Suma de RiemannDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

[editar] Definición

Consideremos lo siguiente:

una función

donde D es un subconjunto de los números reales

I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b

crean una partición de I P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.

Suma de Riemann superior e inferior.

Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

 

S(f, P) =  cj (xj - xj-1) donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

 

I(f, P) =  dj (xj - xj-1) donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

Variación de las sumas de RiemannSea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir:

I(f, P)  I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición PGráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:

La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:

 

S(f, P')  S(f, P) para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.

Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-Integrables Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:

o la integral superior I*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }

o la integral inferior I*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }

Entonces si I*( f ) = I*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:  

f(x) dxHay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición.

Caracterización de las funciones Riemann-Integrables

Supongamos que f es una función acotada definida en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f es integrable Riemann si y sólo si para todo  > 0 existe al menos una partición P tal que

| S(f, P) - I(f, P) | < 

donde S(f, P) es la suma superior de f respecto de la partición P, e I(f, P) es la suma inferior de f respecto de la partición P

Sumas de Riemann

- Si P = { x0, x1, x2, ..., xn} es una partición del intervalo cerrado [a, b] y f es una función definida en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la partición P se define como:

R(f, P) =  f(tj) (xj - xj-1)

donde tj es un número arbitrario en el intervalo [xj-1, xj].

la suma de Riemann corresponde geométricamente con la suma de las áreas de los rectángulos con base xj - xj-1 y altura f(tj).

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULA CALCULO INTEGRAL UNIDAD 1.-INTEGRAL DEFINIDA 1.1.- MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS: Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras. = (x1y1+x2y2+x3y3+x4y4……………+XnYn) *1.2 NOTACIÓN SUMATORIA O SIGMA ( {draw:frame} {draw:frame} *) Una integral puede ser indefinida o definida. Posteriormente se verá que la integral definida se define como el límite de una cierta clase de adición o suma. Por lo tanto, resulta útil introducir una notación especial que permita escribir una suma o sumatoria de constantes, tal como 1 + 2 + 3 + ……. + n, 22 + 42 + 62 +……… + (2n)2, y

{draw:frame} {draw:frame} + {draw:frame} {draw:frame} + {draw:frame} {draw:frame} +………. {draw:frame} {draw:frame} de manera concisa. Sea ak un número real que depende de un entero k. Se denota la suma o sumatoria a1 + a2 + a3 + …….. an por el símbolo {draw:frame} {draw:frame} (5.11) Como se utiliza {draw:frame} {draw:frame} , la letra griega sigma mayúscula, a (5.11) se le llama notación de sumatoria o notación con sigma. A la variable k se le denomina índice sumatorio. Así que, {draw:frame} {draw:frame} ak es la sumatoria de todos los números de la forma ak, cuando k toma los valores sucesivos k=1, k=2, ……, y termina con k=n. Los índices inferior y superior de la suma han de ser constantes respecto del índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por que ser 1. Cualquier entero menor o igual que el límite superior es lícito. Por ejemplo: {draw:frame} {draw:frame} k = 23 + 24 + 25 y {draw:frame} {draw:frame} k = 20 + 21 + 22 + 23 + 24+ 25. Sin embargo, en una discusión general se supondrá siempre que el índice sumatorio empieza en k=1. Esta suposición es más bien por conveniencia que por su necesidad. Al índice sumatorio se le llama a menudo variable ficticia, puesto que el símbolo en sí no es importante; los valores enteros sucesivos del índice y la sumatoria correspondiente son lo importante. En general, {draw:frame} {draw:frame} = {draw:frame} {draw:frame} = {draw:frame} {draw:frame} = {draw:frame} {draw:frame} y así sucesivamente. {draw:frame} Ejemplo. = 2 + 5 + 8 + 11 + 14. 1.3 SUMAS DE RIEMANN Se conoce como sumatorias (o sumas) de Riemann en honor al famoso matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). En la siguiente figura en el caso de los productos fxk*∆xk son números que son los negativos de las áreas de rectángulos trazados por debajo del eje x. EJEMPLO Calcular la suma de Riemann para fx=x2-4 en -2,3 con cinco subintervalos determinados por Y Solución. En la siguiente recta se representan los puntos en el intervalo. Por lo tanto, la sumatoria de Riemann es =-332+-631612+-1541+-7434+9454 = -27932 ≈ -8.72 1.4 DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA. La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. {draw:frame} es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x. La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral

indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas. Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería. dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [_a_,_b_] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie) en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las de electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue. La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual. El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [_a_, b], se escribe {draw:frame} El signo ∫, una "S" larga, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [_a_,_b_]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una representación de los pesos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente. CONCEPTOS Y APLICACIONES Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada

con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas. Aproximaciones a la integral de √_x_ entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo) Para empezar, se considerará la curva y = f(_x_) entre x = 0 y x = 1, con f(_x_) = √_x_. La pregunta es: ¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1? Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será {draw:frame} . Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=_f_(0)=0 y y=_f_(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √1⁄5, √2⁄5, y así hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando, {draw:frame} Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0.6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación {draw:frame} concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como las alzadas, y = f(_x_)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx). Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(_x_) = 2⁄3_x_3/2 y simplemente coger F(1)−_F_(0), donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo) [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(_x_) = xq, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(_x_) = (_x__q_+1)/(_q_+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como {draw:frame} Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación

{draw:frame} {draw:frame} a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo. Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal. A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos. 1.5 TEOREMA DE EXISTENCIAS Una sucesión monótona acotada es convergente. Este teorema establece que si {an} es una sucesión monótona acotada entonces existe un número L tal que limn→∞an=L , pero no indica como determinarlo. Por esta razón, el teorema se llama teorema de existencia. Muchos conceptos importantes en matemáticas estas basados sobre teorema de existencia. En particular, para muchas sucesiones el límite no puede determinarse mediante el uso directo de la definición o por medio de teorema de límites, sin embargo, el conocimiento de que tal límite existe es importante para los matemáticos. Teorema Teorema Sea {an} una sucesión decreciente, y suponga que C es una cota inferior de esta sucesión, entonces {an} es convergente y limn→∞an≥C. Ejemplo: Aplica el teorema para demostrar que la sucesión es convergente: {2nn!} Solución: Los elementos de la sucesión son 211! , 222! , 233!, 244!, …, 2nn! , 2n+1n+1!,… Donde 1! = 1 ,2!=2, 3!=6, 4!=24, En consecuencia, los elementos de la sucesión puede escribirse como : 2, 2, 43, 23, …, 2nn!, 2n+1n+1! , …. Entonces a1=a2 >a3 >a4; de modo que la sucesión puede ser decreciente. Debe verificarse si an ≥an+1 ; esto es, se debe determinar si 2n n+1! ≥ 2n+1 n! 2n n!n+1≥2 ∙2nn! n+1 ≥2 Cuando n=1, la desigualdad se convierte en 2=2 y se cumple obviamente cuando n>2. Cuando la desigualdad es equivalente a n+1≥_2, se infiere que la sucesión dada es decreciente y por tanto monótona. Una cota superior para la sucesión es 2 y una cota inferior es 0. Por tanto, la sucesión es acotada. _ En consecuencia la sucesión {2nn!} es una sucesión monótona acotada, y por el teorema es convergente. El teorema establece que una condición suficiente para que una sucesión monótona sea convergente esta debe ser acotada. 1.7 FUNCION PRIMITIVA

Dada una función f(x) y su derivada f¨(x), decimos que f(x) es una primitiva de f¨(x). En otras palabras, si F¨(x) = f(x) entonces, y sólo entonces, decimos que F(x) es una primitiva de f(x). Ejemplo (1). Una primitiva de (x)2 es la función {draw:frame} {draw:frame} {draw:frame} {draw:frame} . El ejemplo anterior ilustra que si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x) + C. Hay una infinidad de primitivas de una función continua f (x), tantas como valores puede tener la constante arbitraria C en la expresión F(x) + C. Teorema: Dos primitivas, F (x) y G(x), de una misma función f(x) difieren en una constante. Porque, si ponemos U=f (x) − G (x), obtenemos: 1.9 CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS *INTEGRALES* DEFINIDAS Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b. {draw:frame} Se representa por {draw:frame} . ∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS PASO 1.- Integrar la expresión diferencial dada. PASO 2.- Reemplazar la variable en esta integral indefinida en primer lugar por el límite superior, después por el inferior, y restar el segundo resultado del primero. Ejercicio 1: {draw:frame} {draw:frame} Ejercicio 2: {draw:frame} {draw:frame} Ejercicio 3: {draw:frame} {draw:frame} 1.10 INTEGRALES IMPROPIAS En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. {draw:frame} Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma: {draw:frame} La integral {draw:frame} Puede interpretarse como {draw:frame} Pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo

(0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor. En contraste al caso anterior, {draw:frame} no_ puede_ ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que {draw:frame} Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por {draw:frame} Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites. Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real. Limites infinitos. Hasta aquí se ha supuesto que los límites de la integral son finitos. Sin embargo, aun en el trabajo elemental, a veces conviene quitar esta restricción y considerar integrales con límites infinitos. En ciertos casos esto puede hacerse sirviéndonos de las siguientes definiciones: Cuando el límite superior es infinito, {draw:frame} {draw:frame} Y cuando el límite inferior es infinito, {draw:frame} {draw:frame} Con tal que existan los limites. Ejemplo 1. Hallar {draw:frame} {draw:frame} Solución. {draw:frame} {draw:frame} Cuando y= Ø(x) **es discontinua. Consideremos ahora casos donde la función para integral es discontinua para valores aislados de la variable dentro de los límites de integración. Consideremos, en primer lugar, el caso en que la función para integrar es continua para todos los valores de x entre los limites a y b, con excepción de x=a. Si a < b y ԑ es positivo, empleamos la siguiente definición: {draw:frame} {draw:frame} e igualmente, cuando Ø (x) es continua salvo en x = b, definimos {draw:frame} {draw:frame} Con tal que existan los limites. Ejemplo 1. Calcular {draw:frame} {draw:frame} Solución. Aquí 1x2 se vuelve infinita para x = 0. Luego, según (1). {draw:frame} {draw:frame} En este caso no hay límite y, por esto, la integral no existe. Si c esta dentro de a y b y Ø(x) es continua salvo en_ x = c_, entonces, siendo y ԑ’ números positivos, la integral entre a y b se define por: {draw:frame} {draw:frame} Contar que existe a cada uno de los límites. BIBLIOGRAFIA CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Grandville Smith Longley CALCULO DIFERENCIAL Francisco Zubieta Russi