Sumar fracciones con diferentes denominadoresCmo sumar fracciones con diferentes denominadores:

Encuentra el mnimo comn mltiplo (MCM) de las fracciones Renombra las fracciones para obtener el MCM Suma los numeradores de las fracciones Simplifica la fraccin Ejemplo: Encuentra la suma de 2/9 y 3/12

es 3

Determina el mximo comn divisor de 9 y 12, que

Multiplica los denominadores y divide por el MCD (9*12=108, 108/3=36) O Divide uno de los denominadores por el MCD y multiplica el resultado por el otro denominador (9/3=3, 3*12=36) Renombra las fracciones para usar el MCM (2/9=8/36, 3/12=9/36) El resultado es 8/36 + 8/36 Suma los numeradores y coloca el resultado sobre la suma del MCM = 17/36 Simplifica la fraccin de ser possible. En este caso no es possible.

Unidad II Operaciones con fracciones

Tema 3 Suma de fracciones con diferente denominador

Isabel necesita 1

de litro de crema para hacer un de

postre. Si en el refrigerador tiene un recipiente con litro de crema y otro con comprar ms crema?

litro, le alcanza o tiene que

Isabel, para conocer si le alcanza la crema que tiene, debe sumar y ; luego, comparar su resultado con

lo que necesita ( 1 de litro) y con ello definir si le alcanza su crema o tiene que comprar ms. Suma de lo que tiene: + =?

En esta suma de fracciones, se puede observar que cada una de las fracciones que la componen tienen diferente denominador. Isabel record que para sumar o restar fracciones stas deben tener el mismo denominador, por lo que decide encontrar fracciones equivalentes con el mismo denominador. Como tiene las fracciones una fraccin equivalente a de4. = Para esto, se debe buscar un nmero que multiplicado por 2 de 4. Este nmero es el 2, por lo que la fraccin equivalente a con denominador 4 ser: y , tratar de encontrar

pero con denominador

Con esta fraccin equivalente, se puede plantear la suma de las fracciones de Isabel, de la siguiente manera: + =

Con lo que el resultado ser la suma de los numeradores con denominador 4. + = =

Realizando la conversin a nmeros mixtos se tiene:

=1

Con este resultado, Isabel se da cuenta que los

de

litro y el de litro de crema que tiene suman 1 litros que es exactamente lo que necesita para hacer un postre, por lo que no tiene que comprar ms crema.

Ejemplo

La seora Araceli tiene un negocio donde vende quesadillas. Ella fue a visitar por la noche a su comadre para que le ayudara a calcular cuntos kilos de masa tiene que comprar para el da siguiente, si por la maana us 5 de kg de masa y por la tarde 4 de kg de masa.

En este caso, se trata de una suma de nmeros mixtos. Entonces, para saber el total de kilos de masa, hay que hacer la siguiente suma: 5 Primero Sume los enteros: 5+4=9 Segundo Sume las fracciones: + = +4 =

Recuerde que para sumar fracciones se necesita que todas tengan el mismo denominador.

Enseguida, se busca una fraccin equivalente a con denominador 4. Observe que el 2 se puede igualar al4 multiplicndolo por 2.

Ahora tenemos la suma de fracciones con el mismo denominador: + = + = =

Araceli se da cuenta que el resultado es una fraccin con el numerador ms grande que el denominador, por lo que conviene convertirlo a nmero mixto haciendo la divisin 5 4.

Finalmente, volvemos a sumar enteros con enteros y al resultado se le agrega la parte fraccionaria de la siguiente forma: 9 kg + 1 kg = 10 kg (diez kilos un cuarto)

Otra manera de realizar este tipo de sumas es pasando los nmeros mixtos a decimales y, luego, hacer la suma con la calculadora. Recuerde que para convertir un nmero mixto a un nmero decimal slo se requiere agregar a la parte entera el decimal que resulte de la divisin de la fraccin.

Observe: 5

=5

------

3

4

= 0.75

Entonces: 5

= 5 + 0.75 = 5.75

Tambin: 4

=4+

-----

1

2

= 0.50

Entonces: 4

4 + 0.50 = 4.50

Ahora, se suman los nmeros decimales usando la calculadora: 5 . 7 5 + 4 . 5 = 10.25

Observe que el resultado 10.25 se puede expresar como nmero mixto haciendo la conversin a fraccin de la parte decimal.

10.25 kg = 10

kg = 10

kg

Recuerde que se simplifica dividiendo entre 25 arriba y abajo para obtener la fraccin equivalente igual a .

EjemploMarcos tiene un negocio de cerrajera y sus ingresos mensuales son alrededor de $6,000.00, pero una quinta parte la utiliza para pagar la renta del local y la luz, y una cuarta parte la gasta en materiales. Marcos desea saber qu parte de sus ingresos usa en su

negocio y qu tanto corresponde a sus ganancias. Marcos piensa que necesita hacer una suma de fracciones.

La parte de la renta ( )

+

La parte de los materiales ( )

=

La parte de los ingresos que se gastan en el negocio

Para sumar fracciones se necesita que stas tengan el mismo denominador. Primero, hay que buscar un comn denominador para las dos fracciones ( y ).

Marcos se pregunt si alguno de los dos denominadores (el 5 el 4) podra servir para ambas fracciones.

Recuerde que el comn denominador es el nmero que es divisible entre los dos denominadores (el 5 y el 4) en forma exacta, es decir, sin residuo. Primero, prob el 5 y encontr que no funciona porque el 5 no se puede dividir de manera exacta entre 4. Luego, prob el 4 y encontr que tampoco funciona porque el 4 no se puede dividir en forma exacta entre el 5. Como ni el 4 ni el 5 funcionan como comn denominador, Marcos busc otro nmero. El nmero ms seguro, aunque no siempre es el ms pequeo, resulta de multiplicar los dos denominadores (4 x 5 = 20). Observe que el 20 s funciona como comn denominador porque s es divisible entre el 5 y el 4. 20 5 = 4 y 20 4 = 5 Enseguida, Marcos trat de encontrar las fracciones equivalentes con denominador 20 para cada una de las dos fracciones.

.................. Finalmente, Marcos hizo la suma as: + Observe que = + = =

se pueden transformar en porcentaje

buscando la fraccin equivalente con denominador 100. Ingresos

= 0.45 = 45%

Ahora Marcos sabe que nueve veinteavos ( ), o el45% de sus ingresos, los gasta en su negocio y el resto (55%) es la ganancia que se lleva a su casa.

EjemploEl otro da fueron a visitar a don Paco tres amigos que tenan una granja de pollos en sociedad y haban decidido cerrar porque no les haba ido bien. Les sobraron 35 pollos que ahora queran repartirse, de acuerdo con la participacin que cada uno tena en el negocio.

A uno de los socios le perteneca la mitad del negocio, mientras que a los otros dos les corresponda y , respectivamente. Como no se ponan de acuerdo de cuntos pollos les tocaban a cada uno, fueron a ver a don Paco para que les ayudara a hacer el reparto. El problema que tenan era que al dividir la cantidad de pollos entre la parte que les corresponda les resultaban cantidades con decimales y no queran partir los pollos. 35 2 = 17.5

(

)

(

)

35

3

=

11.6666

(

)

35

9

=

3.8888

Don Paco se dio cuenta del fondo del problema y, tomando ventaja de sus conocimientos de fracciones, acept ayudarles a resolver el asunto. Don Paco les asegur que con la solucin que l tena, todos iban a salir ganando. Como don Paco tena pollos, les ofreci prestarles uno para completar 36 pollos y as tener una cantidad ms fcil de repartir sin necesidad de partir ninguno. As, al que tena la novena parte del negocio le

tocaban4 pollos (porque = 4), en lugar de los 3.888 que le correspondan. Al socio que tena la tercera parte le tocaron 12 pollos (porque = 12), en lugar de los 11.666 que le correspondan. Al que tena la mitad del negocio le tocaron 18 pollos (porque = 18), en lugar de 17.5 que le correspondan. Como sobraron dos pollos, don Paco recuper el pollo que les haba prestado y sus amigos no tuvieron inconveniente en que se quedara con el otro pollo como pago por sus servicios. Asombrados por la astucia de don Paco, los tres amigos se despidieron muy agradecidos. De qu se dio cuenta don Paco para tomar ventaja del problema de sus amigos?, a qu se debe que todos salieron ganando? Don Paco se dio cuenta que haba un error en las participaciones de los socios ( , y ) porque la suma de las partes no corresponda con la unidad o el todo. Don Paco represent el negocio de la granja o lo que quedaba de sta Luego, represent en el crculo las participaciones de los tres socios

(los 35 pollos) con un crculo, as:

(

,

y

).

Y observ que quedaba una fraccin sin repartir, de la cual los tres socios no se haban percatado. En la figura se puede ver que la fraccin faltante podra ser un poquito menor a .

Don Paco pens que alguno de los tres socios tena equivocada su participacin o fraccin del negocio. Recuerde que la suma de todas las fracciones que componen un todo debe ser igual a uno. Para saber la cantidad de la fraccin que falta, slo basta sumar las fracciones ( + + ) y determinar por diferencia lo que falta para que sume uno. + + =

Recuerde que para sumar o restar fracciones se necesita que todas tengan el mismo denominador. Deber buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, por lo que hace lo siguiente:

Busca el menor nmero posible que divida de manera exacta al 2, 3 y 9. Prueba con el nmero ms chico de los tres que es el2, pero ni el 3, ni el 9 son divisibles entre 2. Lo mismo sucede con el 3 y el 9, por lo que prueba el producto de los tres nmeros: 2 x 3 x 9 = 54, nmero que s es divisible entre 2, 3 y 9. Ahora, deber encontrar las fracciones equivalentes con denominador 54. a) . = ....b).. = ....c) =

Observe que si divide el comn denominador (54) entre el denominador de la fraccin que se tiene (2, 3 9), se obtiene el nmero por el que se debe multiplicar el numerador para encontrar la fraccin equivalente. Esto es: ...a) 6 x 1 = 27 ...b) x 1 = 18 ...c) x1=

Esto significa lo mismo que:

a)

..b)

..c)

La suma quedar de la siguiente manera: + + = =

Para encontrar la cantidad que no est reportada en la sociedad, se deben restar a 1 los .

Recordando que 1 =

, se tiene:

Esta fraccin ( ) se puede representar por una equivalente de menor denominador ya que tanto el 3como el 54 se pueden dividir entre 3.

= Recuerde que una fraccin no se altera si su numerador y denominador se multiplican o dividen por un mismo nmero. Con las operaciones anteriores se obtiene la cantidad que falta para que las fracciones sumadas den el todo. En resumen, para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se pueden seguir los siguientes pasos. 1. Busque un denominador comn (el menor que sea posible) que pueda ser dividido entre todos los denominadores de las fracciones. + + =

En este caso, ninguno de los tres denominadores (6, 9 y 3) divide a los otros dos de manera exacta, por lo que se puede probar con el producto de los tres (6 x 9 x 3 = 162) o con otro nmero menor que pueda ser dividido por los tres (se puede probar con el 18). 18 6 = 3 18 9 = 2 18 3 = 6 Aun cuando el resultado sera el mismo al usar

cualquiera de los dos nmeros (18 162), es ms fcil utilizar el menor. 2. Obtenga una fraccin equivalente de cada una de las tres que se van a sumar, pero con denominador 18.

......

......

3. Ahora, sume las tres fracciones equivalentes que tienen el mismo denominador. + + = + + = =

4. Cuando tenga fracciones con numerador mayor que el denominador, convierta a un nmero mixto.

............

............

=1

Ejemplo+ + =

Paso 1 Busque un comn denominador que sea divisible por todos los denominadores de las fracciones a sumar. El nmero que es dividido por los denominadores (7, 5, 3) puede ser el producto de tres denominadores. 7 x 5 x 3 = 105

+ Paso 2

+

=

Obtenga las fracciones equivalentes de denominador 105. = , = y =

,

y

con

.....

......

Observe que los nmeros por los que hay que multiplicar a los dos trminos de las fracciones (15, 21 y 35) se obtienen al dividir al comn denominador (105) entre el denominador de la fraccin correspondiente. Por ejemplo, 105 7 = 15. Cantidad por la que se debe multiplicar el numerador y denominador para obtener la fraccin equivalente. Paso 3 Se suman las fracciones equivalentes con el mismo denominador. + + = + + =

Paso 4 Se obtiene el nmero mixto.

...............

=1

Presione el siguiente botn y realice la actividad que se

propone.

Unidad II Operaciones con fracciones Tema 3 Suma de fracciones con diferente denominador

Ejercicios ..

Resuelva el siguiente problema. El da de tianguis de la semana pasada, doa Soledad obtuvo $5,000.00 como total de su venta. Una tercera parte de la venta fue de mangos; dos quintas partes, de naranjas y toronjas; una cuarta parte, de manzanas y peras; y el resto, de verduras. Represente grficamente el total de ventas y la fraccin que corresponde a cada uno de los diferentes productos. Determine qu fraccin representa la venta de frutas con respecto al total.

Determine la fraccin que representa la venta de las verduras.

Calcule cunto vendi doa Soledad de cada uno de los productos.

mangos naranjas y toronjas manzanas y peras verduras