STA+SOL 22Jan2015

Dept. de Vibraciones y Aeroelasticidad 22-Ene-2015

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID

EXAMEN FINAL DE AEROELASTICIDAD (GRUPO CTA)

INFORMACIN IMPORTANTE

El examen consta de las siguientes partes:

Teora: dos preguntas tericas con un tiempo estimado de dedicacin de 30 minutos en total.

Problema 1: problema de Aeroelasticidad Esttica con un tiempo estimado de dedicacin de 45 minutos.

Problema 2: problema de Aeroelasticidad Dinmica con un tiempo estimado de dedicacin de 75 minutos.

El alumno recibir los enunciados grapados (este bloque de hojas) y dos hojas adicionales (tambin grapadas) para contestar en

ellas a los dos problemas.

La teora se deber contestar en el bloque de hojas grapado correspondiente a los enunciados. Las hojas adicionales grapadas se

darn transcurridos unos 15/20 minutos, de forma que debe empezar a contestar la teora en el bloque de hojas que actualmente

tiene encima de la mesa.

El tiempo total del examen es de 2 horas y media. El alumno es libre de dedicar el tiempo que considere oportuno a cada parte;

sin embargo, se recomienda seguir el orden y los tiempos descritos arriba.



Nmero

Apellidos

Nombre

TEORA 2 CUESTIONES (30 minutos). Contestar en esta hoja.

(1) (3 puntos) Enunciado: Los dos modelos principales para modelizar el amortiguamiento son el modelo de amortiguamiento

viscoso y el de amortiguamiento estructural. Responder de forma concisa a las siguientes cuestiones:

1. (1 punto) Denicin del coeciente de amortiguamiento estructural g y valor tpico del mismo en simulaciones de DinmicaEstructural.

2. (2 puntos) En el caso de movimiento armnico, dibujar de forma esquemtica la dependencia de cada uno de ellos respecto

a la frecuencia del movimiento. Denotar el coeciente de amortiguamiento viscoso con c.

SOLUCIN:

Apartado 1: El amortiguamiento estructural es proporcional al desplazamiento pero con un desfase de =2 y su expresin, in-troduciendo el denominado coeciente de amortiguamiento estructural, es (gK=!) _x que, en movimiento armnico, quedaigK~x! 0;5 puntos. Su valor tpico en simulaciones es 0;03.Apartado 2: i !c u0

(2) (5 puntos) Enunciado: La ecuacin de Flutter en el dominio de la frecuencia puede resolverse mediante el denominado

mtodo Vg, que reduce el problema de Flutter al siguiente problema de autovalores/autovectores, identicando con el subndice

al modo en torsin que se utiliza como referencia para formular el problema:[Kij ]1[Mij ] + 12k2 [Qij ]!!

2(1 + ig) [I]

= 01. (1 punto) Esquema grco del diagrama de bloques que resuelve la ecuacn anterior.

2. (1 punto) Interpretacin fsica de un autovalor , determinando qu informacin aporta su parte real y su parte imaginaria.

3. (1 punto) Interpretacin fsica de los autovalores obtenidos a velocidad U1 = 0 y a una velocidad U1 6= 0.4. (0.5 punto) Determinar los trminos que pueden verse afectados despus de un ajuste a un ensayo GVT.

5. (0.5 puntos) Determinar los trminos que pueden verse afectados despus de un ajuste a un ensayo FVT.

6. (0.5 puntos) Se podra utilizar como referencia otro modo, en lugar de la torsin , para escribir la ecuacin?.

7. (0.5 puntos) Describir brevemente el problema asociado a los modos de slido rgido y la forma de resolverlo.

SOLUCIN:

Apartado 1: ! 1 puntoApartado 2: Cada autovalor corresponde a un autovector complejo, combinacin de los modos a velocidad nula. La parte real

del autovalor proporciona la frecuencia (!m = !=R (m)), mientras que la parte imaginaria proporciona el amortiguamiento delmodo (gm = I (m) =R (m)! 0;5 puntos).Apartado 3: A velocidad cero son los modos propios del sistema (! 0;5 punto); a una velocidad distinta de cero son modoscomplejos combinacin de modos propios (! 0;5 puntos).Apartado 4: (! 0;5 puntos) Kij , Mij , ! y g.

Apartado 5: (! 0;5 puntos) QijApartado 6: (! 0;5 puntos) S, siempre y cuando no fuera de slido rgido (!j = 0)Apartado 7: (! 0;5 puntos) Invertir la matriz de masas en lugar de la matriz de rigidez.



Nmero

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Nombre

PROBLEMA 1 (45 minutos)

CONTESTAR EN LA CARA OPUESTA. NO SE TENDRN EN CONSIDERACIN HOJAS ADICIONALES.

Enunciado: La gura inferior representa una seccin tpica correspondiente a la zona de la envergadura de un estabilizador

horizontal (de echa nula) en la que se sita el timn de altura, cuya deexin se denota con c. El estabilizador horizontal varasu ngulo de ataque 0 para optimizar el consumo de la aeronave, que vuela a una velocidad U1 (presin dinmica q1) en vueloestacionario a una altura constante.

Algunos datos adicionales a considerar son:

Datos geomtricos: La cuerda del perl es 2b, la distancia del centro aerodinmico al eje elstico es e y la distancia del ejeelstico al centro de gravedad es d.

Datos aerodinmicos: El coeciente de sustentacin del perl es CL, el coeciente de momentos respecto al centro aerodi-nmico es CMAC , el coeciente de sustentacin asociado a la deexin c es CL y el coeciente de momentos asociado ala deexin c es CMAC. Los coecientes aerodinmicos se adimensionalizan con la cuerda 2b y la supercie de referenciaS.

Datos estructurales/msicos: La rigidez a torsin se modeliza con un muelle a torsin de valor K y el peso de la seccintpica es W (unidades de fuerza N en el Sistema Internacional)

Asumiendo deexin nula de la supercie de control c = 0, se pide:

1. (0.5 puntos) Escribir la ecuacin de aeroelasticidad esttica que permita conocer la torsin del perl incluyendo los efectosinerciales del peso W y aerodinmicos (presin dinmica q1).

2. (0.5 puntos) Calcular la presin dinmica de divergencia qD.

3. (1 punto) Adimensionalizar la ecuacin anterior dividiendo por SeCL y por la presin dinmica de divergencia, dejndo el

ngulo de torsin en funcin de los parmetros q^1 = q1=qD, 0, =2b

e

CMACCLy 1g =

d WqDSeCL.

A continuacin, se deecta la supercie de control un ngulo c. Se pide:

1. (1 punto) Escribir la ecuacin de aeroelasticidad esttica que permita conocer la torsin del perl e.

2. (1 punto) Adimensionalizar la expresin anterior con qDSeCL despejando la torsin e en funcin de q^ = q1=qD, c =

CLCL

+2b

e

CMACCLy la deexin c.

(1 punto) Se activa en el avin una ley de control que deecta la supercie de control para compensar la torsin anterior y queel ngulo del estabilizador sea el ngulo requerido 0 para minimizar resistencia. Determinar la expresin c (0) en funcin de losparmetros , 1g, c, q^1.

SOLUCIN:

Parte 1 / Apartado 1: K = q1SeCL (0 + ) + q1S (2b)CMAC + dW

Parte 1 / Apartado 2: (K q1SeCL) = [: : :]) qD = KSeCLParte 1 / Apartado 3:

(K q1SeCL) = q1SeCL + q1ScCMAC + dW )

KSeCL

q1 = q1

0 + 2

b

e

CMACCL

+

dW

SeCL

(qD q1) = [: : :]) (1 q^1) = q^10 + 2

b

e

CMACCL

+

dW

qDSeCL= q^1 + 1g

=(0 + ) q^1 + 1g

1 q^1Parte 2 / Apartado 1: K

e = q1SeCL

e + q1SeCLc + q1S (2b)CMACcParte 2 / Apartado 2:

(K q1SeCL)e = q1SeCL + 2

b

eCMAC

c )

K

SeCL q1

e = q1

CLCL

+ 2b

e

CMACCL

c

e =cq^11 q^1 c

Parte 2 / Apartado 3:

+ e = 0) (0 + ) q^1 + 1g + cq^1c = 0

c = 0 + +

1g

q^1c



Nmero

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Nombre

PROBLEMA 2 (75 minutos)

CONTESTAR EN LA CARA OPUESTA. NO SE TENDRN EN CONSIDERACIN HOJAS ADICIONALES.

Enunciado: Se considera el mismo sistema del problema anterior, es decir, la seccin tpica de un estabilizador horizontal con el

timn de altura. El avin tiene un fallo mecnico y el sistema de control que mueve al actuador del timn de altura se bloquea

quedando la rotacin restringida con la rigidez K; por otro lado, debido al mismo fallo, el trimado del estabilizador (ngulo0 derotacin alrededor del eje elstico) presenta oscilaciones de baja frecuencia en torno a cero del tipo 0 = ~0e

i!t, con ! 1 porlo que se puede utilizar aerodinmica estacionaria. Esta rotacin est generada por un motor que introduce un momento QT .Algunos datos a considerar son:

El momento de inercia de la seccin respecto al eje de charnela es I y, como en el problema anterior, considerar despreciablela exin, por lo que slo se tienen dos grados de libertad: torsin y rotacin de la supercie de control c.

Por simplicidad, se asume que est equilibrado y su centro de gravedad se sita en el eje de charnela (S = 0). El momentode inercia alrededor del eje elstico es I.

Los coecientes aerodinmicos de momento alrededor del eje de charnela son Ch y Ch, ambos adimensionalizados con lacuerda ch y la supercie Sh.

Se desea estimar las oscilaciones de la torsin del perl y de la rotacin de la supercie de control c como consecuencia de lavariacin del trimado ~0e

i!t, para lo cual se sugiere proceder de la siguiente forma:

1. (0.5 puntos) Comprobar que, en la ecuacin de la dinmica, los trminos cruzados son proporcionales al momento I.

2. (1 punto) Deben incluir los trminos inerciales el ngulo 0?. Segn su respuesta, escriba el trmino proporcional a I enla ecuacin de giro alrededor del eje elstico y el trmino proporcional a I en la ecuacin de rotacin del timn de altura.

3. (0.5 puntos) En el lado derecho de las ecuaciones debe aparece el par QT . Identicar la ecuacin en la que debe aparecer.

4. (1 punto) Se asume un amortiguamiento estructural de valor g; escribir su expresin en funcin de K (modo de torsin),K(modo de rotacin) y las velocidades de rotacin correspondientes _ y _c.

5. (1 punto) Calcular la ecuacin de la dinmica del sistema incluyendo los trminos en funcin de, y sus derivadas primeray segunda, dejando las fuerzas aerodinmicas (lado derecho) como Q y Q. Tenga en cuenta que debe aparecer el ngulo0 y el par QT .

6. (1 punto) Adimensionalizar las ecuaciones anteriores por Mb2, donde M es la masa de la seccin y b es la semicuerda.Utilizar la siguiente nomenclatura: r2 = I=Mb

2, r2 = I=Mb

2, K = I!

2 y K = I!

2 . Dejar las fuerzas aerodinmicas

como Q=Mb2, Q=Mb

2y el par como QT =Mb

2.

7. (1 punto) Asumir movimiento armnico, dividir por !2, expresando el lado izquierdo de la ecuacin (inercia + rigidez

+ amortiguamiento estructural) en forma matricial como

[Mij ] + (1 + ig)

!!

2[Kij ]

~~c

= [: : :]. Escribir las

matrices [Mij ] y [Kij ] en funcin de parmetros del problema.

8. (1 punto) Escribir la expresin de Q asumiendo aerodinmica estacionaria. Dividir por Mb2!2 y encontrar una expresinen funcin de = M=b2, la frecuencia reducida k = !b=U1, los coecientes aerodinmicos de la seccin, los parmetrosgeomtricos S, b y e, y las variables 0, y c.

9. (1 punto) Escribir la expresin de Q asumiendo aerodinmica estacionaria. Dividir por Mb2!2 y encontrar una expresin enfuncin de = M=b2, la frecuencia reducida k = !b=U1, los coecientes aerodinmicos momentos alrededor del eje decharnela, los parmetros geomtricos Sh, ch y b, y las variables 0, y c.

10. (1 punto) Expresar las fuerzas aerodinmicas como

1

2k2

Q QQ Q

~~

+

1

2k2

Q0Q0

~0, identicando

cada uno de los trminos.

11. (1 punto) Describir de forma cualitativa el efecto del par QT y del ngulo de rotacin 0 en la estabilidad del sistema.

SOLUCIN:

Las ecuaciones se escriben como:

I (0 + ) + Ic + gK!

_+K = Q +QT

I (0 + ) + Ic + gK!

_ +K = Q

Apartado 1 : Se debe comprobar que los trminos cruzados son Ic y I ! 0;5 puntos.Apartado 2 : Se deben escribir los trminos I (0 + ) y I (0 + )! 1 punto.Apartado 3 : Se debe comprobar que el trmino QT aparece en la primera ecuacin ! 0;5 puntos.Apartado 4 : El amortiguamiento se escribe como

gK!

_ ygK!

_c ! 1 punto.Apartado 5 : Formular las ecuaciones

I (0 + ) + Ic + gK!

_+K = Q +QT ! 0;5 puntos

I (0 + ) + Ic + gK!

_ +K = Q ! 0;5 puntos

Apartado 6 :

IMb2

+IMb2

c + gI!

2

Mb2!_+

I!2

Mb2 =

QMb2

IMb2

0 +QTMb2

IMb2

+IMb2

c + gI!

2

Mb2!_c +

I!2

Mb2c =

QMb2

IMb2

0

r2+ r2 + g

r2!2

!_+ r2!

2 =

QMb2

r2 0 +QTMb2

! 0;5 puntos

r2 + r2 + g

r2!2

!_ + r2!

2 =

QMb2

r2 c ! 0;5 puntos

Apartado 7 :

0@ r2 r2r2 r

2

+ (1 + ig)

!!

2 24 r 00 r2

!!

2 351A ~~c

=

1

Mb2!2

~Q~Q

r2r2

~0+

(QT

Mb2!20

)! 1 punto

Apartado 8 y 9 :

Q = q1SeCL (0 + ) + q1SeCLc + q1S (2b)CMACc ! 0;5 puntosQ = q1ShchCh (0 + ) + q1ShchChc ! 0;5 puntos

q1Mb2!2

=

1

21U21Mb2!2

=1

2M

1b2!2b2

U21

1

b2=

1

2k21

b2

QMb2!2

=1

2k2

S

b

e

bCL0

+

1

2k2

S

b

e

bCL+

S

b

e

bCLc + 2

S

bCMACc

! 0;5 puntos

QMb2!2

=1

2k2Shb

chbCh0 +

1

2k2Shb

chb(Ch+ Chc)! 0;5 puntos

Apartado 10 :

1

2k2

264 Seb2 CL Seb2 CL + 2Sb CMACShchb2

ChShchb2

Ch

375 ~~c+

1

2k2

8>:Se

b2CL

Shchb2

Ch

9>=>; ~0 ! 1 puntoApartado 11 : El trmino proporcional a 0 no afecta a la estabilidad del sistema; el trmino proporcional a QT tampoco afecta ala estabilidad del sistema! 1 punto



Nmero

Apellidos

Nombre

SOLUCIN PROBLEMA 1

(Utilizar nicamente esta hoja)



Nmero

Apellidos

Nombre

SOLUCIN PROBLEMA 2

(Utilizar nicamente esta hoja)

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