Universidad Politécnica de Chiapas. Interpolación cubica.

Procesamiento de Señales Biomédicas. Catedrático: Dr. Mayorga Álvarez P. P.

1

Resumen—El procesamiento de señales biomédicas constituye un

área de investigación extensa donde diversos métodos matemáticos

son usados para adquirir dichas señales; ingenieros, colaboran para

desarrollar algoritmos adecuados a las diferentes tipos de señales y

aplicaciones, que posibiliten el establecimiento de diagnósticos más

precisos. Estos métodos matemáticos nos ayudaran a obtener

muestras eficaces, para el proceso de señales biomédicas, tal es el

caso de la interpolación cubica; la interpolación cubica sin lugar a

duda es un método de análisis de datos, el presente documento

desarrolla el método de interpolación cubica también conocido como

“Spline cúbicos naturales”, donde se reconstruyo un rostro a través

de coordenadas tomadas de una imagen y usando interpolación

cubica se graficaron las diferentes funciones.

I. INTRODUCCIÓN

En numerosos fenómenos de la naturaleza

observamos una cierta regularidad en la forma de producirse,

esto nos permite sacar conclusiones de algún fenómeno en

diversas situaciones, con solo conocer algunos datos

relevantes, este es el caso de la interpolación, la cual consiste

en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos

los valores en los extremos.

El término "spline" hace referencia a una amplia

clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que

requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas.

Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en

varias dimensiones. Existen diversos tipos de splines, aunque

el presente documento solo tomara como base los splines

cúbicos naturales, ya que actualmente son unos de los

métodos mas usado.

A) Splines cúbicos naturales

Esta técnica es ampliamente utilizada en el

procesamiento digital de imágenes. Lo que se pretende es

representar a todos los puntos con un polinomio de alto grado,

se dividen por segmentos a los puntos, donde cada segmento

será representado por un polinomio, véase Fig.1.1. [1]

Fig.1.1 interpolación cubica

Como bien sabemos la interpolación en ciertos casos

el usuario solo conoce el valor de una función f(x) en una serie

de puntos x1, x2, · · ·, xn, pero no se conoce una expresión

analítica f(x) que permita calcular el valor de la función para

un punto arbitrario. [2]

La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para

un x arbitrario, a partir de la construcción de una curva que

une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo

valor si se conoce. Se asume que el punto arbitrario x se

encuentra dentro de los límites de los puntos de medición.

Como ya se menciono esta es una amplia clase de

funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la

interpolación de datos, o un suavizado de curvas.

Al hablar de una interpolación cubica hacemos

referencia a una polinomio f(x) a través del que construimos

los Splines en [x,y], es decir tiene un grado 3; debido a esto

deberá tener la forma. (1)

( ) (1)

Debido a esto es que tenemos vamos a tener cuatro variables

por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condición para cada

punto común a dos intervalos, esto respecto a la segunda

derivada.

Interpolación cubica

Sánchez García I, Díaz López J, Hernández Cholac F, Torres Abarca F.

Universidad Politécnica de Chiapas

Universidad Politécnica de Chiapas. Interpolación cubica.

Procesamiento de Señales Biomédicas. Catedrático: Dr. Mayorga Álvarez P. P.

2

Por lo anterior es que los splines son utilizados para

trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las

funciones para la interpolación por splines normalmente se

determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a

una serie de restricciones. [3]

Los splines cúbicos naturales usan la segunda

derivada de f se hace 0 para el primer y último punto sobre el

que está definido el conjunto de Splines.

Como podremos ver en nuestras pruebas los splines

cúbicos naturales eliminan dos problemas de los splines

lineales, tales como su lentitud de convergencia y el que

presenta ángulos en los nodos, lo cual es inadecuado en ciertas

aplicaciones, esto ya que es una función polinómica

segmentaria de grado 3 con derivada de primera y segunda

continuas, es decir suaves de segundo orden y continua. Véase

Fig.1.2.

Fig.1.2 interpolación cubica, interpolación lineal- grafica de

una función interpolada lineal y cubica

II. DESARROLLO

Para entender mejor el funcionamiento de los splines

cúbicos naturales explicaremos sobre las condiciones que

estos deben de tener. El spline cubico es del tipo k=3 siendo k

el grado al que pertenece, cada intervalo [ ], [ ],…,

[ ] , S está definido por un polinomio cúbico diferente.

Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el

intervalo [ti, ti+1], por tanto (2).

{

( ) )

( ) )

( ) )

(2)

Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el

punto ti, es decir, se cumple:

Si-1(ti) = yi = Si(ti) (1 ≤ i ≤ n-1 (3) Lo anterior nos garantiza que S es continuo en todo

el intervalo. Al igual que en S' y S'', por lo tanto son continuas,

dicha condición es la que se emplea en la deducción de una

expresión para la función del spline cúbico.

Si aplicamos la condición de continuidad de los

splines, tanto de la primera y la segunda derivada, es posible

encontrar la expresión analítica de los splines cúbicos; la cual

nos expresa (4).

( )

( )

( )

(

) ( )

(

)( )

(4)

Donde y son incógnitas, sus

valores estarán dados por las condiciones de continuidad (5).

( )

( )

( )

(5)

Ahora bien en la ecuación (5) i=1, 2, …, n-1, debido

a esto, genera un sistema de n-1 ecuaciones con n+1

incógnitas

La función spline resultante se denomina spline cúbico

natural y el sistema de ecuaciones lineal expresado en forma

matricial es, véase fig.1.3. [4].

Fig.1.3 Matriz de splines cúbicos naturales

Universidad Politécnica de Chiapas. Interpolación cubica.

Procesamiento de Señales Biomédicas. Catedrático: Dr. Mayorga Álvarez P. P.

3

Después de haber entendió la base de los spline

cúbicos naturales se tomo una imagen de un rostro, véase fig.

1.4. De la cual se tomaron coordenadas de cada parte del

rostro, con el fin de usar los splines cúbicos y poder

reconstruir el rostro esto con el fin de demostrar la eficacia de

este método.

Fig.1.4 Rostro a interpolar.

Después de haber desarrollado los splines cúbicos

naturales con las coordenadas anteriormente tomadas, se

reconstruyo el rostro, interpolando cada uno de los puntos

dados. Véase fig. 1.5.

Fig.1.5 Rostro interpolado con splines cúbicos naturales.

Para poder comprender mejor la importancia de la

interpolación cubica, así como la eficacia de este método se

realizo una comparación entre la interpolación lineal y la

interpolación cubica, tomando como datos, las coordenadas de

un ojo del rostro. Donde se obtuvieron las siguientes

imágenes. (Véase imagen 1.6 – 1.8).

Fig.1.6 ojo interpolado con splines cúbicos naturales.

Fig.1.7 Ojo con interpolación lineal.

Fig.1.8 comparación de interpolación lineal vs interpolación

cubica

III. CONCLUSIONES

Sin lugar a duda los métodos matemáticos nos darán

soporte para entender y comprender el comportamiento de

cada fenómeno, de la misma forma el método de interpolación

cubica es de gran ayuda.

En las pruebas realizadas se pudo comprobar la

utilidad de este método, así mismo se comprendió cada una de

las variables que intervienen en todo el proceso de ajuste.

Como se pudo observar a través de las pruebas

realizadas la interpolación cubica, sin lugar a duda es mas

precisa comparada con la interpolación lineal; esto debido a

que es continua y suave de segundo orden. Si observamos en

la fig. 1.7 nos percatamos de que la interpolación es continua,

pero nunca es suave, esto ya que la función que interpola es

lineal de primer grado, todo lo contrario, si observamos la fig.

1.6 podemos notar no solo la continuidad de los puntos, sino

también la suavidad que hay en la interpolación. También nos

percatamos de que mientras mayor sea el numero de

Universidad Politécnica de Chiapas. Interpolación cubica.

Procesamiento de Señales Biomédicas. Catedrático: Dr. Mayorga Álvarez P. P.

4

divisiones interpoladas en dos puntos dados, menor será su

apreciación en las uniones, pero no hay que confundir esto con

el concepto de suavidad de la imagen.

La aplicación de los splines cúbicos es diversa, en

biomédica la podemos encontrar en el procesamiento de

imágenes. En otras disciplinas, en diseños automotrices,

reconstrucciones de imágenes, foto-estudios, hasta en análisis

estadísticos.

IV. REFERENCIAS

[1] Amos Gilat, “Matlab: Una introducción con ejemplos

claros”, Ed. Reverte, España, 2006, 331pp. ISBN

8429150358, 9788429150353.

[2] Miller Irwin, “Estadística Matemática con

Aplicaciones”, 6ª edición, Ed. Pearson Educación,

México, 2000. 640pp. ISBN 970-17-0389.8.

[3] Jesús García Quesada “Tutorial de Análisis

Numérico Interpolación Splines cúbicos”

Departamento de Informática y Sistemas,

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, 35017

Campus de Tara, España, 2 de Octubre de 2000, v0.3.

[4] Yuri Skiba, “Metodos y Esquemas Numericos”1ª

edición, Ed. UNAM, CU, México, D.F., 2005. 455

pp. ISBN 970.32-2023-1