ancla”

para el proceso del subyacente. Queremos idear una especie de sensor, un

testigo, que alerte al algoritmo cuando el desvío resulte desproporcionado

dada su correlación. Dicho mecanismo, aunque está inspirado en la

54

racionalidad práctica del operador, no necesita tener una contraparte

empírica, y por ende, no tiene porque estar sujeto a su vez a un error de

estimación. Por lo tanto, al momento de simular el proceso estimado del

activo subyacente simularemos también un segundo activo, absolutamente

ficticio, con una desviación estándar arbitraria y un coeficiente de

correlación distinto de cero. Sin embargo, la inclusión de este nuevo proceso

necesita claras variaciones en el método de estimación tradicional del LSM.

En esta sección se presenta una variación del algoritmo original basado en

MICO que incluye la nueva información y que no ensucia mayormente la

estimación en ausencia del problema, es decir, con certeza deσ .

Ya en su trabajo seminal, Longstaff y Schwartz (2001) invitan a la

comunidad a experimentar con otro tipo de regresiones. El problema que los

autores tienen en mente es como lidiar con la posibles heteroscedasticidad

del error en las series financieras. Sobre este tipo de variaciones puede

consultarse el trabajo de Stentoft (2005). Sin embargo, en el presente

trabajo, la inversión en econometría tiene el fin de incluir la información del

activo correlacionado al memento de encontrar la esperanza condicional de

continuar sin ejercer la opción.

El primer paso antes de definir la mejor manera de incluir la

información del activo correlacionado es simularlo. Cabe destacar que la

simulación utilizada ya fue descrita en la sexta sección. La descomposición

de la matriz de varianza-covarianza utilizada a lo largo de este trabajo

corresponde a una descomposición de Cholesky.

Existen a lo menos dos caminos econométricos para incluir la

información del otro proceso, el primero consiste en utilizar el nuevo

proceso como variable de control. Es decir, incluirlo en la regresión del

mismo modo y, por simplicidad con la misma forma funcional, que al activo

55

original. Formalmente, utilizando una ponderación constante e igual a la

unidad la regresión se convierte en:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 1 21 1

K K

i k k i k k ik k

iy t L x t L x tα β β υ− −= =

= + + +∑ ∑ t (65)

Donde ( )1 ix t representa el valor del activo subyacente y ( )2 ix t el valor

del proceso correlacionado, ( )itυ es el error de la regresión, 1kβ y 2kβ los

parámetros a estimar específicos a cada polinomio de activos. Cabe destacar

que utilizamos el mismo tipo y la misma extensión en los polinomios que

dan la forma a los regresores. La estimación de los parámetros se hace

también por MICO, por lo tanto, el único cambio relevante es el cambio en el

modelo de regresión. El resto del proceso de valoración es idéntico al del

algoritmo original. La inclusión de este tipo de variables claramente

introduce colinealidad al modelo lo que aumenta la varianza de los

estimadores. Sin embargo, el algoritmo sólo busca predecir

consistentemente el valor de la esperanza condicional, por lo tanto esta

maniobra debería ser inofensiva en el cálculo final. Más adelante en esta

sección evaluaremos los efectos de esta metodología. Para mayor detalle de

estas propiedades es conveniente remitirse al libro de texto de

Greene12(2003).

Una segunda alternativa consiste en utilizar los datos de la nueva

simulación como instrumentos en la regresión original. En este caso nos

alejamos claramente del modelo de regresión MICO y utilizamos una

estimación por variables instrumentales. Cabe señalar que el tipo de

instrumentos que utilizamos puede entenderse como una regresión de

MICO en dos etapas, nuevamente, el detalle de este tipo de estimaciones

12 Remitirse a los capítulos cuarto y octavo de dicho texto.

56

puede encontrarse en el libro de texto de Greene13 (2003). En términos

generales, es conveniente para la exposición llamar X a la matriz del

modelo original de Longstaff y Schwartz (2001) que contiene todas las

variables independientes, por lo tanto, la columna de unos y los

polinomios de la familia elegida evaluados en el activo subyacente e como

el vector de variables dependientes. Siguiendo con la notación, lo que

hacemos es formar una matriz de instrumentos a la que llamamos

K

Y

Z

idéntica a X en su forma pero con los polinomios evaluados en el activo

correlacionado. A diferencia del primer camino expuesto para la inclusión

del activo correlacionado, la regresión final utiliza el mismo número de

parámetros que la del modelo LSM original. La obtención formal del vector

de parámetros VIβ en términos matriciales es:

( )( ) ( )11' ' ' ' ' 'VI 1X Z Z Z Z X X Z Z Z Z Yβ−−= − (66)

El estimador anterior puede entenderse cuando menos de dos formas.

La primera es definir la matriz de proyecciones ZP como:

(67) ( ) 1' 'zP Z Z Z Z−=

Y utilizarla como instrumento premultiplicando el modelo entero por ZP

y obteniendo el estimador MICO del modelo transformado.

La segunda forma de entender este estimador es constatar que el

instrumento en cuestión, la matriz ZP , realiza proyecciones ortogonales de

cualquier variable en la base Z y por lo tanto, coincide con una estimación

MICO en dos etapas donde se corre una primera regresión de X explicada

13 Remitirse al capítulo quinto de dicho texto.

57

por Z y luego con los valores estimados de X se corre la regresión MICO

que busca predecir Y .

Para analizar correctamente los dos caminos anteriores, introduciremos

la nueva información al algoritmo y realizaremos una prueba de ambos. La

prueba en cuestión busca definir si tienen algún efecto en el algoritmo,

medido en función de la raíz del error cuadrático medio, en ausencia del

problema. El punto de partida serán las estimaciones equivalentes de

Stentoft (2004).

En primer lugar, ambos caminos requieren simular dos procesos

correlacionados. El activo subyacente se simula de la misma manera que en

el caso presentado en la sección anterior pero asumiendo que el

investigador conoce la varianza. El activo correlacionado se modela, según el

marco ya expuesto, utilizando un coeficiente de correlación ρ . Para testear

el impacto de dicho coeficiente se utilizan valores que van desde a 0.

con intervalos constantes de . Para poder comparar con las simulaciones

de Stentoft (2004), se realizan experimentos con simulaciones que van

desde los 10.000 patrones hasta los 100.000 , los aumentos son de

simulaciones. La opción evaluada es una Put Americana que expira en

un año con diez oportunidades de ejercicio igualmente espaciadas y un

precio de ejercicio de . El subyacente comienza con un valor de y tiene

una volatilidad anualizada de , conocida por el investigador. La tasa de

interés está constante durante el período en un . El valor de

comparación es el entregado por el método binomial con 50.000 pasos que

entrega un valor de 7.071 . El proceso del activo correlacionado ficticio se

simula con un valor inicial de 36 y una volatilidad anual constante de 40% ,

cabe destacar que los resultados no dependen en medida alguna de esta

última elección. Nuevamente el valor del algoritmo reportado en la tabla es

0.1 9

0.1

10.000

40 36

40%

6%

58

59

2K

La diferencia de los dos métodos consiste en la estrategia de regresión

utilizada. La primera tabla presentada muestra los resultados que obtiene

Stentoft (2004) corriendo el LSM tradicional con un

el promedio de cien experimentos de las características anteriores y la

desviación estándar corresponde a la del mismo conjunto.

= . La segunda tabla

muestra el resultado de incluir el segundo proceso en la regresión como una

nueva variable, con la misma forma polinomial del primero y un

2K = . La

tercera tabla expone los resultados de incluir el nuevo activo como

instrumento. En cada tabla se presenta el número de simulaciones, la

media y la desviación estándar de las cien repeticiones y los parámetros

utilizados en cada caso.

Tabla 7-1: Resultados del LSM tradicional de Stentoft (2004)

M edia Des. est.10000 7,067 0,03020000 7,065 0,02030000 7,061 0,01740000 7,066 0,01250000 7,065 0,01260000 7,064 0,01070000 7,064 0,01080000 7,063 0,00990000 7,065 0,009

100000 7,063 0,009

LSM tradicional reportado po

M Sesgo RECM-0,004 0,030-0,006 0,021-0,010 0,020-0,004 0,013-0,006 0,013-0,007 0,012-0,007 0,012-0,008 0,012-0,006 0,011-0,008 0,012

r Stentoft (2004) con 2K =

Tabla 7-2: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Regresor cuando la Varianza es Conocida (1)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.0759 0.0241 0.0049 0.0246 7.0748 0.0289 0.0038 0.0291 7.0769 0.0275 0.0059 0.0281 7.0695 0.0292 -0.0015 0.029220000 7.0697 0.0199 -0.0013 0.0199 7.0709 0.0203 -0.0001 0.0203 7.0734 0.0206 0.0024 0.0207 7.0647 0.0218 -0.0063 0.022730000 7.0677 0.0176 -0.0033 0.0179 7.0668 0.0154 -0.0042 0.0160 7.0699 0.0153 -0.0011 0.0153 7.0693 0.0151 -0.0017 0.015240000 7.0675 0.0147 -0.0035 0.0151 7.0663 0.0134 -0.0047 0.0142 7.0641 0.0149 -0.0069 0.0164 7.0666 0.0143 -0.0044 0.015050000 7.0682 0.0128 -0.0028 0.0131 7.0661 0.0135 -0.0049 0.0144 7.0654 0.0124 -0.0056 0.0136 7.0677 0.0133 -0.0033 0.013760000 7.0662 0.0119 -0.0048 0.0128 7.0687 0.0109 -0.0023 0.0111 7.0661 0.0120 -0.0049 0.0130 7.0646 0.0129 -0.0064 0.014470000 7.0658 0.0091 -0.0052 0.0105 7.0658 0.0122 -0.0052 0.0133 7.0654 0.0093 -0.0056 0.0109 7.0660 0.0112 -0.0050 0.012380000 7.0641 0.0093 -0.0069 0.0116 7.0643 0.0096 -0.0067 0.0117 7.0655 0.0091 -0.0055 0.0106 7.0658 0.0082 -0.0052 0.009790000 7.0649 0.0096 -0.0061 0.0114 7.0664 0.0088 -0.0046 0.0099 7.0668 0.0092 -0.0042 0.0101 7.0664 0.0095 -0.0046 0.0106100000 7.0647 0.0090 -0.0063 0.0110 7.0664 0.0084 -0.0046 0.0096 7.0659 0.0083 -0.0051 0.0097 7.0655 0.0089 -0.0055 0.0105

Rho= 0.1 Rho=0. 2 Rho= 0.3 Rho= 0.4

Tabla 7-3: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Regresor cuando la Varianza es Conocida (2)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.0744 0.0295 0.0034 0.0297 7.0725 0.0265 0.0015 0.0265 7.0721 0.0284 0.0011 0.0284 7.0755 0.0255 0.0045 0.0259 7.0749 0.0280 0.0039 0.028320000 7.0683 0.0205 -0.0027 0.0207 7.0686 0.0222 -0.0024 0.0223 7.0690 0.0207 -0.0020 0.0208 7.0668 0.0199 -0.0042 0.0203 7.0686 0.0209 -0.0024 0.021030000 7.0692 0.0153 -0.0018 0.0154 7.0667 0.0170 -0.0043 0.0175 7.0689 0.0177 -0.0021 0.0178 7.0686 0.0130 -0.0024 0.0132 7.0669 0.0185 -0.0041 0.018940000 7.0666 0.0141 -0.0044 0.0148 7.0662 0.0132 -0.0048 0.0140 7.0679 0.0140 -0.0031 0.0143 7.0672 0.0147 -0.0038 0.0152 7.0690 0.0132 -0.0020 0.013450000 7.0667 0.0122 -0.0033 0.0126 7.0666 0.0112 -0.0044 0.0120 0.0646 0.0117 -0.0064 0.0133 7.0675 0.0142 -0.0035 0.0146 7.0676 0.0126 -0.0034 0.013160000 7.0672 0.0116 -0.0038 0.0122 7.0667 0.0118 -0.0043 0.0126 7.0666 0.0113 -0.0044 0.0121 7.0663 0.0124 -0.0047 0.0133 7.0669 0.0114 -0.0041 0.012170000 7.0648 0.0120 -0.0062 0.0135 7.0665 0.0101 -0.0045 0.0111 7.0652 0.0102 -0.0058 0.0117 7.0676 0.0111 -0.0034 0.0116 7.0656 0.0103 -0.0054 0.011680000 7.0651 0.0101 -0.0059 0.0117 7.0658 0.0094 -0.0052 0.0107 7.0669 0.0098 -0.0041 0.0106 7.0644 0.0098 -0.0066 0.0118 7.0641 0.0097 -0.0069 0.011990000 7.0643 0.0081 -0.0067 0.0105 7.0648 0.0086 -0.0062 0.0106 7.0675 0.0088 -0.0035 0.0095 7.0653 0.0099 -0.0057 0.0114 7.0665 0.0096 -0.0045 0.0106

100000 7.0670 0.0091 -0.0040 0.0099 7.0659 0.0079 -0.0051 0.0094 7.0679 0.0087 -0.0031 0.0092 7.0646 0.0088 -0.0064 0.0109 7.0646 0.0083 -0.0064 0.0105

Rho= 0.9Rho= 0.5 Rho=0.6 Rho= 0.7 Rho= 0.8

60

61

RECM0.02820.02110.01880.01490.01390.01450.01240.00990.01070.0126

Tabla 7-4: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Instrumento cuando la Varianza es Conocida (1)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo10000 7.0742 0.0278 0.0032 0.0280 7.0723 0.0242 0.0013 0.0242 7.0694 0.0267 -0.0016 0.0267 7.0722 0.0282 0.001220000 7.0664 0.0183 -0.0046 0.0189 7.0665 0.0195 -0.0045 0.0200 7.0680 0.0232 -0.0030 0.0234 7.0646 0.0201 -0.006430000 7.0667 0.0174 -0.0043 0.0179 7.0666 0.0158 -0.0044 0.0164 7.0687 0.0183 -0.0023 0.0184 7.0634 0.0172 -0.007640000 7.0631 0.0142 -0.0079 0.0162 7.0655 0.0149 -0.0055 0.0159 7.0657 0.0156 -0.0053 0.0165 7.0649 0.0136 -0.006150000 7.0673 0.0125 -0.0037 0.0130 7.0658 0.0137 -0.0052 0.0147 7.0642 0.0127 -0.0068 0.0144 7.0670 0.0133 -0.004060000 7.0652 0.0118 -0.0058 0.0131 7.0675 0.0113 -0.0035 0.0118 7.0665 0.0118 -0.0055 0.0130 7.0641 0.0128 -0.006970000 7.0652 0.0094 -0.0058 0.0110 7.0651 0.0119 -0.0059 0.0133 7.0651 0.0093 -0.0059 0.0110 7.0652 0.0110 -0.005880000 7.0636 0.0090 -0.0074 0.0117 7.0633 0.0099 -0.0077 0.0125 7.0652 0.0091 -0.0058 0.0108 7.0656 0.0083 -0.005490000 7.0649 0.0088 -0.0061 0.0107 7.0654 0.0090 -0.0056 0.0106 7.0651 0.0095 -0.0059 0.0112 7.0661 0.0095 -0.0049

100000 7.0665 0.0089 -0.0045 0.0100 7.0657 0.0091 -0.0053 0.0105 7.0645 0.0087 -0.0065 0.0109 7.0629 0.0096 -0.0081

Rho= 0.1 Rho=0. 2 Rho= 0.3 Rho= 0.4

Tabla 7-5: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Instrumento cuando la Varianza es Conocida (2)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo10000 7.0668 0.0297 -0.0042 0.0300 7.0705 0.0306 -0.0005 0.0306 7.0692 0.0257 -0.0018 0.0258 7.0742 0.0278 0.0032 0.0280 7.0723 0.0242 0.001320000 7.0671 0.0194 -0.0039 0.0198 7.0686 0.0194 -0.0024 0.0195 7.0677 0.0204 -0.0033 0.0207 7.0720 0.0215 0.0010 0.0215 7.0639 0.0211 -0.00730000 7.0663 0.0166 -0.0047 0.0173 7.0669 0.0173 0.0041 0.0178 7.0648 0.0166 -0.0062 0.0177 7.0653 0.0160 -0.0057 0.0170 7.0691 0.0146 -0.00140000 7.0657 0.0148 -0.0053 0.0157 7.0652 0.0134 -0.0058 0.0146 7.0635 0.0147 -0.0075 0.0165 7.0667 0.0128 -0.0043 0.0135 7.0646 0.0130 -0.00650000 7.0669 0.0124 -0.0041 0.0131 7.0652 0.0113 -0.0058 0.0127 7.0645 0.0115 -0.0065 0.0132 7.0663 0.0139 -0.0047 0.0147 7.0669 0.0129 -0.00460000 7.0666 0.0117 -0.0044 0.0125 7.0658 0.0115 -0.0052 0.0126 7.0659 0.0114 -0.0051 0.0125 7.0650 0.0109 -0.0060 0.0124 7.0667 0.0111 -0.00470000 7.0644 0.0120 -0.0066 0.0137 7.0657 0.0099 -0.0053 0.0112 7.0650 0.0102 -0.0060 0.0118 7.0668 0.0116 -0.0042 0.0123 7.0651 0.0099 -0.00580000 7.0651 0.0101 -0.0059 0.0117 7.0651 0.0097 -0.0059 0.0114 7.0660 0.0100 -0.0050 0.0112 7.0637 0.0101 -0.0073 0.0125 7.0638 0.0099 -0.00790000 7.0651 0.0091 -0.0059 0.0108 7.0662 0.0101 -0.0048 0.0112 7.0645 0.0102 -0.0065 0.0121 7.0655 0.0097 -0.0055 0.0112 7.0662 0.0093 -0.004

100000 7.0664 0.0088 -0.0046 0.0099 7.0644 0.0099 -0.0066 0.0119 7.0668 0.0089 -0.0042 0.0098 7.0648 0.0082 -0.0062 0.0103 7.0634 0.0095 -0.007

Rho= 0.9Rho= 0.5 Rho=0.6 Rho= 0.7 Rho= 0.8RECM0.0242

1 0.02239 0.01474 0.01451 0.01353 0.01199 0.01152 0.01228 0.01056 0.0122

Nuestros resultados son coherentes con los de Stentoft (2004) Al igual

que dicho trabajo, encontramos un insignificante pero persistente sesgo

negativo en el algoritmo utilizando polinomios de Laguerre con 2K = .

También se observa una tendencia a la baja en el sesgo y la varianza del

valor a medida que aumenta el número de simulaciones.

Un resultado interesante es que en ambas formas de incluir el activo

correlacionado, dado un número de simulaciones, no existe una diferencia

significativa entre la RECM calculada con distintos ρ y los resultados de

Stentoft (2004). Este hecho se ve claramente en los dos gráficos presentados

a continuación:

Gráfico 7-1: RECM del LSM Tradicional y de la Variación al Modo “Regresor”

RECM de Stentoft Comparado con Uso de Activo Correlacionado como Regresor

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

1000

0

2000

0

3000

0

4000

0

5000

0

6000

0

7000

0

8000

0

9000

0

1000

00

M

REC

M

StentoftRho= 0.1Rho=0. 2Rho= 0.3Rho= 0.4Rho= 0.5Rho=0.6Rho= 0.7Rho= 0.8Rho= 0.9

62

Gráfico 7-2: RECM del LSM Tradicional y de la Variación al Modo “Instrumento”

RECM de Stentoft Comparado con Uso de Activo Correlacionado como Instrumento

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

1000

0

2000

0

3000

0

4000

0

5000

0

6000

0

7000

0

8000

0

9000

0

1000

00

M

REC

M

StentoftRho= 0.1Rho=0. 2Rho= 0.3Rho= 0.4Rho= 0.5Rho=0.6Rho= 0.7Rho= 0.8Rho= 0.9

En los dos gráficos anteriores también puede constatarse que no existe

una diferencia significativa en las RECM calculadas con distintas

correlaciones en ninguno de los dos métodos. Para esclarecer aún más este

punto podemos correr para ambos modelos la siguiente regresión:

( ) ( ) ( )1 2ln ln lnRECM Mα β β ρ υ= + + + (68)

Los resultados de las regresiones anteriores son los siguientes:

Instrumentos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

ln 0.0665+ -0.3906 ln + -0.0166 ln

-.3856 -24.3087 -0.9901

0.8717

RECM M

R

ρ υ= − +

=

(69)

Regresores:

63

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

ln 0.1116+ -0.4101 ln + -0.0192 ln

0.5717 -22.5290 -1.0126

0.8537

RECM M

R

ρ υ= +

=

(70)

Los números entre paréntesis indican el valor del test t individual. Es

útil constatar que el signo del logaritmo de valores menores que uno como

la RECM y ρ es negativo. Este experimento no tiene más fin que

fundamentar lo antes dicho. En ambas regresiones se ve que más

simulaciones disminuyen la RECM significativamente y que el efecto de

distintos ρ no es significativo.

Sin embargo, las RECM para los valores intermedios de ρ en ambas

formas de introducir el proceso correlacionado son menores que los

obtenidos por Stentoft (2004). Si nos centramos, por ejemplo, en el caso en

que se realizan 80.000 simulaciones y graficamos la RECM de cada

alternativa en función de la correlación obtenemos el siguiente gráfico:

Gráfico 7-3: Comparación de las RECM

RECM de los distintos métodos para M=80000

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Rho

REC

M

LSM tradicionalInstrumentoRegresor

64

El gráfico anterior no sólo ilustra la conclusión enunciada, vale decir,

que para valores moderados de ρ la RECM es menor, sino que además

muestra claramente que en ese rango las variaciones propuestas al LSM

superan la versión original incluso cuando el investigador conoce la

desviación estándar del proceso. Además, este gráfico muestra que utilizar

el activo correlacionado como regresor es marginalmente más eficiente que

hacerlo como instrumento. Estas conclusiones se mantienen prácticamente

incólumes para distintos números de simulaciones. Por lo tanto, las dos

variaciones propuestas para enfrentar los problemas del uso práctico del

LSM demuestran ser incluso más eficientes que el algoritmo original en el

uso meramente teórico donde se conocen los parámetros.

En la siguiente sección evaluaremos ahora si existen ganancias de

eficiencia que resulten de la incorporación de un activo correlacionado

mediante ambos caminos cuando se toma en cuenta que el investigador no

conoce realmente la desviación estándar que rige el proceso del subyacente

de la opción que valora.

65

8.- Experimentos y eficiencia

Al inicio de este trabajo expusimos en detalle la teoría de valoración de

opciones americanas, con especial detención en el algoritmo LSM. Luego

planteamos un problema de orden práctico al que se debe enfrentar el

algoritmo. Finalmente, en la sección anterior estudiamos la inclusión de un

segundo activo en el cálculo tradicional del LSM por dos métodos distintos.

En la presente sección aplicaremos dichos métodos al caso en que el

investigador no conoce con certeza la varianza del subyacente.

Los parámetros y los procedimientos utilizados en las simulaciones de

esta parte de la tesis son equivalentes a los utilizados en secciones

anteriores. De esta forma, volvemos a recurrir a la ecuación (64) para

calcular la varianza del subyacente utilizada en cada intento por el

individuo. Es fundamental utilizar esa misma varianza estimada en la

matriz de varianza y covarianza del conjunto de ecuaciones (60). De no ser

así, sólo se incorpora el efecto en la media del proceso de la varianza de la

desviación estándar estimada, y no el efecto en la volatilidad misma del

proceso. Si se comete el error anterior los resultados de los métodos

probados resultan ser en apariencia extremadamente eficientes, como

muestra el anexo II.

Para analizar el comportamiento de las variaciones al LSM cuando se

utiliza una varianza estimada en las simulaciones, valoraremos la misma

opción que en el resto del trabajo. Es decir, una opción de venta con precio

de ejercicio de 40 que vence en un año y que consta de diez oportunidades

de ejercicio igualmente espaciadas. El activo sobre el que está escrito el

derivado tiene un precio hoy de , la tasa libre de riesgo es de y la

varianza verdadera del proceso es de . Suponemos que el investigador

utiliza los últimos diez datos, es decir, un año, para calcular la varianza por

máxima verosimilitud. En esta ocasión, aumentamos la varianza del activo

36 6%

40%

66

ρ . Sin embargo, esta vez la simulación más grande realizada es de 50.000 y

la más pequeña de 10.000 . En el caso del coeficiente de correlación su

evaluación comienza con un valor de 0.3 y aumenta cada vez en hasta

alcanzar un valor de 0.8 . Las siguientes tablas muestran los resultados

obtenidos bajo ambos métodos.

0.1

ficticio fijándola en 0.6 14, el precio inicial de este activo es el mismo del

subyacente.

67

Nuevamente realizamos grupos de cien experimentos para distintas

combinaciones del número de simulaciones y del coeficiente de correlación

14 En el tercer anexo se muestra que las conclusiones de esta sección se mantienen para distintos valores de la varianza del activo ficticio.

Tabla 8-1: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Regresor cuando la Varianza es Desconocida (1)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 6.9639 0.9917 -0.1071 0.9975 6.9822 0.9489 -0.0888 0.9530 7.1594 1.0761 0.0884 1.079720000 7.2336 0.9040 0.1626 0.9185 7.0445 0.9401 -0.0265 0.9405 7.1326 1.0682 0.0616 1.070030000 7.1090 1.0328 0.0380 1.0335 7.1229 0.8594 0.0519 0.8610 7.0445 0.9977 -0.0265 0.998140000 6.9704 0.9233 -0.1006 0.9288 7.1147 1.1093 0.0437 1.1102 7.1581 0.8921 0.0871 0.896350000 7.2719 0.9431 0.2009 0.9643 7.0779 0.8897 0.0069 0.8897 6.9243 1.0324 -0.1467 1.0428

Promedio 7.1098 0.9590 0.0388 0.9685 7.0684 0.9495 -0.0026 0.9509 7.0838 1.0133 0.0128 1.0174Promedio ABS 7.1098 0.9590 0.1218 0.9685 7.0684 0.9495 0.0436 0.9509 7.0838 1.0133 0.0821 1.0174

rho=0.3 rho=0.4 rho=0.5

Tabla 8-2: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Regresor cuando la Varianza es Desconocida (2)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 6.9965 1.0260 -0.0745 1.0287 7.1981 1.0260 0.1271 1.0338 7.0660 0.9239 -0.0050 0.923920000 6.9945 0.8812 -0.0765 0.8845 7.0085 0.9061 -0.0625 0.9083 6.9724 0.9738 -0.0986 0.978830000 6.9676 0.9466 -0.1034 0.9522 7.0391 1.0057 -0.0319 1.0062 7.1180 0.9983 0.0470 0.999440000 7.1270 0.9689 0.0560 0.9705 7.1412 0.9613 0.0702 0.9639 7.3313 0.8808 0.2603 0.918550000 7.2381 0.9924 0.1671 1.0064 7.1080 0.9243 0.0370 0.9250 6.9838 1.0731 -0.0872 1.0766

Promedio 7.0647 0.9630 -0.0063 0.9685 7.0990 0.9647 0.0280 0.9674 7.0943 0.9700 0.0233 0.9794Promedio ABS 7.0647 0.9630 0.0955 0.9685 7.0990 0.9647 0.0657 0.9674 7.0943 0.9700 0.0996 0.9794

rho=0.6 rho=0.7 rho=0.8

68

69

Tabla 8-3: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Instrumento cuando la Varianza es Desconocida (1)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.1207 0.9479 0.0497 0.9492 7.2659 0.9403 0.1949 0.9603 6.8829 0.9231 -0.1881 0.942120000 7.0509 1.1322 -0.0201 1.1324 7.1174 0.8793 0.0464 0.8805 7.1312 1.0575 0.0602 1.059230000 7.1779 0.9784 0.1069 0.9842 7.2230 0.8842 0.1520 0.8972 7.1340 1.0672 0.0630 1.069140000 7.0981 0.9453 0.0271 0.9457 7.0947 0.9628 0.0237 0.9631 7.0975 0.9328 0.0265 0.933250000 6.9343 0.9170 -0.1367 0.9271 6.8737 0.9634 -0.1973 0.9834 7.0313 0.8725 -0.0397 0.8734

Promedio 7.0764 0.9842 0.0054 0.9877 7.1149 0.9260 0.0439 0.9369 7.0554 0.9706 -0.0156 0.9754Promedio ABS 7.0764 0.9842 0.0681 0.9877 7.1149 0.9260 0.1229 0.9369 7.0554 0.9706 0.0755 0.9754

rho=0.3 rho=0.4 rho=0.5

Tabla 8-4: LSM Utilizando el Activo Ficticio como Instrumento cuando la Varianza es Desconocida (2)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.0790 1.1258 0.0080 1.1258 6.9144 0.8344 -0.1566 0.8490 6.9339 0.9454 -0.1371 0.955320000 7.1278 0.9863 0.0568 0.9879 7.0453 0.8560 -0.0257 0.8564 7.1773 1.0029 0.1063 1.008530000 7.1538 1.0044 0.0828 1.0078 6.8976 1.0165 -0.1734 1.0312 7.0129 1.0075 -0.0581 1.009240000 6.9351 1.1242 -0.1359 1.1324 7.1301 0.9151 0.0591 0.9170 6.9691 1.0242 -0.1019 1.029350000 7.0940 0.9960 0.0230 0.9963 7.1410 0.9705 0.0700 0.9730 7.0208 1.0914 -0.0502 1.0926

Promedio 7.0779 1.0473 0.0069 1.0500 7.0257 0.9185 -0.0453 0.9253 7.0228 1.0143 -0.0482 1.0190Promedio ABS 7.0779 1.0473 0.0613 1.0500 7.0257 0.9185 0.0970 0.9253 7.0228 1.0143 0.0907 1.0190

rho=0.6 rho=0.7 rho=0.8

Como punto de comparación reproducimos a continuación los

resultados del LSM tradicional de Stentoft (2004) cuando la varianza es

desconocida:

Tabla 8-5: LSM Tradicional con Varianza Desconocida

M Media Des. est. Sesgo RECM10000 6.8532 0.8992 -0.2178 0.925220000 7.0852 1.0006 0.0142 1.000730000 6.9895 1.1113 -0.0815 1.114340000 6.9433 0.9745 -0.1277 0.982850000 6.8162 0.9675 -0.2548 1.0005

Promedio 6.9375 0.9906 -0.1335 1.0047Promedio ABS 6.9375 0.9906 0.1392 1.0047

LSM clásico

Las tres tablas anteriores reportan la media, la desviación estándar y la

raíz del error cuadrático medio de cien experimentos realizados con

distintos números de patrones. Para facilitar la comparación de los distintos

métodos hemos reportado tanto los promedios simples como los promedios

absolutos de los cinco experimentos para cada valor del parámetro ρ

escogido. En el caso del LSM tradicional, el promedio es el mismo para

cualquier valor del coeficiente de correlación.

En términos generales, ninguna de las tablas exhibe una clara

tendencia a la baja del sesgo o la desviación estándar a medida que se

aumenta el número de simulaciones. Por lo tanto, una primera conclusión

es que cuando no se conoce con exactitud la varianza del subyacente,

aumentar el número de simulaciones no asegura un valor más acertado

para el precio de la opción. Tampoco se observa el persistente sesgo a la

baja reportado por Stentoft (2004) para el caso de 2K = en ninguno de los

tres experimentos.

Si nos detenemos en la raíz del error cuadrático medio no hay

diferencias significativas entre ninguno de los tres métodos. Sin embargo, la

70

diferencia en la magnitud de la desviación estándar con respecto al sesgo

ensucia bastante esta medida. En efecto, si centramos nuestra atención en

la desviación estándar de los distintos procesos podemos apreciar algunos

matices entre los distintos métodos. Cuando 0.3ρ = , utilizar un activo

ficticio como regresor arroja sistemáticamente menores desviaciones

estándar que el LSM tradicional para más de simulaciones. Ocurre lo

mismo cuando se usa dicho activo como instrumento y se selecciona un

10.000

0.4ρ = . Otro caso interesante es el de 0.7ρ = donde en términos generales

ambas variaciones arrojan resultados más eficientes. Aunque las ganancias

en eficiencia no son de gran magnitud, los resultados son robustos cuando

se repiten los experimentos.

El caso del sesgo es bastante más claro. Para todo valor de ρ , ambos

método tienen valores más ajustados al punto de referencia cuando se

utilizan 10.000 , y 50.000 simulaciones. A diferencia del caso anterior,

el sesgo disminuye drásticamente para las simulaciones anteriores. Por lo

tanto, existe una ganancia importante en materia de sesgo cuando se utiliza

activos ficticios en el cálculo del valor de la opción. Los siguientes gráficos

ilustran este fenómeno para el caso de 50.000 simulaciones:

40.000

71

Gráfico 8-1: Desviación Estándar de los Distintos Métodos

Desviación estándar para 50.000 simulaciones

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Coeficiente de correlación

Desv

iaci

ón e

stán

dar

LSM tradicionalInstrumentosRegresores

Gráfico 8-2: Valor Absoluto del Sesgo de los Distintos Métodos

Valor absoluto del sesgo para 50.000 simulaciones

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Coeficiente de correlación

Val

or a

bsol

uto

del s

esgo

LSM tradicionalInstrumentosRegresores

Las figuras anteriores muestran que si bien es cierto que no existe una

clara diferencia en materia de la raíz del error cuadrático medio de los

distintos métodos, cuando estudiamos por separado los componentes de

esta medida la conclusión anterior se suaviza. En efecto, aunque en materia

de desviación estándar no existe una dominancia clara de ningún método,

72

las variaciones del LSM tradicional arrojan sistemáticamente un menor

valor absoluto para el sesgo de la estimación.

Por último, si nos centramos en los promedios de los indicadores

estudiados, los resultados son decidores. El sesgo promedio de las distintas

simulaciones de ambas variaciones, para cualquier valor del coeficiente de

correlación es inferior al sesgo promedio del LSM original. En el caso de la

desviación estándar y de la raíz del error cuadrático medio, cuando se

utiliza el activo ficticio como instrumento, el promedio de ambas variables

es inferior al del LSM original para cuatro de los seis casos estudiados.

Cuando se utiliza al activo ficticio como regresor, lo anterior se cumple para

cinco de los seis casos. A continuación graficamos lo componentes del error

cuadrático medio del promedio de los cinco experimentos realizados para

cada valor del coeficiente de correlación estudiado. Para el caso del sesgo se

grafica tanto el promedio del valor absoluto del sesgo como el valor absoluto

del sesgo promedio.

Gráfico 8-3: Desviación Estándar Promedio de los Distintos Métodos

Desviación estándar promedio

0.8500

0.9000

0.9500

1.0000

1.0500

1.1000

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Coeficiente de correlación

Desv

iaci

ón e

stán

dar

LSM tradicionalInstrumentosRegresores

73

Gráfico 8-4: Valor Absoluto del Sesgo Promedio de los Distintos Métodos

Valor absoluto del sesgo promedio

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.1400

0.1600

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Coeficiente de corelación

Valo

r abs

olut

o de

l ses

go

LSM tradicionalInstrumentosRegresores

Gráfico 8-5: Promedio del Valor Absoluto del Sesgo de los Distintos

Métodos

Promedio del valor absoluto del sesgo

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Coeficiente de corelación

Val

or a

bsol

uto

del s

esgo

LSM tradicionalInstrumentosRegresores

Finalmente, podemos decir que aunque la disminución en la desviación

estándar no es muy importante, la baja en el sesgo resulta extremadamente

interesante. Recordemos además que no se obtiene una mejor aproximación

del precio realizando más simulaciones. Por lo tanto, una forma de obtener

una mejor aproximación para el precio, intentando evitar los problemas de

74

eficiencia, puede venir más por aumentar el número de veces que se calcula

el precio que por aumentar el número de patrones utilizados en cada

cálculo. Más aún, si se utilizan activos ficticios, se puede estar

relativamente seguro que el promedio de dichas repeticiones será bastante

cercano al precio verdadero de la opción.

75

9.- Conclusiones y extensiones

Este trabajo realiza una exposición detallada de los distintos métodos

existentes para la valoración de opciones americanas. Cualquier lector con

algunos conocimientos matemáticos puede obtener de la segunda sección de

este trabajo los conocimientos necesarios para entender los resultados

centrales de las secciones posteriores. Más aún, la exposición hecha en este

trabajo permite que cualquier lector se introduzca en el vasto mundo de la

valoración de opciones financieras.

El método LSM propuesto por Longstaff y Schwartz (2001) es sin lugar

a dudas el algoritmo más utilizado en la valoración de opciones americanas.

Sin embargo, el uso profesional del algoritmo tiene escollos prácticos que los

investigadores teóricos ignoran en sus estudios. En efecto, el operador de la

mesa de dinero que utiliza el algoritmo no conoce realmente los parámetros

que necesita para simular las trayectorias del subyacente, por lo tanto, no

puede acceder a la eficiencia teórica del algoritmo. Esta tesis muestra que

cuando se toma en cuenta este fenómeno la pérdida de eficiencia del método

puede llevar a una verdadera catástrofe financiera.

En tercer lugar, en este estudio se exploran dos variaciones al LSM, dos

formas de incluir más información en el algoritmo. La idea de estos cambios

es incorporar en el método la posibilidad que tiene el agente de observar

distintos activos y sus interrelaciones al momento de tomar decisiones

financieras. Aunque el comportamiento de estos nuevos algoritmos es

satisfactorio en el caso teórico, cuando se incorpora el problema práctico

antes mencionado, sólo se consiguen ganancias marginales. Sin embargo, la

disminución en el sesgo de las estimaciones junto con la no disminución

sistemática de la desviación estándar cuando se utilizan más patrones,

sugiere una estimación basada en el promedio de distintos experimentos

que utilicen activos ficticios en las regresiones.

76

El principal resultado de este trabajo es la puesta en evidencia de la

ineficiencia del método LSM cuando se utilizan parámetros aproximados en

las simulaciones. En la aplicación práctica del algoritmo los agentes

financieros no conocen con exactitud los parámetros que rigen el

movimiento del subyacente que estudian. Por lo tanto, un mayor estudio de

este fenómeno, puede ser de mucha utilidad para la profesión.

El proceso estudiado en este trabajo contiene sólo un factor de riesgo,

sería muy interesante evaluar la ineficiencia del método cuando existen más

factores de riesgo. En particular, podría tomarse un problema clásico de

opciones reales, como la valoración de la mina de Brennan y Schwartz

(1985) o incluso versiones más complejas del mismo problema. Así se podría

comparar el resultado del LSM, utilizando estimaciones para los parámetros

de todos los procesos que siguen los factores de riesgo utilizados, con los

resultados de diferencias finitas.

Otro punto interesante consiste en variar el error en la aproximación de

los parámetros. Por ejemplo, evaluar como cambia la raíz del error

cuadrático medio de las estimaciones tradicionales del LSM cuando la

estimación de los parámetros del subyacente se vuelve más precisa. Cabe

destacar que en la realidad se utilizan filtros de Kalman y otros sofisticados

métodos para aproximar los parámetros del subyacente, que en algunos

casos, pueden ser más correctos en su aproximación que los estimadores de

máxima verosimilitud.

Con respecto a las variaciones del LSM tradicional expuestas, sería

muy interesante analizar su comportamiento cuando existen distintos

factores de riesgo. En particular, si la matriz de varianza y covarianza no

fuese desconocida, es decir, si la varianza del estimador no fuese incierta y,

por ejemplo, la incertidumbre radicara en la tasa del retorno por

conveniencia del activo. En efecto, de esta forma podría simularse sin

77

problemas activos ficticios correlacionados con la matriz de información

verdadera y no con una estimación de esta última.

Otro punto interesante con respecto a estos algoritmos alternativos es

la inclusión de un mayor número de procesos correlacionados y su efecto en

la eficiencia de la estimación. Cabe destacar que un solo activo ficticio logra

tener efectos incluso en el caso abstracto en que se conoce con certeza la

varianza del proceso. Así mismo sería interesante variar el orden de los

polinomios utilizados en las regresiones, rompiendo la simetría que

impusimos entre el activo ficticio y el subyacente, o simplemente

aumentando los miembros utilizados.

Finalmente, este trabajo abre un desafío nuevo para la valoración de

opciones. Se deben explorar nuevos algoritmos que logren lidiar con las

imprecisiones en las estimaciones de los parámetros utilizados en las

simulaciones. Cabe destacar que la ciencia econométrica puede pulir

considerablemente los resultados del LSM alejándose del caso simple de

mínimos cuadrados ordinarios. Sin embargo, siempre debe tenerse en

cuenta que dicho alejamiento tiene un costo y si los beneficios de invertir

aún más en econometría no logran compensar los mayores costos de

programación y de tiempo, claramente la mejor alternativa es mantener el

paradigma de Longstaff y Schwartz (2001).

78

10.- Bibliografía

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- Urzúa, J.L., Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias

de la Ingeniería, Pontificia Universidad Católica de Chile, Supervisor:

Cortázar, G., Mayo 2004.

81

11.- Anexo I: Oportunidades de Arbitraje

En este apartado15 ampliaremos el ejemplo de la segunda sección de

este trabajo para demostrar que el precio de la opción europea calculado

no permite oportunidades de arbitraje. En dicho ejemplo se diseña una

economía binomial con tres períodos. Para la siguiente exposición

esquematizamos los distintos escenarios posibles en cada una de las tres

fechas de la siguiente forma:

Figura 11-1: Nomenclatura de los estados de la Naturaleza

A

C F

G

B D

E

En cada escenario existen sólo dos trayectorias posibles. Por lo tanto,

basta la existencia de dos activos no redundantes para poder replicar

cualquier vector de pagos. En esta economía existe un activo libre de

15 Esta sección es fruto de una sugerencia del profesor Gonzalo Edwards. La exposición del mismo está fuertemente influenciada por la cátedra de Economía Financiera que dicta el profesor Felipe Zurita en el Instituto de Economía de la Pontificia Universidad Católica de Chile.

82

riesgo R y un activo riesgoso Z y no existe ninguna prohibición a la venta

corta de éstos. Decimos por ende, que en esta economía existen mercados

completos y por lo tanto, puede valorarse cualquier activo por métodos de

arbitraje. El activo libre de riesgo R puede modelarse como un bono que

cuesta 100 en A y promete entregar tanto en B como en C un pago de 110,

es decir, ofrece un retorno de 10% libre de riesgo. El activo riesgoso Z

también tiene un precio de 100 en A pero su valor puede subir un 30% si

se da el estado de la naturaleza B o caer en un 20% si de da C. En cada

nodo de esta economía, sin importar el precio contingente de los activos, R

ofrece un retorno libre de riesgo de 10% y el precio de Z puede aumentar o

disminuir en los porcentajes antes especificados. Por lo tanto, los precios

de estos instrumentos en cada escenario son:

Figura 11-2: Precios Contingentes de los Activos de esta Economía

R=Z=100

R=121 Z=104

R=121 Z=64

R=110 Z=80

R=121 Z=169

R=121 Z=104

R=110 Z=130

El derivado estudiado en el ejemplo de la segunda sección es una

opción de venta europea sobre Z que llamaremos P, con vencimiento en el

tercer período y un precio de ejercicio de 110. Este activo financiero tiene

el siguiente patrón de pagos:

83

Figura 11-3: Patrón de Pagos de la Opción Europea

0

0 6

46

0 0

6

A continuación replicaremos el patrón de pagos de P con una sucesión

de portafolios contingentes de R y de Z. Cabe destacar que, sin la

posibilidad de rebalancear el portafolio en el segundo período en esta

economía ya no habría mercados completos. En efecto, desde A se

vislumbrarían tres escenarios posibles: D; E=F y G. Por lo tanto, se

requeriría un tercer activo para completar los mercados.

Llamamos y al número de unidades de R y de Z que contiene el

portafolio óptimo en el escenario i . Sea la matriz de pagos que se

vislumbra en el escenario i , es decir, si

ir iz

iQ

iR y iZ son los precios vigentes en

el escenario i para los activos de esta economía y en el próximo período los

escenarios posibles son j y : v

j ji

v v

R ZQ

R Z⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

⎟ (71)

El portafolio que se forme en i asegura al agente en j y los pagos

y tal que:

v

jP vP

84

j j i j

v v i v

R Z r PR Z z P

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠ (72)

El costo de dicho portafolio en el escenario i resulta ser: iC

( ) ii i i

i

RC r z

Z⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(73)

En particular, para encontrar el portafolio que debe construirse en B

para replicar los pagos de la opción en D y E debe solucionarse la

siguiente ecuación:

(74) 121 169 0121 104 6

B

B

rz

⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

De donde:

78605

665

B

B

rz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞

= ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟ (75)

Lo que tiene un costo de:

11078 6 24 2.18130605 65 11BC ⎛ ⎞⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (76)

De manera análoga el portafolio que debe construirse en C para

replicar los pagos de la opción en F y G tiene las siguientes características:

(77) 121 104 6121 64 46

C

C

rz

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠

⎞⎟⎠

De donde:

85

1011

1

C

C

rz

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜=⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎟⎟

−⎝ ⎠

(78)

Lo que tiene un costo de:

11010 18011CC ⎛ ⎞⎛ ⎞ 20= − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (79)

Para poder formar los portafolios contingentes en cada escenario del

segundo período el agente debe construir hoy un portafolio que le permita

contar con los flujos necesarios para costearlos en cada estado de la

naturaleza. De esta forma el portafolio que debe construirse en A para

poder comprar los portafolios anteriores se obtiene de la siguiente manera:

24110 13011

110 80 20

A B

AC

r Cz C

⎛ ⎞=⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ =⎝ ⎠

⎟⎟ (80)

De donde:

13343025

98275

A

A

rz

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞

= ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟ (81)

Lo que tiene un costo de:

1001334 98 1024 8.46281003025 275 121AC ⎛ ⎞⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (82)

Por lo tanto, la estrategia de portafolios contingentes que replica

exactamente los pagos de la opción del ejemplo de la segunda sección de

esta tesis tiene el mismo costo que el derivado en cuestión. En conclusión,

el precio de la opción europea no permite oportunidades de arbitraje.

A continuación demostramos formalmente para el caso binomial la

equivalencia de ambos métodos de valoración. Para cada unidad monetaria

86

invertida en un nodo el agente enfrenta una matriz de retornos brutos

que llamaremos

i

iB . A modo de ejemplo, en el nodo inicial A el sujeto

enfrenta para cada unidad de su presupuesto la matriz de retornos AB tal

que:

110 1301.1 1.3100 100

110 80 1.1 0.8100 100

B B

A AA

C C

A A

R ZR Z

BR ZR Z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎟

⎞= ⎟

⎠

(83)

Si definimos un activo puro como un derecho a recibir una unidad

monetaria sólo en uno de los escenarios contingentes que puedan ocurrir

en el futuro16.

Derivemos a continuación los precios de los activos puros que rigen

en un nodo i cualquiera para el período adyacente. En este caso, nos

preguntamos cuanto cuesta hoy asegurarse en dicho nodo una unidad

monetaria en cada uno de los dos estados de la naturaleza del período

siguiente. Para ello, volvemos a ocupar el esquema de las ecuaciones (72) a

(74). Para replicar el activo puro que promete una unidad en el escenario

de alza de Z debemos resolver:

(84) 10

i ii

i i

r ruB

z zdρρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Donde ρ representa el retorno bruto del activo libre de riesgo en el

período siguiente. Así mismo, y son los retornos brutos del activo

riesgoso en cada escenario del siguiente período. Por lo tanto:

u d

16 Nótese que un activo puro en A puede ofrecer un pago unitario en B o en C pero también puede hacerlo en D, E=F o en G. Pero, dada la estructura binomial de la naturaleza, basta con definir los dos activos puros adyacentes a un estado particular para poder componer todos los demás.

87

*

1 1 110 0i

i

i

dr d u d u

Bz d u

d u

ρ ρρ ρ ρρ ρ

ρ ρ

−

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎟ (85)

Sea ,i jq el precio del activo puro en i que promete entregar una

unidad en el escenario j . Si i es el estado actual, sea u el escenario

adyacente donde Z sube y el escenario donde Z baja. En este caso, al

aplicar

d

(73):

( ),

A

Ai u

A

A

RRd dqZd u d u d u u dZ

ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞− −⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

dρ −=

⎞= ⎟

⎠

(86)

Si aplicamos el mismo razonamiento para el estado en que Z baja,

resolvemos:

(87) 01

i ii

i i

r ruB

z zdρρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠

De donde obtenemos:

*

1 0 011 1i

i

i

ur d u d u

Bz d u

d u

ρ ρρ ρ ρρ ρ

ρ ρ

−

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎟ (88)

Y al valorar dicho portafolio

88

( ),

A

Ai d

A

A

RRuqZd u d u u dZ

uρ ρρ ρ ρ ρ ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟

=− − −⎝ ⎠

⎜ ⎟⎝ ⎠

(89)

En el ejemplo de la opción europea ya descrita obtenemos:

( ) ( ),

1.1 0.8 0.541.1 1.3 0.8i u

dqu dρ

ρ− −

= = =− −

(90)

( ) ( ),

1.3 1.1 0.361.1 1.3 0.8i d

uqu dρ

ρ− −

= = =− −

(91)

Como es de esperarse, si un individuo compra una unidad de cada

activo puro en el escenario i tiene absolutamente asegurada una

unidad monetaria en el período siguiente, más allá de cuál sea el estado

de la naturaleza. Dicho portafolio replica claramente al activo libre de

riesgo R. El costo de dicho portafolio equivale a:

( ) ( )

( )( ), ,

1i u i d

u du dq qu d u d u dρ ρ

ρ ρ ρ ρ−− −

+ = + = =− − −

(92)

Por lo tanto, los precios de los activos puros eliminan por

construcción cualquier oportunidad de arbitraje entre el activo R y la

cartera que lo replica. En el ejemplo anterior es claro que:

, ,1 10.54 0.36 0.90

1.1i u i dq qρ

+ = + = = = (93)

Ahora estamos en condiciones de demostrar que los precios de los

activos puros encontrados aseguran también que no se podrá arbitrar por

medio de ningún otro activo. Imaginemos un activo T que tiene un valor de

89

uT y en cada uno de los dos escenarios posibles. Si buscamos el valor

de este activo en un nodo cualquiera utilizando las probabilidades

neutrales al riesgo obtenemos:

dT iT

i

( )* * 11

u di

T p T pT

r+ −

=+

(94)

Donde:

1

1

rdp

u dupu d

ρρ

ρ

= +−

=−

−− =

−

Al desarrollar (94) obtenemos:

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

1 * *u d

i u

T d T u d uu dT Tu d u d

ρ ρdT

ρ ρρ ρ

− + − − −−= =ρ

+− −

(95)

Lo que puede escribirse simplemente como:

,i u di u i dT T q T q= + ,

(96)

Por lo tanto, los precios de los activos puros, que son la base de

todos los demás precios17, impiden toda oportunidad de arbitraje18.

Más aún, es totalmente equivalente valorar activos utilizando las

probabilidades neutrales al riesgo que replicándolos con la ayuda de los

demás activos.

17 Valorar por medio de los activos puros equivale indirectamente, a utilizar los activos R y Z para replicar el derivado que se busca valorar. 18 Siempre y cuando los precios de los activos puros sean positivos.

90

Finalmente, es útil destacar que las probabilidades neutrales al

riesgo son normalizaciones de los precios de los activos puros, de tal

manera que:

,

, ,

i u

i u d u

qp

q q=

+ (97)

( ) ,

, ,

1 i d

i u d u

qp

q q− =

+ (98)

De donde resulta evidente que:

( )

,

,1i u

d u

qpp q

=−

(99)

En una economía con dos bienes, consumo en estado de auge

futuro, , y consumo en estado de depresión futura, , donde existen

sólo dos agentes y éstos son neutrales al riesgo. Si los precios que rigen

esta economía, son los mismos que se encuentran vigentes en el

“mundo real”; es decir, si los precios de los bienes de esta economía

neutral corresponden a los precios de los activos puros antes definidos,

entonces el conjunto de equilibrios debe estar caracterizado por

uC dC

(99).

En efecto, para que pueda existir un conjunto de Pareto en esta

economía, la función de utilidad Von Neumann Morgenstern de los

agentes debe ser:

( ) ( ), 1u d u dU C C pC p C= + − (100)

De modo de que la tasa marginal de sustitución, que en este caso

corresponde a la razón de probabilidades, se iguale a la razón de

precios. De aquí heredan su nombre las probabilidades neutrales al

riesgo.

91

12.- Anexo II: Matriz de varianza y covarianza no estocástica

Recordemos la ecuación (58) que muestra como simulamos los

procesos utilizados:

( ) ( ) ( ) ( )21 1

1exp2i i i i i i iS t S t r t t t t Z tσ σ+ +

⎧ ⎫⎛ ⎞= − − + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

1 1+ +

)

Donde . ( ) (1 0,1iZ t IIN+ ∼

En esta ecuación la desviación estándar σ afecta tanto la tendencia del

subyacente: 212

r σ⎛ −⎜⎝ ⎠

⎞⎟

)

como las desviaciones con respecto a dicha

tendencia: ( 1iZ tσ + . Bajo el supuesto de que la varianza verdadera es

desconocida, ambos efectos deben incluir, ya no la desviación estándar

verdadera, sino σ . Cuando se simulan procesos correlacionados el

procedimiento es análogo, el efecto en las desviaciones de la tendencia debe

estar regido por ∑ y no por ∑ . ¿Cómo podría creerse que el investigador

utilizaría la varianza estimada para simular la tendencia y la verdadera para

las desviaciones?

Es cierto que, el activo ficticio no está realmente correlacionado con el

subyacente por el hecho de utilizar una matriz de varianza y covarianza

estimada, sin embargo, no hacerlo de este modo sería falaz. Si el

investigador no conoce la varianza verdadera no puede utilizarla para

simular el activo ficticio, y a menos que se encuentre una forma de simular

procesos correlacionados independientemente de la matriz de información,

debe utilizarse, en este ejercicio, la estimación de la matriz de varianza y

covarianza para las simulaciones.

A continuación presentamos los resultados que se obtendrían si no se

respetase lo antes dicho. Es decir, si para simular se utilizara la

descomposición verdadera de la matriz de información al momento de

92

93

incluir los efectos en las desviaciones de la tendencia. Los resultados son

absolutamente distintos, la raíz del error cuadrático medio cae en dos

tercios con respecto al LSM original, sin embargo este resultado está

anclado en la falacia antes descrita. La opción que se valora tiene las

mismas características antes descritas y el paradigma de valoración

tampoco se ha alterado, las sensibilizaciones se indican en el título de cada

tabla.

Tabla 12-1: LSM con el Activo Ficticio como Regresor con 0.5ρ = , Utilizandoσ pero Simulando con ∑ para distintos 2σ (1)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.1440 0.3766 0.0730 0.3836 7.1326 0.3907 0.0616 0.3955 7.1299 0.4009 0.0589 0.405220000 7.1200 0.4299 0.0490 0.4327 7.0909 0.3342 0.0199 0.3348 7.1070 0.3267 0.0360 0.328730000 7.1541 0.3052 0.0831 0.3163 7.0658 0.3406 -0.0052 0.3406 7.1018 0.3366 0.0308 0.338040000 7.0866 0.3206 0.0156 0.3210 7.0814 0.3635 0.0104 0.3636 7.0330 0.3402 -0.0380 0.342350000 7.1378 0.3585 0.0668 0.3647 7.1457 0.3968 0.0747 0.4038 7.0919 0.3500 0.0209 0.3506

Varianza del correlacionado =0.4Varianza del correlacionado =0.1 Varianza del correlacionado =0.2

Tabla 12-2: con el Activo Ficticio como Regresor con 0.5ρ = , Utilizandoσ pero Simulando con ∑ para distintos 2σ (2)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.1025 0.3286 0.0315 0.3301 7.1515 0.3586 0.0805 0.3675 7.1492 0.3659 0.0782 0.374220000 7.0811 0.3090 0.0101 0.3092 7.0698 0.3551 -0.0012 0.3551 7.1660 0.4429 0.0950 0.453030000 7.1650 0.3353 0.0940 0.3482 7.0776 0.3405 0.0066 0.3406 7.0891 0.2738 0.0181 0.274440000 7.0949 0.3573 0.0239 0.3581 7.0225 0.3090 -0.0485 0.3128 7.0731 0.3286 0.0021 0.328650000 7.0271 0.3017 -0.0439 0.3049 7.1020 0.3970 0.0310 0.3982 7.1504 0.3224 0.0794 0.3320

Varianza del correlacionado =1Varianza del correlacionado =0.6 Varianza del correlacionado =4

94

Tabla 12-3: LSM con el Activo Ficticio como Instrumento, para Distintos ρ Utilizando ∑ para Simular (1)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.0981 0.3818 0.0271 0.3828 7.0587 0.3414 -0.0123 0.3416 7.0654 0.3578 -0.0056 0.357820000 7.1075 0.3645 0.0365 0.3663 7.0939 0.3426 0.0229 0.3434 7.0518 0.3584 -0.0192 0.358930000 7.1201 0.3539 0.0491 0.3573 7.0474 0.3441 -0.0236 0.3449 7.0949 0.2964 0.0239 0.297440000 7.1031 0.3491 0.0321 0.3506 7.1499 0.3890 0.0789 0.3969 7.1177 0.3914 0.0467 0.394250000 7.1129 0.3414 0.0419 0.3440 7.0060 0.3229 -0.0650 0.3294 7.1261 0.3883 0.0551 0.392260000 7.1321 0.3718 0.0611 0.3768 7.0930 0.3329 0.0220 0.3336 7.1106 0.3419 0.0396 0.344270000 7.1058 0.4000 0.0348 0.4015 7.0985 0.3109 0.0275 0.3121 7.0562 0.3645 -0.0148 0.364880000 7.1089 0.3359 0.0379 0.3380 7.0622 0.3294 -0.0088 0.3295 7.1096 0.3555 0.0386 0.357690000 7.0891 0.3195 0.0181 0.3200 7.0749 0.3162 0.0039 0.3162 7.1083 0.4006 0.0373 0.4023100000 7.0300 0.3550 -0.0410 0.3574 7.1137 0.3588 0.0427 0.3613 7.0300 0.3550 -0.0410 0.3574

Rho= 0.1 Rho=0. 2 Rho= 0.3

Tabla 12-4: LSM con el Activo Ficticio como Instrumento, para Distintos ρ Utilizando ∑ para Simular (2)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.0981 0.3818 0.0271 0.3828 7.0587 0.3414 -0.0123 0.3416 7.0654 0.3578 0.0056 0.357820000 7.1535 0.4135 0.0825 0.4216 7.1320 0.3321 0.0610 0.3377 7.0753 0.3403 0.0043 0.340330000 7.0560 0.3051 -0.0150 0.3055 7.1544 0.3990 0.0834 0.4076 7.0808 0.3332 0.0098 0.333340000 7.1359 0.3770 0.0649 0.3825 7.1074 0.3240 0.0364 0.3260 7.0834 0.3789 0.0124 0.379150000 7.1420 0.3684 0.0710 0.3752 7.1433 0.3623 0.0723 0.3694 7.0884 0.3464 0.0174 0.346860000 7.0475 0.3135 -0.0235 0.3144 7.1039 0.3166 0.0329 0.3183 7.1847 0.3541 0.1137 0.371970000 7.0595 0.2891 -0.0115 0.2893 7.1173 0.3202 0.0463 0.3235 7.1469 0.3964 0.0759 0.403680000 7.1249 0.2917 0.0539 0.2966 7.1570 0.4790 0.0860 0.4867 7.1278 0.3702 0.0568 0.374590000 7.1465 0.3950 0.0755 0.4022 7.0617 0.3071 -0.0093 0.3072 7.1561 0.4043 0.0851 0.4132100000 7.0269 0.2978 -0.0441 0.3010 7.1507 0.3454 0.0797 0.3545 7.1603 0.3927 0.0893 0.4027

Rho= 0.4 Rho=0.6Rho= 0.5

95

96

Tabla 12-5: LSM con el Activo Ficticio como Instrumento, para Distintos ρ Utilizando ∑ para Simular (3)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo10000 7.0708 0.3122 -0.0002 0.3122 7.1089 0.3728 0.0379 0.3747 7.1232 0.3597 0.052220000 7.1431 0.4421 0.0721 0.4479 7.1075 0.3645 0.0365 0.3663 7.0939 0.3426 0.022930000 7.1202 0.3695 0.0492 0.3728 7.1873 0.4021 0.1163 0.4186 7.0703 0.3031 -0.000740000 7.1317 0.3306 0.0607 0.3361 7.0967 0.3559 0.0257 0.3568 7.1295 0.3919 0.058550000 7.0768 0.3469 0.0058 0.3469 7.0776 0.3771 0.0066 0.3772 7.0615 0.3456 -0.009560000 7.1016 0.3218 0.0306 0.3233 7.1102 0.3830 0.0392 0.3850 7.2349 0.4061 0.163970000 7.1655 0.4197 0.0945 0.4302 7.1158 0.3406 0.0448 0.3435 7.0752 0.3191 0.004280000 7.0937 0.3606 0.0227 0.3613 7.0560 0.3138 -0.0150 0.3142 7.1018 0.2871 0.030890000 7.1741 0.3665 0.1031 0.3807 7.1695 0.4209 0.0985 0.4323 7.1462 0.3366 0.0752100000 7.0937 0.3338 0.0227 0.3346 7.0975 0.3584 0.0265 0.3594 7.0883 0.3526 0.0173

Rho= 0.9Rho= 0.7 Rho= 0.8RECM0.36350.34340.30310.39620.34570.43790.31910.28870.34490.3530

97

36 6%

40%

0.5

En este apartado se realizan otras aplicaciones de los algoritmos

expuestos en la sección octava de este trabajo. En particular, se aplican las

dos variaciones del método para evaluar una opción de venta americana con

precio de ejercicio de 40 y diez oportunidades de ejercicio durante el año de

vida del derivado. El subyacente tiene en el momento inicial un precio de

, la tasa libre de riesgo es de y la varianza verdadera del proceso es de

, el investigador no conoce dicha varianza y la estima a través de un

proceso de máxima verosimilitud. En esta ocasión tomamos un coeficiente

de correlación dado de para el activo ficticio y hacemos variar la

desviación estándar del activo auxiliar simulado. Para ambas variaciones

del algoritmo original, se realizan cinco experimentos con para cada uno de

los cuatro valores de la desviación estándar del proceso ficticio estudiados.

Cada experimento consta de cien repeticiones con distintos números de

simulaciones.

Las tablas presentadas a continuación exhiben la media, la desviación

estándar, el sesgo y la raíz del error cuadrático medio de cada experimento.

13.- Anexo III: Efecto de la varianza del activo correlacionado

Tabla 13-1: LSM con el Activo Ficticio como Regresor Utilizando 0.5ρ = para Distintos Valores de 2σ (1)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.0072 1.0335 -0.0638 1.0355 6.9922 1.0995 -0.0788 1.102320000 7.0731 0.9500 0.0021 0.9500 7.0504 0.9527 -0.0206 0.952930000 6.8928 0.9903 -0.1782 1.0062 6.9364 0.9001 -0.1346 0.910140000 7.0421 0.9622 -0.0289 0.9626 6.8928 0.8127 -0.1782 0.832050000 6.8802 1.0349 -0.1908 1.0523 7.0216 0.9878 -0.0494 0.9890

Promedio 6.9791 0.9942 -0.0919 1.0013 6.9787 0.9506 -0.0923 0.9573Promedio ABS 6.9791 0.9942 0.0928 1.0013 6.9787 0.9506 0.0923 0.9573

Varianza del correlacionado=0.2 Varianza del correlacionado=0.5

Tabla 13-2: LSM con el Activo Ficticio como Regresor Utilizando 0.5ρ = para Distintos Valores de 2σ (2)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.2583 1.0377 0.1873 1.0545 6.8408 1.1239 -0.2302 1.147220000 6.9920 0.9900 -0.0790 0.9931 7.0937 1.0413 0.0227 1.041530000 6.9818 0.8833 -0.0892 0.8878 7.0254 0.9670 -0.0456 0.968140000 7.0086 0.9987 -0.0624 1.0006 6.9792 0.9568 -0.0918 0.961250000 7.1006 0.8367 0.0296 0.8372 7.0370 0.8923 -0.0340 0.8929

Promedio 7.0683 0.9493 -0.0027 0.9547 6.9952 0.9963 -0.0758 1.0022Promedio ABS 7.0683 0.9493 0.0895 0.9547 6.9952 0.9963 0.0849 1.0022

Varianza del correlacionado=0.8 Varianza del correlacionado=1

98

Tabla 13-3: LSM con el Activo Ficticio como Instrumento Utilizando 0.5ρ = para Distintos Valores de 2σ (1)

Tabla 13-4: LSM con el Activo Ficticio como Instrumento Utilizando 0.5ρ = para Distintos Valores de 2σ (2)

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 6.9896 0.9083 -0.0814 0.9119 7.1740 0.9928 0.1030 0.998120000 7.1437 0.9400 0.0727 0.9428 7.0152 0.8583 -0.0558 0.860130000 7.0332 0.9989 -0.0378 0.9996 6.9221 1.0043 -0.1489 1.015340000 7.0457 0.9741 -0.0253 0.9744 7.1966 0.8903 0.1256 0.899150000 7.0785 1.0931 0.0075 1.0931 7.0678 0.9254 -0.0032 0.9254

Promedio 7.0581 0.9829 -0.0129 0.9844 7.0751 0.9342 0.0041 0.9396Promedio ABS 7.0581 0.9829 0.0449 0.9844 7.0751 0.9342 0.0873 0.9396

Varianza del correlacionado=0.2 Varianza del correlacionado=0.5

M Media Des. est. Sesgo RECM Media Des. est. Sesgo RECM10000 7.1084 0.9966 0.0374 0.9973 6.9671 0.9834 -0.1039 0.988920000 6.9387 1.0331 -0.1323 1.0415 7.1988 1.0532 0.1278 1.060930000 7.1063 1.0021 0.0353 1.0027 7.0399 0.9148 -0.0311 0.915340000 7.1754 0.9016 0.1044 0.9076 6.9964 1.0685 -0.0746 1.071150000 7.0632 0.9430 -0.0078 0.9430 7.0288 1.0340 -0.0422 1.0349

Promedio 7.0784 0.9753 0.0074 0.9784 7.0462 1.0108 -0.0248 1.0142Promedio ABS 7.0784 0.9753 0.0634 0.9784 7.0462 1.0108 0.0759 1.0142

Varianza del correlacionado=0.8 Varianza del correlacionado=1

99

Los gráficos presentados a continuación ilustran el comportamiento de

la desviación estándar, el valor absoluto del sesgo promedio y el promedio

del valor absoluto del sesgo para los distintos valores de la desviación

estándar del activo subyacente estudiados19.

Gráfico 13-1: Desviación estándar Promedio de los Distintos Métodos

Desviación estándar promedio

0.8800

0.9000

0.9200

0.9400

0.9600

0.9800

1.0000

1.0200

0.2 0.5 0.6 0.8 1.0

Sigma 2

Des

viac

ión

está

ndar

LSM tradicionalInstrumentosRegresores

Gráfico 13-2: Valor Absoluto del Sesgo Promedio de los Distintos Métodos

Valor absoluto del sesgo promedio

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.1400

0.1600

0.2 0.5 0.6 0.8 1.0

Sigma 2

Valo

r abs

olut

o de

l ses

go

LSM tradicionalInstrumentosRegresores

19 Se ha incluido en el gráfico los valores correspondientes al caso en donde la varianza del correlacionado es 0.6. Dichos valores se encuentran en las tablas de la sección VIII.

100

Gráfico13-3 Promedio del Valor Absoluto del Sesgo de los Distintos Métodos

Promedio del valor absoluto del sesgo

0.0

0.0

0.0

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2 0.5 0.6 0.8 1.0

Sigma 2

Valo

r abs

olut

o de

l ses

go

LSM tradicionalInstrumentosRegresores

Al igual que en los resultados analizados en la sección octava, se

observa una ganancia en materia de sesgo. Estos experimentos sugieren

que la elección de la desviación estándar del activo ficticio no afecta

significativamente las propiedades de las variaciones del LSM propuestas.

Salvo que, al menos cuando el coeficiente de correlación es de 0.5, incluir el

activo ficticio como instrumento parece ser una mejor alternativa que

hacerlo como regresor.

101