SUCESIONES Es una expresión matemática en la que sus términos van escritos sucesivamente los términos que se forman a través de reglas válidas matemáticamente. Todos los términos de una sucesión dependen de una constante llamada razón que podrá determinarse por diferencia, por cociente o por cualquier ley que se desee establecer. CLASIFICACIÓN DE LAS SUCESIONES 1) De acuerdo a la razón de sus términos:

A) Sucesión Aritmética. Cuando la razón entre sus términos consecutivos se halla por diferencia. Ejemplo 1) 2 , 4 , 7 , 11 , 16 , 22 , ... Resolución:

2 , 4 , 7 , 11 , 16 , 22 , 29

+2 +3 +4 +5 +6 +7 Razón 2) 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20 , ... Resolución:

5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20 , 23

+3 +3 +3 +3 +3 +3

B) Sucesiones Geométricas.- Cuando la razón entre sus términos consecutivos se halla por

cociente.

Ejemplo 1:

3 , 6 , 18 , 72 , 360 , ...........

x2 x3 x4 x5 x6 Razón 2) 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , ... Resolución:

4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128

x2 x2 x2 x2 x2 Razón

2) De acuerdo a su fórmula de recurrencia:

Sucesiones Polinomiales: Que a su vez pueden ser:

a) Sucesiones Lineales: Es toda sucesión cuyo término n – ésimo “ nt ” está expresado.

nt = An + B , A y B son ctes.

Ejemplo:

Cálculo del Término n – ésimo Hallar el término n – ésimo en cada una de las siguientes sucesiones. 4, 7, 10, 13, .... Resolución: B = 1 4 , 7 , 10 , 13 , ....

A = 3 3 3 3

nt = An + B

nt = 3n + 1

7 , 12 , 17 , 22 , .... 21 , 17 , 13 , 9 , .... 8 , 13 , 18 , 23 , ....

Cálculo del Término Específico de una Sucesión Los cuatro primeros términos de una sucesiónson: 20 ; 16,5 ; 13 ; 9,5 ; ....

Calcule el décimo quinto término.

Resolución: B = 23,5 20 ; 16,5 ; 13 ; 9,5 ; ....

A = –3,5 –3,5 –3,5 –3,5

nt = An + B

nt = –3,5n + 23,5

15t = –3,5 (15) + 23,5

15t = –29

Sucesión nt

2, 5, 8, 11, .... 3n – 1

2, 4, 6, 8, ...... 2n

3, 1, –1, –3, ... 5 – 2n

Sucesión nt

1, 3, 5, 7, .... 2n – 1

1, 2, 3, 4, ...... n

3 , 7 , 11 , 15 , ....

Halle el vigésimo cuarto término 8 , 15 , 22 , 29 , ....

Halle el 15t

7 , 12 , 17 , 22 , ....

Halle el 80t

Sucesiones Cuadráticas (segundo orden)

Es toda sucesión cuyo término n – esimo “ nt ” está expresado:

nt = An2 + Bn + C , A, B y C ; ctes.

Ejemplo:

Cálculo del Término n – ésimo de una Sucesión de Segundo Orden: Halle el término n – ésimo en cada una de las siguientes sucesiones. 10, 24, 44, 70, 102 , .... Resolución: C = +2 10 , 24 , 44 , 70 , 102 , ....

A + B = 8 14 20 26 32

2A = 6 6 6 6

nt = An2 + Bn + C

nt = 3n2 + 5n + 2

2 , 7 , 13 , 20 , 28 , .... 7 , 13 , 21 , 31 , 43 , .... 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , ....

8 , 15 , 28 , 47 , 72 , ...

Sucesión nt

2, 7, 16, 29, ..... 2n2 – n+1

2, 6, 12, 20, ..... n2 + n

1, 4, 9, 16, ..... n2

Sucesiones Potenciales

Hallar el término que sigue en la sucesión: 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , ....

Resolución:

1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49

12 22 32 42 52 62 72 2 , 8 , 18 , 32 , 50 , 72 , .... 2 , 11 , 26 , 47 , ....

Sucesiones Exponenciales

Hallar el término que sigue en la sucesión: Resolución:

3 , 9 , 27 , 81 , 243

31 32 33 34 35 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , ....

Sucesiones No Lineales.

Son aquellas en que la razón no es constante, para resolver estos ejercicios se tiene que encontrar primero una Ley de Formación o Fórmula de Recurrencia que cumpla por lo menos con los dos primeros términos de la sucesión, luego los términos restantes estarán en función de una constante “K” y el número de términos “n”. Ejemplo 1) Qué número sigue en la sucesión:

1 , 3 , 5 , 43 , .... Resolución:

B = –1 1 , 3 , 5 , 43 , ......

A = 2 2 2

nt = 2n – 1 + k(n – 1) (n – 2)(n – 3)

4t = 2(n) – 1 + k(4 – 1)(4 – 2)(4 – 3)

43 = 7 + k(3) (2) (1) K = 6

nt = 2n – 1 + 6(n – 1) (n – 2)(n – 3)

5t = 2(5) – 1 + 6(5 – 1)(5 – 2)(5 – 3)

5t = 295

2) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 252 , ...

3) Hallar el 40t en:

4 , 7 , 16 , 31 , 52 , ...

C) Sucesiones Literales.

Conjunto ordenados de letras de acuerdo a determinados criterios: - Mayormente no se consideran las letras compuestas: “Ch” y “Ll”. - Lugar que ocupa la letra en el alfabeto. - Iniciales de palabras conocidas. - Formación de palabras.

Ejemplo 1) ¿Qué letra continúa?

E , G , J , N , ... Resolución:

E , G , J , N , R

F HI KLM NOPQ

H J L 2) D , G , F , I , H , K , J , M E G I 3) U , E , T , F , C , M , S , .... Resolución:

U , E , T , F , C , M , S , A

N N R E U A E B

O E E B A R I R

R S R T Z S I

O E R O L

R O

O

4) E , T , N , I , D , U , T , S , ...... Resolución: E , T , N , A , I , D , U , T , S , E Si se lee de derecha a izquierda se lee ESTUDIANTE.

NIVEL I

1. Indicar el valor de:

8 , 11 , 15 , 20 , x a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 2. ¿Qué número continúa?

4 , 8 , 9 , 19 , 38 , .... a) 29 b) 37 c) 39 d) 40 e) 41 3. Hallar x + y

14 , 1 , 15 , 1 , 16 , 2 , 17 , 6 , x , y a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) 43 4. Hallar el valor de:

9 , 8 , 16 , 15 , 30 , 29 , x a) 50 b) 51 c) 56 d) 58 e) 64 5. Hallar “x”

5 , 7 , 15 , 35 , 73 , x a) 93 b) 100 c) 128 d) 135 e) 142 6. Hallar “x”

1 , 1 , 2 , 6 , 24 , x a) 118 b) 120 c) 142 d) 148 e) 150 7. ¿Qué número continúa en?

10 , 15 , 23 , 35 , 53 , 80 , ... a) 110 b) 120 c) 140 d) 150 e) 160 8. Hallar “x”.

12 , 6 , 3 , 13 , 46 , x

a) 82 b) 96 c) 110 d) 112 e) 120 9. Hallar “x”.

12 , 6 , 3 , 13 , 46 , x

a) 82 b) 96 c) 110 d) 112 e) 120 10. Hallar “x”.

12 , 6 , 3 , 13 , 46 , x

a) 82 b) 96 c) 110 d) 112 e) 120

11. Hallar “x”.

12 , 6 , 3 , 13 , 46 , x

a) 82 b) 96 c) 110 d) 112 e) 120 12. ¿Qué letra continúa?

M , O , R , U , ... a) V b) S c) T d) K e) X 13. Hallar “A”

1 , 10 , 24 , 44 , A , 106

a) 68 b) 70 c) 71 d) 72 e) 73 14. ¿Qué letra continúa?

A , D , H , M , R , .... a) V b) X c) Y d) T e) U 15. Hallar el término enésimo de:

8 , 13 , 18 , 23 , 28 , .... a) 5n+6 b) 5n+3 c) 8n+1 d) 8n+2 e) 2n+5 16. Hallar el término enésimo de:

4 , 10 , 18 , 28 , ..... a) n2+1 b) n2+3 c) n2+3n–1 d) n(n+3) e) n2 – 2n+3 17. Hallar x + y en:

y

x ,

11

11 ,

14

8 ,

16

6 ,

17

5

a) 21 b) 22 c) 24 d) 25 e) 20

NIVEL II 18. Hallar a + b + c, si:

8 , 10 , 12 , 14 , 16 , a

3 , 6 , 12 , 24 , 48 , b

2 , 6 , 18 , 54 , c a) 284 b) 292 c) 286 d) 276 e) 218 19. Hallar “a” en:

2 , 1 , 1 , 2 , 8 , a 20. Hallar x + y

10 , 1 , 20 , 4 , 30 , 7 , x , y a) 40 b) 48 c) 50 d) 60 e) 72 21. Hallar x + y

2 , 5 , 8 , 20 , 32 , 80 , x , y

a) 328 b) 352 c) 356 d) 446 e) 448 22. Hallar el término enésimo de:

6 , 11 , 18 , 27 , 38 , ....

indicando luego el 20t

a) 232 b) 382 c) 443 d) 448 e) 520 23. ¿Qué término continúa?

J , C , T , M , F , W , O , I , ... a) V b) Y c) W d) U e) Z 24. Hallar a + b

41 , 73 , 129 , 1927 , ab a) 107 b) 106 c) 105 d) 109 e) 110 25. Hallar el término que continúa en:

1 , 6 , 13 , 28 , 63 , 136 , .... a) 250 b) 268 c) 271 d) 283 e) 291

26. Hallar “x”:

a10 , b18 , c29 , d45 , e68 , fx

a) 80 b) 90 c) 100 d) 120 e) 124 27. ¿Qué letra falta?

A , D , H , M , ? , Y a) Z b) P c) R d) X e) W 28. ¿qué término continúa?

.... , 23

24 ,

15

6 ,

9

2 ,

5

1

a) 3 3

1 2 0 b)

3 7

4 8 c)

3 9

4 8

d) 4 1

7 2 e)

4 1

8 4

29. ¿Qué letra continúa?

D , C , S , O , ? , D , C , D a) C b) D c) X d) B e) F 30. Hallar a + b en la sucesión:

12 , 48 , 9 , 36 , 6 , 24 , a , b a) 11 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18

NIVEL III 31. Dadas las sucesiones:

, 5

16 ,

4

9 ,

3

4 ,

2

1

, 5

4 ,

4

3 ,

3

2 ,

2

1

La diferencia de los términos enésimos es:

a) 1n

)1n(n b)

1n

1n c)

n

2

d) 2

)1n(n e)

1n

)1n(n

32. ¿Qué término continúa en?

AB , BD , DG , GK , ....

a) KO b) PO c) PT d) KT e) KV 33. Dadas las sucesiones:

7 , 12 , 17 , 22 , .... , 297

4 , 11 , 18 , 25 , .... , ¿Cuántos términos son comunes a ambas?.

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 34. Hallar “x” en la sucesión:

x531 )x118n(,,)11n(,)7n(,)3n(

a) 37 b) 38 c) 39 d) 41 e) 43 35. Hallar “x”

x , 34 , 12 , 2 , 2

a) 2 1 3 b) 2 1 8 c) 4 1 8

d) 4 1 5 e) 6 1 7

36. Hallar “x”:

x , 8 , 2 , 2 , 1 , 2

2

a) 4 b) 2 6 c) 6 2

d) 2 2 e) 4 6

37. ¿Qué términos continúan? F , H , K , L , O , O , ? , ?

a) T, S b) P, S c) T, R d) R, P e) P, Y

38. ¿Cuántas cifras se han utilizado en la

sucesión:

? , 15 , 9 , 5 , 3

términos 50

a) 156 b) 155 c) 158 d) 149 e) 151 39. Dadas las sucesiones:

1 , 5 , 15 , 31 , ....

4 , 15 , 32 , 55 , .... Hallar la diferencia de sus términos enésimos.

a) 4 – 7n b) 6 – 3n c) n2 – 2n d) 2n – n2 e) 6 – 5n 40. El término siguiente en la sucesión:

3 , 4 , 5 , 54 , ....

a) 6 b) 48 c) 198 d) 190 e) 199 41. Hallar el término siguiente en la

sucesión:

0 , 1 , 2 , 3 , 124 , ....

a) 605 b) 604 c) 506 d) 1205 e) 328 42. La siguiente sucesión está bien escrita

desde el 2 sucesivamente hasta el número 13, después de este hay un término mal escrito ¿cuál es?.

2 , 6 , 10 , 15 , 13 , 78 , 77 , 82 , 86 , 90 a) 13 b) 77 c) 78 d) 82 e) 86 43. Los términos de la sucesión definidos

por 3n6n8t 2n ocupan los

lugares impares de una nueva sucesión, y los términos de la

sucesión definida por )1n(2n8t 2n

ocupan los lugares pares de la misma nueva sucesión. ¿Cuál es el término enésimo de la nueva sucesión formada.

a) 2n2 – n+2 b) 2n2+n+2 c) n2– n+3 d) n2 – n+1 e) 2n2+2n+1