Suma de Señales Producto de Señales Escalamiento … · independiente, se usa "n“ (entero) para...

Tema 1. Introducción a las Señales en Tiempo Contínuo y Discreto

1 Prof. Raquel Frías Análisis de Señales

6. Señales Discretas

7. Operaciones sobre Señales Discretas

Suma de Señales Producto de Señales Escalamiento en Tiempo Escalamiento en Magnitud Transposición ó Reflexión

8. Señales Singulares

Función Escalón Unitario Función Pulso Rectangular Función Rampa Función Signo Función Impulso

Indice:



6. Señales Discretas

Son señales que están definidas para un intervalo de valores discretos de su variable

independiente, se usa "n“ (entero) para denotar la variable de tiempo discreto.

Representación Gráfica

Señal Discreta x[n]

Ejemplo:

f (n) = 2 n < -1 2 -n n ≥ -1

n

f (n)

1 2 3 4

0.5

1

2

1.5

-3 -2 -1 0 f (n) = 2, 2, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16

Como Secuencia Finita




Suma de Señales

La suma de dos señales f1(n) y f2(n) es una señal f(n) cuyo valor en cualquier instante es

igual a la suma de los dos valores en ese instante de las dos señales.

Ejemplo: Sumar f1(n) con f2(n)

f1(n) = 3n para 0 ≤ n ≤ 5

f2(n) = n para 3 ≤ n ≤ 6

0 ≤ n ≤ 3 3n

f(n) = f1(n) + f2(n) 3 ≤ n ≤ 5 4n

5 ≤ n ≤ 6 n

1 2 3 4 5 6 7

6

3

f2 (n)

n

1 2 3 4 5 6 7

9 6

3

15

12

f1 (n)

n

1 2 3 4 5 6 7

9 6

3

18

15

12

21

n

f (n)



Producto de Señales

El producto de dos señales f1(n) y f2(n) es una señal f(n) cuyo valor en cualquier

instante es igual a el producto de los dos valores en ese instante de las dos señales.

Ejemplo: Realizar el producto de f1(n) con f2(n)

f1(n) = 3n para 0 ≤ n ≤ 5

f2(n) = n para 3 ≤ n ≤ 6

0 ≤ n ≤ 3 0

f(n) = f1(n) . f2(n) 3 ≤ n ≤ 5 3n2

5 ≤ n ≤ 6 0

1 2 3 4 5 6 7

9 6

3

15

12

f1 (n)

n

1 2 3 4 5 6 7

6

3

f2 (n)

n

1 2 3 4 5 6 7 n

30 20

10

60

50

40

70 f (n)




Desplazamiento de una Señal

Equivale físicamente a adelantar o atrasar la señal, gráficamente equivale a desplazar

la señal hacia la izquierda (adelanto) o hacia la derecha (atraso).

En la práctica se pueden presentar dos casos:

x2(n) = x1(n n0) X1(n)

n0

X2(n) Desplazamiento

n0 < 0 : Retardo.

n0 > 0 : Adelanto.

Ejemplo: Desplazar x1 (n) para n0 = 3 y n0 = 2 en retardo y adelanto

x1 (n)

X1(n)

n

x2 (n) = x1 (n - 3)

X2(n)

n

x2 (n) = x1 (n + 2)

X2(n)

n




Escalamiento de la variable independiente (n)

Consiste en un escalamiento lineal de la variable independiente. Gráficamente

equivale a expandir o contraer la señal.

En la práctica se pueden presentar dos casos:

x2(n) = x1(αn) α > 1 : Contraer

0 <α < 1 : Expandir

Ejemplo: Expandir y Contraer x1 (n) por un factor de 2

n

X2(n)

x2 (n) = x1 (2n) Contraída por un factor de 2

X2 (n)

n

x2 (n) = x1 (n/2) Expandida por un factor de 2

x1 (n)

X1 (n)

n




Escalamiento en Magnitud

Equivale a multiplicar la señal por una constante real.

En la práctica se pueden presentar cuatro casos:

x2(n) = A x1(n)

Ejemplo: Escalar en Magnitud x1 (n) para A = 2

A > 1 : Amplificador A < 1 : Atenuador A = 1 : Aislador A = -1 : Inversor

x1 (n)

n

X1(n)

1

2

1 2 3 4 5 -1 -2 0

x2 (n) = 2 x1 (n) Amplificada por un factor de 2

n

X2(n)

1

2

3

4

1 2 3 4 5 -1 -2 0




Transposición ó Reflexión

Se consigue mediante un cambio de signo en la variable independiente.

Gráficamente equivale a una reflexión sobre el eje vertical (n = 0)

En la práctica se pueden presentar como:

x2(n) = x1(-n)

Ejemplo: Hallar la transpuesta de x1 (n).

x1 (n)

0 2 4 n -4 -2

X1(n)

4

-6 6

x2 (n) = x1(-n)

0 2 4 n -4 -2

X2(n)

4

-6 6




Señales con formas matemáticas simples, no son finitas, son útiles en el análisis de

sistemas físicos.


Función Escalón Unitario (u(t)/u(n)).

Continua t ≥ 0 1 u(t) = t < 0 0

0 1 2 t -2 -1

u(t)

1

-3 3

Discreta

-4 -3 -2 -1 0 n

u(n)

1

1 2 3 4

n ≥ 0 1 u(n) = n < 0 0

Esta función será igual a uno cuando el argumento de la función sea mayor o igual

que cero, y valdrá cero cuando el argumento sea menor que cero. Por esta razón se

le conoce como escalón unitario, dado que su amplitud cambia abruptamente de

cero a la unidad.



Función Escalón Unitario

Operaciones sobre la función Escalón Unitario

Sobre las funciones singulares se pueden realizar ciertas operaciones matemáticas,

en el caso de la función escalón podemos efectuar desplazamiento, transposición y

escalamiento en amplitud.

x (t) = k u(t)

x (t) = k u(t) k t ≥ 0

0 t < 0

Escalamiento en Amplitud

Desplazamiento en Tiempo

x t a u t asi t a

si t a( ) ( )

1

0

x(t a) = u(t a)

x (t)

t

k

x (t)

t

1

-a

a > 0

a

x (t)

1

t

a > 0




Función Pulso Rectangular

0 b t a

rect (t)

1

Continua

Discreta

n ≤ N/2 1 rect(n/N) =

n > N/2 0 -N/2 0 n

rect (n/N)

1

N/2

La función pulso rectangular puede ser descompuesta como la diferencia de dos

funciones escalón f1(t) y f2(t) de amplitud “A” desplazados en t = a y t = b.

donde a ≥ 0 , b ≥ 0 y a < b . f t A u t a u t b( ) . [ ( ) ( )]

1 rect(t) =

0

a ≤ t ≤ b

a > t ^ t > b




Función Rampa

Continua

Discreta

t ≥ 0 kt rk(t) = t < 0 0

n ≥ 0 n r(n) = n < 0 0

0 1 2 t -2 -1

rk(t)

k

-3 3

-4 -3 -2 -1 0 n

r(n)

1

1 2 3

2 3

Esta función es una recta que comienza en el origen que tiene una pendiente k y es

cero para todos los valores de tiempo negativos. Por esta razón la función rampa

puede ser expresada en función de la función escalón unitario de la siguiente

manera: R t k t u tk ( ) . . ( )




Función Rampa

Operaciones sobre la función Rampa

Sobre las funciones singulares rampa podemos efectuar desplazamiento, transposición entre otras.

Desplazamiento en Tiempo R t a k t a u t ak ( ) .( ). ( )

a > 0

Transposición R t a k t a u t ak ( ) .( ). ( )

a > 0




Función Signo

Continua

Discreta

0 1 2 t -2 -1

Sgn(t)

1

-3 3

-1

( )

-4 -3 -2 -1

0 n

u(n)

1

1 2 3 4

-1

( )

sgn(t) = 2 u(t) - 1




Función Impulso

Esta función Impulso está definida matemáticamente mediante la integral:

Representación Gráfica

Puede ser definida como una función pulso, la cual tiene una amplitud infinitamente

grande y un ancho infinitamente pequeño y cuya área es finita e igual a la unidad. La

función impulso también es conocida como función delta.




Función Impulso

La función impulso es factible de ser desplazada en el eje horizontal, así como

también escalada en magnitud, el procedimiento es similar al procedimiento ya

descrito para las funciones anteriores.

Propiedades

kδ (t) kδ (t+a) kδ (t-a)

Propiedad de Muestreo:

para cualquier x(t) continua en t = t0 , con t0 finito




Función Impulso

f(t) continua en t = t0 , con t0 finito

Propiedad de Desplazamiento:

Propiedad de Escalamiento:

( ).t t dta

b

0 1 a < t0 < b

d

dtt d

d

dtu t t

t

( ). ( )0 0

Derivada:

Cambiando los limites de la integral tenemos:




Función Impulso

Ejemplo: Calcular y graficar la derivada del pulso rectangular de la figura.

f(t) = A u( t ) - A u( t - t0 )

df

dtA t A t t. ( ) . ( )0


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