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195Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 19 (32): 195-223, julio-diciembre de 2006

ESTADO DE LA CUESTIÓN ACERCA DEL USO DE LA LÓGICA DIFUSA EN PROBLEMAS FINANCIEROS

ESTADO DE LA CUESTIÓN ACERCA

DEL USO DE LA LÓGICA DIFUSA

EN PROBLEMAS FINANCIEROS*

Santiago Medina Hurtado**

* Artículo de revisión producto del desarrollo de la tesis de doctorado. El artículo se recibió el 19-10-2006 y seaprobó el 05-12-2006.

** Candidato a doctor en Ciencias Económicas y Empresariales, Universidad Complutense de Madrid, España.Especialista en Finanzas, Preparación y Evaluación de Proyectos, Universidad de Antioquia, Medellín, Co-lombia, 1995. Ingeniero industrial, Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín, Colombia, 1993.Coordinador de posgrados de la EIO, Facultad de Minas, Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín.Pertenece al Grupo de Investigación en Finanzas Computacionales y al Grupo de Investigación en InteligenciaArtificial. Correo electrónico: [email protected]

196 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 19 (32): 195-223, julio-diciembre de 2006

SANTIAGO MEDINA HURTADO

RESUMEN

Este trabajo recopila el estado actual de lasaplicaciones de la teoría de conjuntos difu-sos y los sistemas de inferencia difusos enla solución de problemas financieros, espe-cíficamente en el campo de la teoría de por-tafolios, la evaluación de proyectos, elanálisis de crédito, el análisis técnico y elanálisis financiero de la firma, lo cual per-mite incorporar la incertidumbre en el aná-lisis de manera distinta a como la hace lateoría de probabilidades. Además, se realizauna crítica de los modelos tradicionales detoma de decisiones financieras, que no cap-tan de forma clara las dinámicas del com-portamiento de los mercados. Con esteenfoque es posible recoger los fenómenoseconómicos y financieros con toda su im-precisión y tratarlos matemáticamente; ade-más, incorporar en el análisis el criterioexperto, lo que hace que los modelos desa-rrollados sean una verdadera herramienta deapoyo a la toma de decisiones. Sin embar-go, los desarrollos teóricos actuales tien-den a fusionar tecnologías basadas enconocimiento para solucionar múltiples pro-blemas de ingeniería y esto abre todo uncampo de investigación para su aplicacióna las ciencias sociales y económicas.

Palabras clave: conjuntos difusos, siste-mas de inferencia difusos, sistemas exper-tos difusos, análisis financiero.

ABSTRACT

Reviewing the Status of the Art of UsingDiffuse Logic in Financial Problems

This paper discusses the current status ofthe use of diffuse set theory applicationsand diffuse inference systems in solving fi-nancial problems, specifically in the areasof company portfolio theory, project assess-ment, credit analysis, technical analysis,and financial analysis. They enables incor-porating uncertainty into the analysis in adifferent manner from the one used in thetheory of probabilities. The paper also in-cludes a critique of traditional financial de-cision-making models, which do not clearlycapture market behavior dynamics. Usingthis new approach, it is possible to gathereconomic and financial phenomena alongwith all of their inaccuracies and treat themmathematically. Furthermore, expert crite-ria may be incorporated into the analysis,thus making the models developed true sup-port tools for decision making. However,present-day theoretical developments tendto merge knowledge-based technologies tosolve many engineering problems and thatopens a whole new area of research to ap-ply them to Social Sciences and EconomicSciences.

Key words: Diffuse sets, diffuse inferencesystems, diffuse expert systems, financialanalysis.



Introducción

Los procesos del pensamiento que se desa-rrollan en el cerebro humano son origina-dos por las sensaciones que llegan a travésde nuestros sentidos. Mediante el lenguaje,el hombre expresa, traduce y representa losfenómenos naturales y humanos; sin em-bargo, el lenguaje presenta vacíos de preci-sión o excesos de sobreentendimiento, porlo cual se necesitan técnicas que precisen ydepuren la información para llegar al cono-cimiento. Dichas técnicas se basan en laaplicación del método científico, expresadoen un lenguaje matemático. Este es el méto-do que el ser humano utiliza para aproxi-marse al mundo desde que Arquímedes loestrenó en la física (287-212 a. C.), funda-mentado en la lógica del pensamiento aris-totélica (384-322 a. C.), que formalizó losprincipios del pensamiento humano.

La mayoría de los procedimientos y herra-mientas que se utilizan actualmente para ma-nipular la información se basan en losprincipios de la lógica aristotélica formaliza-da de manera matemática por las leyes deBoole y de Morgan, durante el siglo XIX;campo que se conoce como lógica matemá-tica. Uno de sus principios fundamentales esla ley de la no contradicción o del terceroexcluido, lo cual define un sistema de lógicabinaria (la pertenencia completa o no a unconjunto) y que posibilitó todo el desarrollocientífico y tecnológico de la sociedad.

Tanto la lógica moderna como la clásicaasumen en sus formas más corrientes quecualquier proposición bien elaborada puedeser o verdadera o falsa. En años recientesse han desarrollado sistemas de la denomi-

nada lógica combinatoria: una afirmaciónpuede tener un valor distinto a verdadero ofalso. En algunos supuestos es sólo un ter-cer valor neutro; en otros, un valor de pro-babilidad expresado como una fracción queoscila entre 0 y 1 o entre -1 y +1.

El origen de la lógica difusa se encuentra enel análisis de la vaguedad y su relación con lalógica clásica, que realizaron a comienzos delsiglo XX Jan Lukasiewicz y Max Black. Pos-teriormente, Lofti Zadeh, a mediados de ladécada de los sesenta, sienta las bases de lalógica polivalente y del cálculo de la incerti-dumbre, mediante la definición de conjuntodifuso a partir de la idea de pertenencia gra-dual, denominada por el propio Zadeh teoríade la posibilidad, lo cual proporciona unabase matemática para modelar el razonamien-to humano. Durante más de 15 años, los in-vestigadores hicieron hincapié en la teoría delos conjuntos difusos e incluyeron en el aná-lisis la aritmética, el álgebra, la programaciónlineal, la programación multiobjetivo, la to-pología, el cálculo diferencial e integral, lageometría, etc., como un preámbulo a lasaplicaciones industriales.

Desde el punto de vista de los fenómenossocioeconómicos, es necesario contar conmodelos que capturen de una manera másprecisa la realidad, ya que ésta involucraimprecisión, falta de definición, inexisten-cia de bordes, subjetividad, clasificacionesno definidas, etc., es decir, se manipulanconceptos y variables que no encuadran conla lógica clásica y, sin embargo, para su aná-lisis es preciso utilizar la matemática.

Los modelos matemáticos desarrollados po-seen simplificaciones importantes, lo cual



significa reducir las cosas a un lenguaje de-terminado y codificado de reglas rígidas conlo cual tratamos de entender la realidad. Es-tos modelos pueden trabajar bien bajo de-terminadas parcelas del conocimiento; sinembargo, la aplicación del método científi-co, el avance de la técnica y la existencia deparadigmas nos recuerdan que tarde o tem-prano un modelo se volverá obsoleto y debesustituirse por otro, tal como ha ocurrido conel desarrollo del conocimiento científico.

En el campo de la toma de decisiones, lasrelaciones entre los conceptos o variablesque definen el problema bajo estudio no es-tán definidas en forma precisa, y esto sedebe a la imprecisión del lenguaje natural, ala naturaleza del fenómeno o a la calidad dela información utilizada. En este sentido, enmuchas ocasiones no se cuenta con la in-formación suficiente para aplicar modelosmatemáticos convencionales, lo que ha obli-gado a la búsqueda de modelos alternativos.

Actualmente, en el modelado de problemasde decisión se busca que el instrumentalanalítico sea consistente con los sistemasde valoración humanos y su percepción, másque con el formalismo y exactitud matemá-tica, ya que los sistemas de valoración hu-manos son imprecisos, vagos (fuzzy-difuso)y tienen el problema de que no pueden sercapturados de forma directa por la preci-sión matemática convencional.

Precisamente, en la búsqueda de modelosque tengan en cuenta estas realidades surgela lógica difusa como un modelo matemáti-co que permite utilizar conceptos relativosa la realidad siguiendo patrones de compor-tamiento similares al pensamiento humano.

En el campo de la toma de decisiones (y engeneral en la vida real) existen hechos queno se pueden definir como totalmente ver-daderos o totalmente falsos, sino que tienenun grado de verdad o falsedad que puedevariar de 0 a 1. La lógica clásica no es lamás adecuada para tratar este tipo de razo-namientos, ya que excluye por completo unatercera posibilidad (o más) entre estos dosvalores. La lógica difusa rompe con el prin-cipio de la no contradicción o del terceroexcluido, es decir, un objeto de estudio pue-de pertenecer a la vez a conjuntos contra-rios en cierto grado (ser y no ser al tiempo).

Un sistema de lógica difusa o lógica borro-sa convierte variables de entrada (cuantita-tivas y cualitativas) en variables lingüísticasa través de funciones de pertenencia o con-juntos difusos, los cuales son evaluadosmediante un conjunto de reglas difusas deltipo si-entonces. Luego las salidas del siste-ma se convierten en valores nítidos (crisp)mediante un proceso de concreción (de-fuzzyfication), que permiten brindar infor-mación para la toma de decisiones. Unsistema de lógica difusa utiliza cualquier tipode información y la procesa de manera si-milar que el pensamiento humano; por ello,los sistemas de lógica difusa son adecuadospara tratar información cualitativa, inexactae incierta, que permiten, además, tratar conprocesos complejos, lo que la hace una al-ternativa interesante para modelar problemasde toma de decisiones.

Los sistemas de lógica difusa se han utiliza-do exitosamente en un gran número de apli-caciones como controladores para equiposindustriales, negocios, economía, sistemas desoporte a la decisión, medicina, psicología,



etc. Los mayores progresos en la implemen-tación de aplicaciones industriales se logra-ron cuando a los sistemas de lógica difusa seintegraron otras técnicas como las redes neu-ronales artificiales y los algoritmos genéticos,los cuales permiten la optimización del siste-ma difuso. Actualmente, todas estas técni-cas se combinan en lo que se conocen comosistemas híbridos, conexionistas o, en gene-ral, técnicas de soft computing.

Las redes neuronales artificiales imitan elcomportamiento de las células nerviosas delcerebro y son utilizadas en muchos tipos deproblemas. El proceso es llevado a cabo poruna red formada por unidades de procesa-miento de información llamadas neuronasartificiales, conectadas entre sí medianteenlaces (conexiones sinápticas) que especi-fican la dirección del flujo de la señal desdeuna neurona hasta otra; además, tienen aso-ciado un peso (peso sináptico) que determi-na la fuerza de la conexión entre neuronas.El desarrollo teórico de las redes neuronalesartificiales data de 1943, cuando McCullochy Pitts proponen su modelo neuronal. Ac-tualmente existe una gran cantidad de mo-delos de redes propuestos como solución aproblemas específicos. Para una revisión demodelos de redes neuronales artificialesconsúltese a Simon Haykin (1994).

El progreso en la implementación exitosa delas redes neuronales artificiales en procesosindustriales a partir de los años ochenta posi-bilitó la integración con los sistemas difusos,ya que en ambas técnicas se realiza un pro-cesamiento paralelo de la información. Sepretendía aprovechar las características quetienen las redes neuronales artificiales, comola tolerancia a datos inexactos, la capacidad

de aprender y adaptarse mediante algoritmossimples y la capacidad de generalización enla optimización de los sistemas difusos.

La utilización de conceptos evolutivos,como la selección, el apareamiento y lamutación para resolver problemas comple-jos de optimización fue introducida por JhonHollan en los años sesenta. Los algoritmosgenéticos le permiten a una población evo-lucionar a través de la competencia (super-vivencia del más fuerte) bajo condicionescontroladas (recombinaciones y mutación).El interés del uso de algoritmos genéticosen aplicaciones industriales se ha incremen-tado debido a las siguientes características:• Considera muchos puntos en el espa-

cio de soluciones y tiene poca probabi-lidad de converger en un mínimo local.

• Trabaja con cadenas de caracteres querepresentan el conjunto de parámetrosy no los parámetros en sí mismos, loque le da mayor flexibilidad que otrosmétodos de búsqueda.

• Usa reglas probabilísticas para guiar labúsqueda en vez de reglas determinís-ticas.

• Algunas de las aplicaciones de algoritmosgenéticos reportadas en la literatura in-cluyen: diseño de controladores de lógi-ca difusa, programación de trabajos,aprendizaje de la topología y los pesosde redes neuronales y reconocimiento depatrones de comportamiento.

En los años setenta, la lógica difusa fue com-binada con sistemas expertos para producirsistemas que luego fueron implementadosexitosamente en el ámbito industrial. Ambastécnicas se basan en reglas del tipo si-en-



tonces; sin embargo, la lógica difusa permi-tió tratar las reglas de una manera diferentea como lo hacían los sistemas expertos tra-dicionales, los cuales evalúan el cumplimien-to de cada regla de manera completa, esdecir, cada regla se cumple o no de maneracompleta, en el sentido de la lógica binaria.Con la lógica difusa, en cambio, las reglaspueden cumplirse de manera parcial, lo queamplía el abanico de respuesta del sistema yse acerca más al modo de racionamientohumano. En general, los sistemas expertosdifusos han permitido el desarrollo de siste-mas de soporte para la toma de decisionescon aplicaciones en los sectores industrial,de negocios, de diagnóstico, entre otros.

Este artículo se centra en realizar una revi-sión del estado de la cuestión de la teoría delos conjuntos difusos y los sistemas de in-ferencia difusos en la solución de proble-mas financieros. Primero se hace unapequeña explicación de la lógica difusa y delos sistemas de inferencia difusos y, poste-riormente, se describen algunas aplicacio-nes específicas en portafolios de inversión,matemática financiera y presupuesto de ca-pital, análisis técnico, análisis de crédito yanálisis financiero, las cuales están acom-pañadas de amplia bibliografía.

1. Conjuntos difusos y sistemas delógica difusa (FIS)

La creciente necesidad de dar solución apro-piada a problemas de índole político, econó-mico, social, administrativo y financiero, queparten de percepciones estrictamente huma-nas y que como tal no cuentan con la sufi-ciente información para aplicar modelosmatemáticos convencionales, ha obligado a la

búsqueda de modelos alternativos que permi-tan llegar a valores numéricos a partir de va-riables expresadas en términos lingüísticos. Lalógica difusa aparece como una de las herra-mientas que permite hacer esta trasformacióny que proporciona una visión diferente a laque se da en la lógica formal o clásica.

La lógica clásica, o lógica bivaluada, no re-sulta adecuada cuando se trata de describirhechos que no son totalmente verdaderos ototalmente falsos, ya que excluye por com-pleto posibilidades entre estos dos valores.La lógica difusa, en cambio, permite utilizarconceptos relativos de la realidad, definiendogrados variables de pertenencia y siguiendopatrones de razonamiento similares a los delpensamiento humano (Kosko, 1995).

El concepto de conjunto difuso fue origi-nalmente propuesto por Zadeh, en 1965, yluego Mandani (1977) extendió el conceptoa sistemas de lógica difusa que actualmenteson un importante tema de investigación ydesarrollo de aplicaciones en muchas áreasdel conocimiento y la técnica.

La lógica difusa está relacionada y fundamen-tada en la teoría de los conjuntos difusos,según la cual el grado de pertenencia de unelemento a un conjunto está determinado poruna función de pertenencia que puede tomartodos los valores reales comprendidos en elintervalo (0, 1) (Jang, Mizutani y Sun, 1997;Kulkarni, 2001; Kasabov, 1998; Kosko,1995). De esta manera, mientras que en elmarco rígido de la lógica formal la utilidad deuna empresa, por ejemplo, es baja y le da unvalor de cero, o es alta y le da un valor deuno, para la lógica difusa son posibles tam-bién todas las condiciones intermedias de utili-



dad como “muy baja”, “relativamente alta”,“media”, “ligeramente baja”, etc.

Las condiciones extremas o absolutas asu-midas por la lógica formal son sólo un casoparticular dentro del universo de la lógicadifusa. Esta última permite ser relativamen-te imprecisa en la representación de un pro-blema y aun así llegar a la solución correcta(Kosko, 1995).

Con la lógica difusa se abre la posibilidad desolucionar problemas expresados desde laperspectiva humana y que por esta simplecondición no pueden tener una soluciónúnica desde lo falso o verdadero, sino quepueden tomar condiciones intermedias paradar respuestas satisfactorias a los proble-mas bajo estudio.

Actualmente existe una amplia literatura so-bre la teoría de los conjuntos difusos aplicadaa todos los campos de la matemática, comola aritmética, el álgebra, el cálculo diferenciale integral, los sistemas de ecuaciones, la to-pología, la econometría, la programación li-neal, la programación multiobjetivo, laprogramación dinámica, las desigualdades, lasfunciones, la geometría plana, la trigonome-tría, la teoría probabilística (Zadeh, 1968), etc.Para una introducción a la matemática difusaconsúltese Buckley (2002). Para un tratadocompleto de la fundamentación matemáticade los conjuntos difusos puede consultarse aKaufman y Gil Aluja (1990), Trillas (1980),Kaufman (1982) o Jang et al. (1997).

Los sistemas de inferencia difuso tipoMandani (1977; Mandani y Gaines, 1981)fueron los primeros sistemas en ser proba-dos de manera práctica como aproximadoruniversal de funciones. Posteriormente

(Kosko, 1994; Wang, 1992) se estableció demanera formal que cualquier relación entrevariables de entrada y salida puede ser aproxi-mada por medio de un sistema difuso cons-truido en términos lingüísticos con alto gradode exactitud también llamado aproximadoruniversal (Kosko, 1994; Wang, 1992).

Un sistemas de inferencia difuso (FIS) es unaforma de representar conocimientos y datosinexactos en forma similar a como lo hace elpensamiento humano (Jang et al., 1997). UnFIS define una correspondencia no lineal en-tre una o varias variables de entrada y unavariable de salida; esto proporciona una basedesde la cual pueden tomarse decisiones odefinir patrones. Las etapas que constituyenel desarrollo de un FIS se muestran en elGráfico 1 y se explican a continuación.

Los pasos esenciales para el diseño de unsistema difuso son (Jang et al., 1997;Kasavov, 1998; Kosko, 1994):i) Identificación del tipo de problema y el

tipo de sistema difuso que mejor seajusta a los datos.

ii) Definición de variables de entrada y sa-lida, sus valores difusos y sus funcio-nes de pertenencia (borrosificación oparametrización de variables de entra-da y salida).

iii) Definición de la base de conocimientoo reglas difusas.

iv) Obtención de salidas del sistema me-diante la información de las variablesde entrada utilizando el sistema de infe-rencia difuso, el cual utiliza operadoresde composición.

v) Traslado de la salida difusa del sistemaa un valor nítido o concreto medianteun sistema de defusificación.

vi) Ajuste del sistema validando los resul-tados.



La aplicación de modelos basados en lógicadifusa permite abordar de manera efectiva lacreación de sistemas soporte para la tomade decisiones, ya que brinda la capacidad deextraer datos de forma práctica, y a travésde las capacidades analíticas y la experien-cia de los evaluadores descubrir relacionessignificativas entre ellos. Los modelos de ló-gica difusa son altamente flexibles, más tole-rantes a la imprecisión de los datos y puedentrabajar con funciones no lineales de diversacomplejidad; así mismo, no están obligadospor presunciones estadísticas acerca de lascaracterísticas de los datos y sus distribu-ciones de probabilidad y se les puede modifi-car fácilmente, dependiendo de la soluciónrequerida del problema.

Cuando se cuenta con información impre-cisa e insuficiente, usar instrumentos esta-dísticos no es suficiente para obtenerresultados significativos. La lógica difusasurge precisamente para tratar con este tipode problemas y lograr darles una solución

óptima. De esta forma, una combinaciónentre un sistema de lógica difusa y la expe-riencia o conocimiento que tienen los en-cargados de tomar las decisiones es unaexcelente manera de obtener buenos resul-tados (Kosco, 1995). A continuación se ex-plican los pasos que integran un FIS:

1.1 Proceso de borrosificación ofusificación

En esta primera etapa se definen las variablestanto de entrada como de salida del sistema(variables lingüísticas), sus valores lingüísti-cos y sus funciones de pertenencia. Este pro-ceso también es llamado parametrización. Laexpresión variables lingüísticas se refiere aconceptos o variables que pueden tomar va-lores ambiguos, inexactos o poco claros –porejemplo, la variable lingüística rentabilidadpuede tomar los valores lingüísticos “baja,media y alta”, que tienen un significado se-mántico y que se pueden expresar numérica-mente por medio de funciones de pertenencia–.

Gráfico 1Sistema de inferencia difuso (FIS)

Fuente: adaptado de Kulkarni (2001).



De esta manera, se puede hablar formalmen-te de conjunto difuso como:Sea: X el universo de valores que pue-

de tomar la variable x, un elemen-to cualquiera de X

A ⊂ X: colección de elementos x pertene-cientes a X

Si X es una colección de objetos denotadosgenéricamente por x, entonces el conjuntodifuso A en X es definido como el conjuntode pares ordenados:

A = {[x, µA(x)] / x ∈ X}

Donde µA(x) se denomina función de perte-nencia del conjunto difuso A. Dicha funciónde pertenencia otorga a cada elemento de Xun grado de membresía entre 0 y 1. Los tiposde funciones de pertenencia comúnmente uti-lizados son: la función triangular, la trapezoidal,la gausiana, la sigmoidal y la generalizada deBell. Éstas se escogen de forma tal que seconsiga una adecuada correspondencia entrelos espacios de entrada y salida de un siste-ma. El Gráfico 2 presenta tres conjuntos di-fusos con valores lingüísticos bajo, medio,alto para la variable margen operativo.

Gráfico 2Conjuntos difusos y funciones de pertenencia

Fuente: elaboración propia.

El proceso de parametrización consiste endefinir funciones de pertenencia para cadauno de los valores lingüísticos definidos paralas variables de entrada y salida del sistema.En general, los valores lingüísticos son de-

finidos con base en la opinión de expertos,quienes se distribuyen a lo largo del univer-so del discurso (rango posible de valoresque puede tomar la variable).



Cuando hay información previa de la varia-ble de interés, la distribución de los conjun-tos difusos en el universo del discurso puedebasarse en un análisis estadístico previo dela serie histórica conjugada con la opiniónde los expertos, mientras que para aquellasvariables que caracterizan posiciones sub-jetivas (por ejemplo, propensión a tomarriesgos, calidad del equipo administrativo,etc.) puede definirse una escala de califica-ción donde los expertos ubican los niveles ovalores lingüísticos de la variable y a los quese le asocian los conjuntos difusos.

1.2 Reglas difusas si-entonces

Estas reglas especifican el vínculo entre lasvariables de entrada y salida del sistema. Lasrelaciones difusas determinan el grado depresencia o ausencia de asociación o interac-ción entre los elementos de dos o más con-juntos. La regla si-entonces tipo Mandaniasume la forma:Si X1 es A1 y X2 es A2 y... y Xk es Ak, enton-ces Y es B

Donde A1,A2,… ,Ak,B son valores lingüísti-cos definidos mediante conjuntos difusos paralas variables lingüísticas en el universo deldiscurso X1,X2,… ,Xk y Y respectivamente.La parte de la regla “Xi es Ai” es llamada elantecedente o premisa y la parte “Y es B” esllamada el consecuente o conclusión.

La regla anterior define una relación borro-sa en el espacio k+1 dimensional caracteri-zada por una función de pertenenciaµAk B (X1,X2,…,Xk,Y) ∈ [0; 1].

La base de las reglas borrosas, en general, seobtiene del conocimiento de expertos median-

te entrevistas, cuestionarios o técnicas depanel; sin embargo, en muchas ocasiones nose tiene acceso a dichos expertos, pero secuenta con una base de datos de las variablesde entrada-salida. En situaciones como ésta,es posible generar reglas borrosas que defi-nan una adecuada correspondencia entre lasvariables de entrada y salida.

La interpretación de una regla si-entonces in-volucra dos pasos: (1) evaluar el anteceden-te mediante la aplicación de cualquieroperador difuso y (2) implicar o aplicar elresultado del antecedente al consecuente. Estose hace evaluando la función de pertenenciaµA B (X1,X2,…,Xk,Y). Es decir, se trata deevaluar la activación de una regla (activacióndel consecuente) en función del grado decumplimiento del antecedente. Para realizardicha tarea se usan operadores de composi-ción de conjuntos difusos y se aplica un sis-tema de inferencia (también llamadorazonamiento difuso o razonamiento aproxi-mado), el cual puede verse para el caso dedos reglas en el Gráfico 3.

1.3 Operaciones de composición

Las operaciones básicas realizadas con con-juntos difusos son la unión, la intersección, lacomplementación, el producto cartesiano y elcoproducto cartesiano. Dichas operaciones sellevan a cabo mediante la aplicación de algúnoperador binario clasificado como T-normas(para operaciones de intersección) o S-nor-mas (para operaciones de unión). (Kaufmany Gil Aluja, 1990; Trillas, 1980; Jang et al.,1997; Kulkarni, 2001; Kasabov, 1998).

Debido a que las reglas difusas definen unarelación difusa en el espacio k+1-dimensio-



nal, caracterizado por una función de perte-nencia µAk B (X1,X2,…,Xk,Y) ∈ [0; 1], lasoperaciones básicas con conjuntos difusosson relaciones de implicación utilizadas paraderivar las funciones de pertenencia de con-juntos difusos n-dimensionales. Por otraparte, también permiten definir operacionesde composición para derivar relaciones di-fusas entre diferentes espacios producto, esdecir, si tenemos relaciones para los espa-cios producto X×Y y Y×Z, podemos a tra-vés de operaciones de composición obtenerla relación del espacio producto X×Z.

Se han sugerido diferentes operaciones decomposición para las relaciones difusas, las

más conocidas son la composición Max-Min, propuesta por Zadeh, y la composi-ción Max-producto (Kasabov, 1998).

1.5 Mecanismos de inferencia(razonamiento aproximado)

El razonamiento aproximado es un procedi-miento de inferencia usado para derivar con-clusiones desde un conjunto de reglasdifusas tipo si-entonces y los datos de en-trada al sistema mediante la aplicación derelaciones de composición Max-Min o Max-producto. Es decir, es un mecanismo quepermite inferir un valor difuso B’ cuando se

w1

µ C2

Z

C’2 = Mín entre w y C2.

µ

w

w2

Mín

Z

Agregación C’ = C’1UC’2

µ

A’ A2 B’ B2

Y

µ

X

A1 A’

X

w1

µ C1

Z

C’1 = Mín entre w y C1.

µ

w

B’ B1

Y

w2

µ Mín

Si x es A1 Y y es B1 Entonces z es C1

Si x es A2 Y y es B2 Entonces z es C2

K

Gráfico 3Sistema de inferencia difuso

Fuente: adaptado de Jang (1997).



tienen unas entradas difusas en el espaciok-dimensional A’k y se ha definido una rela-ción de implicación R: Ak B, esto es:B’ = A’k ° (Ak B)

Por ejemplo, considerando las dos reglassiguientes:Regla 1: si x es A1 y y es B1, entonces z esC1, si no,Regla 2: si x es A2 y y es B2, entonces z esC2.

Se trata de inferir el resultado C’ a partirde las entradas: x es Ai y y es Bj y el grupode reglas anteriores.

Donde:i = valores lingüísticos de la variable x.j = valores lingüísticos de la variable y.

Se puede expresar cada regla en forma ge-neral como R1=(A1×B1) C1 yR2=(A2×B2) C2. Si se usa la composiciónMax-Min para inferir µC’(z), el operador decomposición o se distribuye sobre el opera-dor unión (U) como sigue:

C’=(Ai×Bj)°(R1UR2)C´={(Ai×Bj)°R1} U {(Ai×Bj)°R2}

C’ = C1’ U C2’

Donde C1’ y C2’ (véase Gráfico 3) sonconjuntos borrosos inferidos de la regla 1y de la regla 2, respectivamente. Este re-sultado puede extenderse para el caso den-reglas.

1.6 Agregación

En esta etapa del proceso, las salidas de cadauna de las reglas se combinan para obtenerun único conjunto difuso. Las entradas del

proceso de agregación son las funciones depertenencia truncadas obtenidas de la etapade inferencia para cada una de las n-reglas.En el Gráfico 3 el conjunto C’=C1’UC2’ agre-ga las funciones truncadas de cada regla.

El método de agregación es conmutativo,es decir, no importa el orden en el que lasalida de cada regla es agregada. Este pro-ceso define un método para hallarC’=(C1’UC2’ U… U Cn’), donde C1’,C2’,…, Cn’ son los conjuntos difusos in-feridos de la regla 1, 2,…, n, y C’ es unconjunto difuso de salida con función depertenencia igual a µC’(z), dadas las con-diciones de entrada del sistema y la basede reglas. El operador de agregación másutilizado es máximo, por lo tanto:

C’ = [(z, µC’(z)/ z ∈ Z]

Donde Z=universo del discurso de la varia-ble de salida y

µC’(z)=Max (C1’,C2’,…, Cn’)

1.7 Proceso de desborrosificación oconcreción

En esta última etapa se obtiene un valor níti-do o concreto (K) a partir del conjunto difu-so de salida C’, el cual proporciona la solucióndel sistema planteado (véase Gráfico 3). En-tre los métodos de concreción más utiliza-dos se encuentran: centroide, bisectriz, mediade los máximos, más pequeño de los máxi-mos y más grande de los máximos.

2. Aplicaciones de la lógica difusa

En las siguientes secciones se presentan al-gunas aplicaciones de la lógica difusa en la



solución de problemas financieros entre losque se encuentran problemas de selecciónde portafolios, matemática financiera análi-sis técnico, análisis de crédito y análisis fi-nanciero. Se analizan las características queen cada tema justificarían el uso de los con-juntos difusos para incorporar la incertidum-bre y cómo diferentes autores han planteadosu tratamiento.

2.1 Problemas de selección deportafolios

La lógica difusa se aplica actualmente pararesolver el problema de selección óptima deun portafolio de inversión. El modelo clásicode selección planteado por Markowitz es ex-tendido para tratar la incertidumbre en loscoeficientes del problema de optimización; engeneral, el modelo de selección de carterasde Markowitz se utiliza para gestionar acti-vos financieros que cotizan en algún merca-do (para ello se utilizan datos históricos comoentradas del modelo), basándose en la rela-ción riesgo-rendimiento y utilizando técnicasde optimización paramétrica.

Una versión más general del problema de es-tructuración del portafolio puede aplicar téc-nicas de optimización multiobjetivo oprogramación dinámica, para lo cual es nece-sario conocer información histórica que per-mita determinar los coeficientes del modelo.

En la modelación del problema clásico deportafolio es necesario tener suficiente in-formación de las rentabilidades y desviacio-nes de los activos considerados. Esto implicaconocer los valores de los coeficientes queintervienen tanto en la función objetivo comoen las restricciones, así como cuáles son

las limitaciones técnicas o de cantidad de losrecursos a las que el analista debe ajustarse.Es evidente que todos estos datos no siem-pre van a ser fáciles de conocer y puedenllegar a situaciones en las que esta insuficien-cia de información sea irresoluble. Una ma-nera de resolver esta situación es modelar eldesconocimiento mediante coeficientes queson tratados como variables aleatorias o comonúmeros difusos.

En el caso de la función objetivo, el modelopuede verse desde dos ópticas: (1) maximi-zar el retorno esperado, sujeto a un deter-minado riesgo, o (2) minimizar el riesgo,sujeto a un cierto rendimiento esperado. Enel caso uno, la meta puede expresarse comola obtención de una rentabilidad suficiente afin de alcanzar un equilibrio en todos los ele-mentos que afectan la rentabilidad –por ejem-plo, evitando tomar riesgos altos, es decir,el objetivo no es necesariamente incremen-tar la rentabilidad al máximo posible, sinoaumentarla en una cuantía lo suficientementegrande con respecto a la competencia o aldesempeño pasado–. Por lo tanto, tiene sen-tido plantearse modelos con funciones ob-jetivo difusas (Gráfico 4).

Cuando la rentabilidad alcanza un valor porencima de z1, se tiene un grado de perte-nencia al conjunto difuso Ã de 1. Cuandola rentabilidad alcanza un valor por debajode z0, se tiene un grado de pertenencia alconjunto difuso Ã de 0. El incumplimien-to máximo de la función objetivo definidapor el conjunto difuso Ã estará dado porz1–z0.

También es posible, por ejemplo, que las res-tricciones de disponibilidad de capital de la



compañía, la política de crédito a un sector ola limitación del riesgo de pérdidas no esténrestringidas a un valor específico, sino quese encuentren dentro de un rango; es decir,

en muchas ocasiones al decisor le bastará conexigir un cumplimiento aproximado de la res-tricción, lo que podría implementarse median-te restricciones de tipo difuso (Gráfico 5).

Gráfico 4Conjunto difuso para la función objetivo

Fuente: interpretación gráfica de las relaciones pre-sentadas por Chanas (1983) y Luhandjula (1983).

1

Por otro lado, puede haber desconocimien-to de los coeficientes tanto de la funciónobjetivo como de las restricciones, y estose debe a que existe información imprecisay vaga sobre éstos, y en este caso es máscoherente la representación de los coeficien-tes como números difusos, en lugar de va-riables aleatorias. En caso de que sea posiblerealizar análisis estadísticos de los valoresde los coeficientes, éstos podrían ser mo-delados mediante variables aleatorias, peroen caso contrario, sería más ventajoso tra-tarlos mediante distribuciones de probabili-dad para capturar la incertidumbre.

En la literatura se plantean varias solucionesal problema de optimización que puedenmezclar tanto variables estocásticas comodifusas. Para tal efecto pueden consultarselos trabajos de Luhandjula (1983); Vadja(1972); Zimmermann (1976); Rommelfal-ger, Hanuscheck y Wolf (1989); Chanas(1983); Lai y Hwang (1996); Medina(2003), y Delgado, Verdegay y Vila (1989).

En el modelo de optimización también esposible incorporar el conocimiento expertosobre el comportamiento de las rentabilida-des de los activos del portafolio o de cual-

z1 z0

1

Gráfico 5Función de pertenencia asociada a la disponibilidad de capital

Fuente: interpretación gráfica de las relaciones presentadas por Chanas (1983)y Luhandjula (1983).



quier otro parámetro del modelo. En estecaso, son representativos los trabajos reali-zados por Tanaka, Guo y Turksen (2000),así como por Inuiguchi y Tanino (2000).La versión completa de un problema de op-timización difuso puede ser representadamediante:

Donde es un vector 1×n de rentabilidadesque tienen asociados conjuntos difusos; x,un vector n×1 de pesos; Ã, una matriz decoeficientes difusos m×n; , un vector decoeficientes técnicos difusos m×1, y ≤~ de-nota una relación difusa para la desigualdad.La solución de este problema se basa en laaplicación de la aritmética difusa o la teoríade comparación de números difusos (Cheny Hwang, 1992), lo cual permite tratar laincertidumbre y reducirla de forma tal queel problema pueda solucionarse.

2.2 Matemática financiera ypresupuesto de capital

La idea que subyace a la incorporación de lalógica difusa en el problema del presupues-to de capital o problema de inversión es in-corporar la incertidumbre de una maneradiferente a como lo hace la teoría de proba-bilidad en la evaluación de proyectos.

Como es sabido, mediante la teoría de proba-bilidad es posible estimar el riesgo de los pro-yectos mediante la asignación de distribucionesa las variables aleatorias del proyecto y me-diante un proceso de simulación determinar ladistribución de probabilidad del criterio de de-cisión –valor presente neto (VPN), tasa inter-

na de retorno (TIR), valor anual equivalente(VAE), etc.–, lo cual permite calcular tanto elvalor esperado como las probabilidades aso-ciadas; sin embargo, esta metodología partede algunos supuestos sobre la asignación delas distribuciones de probabilidad a las varia-bles aleatorias del problema.

Su adecuada utilización exige conocer in-formación histórica que permita ajustar ladistribución de probabilidad o utilizar un cri-terio experto que posibilite definir probabili-dades subjetivas a los escenarios de lasvariables consideradas. En este último casose incorpora criterio experto dentro del aná-lisis probabilístico. En algunos problemas sehace difícil contar con información históri-ca de la variable para formalizar el enfoqueprobabilístico, pero puede utilizarse la infor-mación de los expertos para formalizar elenfoque difuso del problema.

Otra dificultad que encara la teoría de pro-babilidades está en determinar las probabi-lidades objetivas para los eventos oescenarios, cuya estimación obliga a co-nocer los casos favorables y los casos po-sibles. Lo anterior implica que se dispusierade una serie de observaciones del fenóme-no que por lo general no se tienen. Esto diolugar a que se planteara la posibilidad deincorporar las probabilidades subjetivas (esdecir, aquellas que parten de axiomassicológicos) en el análisis.

Estas dificultades metodológicas no impi-dieron el empleo sistemático del cálculo deprobabilidades en los análisis de riesgo deproyectos; sin embargo, la lógica difusapermite tratar el problema de la incertidum-bre de una manera más flexible, lo que po-

0 x b~

~x A

~ s.a.

x c~

Max~

≥≤

b~

c~



dría llamarse una aproximación posibilís-tica.

El tránsito hacia la incertidumbre desde lateoría de la probabilidad ha ido producién-dose de manera paulatina. Los primeros es-fuerzos en formalizar una matemáticafinanciera difusa fueron realizados por J. J.Buckley (1987), a finales de los años ochen-ta. Sus contribuciones metodológicas abrenla posibilidad de incluir la incertidumbre enlos flujos de caja, la tasa de interés y el pe-ríodo de evaluación mediante conjuntos di-fusos, lo cual permite hallar una versióndifusa de los criterios de decisión como elVPN, el VAE o la TIR. Para tal fin utiliza laaritmética de conjuntos difusos, que puedeser consultada en Buckley y Eslami (2002).

Sea P el valor presente en el momento inicial;r, la tasa de interés por período; n, el númerode períodos; F, el valor futuro después de nperíodos, y sean éstos una versión determi-nista o nítida del problema. Una versión difu-sa de los anteriores términos puede serrepresentada por , los cuales tienenasociados conjuntos difusos que son expre-sados mediante funciones de pertenencia.

Si representamos la suma y multiplicaciónde números difusos por ⊕ y Θ respectiva-mente, la versión difusa de la relación deequivalencia fundamental F = P*(1+r)n po-drá ser expresada por:

Para cuya solución deberá aplicarse aritmé-tica difusa. La versión difusa del VPN po-drá ser expresada como:

Donde Σ es sumatoria difusa.

Por otra parte, Buckley (1985) también uti-liza métodos de comparación de flujos decaja netos con el fin de clasificar varias al-ternativas de inversión con característicasdifusas. Para ello calcula los VPN, y me-diante la teoría de comparación de conjun-tos difusos (Chen y Hwang 1992) ordenalas alternativas.

Los trabajos de Calzi (1990), Chiu y Park(1994) y, posteriormente, Kuchta (2000)formalizan los equivalentes difusos de to-dos los métodos clásicos de presupuesto decapital, los cuales pueden ser utilizados paraevaluar y comparar proyectos en formapráctica. Su contribución extiende y relajalos supuestos de los trabajos que Buckleyplanteó casi una década atrás.

En los últimos años, los estudios relativos alproceso de inversión han experimentado uncambio profundo en la incorporación denuevos elementos matemáticos que han ser-vido para introducir un cambio metodológi-co del problema. Como se deduce de lospárrafos anteriores, los modelos inicialmenteestablecidos para un ambiente de certeza sonadaptados para que sean válidos en un con-texto de incertidumbre; en este sentido, loselementos fundamentales continúan siendolos mismos que en los estudios clásicos, perosu generalización permite cubrir un espec-tro más amplio de situaciones, es decir, laincertidumbre y la indeterminación.

El nuevo marco decisional de las inversio-nes ha pasado de la aleatoriedad al campodifuso (borrosidad). Como se ha indicado,la teoría de los conjuntos difusos es unaparte de la matemática que se adapta bien alestudio de lo subjetivo y de lo incierto; sin

F~ ,n~ ,r~ ,P~

( )n~r~

1P~

F~ ⊕Θ=

∑= ⊕

⊕=n

r1i

i

i

0

)~1(

P~

P~

NP~

V



embargo, como acota Gil Aluja: “si bien escierto que la reformulación de los concep-tos tradicionales permiten ciertas solucio-nes, quedan todavía demasiados puntososcuros”; además, “la aparición de nuevosconceptos y el desplazamiento de los yaexistentes a nuevos lugares, están permitien-do cubrir una amplia gama de problemas dedecisiones de inversión” (2002, p. 25).

Uno de estos nuevos enfoques que incor-poran conocimientos y percepciones delanalista en el problema de la inversión es elmodelado de elementos mediante la lógicadifusa como la capacidad administrativa, lassinergias que genera el proyecto, el conoci-miento del mercado, la tecnología, la acti-tud hacia el riesgo, la consistencia estratégicadel proyecto, la diferenciación, etc., cuyaspercepciones y evaluaciones por parte delanalista permiten modificar la decisión deinversión, sobrepasando aun los resultadosobtenidos con el criterio de decisión (VPN,TIR o la valoración mediante opciones rea-les). Magni (2002) y Chen y Hwang (1995)puntualizan los problemas e inconsistencias

de la teoría de inversión clásica y planteannuevos enfoques.

Una aplicación de este nuevo enfoque, quemezcla tanto los conceptos tradicionales deevaluación de proyectos con la lógica difusacomo los sistemas expertos, puede encon-trarse en Magni, Mastroleo y Facchinetti(2001). Una descripción detallada del mon-taje de sistemas expertos difusos puede en-contrarse en Kandel (2002) y Leondes (1998).

El Gráfico 6 muestra el sistema experto paraevaluar inversiones estratégicas mediante op-ciones reales considerando variables cualitati-vas definidas a partir de los expertos. El modelofue propuesto por Magni, Mastroleo, Vignolay Facchinetti (2001), donde la salida del siste-ma Y es definida como el valor de la inversión.El modelo considera 16 variables de entrada,entre las cuales se cuentan: el valor de las op-ciones, la diferenciación, el tamaño del mer-cado, el riesgo, la capacidad de producción,los canales de distribución, las sinergias queproduce el proyecto, la consistencia estraté-gica del proyecto y el equipo administrativo.

Gráfico 6Sistema experto difuso para evaluación de inversiones

Fuente: Magni (2001).



Mediante sistemas de lógica difusa, las va-riables de entrada se agrupan con ayuda delcriterio experto y definen variables de ma-yor nivel, con un significado lingüístico cla-ro. El proceso se repite hasta que la variablede salida es alcanzada.

Otro importante enfoque del problema deinversión puede encontrarse en Gil Aluja(2002), quien incorpora la incertidumbremediante conjuntos difusos en los modelosfinancieros tradicionales para la evaluaciónde inversiones. Algunos problemas tratadospor el autor son:• El riesgo financiero.• El análisis de productos financieros.• La selección de los productos finan-

cieros.• El desgaste en el proceso de inversión.• La distribución de recursos financieros

mediante programación dinámica difusa.• La renovación de equipos.• El mantenimiento de equipos.

2.3 Análisis técnico

El análisis técnico es un intento de prede-cir el movimiento futuro de los precios delas acciones analizando los movimientospasados de los precios. No considera demanera explícita factores como las políti-cas fiscales, el entorno económico, las ten-dencias de la industria y los eventospolíticos; en cambio, tiene en cuenta queen los precios está contenida toda la infor-mación, y se preocupa por descubrir pa-trones de los movimientos históricos de losprecios y las fuerzas de oferta y demandaque los afectan.

El análisis técnico confía en los gráficos ybusca patrones particulares para predecir elcomportamiento futuro. El estudio se enfo-ca en la psicología y la respuesta del inver-sor ante la información de los movimientosde los precios.

El precio al cual un inversor está dispuestoa comprar o vender depende de su expecta-tiva, es decir, si espera que lo precios su-ban, entonces comprará; mientras que siespera a que bajen, venderá. Los participan-tes del mercado anticipan futuras tenden-cias de los precios y toman acciones quederivan a su vez en el movimiento de losprecios del mercado. Debido a que este últi-mo es altamente no lineal, muchas investi-gaciones se han enfocado en el análisistécnico con el fin de mejorar la rentabilidadde las inversiones (Azoff, 1994; Gately,1996; Refenes, Burgesss y Bentz, 1997;Trippi y Turban, 1993).

Recientes aplicaciones exitosas de la inteli-gencia artificial al análisis técnico, confir-mado por pruebas estadísticas, han generadogran interés por las investigaciones en estaárea. Tecnologías como las redes neurona-les artificiales, los algoritmos genéticos(Franklin y Karjalainen, 1999), la lógica di-fusa, los patrones de reconocimiento y elaprendizaje de máquinas contribuyen actual-mente a realizar una asistencia computacio-nal en el descubrimiento del conocimientode una manera más eficiente. Esto último serefiere a encontrar patrones no triviales yútiles en los datos, tal y como éstos se pre-sentan en los gráficos de precios, que per-mitan realizar predicciones o respaldar lasdecisiones de compra, venta o mantener lasposiciones.



Existen muchos tipos de indicadores para elanálisis técnico y una de las cuestiones másdifíciles es determinar cuál indicador utilizar;no obstante, utilizar varios de éstos puedenmejorar los resultados. En la mayoría de loscasos, la evolución de los indicadores no dauna respuesta definitiva sobre la evolucióndel precio, la cual depende de la experienciay de la interpretación del analista.

Con el uso de técnicas de lógica difusa pue-den crearse modelos computarizados ópti-mos para evaluar el movimiento del preciode las acciones. En general, se analizan losgráficos de diferentes indicadores técnicoscon los que pueden crearse nuevas varia-bles de entrada que alimenten el sistema di-fuso y cuya salida permite sustentar lasdecisiones de compra, de venta o mantenerla posición.

El razonamiento difuso es muy útil en esteproblema de inversión, ya que los expertosinterpretan los indicadores técnicos de ma-nera diferente y las respuestas al comporta-miento de estos indicadores no son obviasy concluyentes. Las respuestas no son com-pletamente verdaderas o falsas. En lógicadifusa, la verdad de cualquier afirmación escuestión de grado, por ello esta técnica secomplementa bien con el análisis técnico.

En la literatura consultada se encontraronpocos estudios de la aplicación de la lógicadifusa combinada con el análisis técnico, es-pecíficamente en la combinación con indica-dores técnicos (osciladores, estocásticos yde volumen) para predecir comportamientosde precios o en el descubrimiento de los pa-trones de comportamiento tipo cabeza-hom-bros, etc. (Deboeck, 1996; Francis, 1993;

Lam, Chiu y Chan, 1996; O’Neil, 1995;Simutis, 2000; Choobineh y Behrens, 1992;Dourra y Siy, 2002). En este sentido, estecampo promete una gran área de investiga-ción. Todavía queda un largo camino por re-correr para que los computadores simulenlos juicios humanos. Con la lógica difusa seincorpora el proceso cognoscitivo humanoen la detección automática de patrones, mu-cho mejor que lo que lo hace el análisis técni-co tradicional.

El método propuesto por Dourra y Siy(2002) puede resumirse en los siguientespasos que, en su parte fundamental, contie-nen todos los elementos conceptuales de unsistema de inferencia difuso:• Se parte de los indicadores y se gene-

ran nuevas variables que son parame-trizadas mediante conjuntos difusos.Los indicadores fundamentales se utili-zan para establecer los planes de inver-sión de largo plazo, y los indicadorestécnicos, para establecer los planes deinversión de corto plazo.

• Se asocian las variables de entrada ysalida mediante reglas difusas.

• Se calcula a partir del conjunto difusode salida un valor nítido que permita ha-cer la recomendación de negociación.

Mientras que el método anterior se enfocaen determinar reglas generales de negocia-ción o base de conocimiento, generadas apartir del comportamiento de los indicado-res –asociadas al conocimiento experto–,otras técnicas se centran en examinar lospatrones gráficos (Levy, 1971; Dong yZhou, 2002), como las formaciones cabe-za-hombros.



Las investigaciones se centran en dos áreas:la primera es la detección automática depatrones técnicos en forma similar a comolo hace el experto inversor. En este sentido,Lo y Repin anotan: “El trader más exitosonegocia basándose en su intuición acercade la fluctuación de los precios y la dinámi-ca del mercado, sin necesidad de articularun algoritmo cuantitativo para tomar susdecisiones complejas”. Luego dicen: “lasreglas de negociación están basadas en larelación y asociación de información y for-madas a nivel subconsciente” (2001, p. 15).

Debido a la forma en que los traders tomansus decisiones, una sutil diferencia en un pa-trón técnico puede parecer no significativapara uno poco experimentado, pero muy sig-nificativa para uno experimentado. Los pro-gramas de cómputo de reconocimiento depatrones deben ser diseñados para capturaresas pequeñas diferencias y extraer informa-ción importante desde el ruido, y en este puntola lógica difusa ha impulsado las investiga-ciones y mejorado los resultados, ya que per-mite incorporar la incertidumbre del procesocognoscitivo humano en el análisis técnico(Lo, Mamaysky, Wang, 2000; Dong y Zhou,2002; Becker y Seshadri, 2003).

La segunda área de interés se centra en laspruebas estadísticas del grado de efectivi-dad del análisis técnico. Al respecto existecontroversia y confusión, puesto que dife-rentes métodos de prueba generan resulta-dos conflictivos.

2.4 Análisis de crédito

Para evaluar la solvencia y la capacidad de pagode solicitantes de crédito, se utilizan varias téc-

nicas, como el análisis discriminante, la regre-sión logística, el sistema de puntos o, simple-mente, el juicio subjetivo y la experiencia. Esteanálisis debe realizarse de forma objetiva y efi-ciente, adaptándose a las características parti-culares de cada cliente y muchas vecespartiendo de información imprecisa e insufi-ciente, especificada tanto en términos cuanti-tativos como cualitativos. Aparece entoncesla lógica difusa como una herramienta alterna-tiva para realizar esta tarea de una manera ágil,objetiva y fácil de entender.

Facchinetti y Mastroleo (2000) y Facchinetti,Bordoni, Mastroleo (2000) muestran lasventajas de utilizar un sistema difuso para elanálisis de crédito respecto a los métodosclásicos. Los autores señalan que la aplica-ción de modelos basados en lógica difusaes una manera competitiva de abordar laevaluación de los créditos de los clientes,ya que permite capturar todo tipo de infor-mación y tratarla matemáticamente. Lasventajas se ven incrementadas cuando esposible aplicar métodos de optimización alFIS (por ejemplo, las redes neuronales arti-ficiales o los algoritmos genéticos), comoes el caso de la aplicación de los sistemasde inferencia difuso adaptativos o el siste-ma de inferencia difusa basado en redes(ANFIS) (Malhotra y Malhotra, 2002).

Cuando se cuenta con información impreci-sa e insuficiente, como es el caso de muchassituaciones del análisis de crédito, usar ins-trumentos estadísticos no es suficiente paraobtener resultados significativos. La lógicadifusa surge precisamente para tratar con estetipo de problemas y lograr darles una solu-ción óptima. De esta forma, un modelo ba-sado en la lógica difusa, combinado con la



experiencia y conocimiento de los encarga-dos de tomar decisiones, es una excelentemanera de obtener buenos resultados en laevaluación de créditos (Facchinetti, Cosma,Mastroleo y Ferretti, 2001).

El procedimiento utiliza información de tipocuantitativo, derivado del análisis de los indi-cadores financieros, y de tipo cualitativo,derivado del análisis de las cualidades perso-nales y administrativas del solicitante, con elfin de construir un modelo basado en lógicadifusa (sistema experto difuso) que permitaevaluar su solvencia o capacidad financieray, posteriormente, definir el monto del crédi-to y el plazo que otorgará la entidad.

El análisis puede incorporar variables deentrada que traten alguno de los siguientesaspectos:• La actividad económica del solicitante.• La evaluación financiera del solicitante.• La estructura de propiedad de la firma.• Las características del mercado en el

cual trabaja.• Su posición en el mercado.• Los factores críticos del sector.• La evaluación de la calidad administra-

tiva.• La presencia de factores de riesgo en el

pasado y en el presente.• Los factores explicativos de la actual

situación financiera.

Algunos de los aspectos considerados pue-den ser objetivos; por ejemplo, “la evaluaciónfinanciera y la estructura de propiedad” mien-tras que otros son subjetivos; por ejemplo, la

“evaluación administrativa” es un aspecto cua-litativo y trata con una evaluación basada enla reputación, credibilidad u organización quele da a la firma el propietario o administrador.En general, la información se recopila mediantela elaboración de encuestas y análisis de losestados financieros de los solicitantes.

El sistema experto difuso (Facchinetti, 2001;Bojadziev y Bojadziev, 1997) está representa-do por un árbol de decisión cuya complejidaddepende del número de variables de entrada ydel número de variables intermedias creadas(variables de mayor nivel o agrupamiento depocas variables que tienen un significado im-portante) como se muestra en el Gráfico 7.

Con los valores específicos de cada unade las variables de entrada al sistema, elresultado de la evaluación de cada uno delos bloques o variables de mayor nivel has-ta llegar a la variable de salida del sistemaexperto es obtenido mediante un conjuntode reglas difusas del tipo si-entonces, lascuales son obtenidas por medio de dife-rentes procedimientos.

Una aproximación para obtener la base deconocimiento es entrevistar a los expertos,con el fin de determinar las relaciones im-plícitas entre las variables del modelo. Otrosmétodos más sofisticados y que requierenel uso de bases de datos consisten en utili-zar procesos de aprendizaje automáticos.Técnicas como las redes neuronales artifi-ciales o los algoritmos genéticos permitendefinir las funciones de pertenencia y lasreglas difusas. Las dos aproximaciones sondiferentes: la primera no utiliza datos histó-ricos del problema y deja que se establezcaun contacto real con los expertos, que pue-



den trasmitir toda la experiencia de años detrabajo en el campo. La segunda aproxima-ción se basa en datos históricos y transfiereal futuro la estructura del pasado. En estecaso se supone que toda la información ne-cesaria está contenida en los datos.

Aplicaciones de los sistemas de inferenciadifusa en el análisis de crédito pueden en-contrarse en Malhotra y Malhotra (2002),Facchinetti y Mastroleo (2000); Facchinettiet al. (2000) y Bojadziev y Bojadziev(1997).

Gráfico 7Sistema experto para análisis de solvencia

Fuente: Facchinetti (2001).



Por otra parte, los sistemas expertos difusostienen amplia aplicación en el diseño de siste-mas de respaldo para la toma de decisiones ypueden ser aplicados a una multitud de pro-blemas. Algunas de las aplicaciones referen-ciadas en la literatura son:• Evaluación de proyectos (Bojadziev y

Bojadziev, 1997; Magni et al., 2001; VonAltrock, 1997; Magni, 2002).

• Detección de fallas o fraudes.• Evaluación de riesgos operativos.• Sistemas de diagnóstico en aplicacio-

nes médicas.• Sistemas de diagnóstico en psicología

y sociología.• Control de calidad.• Evaluación sociopolítica.• Aplicaciones en mercadeo.• Controladores de equipos industriales.

2.5 Análisis financiero

En este aspecto se recogen una serie de tra-bajos que están orientando el análisis finan-ciero de las empresas en el siglo XXI y quepermiten dotar al analista de instrumentos omodelos aptos para la toma de decisionesbajo un contexto caracterizado por cambiossociales y económicos extremadamente rá-pidos y profundos. Los entes económicosestán inmersos en un mundo en el cual todoacontecimiento se produce y desarrolla contal rapidez que hace prácticamente imposi-ble saber con exactitud lo que el futuro de-parará. Todos los acontecimientos ycircunstancias posibles llevan una fuertecarga de incertidumbre.

Las decisiones financieras tienen gran efectoen el desempeño de la empresa, y un errorpuede provocar la desaparición de la empre-sa del mercado o tener consecuencias nega-tivas sobre la liquidez o la rentabilidad. Lasdecisiones de inversión, financiación y divi-dendos tocan todos los aspectos de la em-presa, como el recurso humano, la calidad,la tecnología, el mercado, la producción, etc.,y reviste cada vez más complejidad debido alas circunstancias cambiantes relativas a dis-posiciones legales, influencias de otros sec-tores y países, cambios en el sistemamonetario, tendencias, situación sociopolíti-ca, etc.

Los problemas financieros varían a lo largodel tiempo y con ellos se constata una evo-lución de las técnicas utilizadas para su so-lución. En los últimos años se ha observadoque estas variaciones se han ido producien-do cada vez con mayor rapidez.

Para poder abordar los problemas de índoleeconómico o empresarial bajo un contextode cambio e incertidumbre, ya no son sufi-cientes los conocimientos basados en la ló-gica formal, cuya matemática se basa en unesquema mecanicista. La lógica booleanatambién se queda corta e impotente ante estanueva forma de actuación de la sociedad. Afin de atender las exigencias que muchasveces se formulan –relativas a algún tipo depredicción u opinión acerca de un aconteci-miento futuro– se ha hecho imprescindibleutilizar un nuevo conjunto de técnicas basa-das en la incertidumbre, cuyo objetivo esplasmar en los resultados obtenidos toda lasutileza y subjetividad que caracteriza el pen-samiento humano.



Por otro lado, para que la empresa consigasus objetivos es necesario, cada vez con másfrecuencia, disponer de la ayuda de exper-tos. Ellos, con base en su conocimiento yexperiencia, deberán ser capaces de orientarla actividad empresarial y estrechar el abani-co de posibilidades de decisiones erróneas.Fundamentar los estudios del análisis finan-ciero en la opinión de los expertos, que in-cluyan la incertidumbre, constituye un avanceen el marco metodológico financiero de di-cho análisis (cambio que va mas allá de sus-tentar las decisiones basadas en datos delpasado o en estimaciones probabilísticas).

La opinión de expertos no está exenta de uncierto grado, más o menos elevado de sub-jetividad; por ello muchos trabajos planteanel problema de la agregación de la opiniónde expertos conocido como expertones(Kaufmann, 1987), con los objetivos de li-mitar, en lo posible, el componente subjeti-vo de las opiniones y de conseguir que lasdecisiones tengan la mejor garantía en or-den a la obtención de las metas deseadas.

Según lo anterior, el núcleo central sobre elque gira la vida económica y sobre el que sedesenvuelve la actividad financiera está con-formado por dos aspectos: por una parte, losrazonamientos lógicos que permiten calcu-lar, medir y elegir; por la otra, un conjunto desensaciones, intuiciones y experiencias so-bre el problema. El primer aspecto permitióla formalización de la ciencia económicamediante instrumentos basados en la mate-mática mecanicista, cuya máxima expresiónexigía la consideración del ser como un Homoeconomicus desprovisto de toda sensación yque le impedía conferir a sus actos cualquieratisbo de subjetividad. Las nuevas realidadeshan permitido superar este paradigma.

Las nuevas técnicas han tocado cada unode los aspectos del análisis financiero tradi-cional y han incorporado en el análisis lascondiciones de incertidumbre y vaguedadde los problemas, así como el criterio ex-perto. El instrumental de análisis para estenuevo enfoque se basa en la lógica difusa,los conjuntos difusos e intervalos de con-fianza, la matemática, el álgebra difusa y losexpertones, que se han incorporado a la ma-yoría de modelos utilizados para el análisisfinanciero de la firma; en este sentido, lossiguientes problemas son replanteados:• Estructura financiera óptima.• Política de dividendos.• Presupuesto de efectivo y flujo de caja.• Capital de trabajo.• Índices del desempeño financiero.• Nivel de inventarios.• Fuentes de financiación.• Costo del capital.• Determinantes de la tasa de interés.• Análisis de la liquidez, la rentabilidad y

el endeudamiento.• Valor de la empresa.• Punto de equilibrio.• Colocación de recursos financieros.• Riesgo de mercado y riego operativo.

Pueden consultarse las aplicaciones de lalógica difusa en diferentes temas del análi-sis financiero numerados anteriormente enLafuente (1990 y 2001), Carlsson (1980),Kaufmann y Gil Aluja (1986 y 1995) yLafuente, Gil Aluja, Teodorescu y Tacu(1992).



Conclusiones

La lógica difusa abre un nuevo campo deexploración en muchas áreas del conoci-miento en nuestro medio. La importancia yuso creciente de los nuevos modelos basa-dos en la lógica multivalente (de la cual lalógica borrosa es la mayor exponente), porparte de la comunidad científica, representala inmersión en un nuevo mundo, donde laincertidumbre no impide un eficaz tratamien-to de los problemas de decisión financiera.Los nuevos paradigmas permiten recoger losfenómenos económicos y empresariales contoda su incertidumbre con el fin de realizaraproximaciones más cercanas a la realidad,es decir, permite la adaptación de los mode-los a la realidad y no al contrario.

En el ámbito de formalización de los mode-los de decisión basados en lógica difusa–sustentados en las hipótesis basadas en lacerteza y en la aleatoriedad, comunes hastano hace mucho en los modelos económi-cos y financieros– éstos se ha ido comple-tando a partir de las investigaciones sobreel tratamiento de la incertidumbre y su in-corporación en la mayoría de modelos de lateoría financiera. El instrumental de análisisse basa en los conceptos de la matemáticadifusa, y emplea entre otros elementos, losconjuntos difusos y los FIS, sustentadosen el conocimiento adquirido a lo largo deltiempo por los expertos. Lo anterior cons-tituye una gran fortaleza para llevar a acaboanálisis socioeconómicos, puesto que exis-ten factores externos al sistema que pro-porcionan información adicional para laevaluación y que son evaluados implícita-mente por los expertos, quienes conocen yentienden su sistema. De esta manera, la

lógica difusa se perfila como una alternati-va importante para el desarrollo de siste-mas expertos, que constituyen una verdaderaherramienta de apoyo a la toma de decisio-nes económicas.

Los comentarios de las aplicaciones realiza-das en el campo financiero muestran sólouna pequeña parte de las aplicaciones desa-rrolladas. En general, las matemáticas de laincertidumbre cubren todo el abanico deáreas del conocimiento que van desde apli-caciones prácticas hasta la formalización yextensión de los modelos de la matemáticaclásica, como el cálculo integral, las proba-bilidades, la trigonometría, la geometría, latopología, la econometría, etc.

Por otro lado, queda por fuera de este ar-tículo un importante campo de investiga-ción de la lógica difusa, la cual se combinacon otras técnicas de la inteligencia artifi-cial, como las redes neuronales artificia-les, los algoritmos genéticos, el caos, losfractales, etc., que pueden ser aplicadospara resolver problemas financieros o decualquier otra índole. En términos genera-les, la combinación de estas técnicas per-mite crear sistemas robustos conocidoscomo sistemas conexionistas o sistemashíbridos, aplicados con éxito en muchoscampos del conocimiento. En Kasabov(1998), Jain y Jain (1997) o Leondes (1998)puede encontrarse una recopilación de tra-bajos, en la cual se proponen diversos tiposde interrelación entre estas técnicas y la ca-pacidad de resolver muchos problemas deingeniería. A partir de este momento, unagran cantidad de problemas parecen encon-trar una salida mucho más acorde con lasnecesidades actuales y futuras.



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