Permutaciones y Combinaciones

6
PERMUTACIONES na permutación de un conjunto finito de elementos se entiende como cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto e interesa el lugar que ocupa cada uno. En las permutaciones el orden es importante (es decir que cada arreglo aún si tiene los mismos elementos pero en diferente orden se contabiliza), Existen dos tipos de permutaciones: U 1. En las que se permite repetir elementos del conjunto: por ejemplo la clave del candado de tres espacios de arriba, podría ser 2-2-2. 2. La fórmula para el número de permutaciones con repetición es: 2. Sin repetición: por ejemplo los tres mejores alumnos de tu clase. Uno no puede ser el primero y el segundo al mismo tiempo. En notación de permutaciones y factoriales se escribe de la siguiente forma: COMBINACIONES na combinación es un arreglo de los elementos de un conjunto finito en el que el orden no importa. La principal diferencia entre una combinación y una permutación, es que el orden es importante en las permutaciones y en las combinaciones no lo es. Así por ejemplo, podría decir que mi ensalada es una combinación de lechuga, tomate, pimientos y cebolla (a la vez podría decir que es una combinación de cebolla, tomate, pimientos y lechuga), pero no podría decir que la combinación de mi candado es 2-6-1, si éste se abre con 1- 2-6; es decir que estoy utilizando los mismos elementos pero en distinto orden, y esto no es así cuando se trata de una permutación. U Combinaciones sin repetición

description

que son las combinaciones y permutaciones, ejercicios de ejemplo de cada uno de los temas.

Transcript of Permutaciones y Combinaciones

PERMUTACIONES

Una permutacin de un conjunto finito de elementos se entiende como cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto e interesa el lugar que ocupa cada uno. En las permutaciones el orden es importante (es decir que cada arreglo an si tiene los mismos elementos pero en diferente orden se contabiliza), Existen dos tipos de permutaciones:1. En las que se permite repetir elementos del conjunto: por ejemplo la clave del candado de tres espacios de arriba, podra ser 2-2-2. 2. La frmula para el nmero de permutaciones con repeticin es:

2. Sin repeticin: por ejemplo los tres mejores alumnos de tu clase. Uno no puede ser el primero y el segundo al mismo tiempo.En notacin de permutaciones y factoriales se escribe de la siguiente forma:

COMBINACIONES

Una combinacin es un arreglo de los elementos de un conjunto finito en el que el orden no importa. La principal diferencia entre una combinacin y una permutacin, es que el orden es importante en las permutaciones y en las combinaciones no lo es. As por ejemplo, podra decir que mi ensalada es una combinacin de lechuga, tomate, pimientos y cebolla (a la vez podra decir que es una combinacin de cebolla, tomate, pimientos y lechuga), pero no podra decir que la combinacin de mi candado es 2-6-1, si ste se abre con 1-2-6; es decir que estoy utilizando los mismos elementos pero en distinto orden, y esto no es as cuando se trata de una permutacin.Combinaciones sin repeticin

Combinaciones con repeticin

APLICACIONES DE COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

I. Las diagonales de un polgono se obtienen uniendo pares de vrtices no adyacentes.

1. Obtener el nmero de diagonales del cuadrado y el hexgono.

Comenzamos calculando el nmero de diagonales del cuadrado. Unimos dos puntos no adyacentes (tenemos cuatro vrtices) pero solo habr una recta que pase por los dos, no importa el orden, hay

4!4!4 3 2

C 6 uniones posibles

4,2 4 2 ! 2! 2! 2!2 2

De las6 uniones posibles de dos vrtices diferentes cualesquiera, adyacentes o no. Si de

estas 6 parejas eliminamos las que corresponden a vrtices adyacentes (tantas como el nmero de lados del cuadrado), quedaran Diagonales 6 4 2 diagonales.

Procedemos del mismo modo con el hexgono, se obtienen

C 6!6!6 5 15

6,2 6 2 ! 2! 4! 2!2

De las15 uniones posibles de dos vrtices diferentes cualesquiera, adyacentes o no. Si de

estas 15 parejas eliminamos las que corresponden a vrtices adyacentes (tantas como el nmero de lados del cuadrado), quedaran Diagonales 15 6 9 diagonales.

II. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. De cuantas maneras puede elegirlas? Y si las 4 primeras son obligatorias?

El orden en que elija las preguntas, que adems no podran repetirse, es irrelevante. As,puede elegir las preguntas de C 10!10 9 8 120 maneras.

10,7 10 7 ! 7 !3 2 1

Por otra parte, si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger 3 preguntas entre las 6 restantes para completar las 7 necesarias, resultando un total deC 6!6 5 4 20 maneras.

6,3 6 3 ! 3! 3 2 1

III. . De cuntas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?

Ntese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar ms de un sitio a la vez. Por lo tanto, hay

P 10!10! 10 9 8 7 5040 maneras.

10,4 10 4 !6!

IV. . En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuntos modos puede hacerse si:

1. los premios son diferentes.

2. los premios son iguales.

Hay dos supuestos posibles: Si una misma persona no puede recibir ms de un premio:

Suponemos que NO puede recibir ms de un premio, luego los alumnos NO se pueden repetir:

Caso1: Los premios son diferentes (no es lo mismo ganar el primer premio que el segundo) importa el orden, hay

P 10!10! 10 9 8 720 maneras de distribuir los premios si estos son diferentes;

10,3 10 3 !7 !

Caso2: Los premios son iguales, no importa el orden, son indistinguibles, pueden distribuirse de

C 10!10!10 9 8 120 maneras de distribuir los premios si estos son iguales.

10,3 10 3 ! 3! 7 ! 3!3 2 1

V. Cuatro libros de matemticas, seis de fsica y dos de qumica han de ser colocados en una estantera Cuntas colocaciones distintas admiten si:

1. los libros de cada materia han de estar juntos;

2. Slo los de matemticas tienen que estar juntos?

Supongamos que los libros de cada materia tambin son diferentes (de distintos autores).

1. Consideramos cada conjunto de libros de una misma materia como una unidad. Entonces, hay P3 3! 6 ordenaciones posibles de las materias.

Adems hay que considerartambinlas P 4! 24 permutacionesde loslibros de

4

matemticas, as como las P6 6! 720de los libros de fsica y las P2 2! 2de los de

qumica. Se concluye as por el principio de la multiplicacin que hay: Total 6 24 720 2 207.360 colocaciones distintas.

CONCLUSIN Podemos decir que la permutacin y la combinacin son muy importantes en nuestra vida y por lo regular siempre las utilizamos o debemos de utilizarlas ya que son muy esenciales para poder resolver problemas y encontrarles su acomodo. Tambin hay que saber distinguir en que caso se debe de utilizar ya que puede confundirse una combinacin con una permutacin ya que en una importa el orden y en otra no, as como es importante ver si ser con repeticin o sin repeticin. Es bastante sencillo una vez que se dominen y se sepa cmo resolver por medio de unas sencillas formulas. La permutacin y la combinacin estn presente en la vida cotidiana, en la casa, en la escuela, en el trabajo, etc.

BIBLIOGRAFIAhttp://editorialsl.net/cap10A%282%29.pdfhttp://www.edu.xunta.es/centros/iesmos/system/files/Ejercicios_Resueltos_Combinatoria.pdf