SUBESPACIOS GENERADOS Y COMBINACIONES LINEALES En la seccin anterior vimos que dadosnsubespacios , podemos construir dos subespacios a partir de estos: y

No es muy difcil verificar que estos subespacios tienen las siguientes caractersticas que los distinguen: i)es el subespacio ms grande contenido en cada. ii) es el subespacio ms pequeo que contiene a cada.

Podemosplantearengeneral,sidadounsubconjuntode V existirun subespaciomspequeoquecontengaa S.Larespuestaesafirmativaydicho subespacio se conoce como elsubespacio generado porS. Veremos que hay dos formas distintas de definir el subespacio generado. Considrese la familia de todos los subespacios deque contienen a . Esta familia es no vaca, ya que.

Definicin. Seaunsubconjunto.Definimoselsubespaciogenerado por , y denotado por , como sigue: Esdecir, elsubespaciogeneradopor ,sedefinecomolainterseccindetodoslos subespacios deque contienen a.

Esobvioque esunsubespaciode(porserinterseccindesubespacios) y(por construccin). Ahora bien, sies otro subespacio de talqueentoncesyporlotanto,.Todo lo anterior prueba el siguiente:

TEOREMA.El subespacioes el menor subespacio deque contiene a .

Por ejemplo, sientonces ,ya que claramente, ste es el menor subespacio deque contiene al . Exceptuandoestecasoespecial,veremoslasegundaformadecalcularelsubespacio generado por un conjunto. Usaremos el siguiente concepto:

Definicin.Sea ysea ,decimos que xes unacombinacinlinealdeelementosde S siy talesque:

Ejemplo 1. es combinacin lineal de cualquier subconjunto ,ya que.

Ejemplo 2. Dados probaremosque es una combinacin lineal de. Debern existir talesque, es decir,

De aqu tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Fcilmenteobtenemoslasolucin , y,lo que demuestra que es combinacin linealde .

TEOREMA.Sea un subconjunto del espacio vectorialydefnase, combinaciones lineales de elementos de S Entonces.

Demostracin .- Probemos primero quees un subespacio de : i) Como entonces ii) Sean

donde

iii) Sea,ysea,entonces:

es un subespaciode V Ahora bien, es claro que , ya que sientonces . Finalmente, seaotro subespacio deVtalque . Ysea , ,,comoy essubespacio deVentonces HemosprobadoentoncesqueeselmnimosubespaciodeVquecontieneaS,es decir, .

Definicin. Sea . Decimos que generaasi.

A la luz del teorema anterior vemos que un subconjuntoSgeneraaVsi y solo si cada elemento deVse puede escribir como una combinacin lineal de elementos de S.

Ejemplo 1. generaalespaciovectorial ,comoyacomentamosanteriormente. Tambin es obvio que todo espacio vectorial se genera a s mismo.

Ejemplo2. Esfcilverificarquesi entonces genera el espacio vectorial .

Ejemplo 3. Es fcil verificar quegenera elespacio vectorial .

Ejemplo 4. Es fcil verificarque si definimos las siguientes matrices:

entoncesgeneraelespaciovectorial .

Esteltimoejemplopuedegeneralizarse a ,sidefinimoslas matrices comoaquellamatrizdequetiene 1 enlaij-sima entrada, y 0entodaslasdemsentradas.Entoncesseverificafcilmente quegeneraa .

SUBESPACIOS GENERADOS. SeanVun e.v.yCun subconjunto no vaco de vectores deV. El conjunto de todas las c.l.s de vectores en , Cdenotado porCy definido por{ o1v1 + ... + okvk / o1, , ok e IRy v1, ... , vk e C }, se denomina el subespacio generado por el conjunto . CSe conviene |= { 0V } Ejemplos: i)El generado por el vector nulo0Vde cualquiere.v.V es el subespacio nulo V0= {0V }. En general el subespacio generado por cualquier vectorvde une.v.V, nulo o no, es el conjunto v= { rv / r e IR }. En particular, el generadopor el vectorv = ||.|

\|21es la recta que pasa por el origen y por el punto||.|

\|21: ||.|

\|21 = )`e||.|

\|||.|

\|IR r ,2rr 21 (ver figura)

ii) El generado por dos vectores no nulos y no paralelos enIR2es todoIR2. En efecto, dos vectores no nulosu = ||.|

\|21uuyv = ||.|

\|21vvdeIR2son no paralelos, si y slo si el determinante de la matriz que los tiene como columnas es no nulo:2 21 1v uv u = 0(ver Problemas resueltos, Problemario 6, pregunta 6),de donde, segn el Teorema creciente, para todo vector columna||.|

\|bae IR2 el sistema||.|

\|||.|

\|yxv uv u2 21 1 = ||.|

\|ba tiene solucin (que adems es nica). Ahora bien, segn el problema 6 del problemario 1 en el enlace Problemas propuestos:||.|

\|||.|

\|yxv uv u2 21 1 = x||.|

\|21uu + y||.|

\|21vv, de donde todo vector||.|

\|bae IR2

se expresa como||.|

\|ba = x||.|

\|21uu + y||.|

\|21vv, es decir; es c.l. de los vectores||.|

\|21uu y||.|

\|21vvyIR2 =,uu21||.|

\|||.|

\|21vv. iii)EnIR3se tiene el resultado anlogo: Dos vectores no nulos y no paralelos enIR3generan un plano que pasa por el origen.Seanu = |||.|

\|321uuuyv = |||.|

\|321vvvdos vectores no nulos y no paralelos deIR3. Si n = u v = |||.|

\|cba, consideremos el planoHde ecuacin: ax + by + cz = 0. Tantoucomovsatisfacenu (u v)yv (u v), de donde u (u v) = 0yv (u v) = 0u n = 0yv n = 0. Ahora bien, como todo vector en el generado poruyv:, u v , se escribe como ou + |v, para ciertos escalaresoy|, entonces (ou + |v) n = o(u n) + |(v n) = 0, entonces todo vector en , u vsatisface la ecuacinax + by + cz = 0y, por lo tanto, pertenece al plano de ecuacinax + by + cz = 0. Se tiene as, u v _ H. Por otro lado, siX = |||.|

\|zyx es un punto del planoH, entoncesax + by + cz = 0, es decirX (u v) = 0, de donde los vectores cuyas coordenadas son las deX, uyvson coplanares (ver Problema 4 del Problemario 8 en el enlace Problemas propuestos), lo cual implica queXpertenece al generado poruyv. Se tiene la inclusin que faltaba:H _, u v , de donde la igualdad:H =, u v . iv)EnIR3vale tambin el recproco: Todo plano que pasa por el origen estgenerado por dos vectores no nulos y no paralelos SeaHun plano que pasa por el origen, su ecuacin esax + by + cz = k, para ciertosa, b, cykenIR, pues sa es la ecuacin general del plano. Ahora bien, comoHpasa por el origen, las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuacin deH, de dondek = 0y la ecuacin deHqueda ax + by + cz = 0. Los escalaresa, bycno son todos nulos (Qu ecuacin sera sa?), suponer quea = 0, implica, segn la proposicin probada en la parte iii), que los vectores no nulos y no paralelosu = |||.|

\| 0ab yv = |||.|

\| a0c generan el planoH, cuya ecuacin es: ax + by + cz = 0yu v = |||.|

\|' c' b' a, perou v = a 0 c0 a bk j i = ||||.|

\|acaba2, de dondea = a2, b = ab, c = acyla ecuacin deHes: a2x + aby + acz = 0, comoa = 0, se puede cancelaraen la ecuacin del planoH, la cual, entonces, queda ax + by + cz = 0, es decir; la ecuacin del planoH, de dondeHest generado por dos vectores no nulos y no paralelos.Pruebas similares se obtienen suponiendob = 0c =0. v) n e INIRn =, e1... ne , yIPn =, 1x, x2, nx , Teorema El generado por un subconjunto no vacoCde vectores de un e.v. es subespacio deV Demostracin: i)Siuyvpertenecen al generado porCyres un escalar, probaremos que u + rv e C . Poruyvpertenecer aC , existen vectores u1, ... , uk, v1, ... , vm eCyescalareso1, ... , ok, |1, ... , |mtales que u = o1 u1+ ... + ok ukyv = |1,v1 + ...+ |mvm, de donde u + rv = o1 u1+ ... + ok uk + r|1,v1 + ...+ r|mvmtambin es c.l. de vectores en C y por tanto pertenece a C . ii)0V e C , pues tomando un vectoru eC 0V = 0ue C . Otro ejemplo. vi)Espacio fila y espacio columna de una matriz. SeaA = |||.|

\|mn 1 mn 1 11a aa a una matrizmxn. El espacio fila deAes el s.e. deM1xngenerado por la filas deAy se denota porEF(A)oFA.Ms explcitamenteFA =) a a ( , ), a a (1n 11 1n 11 . El espacio columna deAes el s.e. deMmx1generado por la columnas deAy se denota porEC(A)oCA.Ms explcitamenteCA = |||.|

\||||.|

\|mn1nm111aa , ,aa . Dado queCA =)`e o o|||.|

\|o + +|||.|

\|o IR , ,aa aan 1mn1nnm1111 y|||.|

\|mn 1 mn 1 11a aa a |||.|

\|oon1 = ,aa aamn1nnm1111|||.|

\|o + +|||.|

\|o se sigue queCA = IM(A)