Dept. de Vibraciones y Aeroelasticidad 02-Junio-2014UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

Número de expedienteApellidosNombre

PROBLEMA 1 (60 minutos)CONTESTAR EN LA CARA OPUESTA. NO SE TENDRÁN EN CONSIDERACIÓN HOJAS ADICIONALES.

Enunciado: El per�l de la �gura representa un ensayo en un túnel de viento de una super�cie de control. El eje de giro se sitúaen el borde de ataque y la acción del actuador se modeliza con un muelle a rotación Kα y un amortiguamiento gα (ver �gura) quepuede ser positivo o negativo dependiendo del modo de funcionamiento del actuador. La super�cie tiene un momento de inerciaIα respecto al borde de ataque y la frecuencia característica del sistema es ωα =

√Kα/Iα.

El momento de las fuerzas aerodinámicas respecto a un eje de giro situado a una distancia ab del centro del per�l viene dado porQα = Qαe

iωt, cuya expresión en función de la coordenada generalizada α = αeiωt es:

Qα = q∞b2{2π

(1

8+ a2

)k2 − 2π

(1

2− a

)ik + 4π

(1

2+ a

)C (k)

[1 +

(1

2− a

)ik

]}α

donde α es el complejo asociado a la rotación α = αeiωt y k = ωb/U∞ es la frecuencia reducida.Se pide:

1. (1 punto) Plantear la ecuación que gobierna el ángulo de rotación α, introduciendo el amortiguamiento estructural y dejandolas fuerzas aerodinámicas como Qα sin sustituir. La ecuación deberá depender de los principales datos del problema: Iα, Kα,gα.

2. (1 punto) Asumir movimiento armónico α = αeiωt y adimensionalizar la ecuación anterior por mb2. Tómese como momentode inercia adimensional a r2α = Iα/mb2 y utilicese la frecuencia característica del sistema ωα para expresar los términos derigidez y amortiguamiento estructural. Dejar las fuerzas aerodinámicas como Qα/mb2 sin sustituir la expresión dada en elenunciado.

3. (2 puntos) Sustituir la expresión de Qα que se da en el enunciado y demostrar que, una vez dividida la ecuación por el cuadradode la frecuencia del movimiento ω2, las fuerzas aerodinámicas quedan proporcionales a 1/2πµk2, donde µ = m/πρ∞b2.Expresar la ecuación resultante en la forma [. . .] α = 0, es decir, la forma clásica de la ecuación de �utter.

4. Asumir C (k) ≈ 1 y resolver la ecuación de �utter por el método tradicional (parte real e imaginaria igual a cero) siguiendolos siguientes pasos:

a) (2 puntos) Escribir las dos ecuaciones que se deben cumplir.

b) (1 punto) Demostrar que a frecuencias muy bajas (k ≪ 1, es decir, k2 despreciable) el actuador nunca puede desesta-bilizar el sistema.

c) (1 punto) Calcular la frecuencia reducida mínima a partir de la cual es posible �utter. Dejarla en función de µ y rα.

d) (1 punto) Calcular la frecuencia reducida del mecanismo de �utter en función del amortiguamiento gα.

e) (1 punto) Describir el proceso (descripción breve, no es necesario desarrollar las ecuaciones) para, una vez calculada k,calcular la velocidad de �utter adimensional U∞/ωαb.

Solución:

Apartado 1:

Iαα+gαKα

ωα+Kαα = Qα → 1 punto

Apartado 2:

−ω2r2αα+ gαr2αω

2α

ωiωα+ r2αω

2αα =

Qα

mb2→ 1 punto

Apartado 3: [−r2α + r2α

(ωα

ω

)2

(1 + igα)

]α = Qα =

1

ω2

q∞m

{9

4πk2 − 3πik − 2πC (k)

[1 +

3

2ik

]}α

1

ω2

q∞m

=

1

2ρ∞U2

∞

mω2=

1

2π

U2∞

ω2b21m

πρ∞b2

=1

2πµk2→ 1 punto

{1 +

1

2πµk2r2α

[9

4πk2 − 2πC (k)− 3π (1 + C (k)) ik

]−

(ωα

ω

)2

(1 + igα)

}α = 0 → 1 punto

Apartado 4(a): {1 +

1

2πµk2r2α

[9

4πk2 − 2π − 6πik

]−(ωα

ω

)2

(1 + igα)

}α = 0

{1 +

1

2πµk2r2α

[9

4πk2 − 2π − 6πik

]−(ωα

ω

)2

(1 + igα)

}α = 0

1 +1

µk2r2α

(9

8k2 − 1

)=

(ωα

ω

)2

→ 1 punto

−6πk

2πµk2r2α= gα

(ωα

ω

)2

→ 1 punto

Apartado 4(b):Si la frecuencia reducida k ≪ 1, entonces la primera ecuación quedaría:(ωα

ω

)2

= 1 +1

µk2r2α

(9

8k2 − 1

)= 1 +

9

8µr2α− 1

µk2r2α→ − 1

µk2r2α→ 1 punto

Apartado 4(c):

1 +9

8µr2α− 1

µk2r2α≥ 0 ⇒ 1

µk2r2α≤ 1 +

9

8µr2α⇒ µk2r2α ≥ 1

1 +9

8µr2α

⇒ k ≥√√√√ 1

9

8+ µr2α

→ 1 punto

Apartado 4(d):

gα =

−3k

µk2r2α

1 +1

µk2r2α

(9

8k2 − 1

) =−3k(

µr2α +9

8

)k2 − 1

⇒ gα

(µr2α +

9

8

)k2 + 3k − gα = 0

k =

−3±

√9 + 4g2α

(µr2α +

9

8

)2gα

(µr2α +

9

8

) → 1 punto

Apartado 4(e):

k =ωb

U∞=

ω

ωα

ωαb

U∞⇒ U∞

ωαb=

1

k· 1ωα

ω

→ 1 punto

donde ωα/ω se calcula con la ecuación del apartado 4(a).

Dept. de Vibraciones y Aeroelasticidad 02-Junio-2014UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

Número de expedienteApellidosNombre

PROBLEMA 2 (60 minutos)CONTESTAR EN LA CARA OPUESTA. NO SE TENDRÁN EN CONSIDERACIÓN HOJAS ADICIONALES.

Enunciado: La �gura inferior representa la sección característica 3/4 de un ala con �echa nula Λ = 0. Se consideran tres gradosde libertad: torsión alrededor del eje elástico (EA) αe, de�exión de la super�cie de control δc y de�exión del spoiler δsp. El aviónvuela a una presión dinámica q∞ y, en el estado inicial del vuelo, la línea de sustentación nula coincide con la horizontal (α0 = 0).Los coe�cientes aerodinámicos del per�l son: CLα, CMAC = 0 (se asume per�l simétrico), CLδ, CMACδ y CLsp. Se asume que elspoiler introduce únicamente una fuerza local (ver �gura) que viene dada por Lsp = q∞SCLspδsp. Los coe�cientes de fuerzas seadimensionalizan con una super�cie de referencia S y los de momentos con S ·c, siendo c la cuerda del per�l. El centro aerodinámicoestá situado a una distancia e del eje elástico.Se pide:

1. (1 punto) Calcular el término CLααspe inducido por una de�exión del spoiler δsp (asumir δc = 0). Debe quedar en función

de q∞, dsp, y el término CLspδsp, donde q∞ = q∞/qD (qD = Kα/SeCLα) y dsp = dsp/e.

2. (1 punto) Calcular la sustentación adimensional ∆L/q∞S inducida por la de�exión δsp (asumir δc = 0) en función de losparámetros adimensionales del apartado anterior.

3. (1 punto) Calcular el término CLααδe inducido por la de�exión de la super�cie de control δc (asumir δsp = 0). Debe quedar

en función de q∞, c = c/e, la relación de coe�cientes aerodinámicos CMACδ/CLδ y el término CLδδc.

4. (1 punto) Calcular la sustentación adimensional ∆L/q∞S inducida por la de�exión δc (asumir δsp = 0) en función de losparámetros adimensionales del apartado anterior.

5. (1 punto) Relacionar los resultados de los apartados 3 y 4 para calcular el término ∆L/q∞SCLααδe.

6. Se introduce una ley de control δsp = K · δc, que relaciona la de�exión del spoiler con la de la super�cie de control. Se pidepara este caso:

a) (1 punto) Calcular el término CLααcspe inducido por una de�exión de la super�cie de control δcsp. Debe quedar en

función de los parámetros adimensionales q∞, dsp = dsp/e, c = c/e, K, CMACδ/CLδ , CLsp/CLδ y del término CLδδc.

b) (1 punto) Calcular la sustentación adimensional ∆L/q∞S inducida por la de�exión δc (se sigue considerando queδsp = K · δc) en función de los parámetros adimensionales del apartado anterior.

c) (1 punto) Relacionar los resultados de los apartados 6(a) y 6(b) para calcular el término ∆L/q∞SCLααcspe .

7. (1 punto) Comparar la torsión elástica del punto 6(c) con la del punto 5 con la hipótesis de la de�exión aislada de la super�ciede control δc (apartado 5) y la de�exión combinada del apartado 6(c) generan la misma sustentación ∆L.

8. (1 punto) En el caso dsp = 0, discutir brevemente de forma cualitativa el efecto del spoiler en la torsión del per�l.

SOLUCIÓN:

Apartado 1:

Kααspe = q∞SeCLαα

spe + q∞SdspCLspδsp ⇒ αsp

e =q∞

Kα

SeCLα− q∞

· dspe

· CLsp

CLα· δsp

CLααspe =

q∞1− q∞

dspCLspδsp → 1 punto

Apartado 2:

∆L

q∞S= CLαα

spe − CLspδsp =

(q∞

1− q∞dsp − 1

)CLspδsp → 1 punto

Apartado 3:

Kααδe = q∞SeCLαα

δe + q∞SeCLδδc + q∞ScCMACδδc

αδe =

q∞SeCLα

(CLδ

CLα+

c

e

CMACδ

CLα

)Kα − q∞SeCLα

δc =q∞

Kα

SeCLα− q∞

(CLδ

CLα+

c

e

CMACδ

CLα

)δc =

q∞1− q∞

(CLδ

CLα+

c

e

CMACδ

CLα

)δc

CLααδe =

q∞1− q∞

(1 + c

CMACδ

CLδ

)CLδδc → 1 punto

Apartado 4:

∆L

q∞S= CLαα

δe + CLδδc =

q∞1− q∞

(CLδ + c · CMACδ) δc + CLδδc =1

1− q∞

(1 + q∞c

CMACδ

CLδ

)CLδδc → 1 punto

Apartado 5:

∆L

q∞SCLααδe

=

1

1− q∞

(1 + q∞c

CMACδ

CLδ

)CLδδc

q∞1− q∞

(CLδ + c · CMACδ) δc

=1

q∞

1 + q∞cCMACδ

CLδ

1 + c · CMACδ

CLδ

→ 1 punto

Apartado 6(a):

Kααcspe = q∞SeCLαα

cspe + q∞SdspCLspKδc + q∞SeCLδδc + q∞ScCMACδδc

(Kα − q∞SeCLα)αcspe = q∞SeCLα

(K

dspe

CLsp

CLα+

CLδ

CLα+

c

e

CMACδ

CLα

)δc

CLααcspe =

q∞1− q∞

(1 + c · CMACδ

CLδ+K · dsp ·

CLsp

CLδ

)CLδδc → 1 punto

Apartado 6(b):

∆L

q∞S= CLαα

cspe − CLspδsp + CLδδc = CLαα

cspe − CLspKδc + CLδδc =

=

[q∞

1− q∞

(1 + c · CMACδ

CLδ+K · dsp ·

CLsp

CLδ

)− CLsp

CLδK + 1

]CLδδc =

=1

1− q∞

{1 + q∞c

CMACδ

CLδ+[q∞

(dsp + 1

)− 1

]K

CLsp

CLδ

}CLδδc → 1 punto

Apartado 6(c):

∆L

q∞SCLααcspe

=1

q∞

1 + q∞cCMACδ

CLδ+[q∞

(dsp + 1

)− 1

]K

CLsp

CLδ

1 + c · CMACδ

CLδ+K · dsp ·

CLsp

CLδ

→ 1 punto

Apartado 7:

∆L

q∞SCLααδe

∆L

q∞SCLααcspe

=αcspe

αδe

=

1 + q∞cCMACδ

CLδ

1 + c · CMACδ

CLδ

1 + q∞cCMACδ

CLδ+[q∞

(dsp + 1

)− 1

]K

CLsp

CLδ

1 + c · CMACδ

CLδ+K · dsp ·

CLsp

CLδ

=1 + q∞c

CMACδ

CLδ

1 + c · CMACδ

CLδ

·1 + c · CMACδ

CLδ+K · dsp ·

CLsp

CLδ

1 + q∞cCMACδ

CLδ+[q∞

(dsp + 1

)− 1

]K

CLsp

CLδ

=

1 +K · dsp ·

CLsp

CLδ

1 + c · CMACδ

CLδ

1 +

[q∞

(dsp + 1

)− 1

]K

CLsp

CLδ

1 + q∞cCMACδ

CLδ

→ 1 punto

Apartado 8:

αcspe

αδe

=1

1−K · (1− q∞) · (CLsp/CLδ)

1 + q∞ · (c · CMACδ/CLδ)

→ 1 punto

La torsión elástica incluyendo la de�exión del spoiler es mayor o menor que la torsión sin de�exión del spoiler depediendo deltérmino 1 + q∞ · (c · CMACδ/CLδ).