ST2_Ec. e Inec. Lineal y Cuad

7/18/2019 ST2_Ec. e Inec. Lineal y Cuad

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MATEMÁTICA BÁSICASESIÓN 2: EC. E INEC. LINEAL Y CUADRÁTICAS. EC. EXP. Y LOGARÍTMICA

Docente. Elmer MarquinaV.



¿QUÉ TIENEN EN COMÚN DICHAS IMÁGENES?

¿Qué tipo de ecuaciones trabajaremos?



ESTADÍSTICAS RELACIONADO A ACCIDENTES DE TRÁNSITO

¿Cómo puede usted interpretar esta información en términos deinecuaciones lineales?



PLANTEE Y RESUELVA EL SIGUIENTE PROBLEMA APLICATIVO

El producto brutointerno (PIB) de unpaís está proyectadoenmiles de millones dedólares, donde semide en años a partirdel año en curso.Determínese el

instante en ue el!"# del país sea i$ualo e%cede &'( milmillones.

2 2 50t t + +



2. ¿Qué es una inecuación? ¿Qué es una desigualdad?, ¿son lo

mismo?

4. ¿Gráficamente, como es la solución de una inecuación?

3. ¿Qué diferencia ha entre la solución de una ecuación conres!ecto a una inecuación?

RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

". ¿Qué es una ecuación? ¿#n $ué se diferencia una ecuación linealde una cuadrática?



)

LOGRO DE SESIÓN

%l finali&ar la sesión, el estudianteresuel'e e(ercicios de ecuaciones einecuaciones de !rimer segundo grado,

!ro)lemas del conte*to real relacionados ala ingenier+a gestión em!resarial,haciendo uso de la teor+a de ecuaciones e

inecuaciones lineales cuadráticas deforma correcta.



CONTENIDOS

*

". #cuación lineal ecuación

cuadrática.

2. necuación lineal cuadrática.3. -ro)lemas a!licati'os de

#cuaciones e inecuaciones.

4. eferencias /i)liográficas.



Ecuación: #s una igualdad entre dos cantidades, en las cuales inter'ieneal menos una 'aria)le.

1. ECUACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA

(

#(em!los.

........042

.....4"

................54

.............."212

2 =+−

−=−+

=−=+

x xd

w z y xc

pqb

xa

Ecuación in!a: #s a$uella ecuaciónde la forma , con .0=+ bax 0≠a

#(em!los.

0"0

030

40

3452

"5

−=

+=

=

−=−

=−

qU e

qC d

q I c

x xb

xa




+

#(em!lo ". ( ) x x x 5"22314 −=−+esol'er

( ) x x x 5"22314 −=−+

olución.

⇒

2

13

""23

5"2"2"4

=

−=−

−=−

−=−+

x

x

x

x x x

..6 { }2




-

#(em!lo 2. 5

52"

2

2

3

" x x x −=+

−−

−esol'er

olución.

..6

−

25

23

( ) ( )5

52

1

1"3"2 x x x −

=

+−−−

⇒

5

52

1

13322 x x x −=

++−−⇒

x x x x

30"23555

52

1

−=+−⇒−=+−⇒

2325 −=⇒ x



Ecuación cua"#$%ica: #s a$uella ecuación $ue se reduce a la forma


#(em!los.

====+−===−=

====−

====+

cba xd cba x xc

cbaqqb

cba x xa

..............04................4"

................14

..............012

2

2

2

2

0,02 ≠=++ aconcbxax



-or as!a sim!le-or fórmula general


-or as!a sim!le

0152 =++ x x

M&TODOS DE SOLUCIÓN:

2

3

0152

x

x

x x =++

{ }2,3.. −−=S C

-or as!a sim!le

042 2 =−+ x x

4

"2

042 2

+

−

=−+

x

x

x x

{ }27",4.. −=S C

Consiste esdescomponer lose%tremos yfactori/ar lae%presión cuadrática



-or fórmula general


0

0"32 2 =+− x x

−= ",

2

"..S C

0,02 ≠=++ aconcbxax

De la ecuación cuadrática1

Consiste en aplicar lafórmula1

a

acbb x

2

42 −±−=

#(em!los.

282

"82843838 2 −−±−−= x

",2

"

4

"3==⇒

±= x x x

035 2 =−− x x

{ },.. =S C

#(em!los.

82

88488 2 −±−= x

= x



2

osto 9i(o o Gastos Generales 8C F :

es la suma de todos los costos $ue son inde!endientes del ni'el

de !roducción.osto ;nitario 8C U :

es el costo de !roducir de cada unidad.

osto <aria)le 8C V :es la suma de todos los costos de!endientes del ni'el de

!roducción.

=>@A ;%BA #@ @#GAA



'

@G#A =A=%C 8 I = 8-#A8%@=B%B

ean:

p 6 !recio de 'enta unitario

q 6 unidades 'endidas o !roducidas

C 6 C U . q D C F C 6 C V D C F

I 6 p.q

A=A =A=%C 8C 6 A=A <%%/C# D A=A 9EA



)

;tilidad 8U = ngreso F osto =otal

U = I – C

-unto de e$uili)rio:<olumen +nimo de -roducción 8<-

;tilidad 6 0

ngreso 6 osto =otal



CONTENIDOS


cuadrática.




*



(

LOGRO DE SESIÓN

%l finali&ar la sesión el estudiante resuel'e

e(ercicios de inecuaciones de !rimer segundo grado, !ro)lemas del conte*to

real relacionados a la ingenier+a gestión

em!resarial, haciendo uso de la teor+a de

inecuaciones lineales cuadráticas de

forma correcta.



INECUACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA

Una "!'i(ua"a" !' una #!ación !n%#! ")' !*+#!'i)n!'

a(!,#aica' ) nu-#ica'/ !n a cu$ una "! !a' +u!"! '!#-a0)#/ -!n)# ) -a0)# i(ua/ -!n)# ) i(ua u! a )%#acan%i"a".

Bados a ), dos nHmeros reales, se cum!le sólo unaalternati'a: a 3 b, a 4 b, a

5 bE!-+):

3 4 5

6 7 8

9 ; 9 <

5 = >

<



PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE ORDEN EN R

S!an a/ , 0 c n?-!#)' #!a!' cua!'ui!#a/ '! cu-+! u!:

i a I ), entonces aDc I )Dc

E!-+):4 I im!lica $ue 4 D 2 I D 2

i a I ) c J 0, entonces ac I )c

E!-+):4 I im!lica $ue 483 I 83

i a I ) c I 0, entonces ac J )c

E!-+):4 I im!lica $ue 48K3 J 8K3



i a I ) ) I c entonces a I c

E!-+):4 I I "0 entonces 4 I "0

i 0 I a I ) entonces a J ) J 0⅟ ⅟

E!-+):0 I 4 I entonces 4 J L J 0⅟

i 0 I a I ) entonces 0 I aM I )M

E!-+):0 I 4 I entonces 0 I "1 I 14

i a I ) I 0 entonces 0 J a J )⅟ ⅟

E!-+):K I K4 I 0 entonces 0 J KL J K 4⅟

PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE ORDEN EN R



LA RECTA REAL



INTER@ALOS

D!'i(ua"a" N)%ación G#$ica

a 7 x 7b

B a b x ∈

B a b B x ∈

a b x ∈

a b B x ∈

a

b

• •

a

b

a

b

a

b

•

•

] [ ( ) @ota G G Ga b a b a b= =

a x b

a x b

a x b≤



D!'i(ua"a" N)%ación G#$ica

B a ∞B x ∈

9 ∞ a x ∈

a

a

a

a

•

a ∞B x ∈

9 ∞ aB x ∈

•a x ≤

a x >

a x <

a x ≥

INTER@ALOS



EERCICIOS PROPUESTOS

". onsidere los siguientes nHmeros: " K 0.3 0 K2." K 0.342.0" 0.45 3.005)2.000 20"3. a ndica cuales !ertenecen al inter'alo . ) uales !ertenecen al inter'alo .

2. #scri)e en forma de inter'alo re!resenta los nHmeros $uecum!len las condiciones indicadas en cada caso.a =odos los nHmeros reales $ue se encuentran entre los

nHmeros K"0 "5.

) =odos los nHmeros entre 0.5 , am)os incluidos.c =odos los nHmeros maores o iguales a K.d =odos los nHmeros menores $ue 20.

[ ]"G 2−

[ [2G+∞



2. INECUACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA

In!cuación Lin!a:#s a$uella inecuación $ue se reduce a cual$uiera de las siguientesformas:



2.1. M&TODO DE SOLUCIÓN

onsiste en: educir la desigualdad, eliminar todos los signos de

agru!ación, comen&ando !or el más interno. edu&ca la e*!resión de la inecuación con el m.c.m , si encaso es fraccionaria.

educir los términos seme(antes de la inecuación en cadamiem)ro si lo hu)ieran.

%gru!e los términos lineales a un lado de la inecuación lostérminos inde!endientes al otro.

Bes!e(e la incógnita re!resente en la recta real.



EERCICIOS RESUELTOS

. 6esol7er 829%:; : ' 3 ' < %82% 8( :' 3 ' < % 82% 80 3 ' < % 82% : % 3 ' : 0 8% 3 ( % 5 82

-4

C.S. = ⟨-∞, -4⟩

. 6esol7er 29% 8 '; : 0 = 0 < 2% : 9 8 %; 2% < - : 0 = 0 < 2% : < % 2% < * = ' < '%

2% : '% = ' : * +% = % = >+

22/9

C.S. = [22/9, +∞⟩



a*2 F ,* F c 4 >

a*2 F ,* F c 7 >

a*2 F ,* F c ; >

a*2 F ,* F c = >

a/ , c ')nn?-!#)' #!a!'0 a !' "i!#!n%!

"! c!#)

2. INECUACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA

In!cuación cua"#$%ica:#s a$uella inecuación $ue se reduce a cual$uiera de las siguientesformas:



M&TODO DE SOLUCIÓN

onsiste en: educir la desigualdad, o)teniendo una inecuación de la a*2 F ,* F c 4 >

a J 0 en cada uno de los casos 7/ ; ó =H.

9actori&ar la inecuación cuadrática, !or cual$uier método de factori&ación.

gualar a cero cada factor, !ara o)tener los !untos de referencia8!untos cr+ticos$ue se u)icarán en la recta real.

e u)ican en la recta real los !untos cr+ticos, di'idiendo la recta en 'ariossu)inter'alos luego asignar signos !ositi'os negati'os de derecha a i&$uierdaen forma alternada.

#legir los su)inter'alos del !aso anterior segHn la desigualdad , estos formaránlos inter'alos de la inecuación cuadrática.



EERCICIO RESUELTO

( ) 2 3 "5 1 x x x x− − < −esuel'a la siguiente inecuación:

Resolución:

x x x x −<−− 221"53

0"522 <−− x x 8factori&ar mediante el método del as!a sim!le

8 58 3 0 x x− + <

] [. 3G5C S = −

96 <9F F{ }

5 0 3 0

5 3

. 3G 5

x x

x x

P C

− = ∨ + =

= ∨ = −

= −



PROLEMA APLICATI@O

;n su!ermercado se encuentra con grandes e*istencias de carne de

res $ue de)en 'ender rá!idamente. #l gerente sa)e $ue si la carne seofrece a ! soles !or Nilo, 'enderá $ Nilos, con $ 6 "000 F 20!.¿Qué !recio m+nimo de)erá fi(ar con el fin de o)tener ingresos de !orlo menos 7. "2000?

+: +#!ci)

: can%i"a" !n Ji)' K 1>>> 9 2>+

I = 12>>>

S! 'a,! u! I K +.

+1>>> 2>+H = 12>>>

2>+2 1>>>+ F 12>>> ; >

(p - !)(p - "!) #!

20 0-+-+

$olución:

R!'+u!'%a: D!,! ia# un +#!ci) "! S. 2> c)-) -ni-) +)# Ji) "! ca#n!.



CONTENIDOS


cuadrática.




00



METACOGNICIÓN

• Cos estudiantes res!onden a las !reguntas:

• ¿Qué ti!o de !ro)lemas cotidianos se !odr+an resol'er

a!licando ecuaciones lineales cuadráticas?

• ¿Qué dificultades se !resentaron en la resolución de

e(ercicios de las ecuaciones lineales cuadráticas?

• ¿Qué dificultades se !resentaron en la resolución de

e(ercicios de las inecuaciones lineales cuadráticas?

• ¿Be $ué manera resol'+ las dificultades encontradas?,

• ¿Qué he a!rendido en esta sesión?



0'

REERENCIAS ILIOGRAICAS

". Oarsh)arger, enolds. Matemáticas Apicadas. !"# $A%S

2. -rado, antiago. -re cálculo. 5"5 -%B.

3. tePart, Eames. -re cálculo. 5"5 =#7-.

4. Carson. -re cálculo. 5"5 C%

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