PROBLEMA 1: En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblndolo convenientemente hagan con el mismo un cuadriltero con los cuatro ngulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decmetros cuadrados tenga de superficie el cuadriltero construido. Calcula razonadamente la cuanta del mximo premio que se pueda obtener en este concurso.

El mximo premio se obtiene cuando el cuadriltero tiene superficie mxima. Se trata, pues, de obtener el rectngulo de mxima superficie y de permetro 2 metros.

S xy=

2 2 2 1P x y y x= + = = -

( ) 21S x x x x= - = -

11 2 1 2 02

S x x x = - - = =

12 02

S x = - < = mximo

El ptimo es el cuadrado de lado 0.5 metros. En este caso, la superficie, y por tanto el premio, ser:

2 21 1 1 1 1 11 0,25 252 2 2 2 2 4

x y S m dm= = - = = = = =

Por tanto, el premio es de 25 euros.

PROBLEMA 2: La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos aos (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos aos como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas ser 150 aos. Qu edad tena el padre en el momento de nacer sus hijos?

x = edad del padre hoy y = edad del hijo mayor hoy z = edad del hijo menor hoy

( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2

3

150

x y z

x y z y y z z y z

x y z y y z z y z

= + - - = - - + - - + + + + + + + + =

2 2 0

2 8 0

4 4 150

x y z

x y z

x y z

- - = + - = + + =

1 2 2 0

1 2 8 0

1 4 4 150

xyz

- - - =

22 1

3 1 3

2

6

1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0

1 2 8 0 0 4 6 0 0 2 3 0

1 4 4 150 0 6 6 150 0 1 1 25

FF FF F F--

- - - - - - - - -

2 3 3 22

1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0

0 2 3 0 0 1 1 25 0 1 1 25

0 1 1 25 0 2 3 0 0 0 5 50

F F F F -

- - - - - - - - - -

2 2 0

25 10 15 50

5 50

x y z

y z z y x

z

- - = + = = = =- = -

PROBLEMA 3: Una empresa, que comercializa el producto A, recientemente ha efectuado una gran campaa publicitaria para promocionar este artculo. Sea ( )V t la variable, funcin del tiempo, que expresa el ritmo de ventas. Antes de la campaa el ritmo de ventas era

10.000aV = unidades/da. Al final de la campaa ( 0t = ), ( )V t alcanza su valor mximo, situndose en 50.000 unidades/da. A partir de ese momento se observa que ( )V t disminuye, de forma que su variacin instantnea es proporcional al exceso de ( )V t sobre aV , siendo 0.01k = - la constante de proporcionalidad. Se pide:

a. Determinar cuantos das han de transcurrir, desde el final de la campaa, para que el ritmo de ventas ( )V t , sea de 30.000 unidades/da

b. Representar grficamente la trayectoria temporal del ritmo de ventas para el primer ao

c. Cul es el valor mnimo de unidades/da?, en cunto tiempo ocurrir?

( )[ ]

( )

0.01 10.000

0 50.000

dV V tdtV

= - - =

( )( )0.01 ln 10.000 0.01

10.000dV dt V t t C

V t= - - = - +

-

( ) ( )0.01 0.0110.000 10.000t tV t Ce V t Ce- -- = = +

( )0 50.000 10.000 50.000 40.000V C C= + = =

( ) 0.0110.000 40.000 tV t e-= +

( ) 0.01 0.0130.000? 10.000 40.000 30.000 1 4 3t tV t e e- -= + = + =

0.01 1 10.01 ln 69,314

2 2te t t- = - = = das

50 100 150 200 250 300 350

10000

20000

30000

40000

50000

( ) ( )0.01lim lim 10.000 40.000 10.000t

t tV t e-

= + = unidades al da

PROBLEMA 4: Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero slo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 y el de uno pequeo 600 . Calcular cuntos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo ms econmica posible para la escuela. Resolver el problema de Programacin Lineal que resulta aplicando el mtodo grfico.

x = n autobuses de 40 plazas y = n autobuses de 50 plazas minimizar ( ), 600 800f x y x y= + sujeto a: 40 50 400x y+ 9x y+ , 0x y

54 5 40

49

xx y

yx y

=+ = =+ = ( )0,9 7.200f = euros ( )0,8 6.400f = euros ( )5,4 6.200f = euros

El coste mnimo es de 6.200 y se consigue con 5 autobuses pequeos y 4 autobuses grandes

PROBLEMA 5: En la siguiente tabla se presentan 24 datos correspondientes a las puntuaciones obtenidas en un examen final de Estadstica:

a. Realizad la tabla de frecuencias completa para la variable puntuacin del examen de Estadstica (tomad 7 intervalos).

xi abso acum f F % %acum 4 5 5 0,2083333 0,20833 20,83333 20,83333 5 3 8 0,125 0,33333 12,5 33,33333 6 4 12 0,1666667 0,5 16,66667 50 7 4 16 0,1666667 0,66667 16,66667 66,66667 8 2 18 0,0833333 0,75 8,333333 75 9 3 21 0,125 0,875 12,5 87,5 10 3 24 0,125 1 12,5 100 24 1 100

b. Dibujad el histograma (diagrama de barras) y el polgono de porcentajes acumulados.

Notas Estadstica

5

3

4 4

2

3 3

0

1

2

3

4

5

6

4 5 6 7 8 9 10

2,5 6 7 5,25 3 9,5 4 7,5 7 4,5 8,5 10

5,5 8,5 6 6,5 8 5 3,25 9,5 2,75 9 7 5

%acum

20,83333333

33,33333333

50

66,6666666775

87,5

100

0

20

40

60

80

100

120

4 5 6 7 8 9 10

c. Obtened la media, varianza, desviacin tpica, mediana y moda.

2,5 2,75 3 3,25 4 4,5 5 2 5,25 5,524

6 2 6,5 7 3 7,5 8 8,5 2 9 9,5 2 10 150,75 6,2812524 24

x + + + + + + + += +

+ + + + + + + ++ = =

( )22 118,0390625 5,13213 2,26542

1 23i ix x ns sN-

= = = =-

6 6,5 6,252

Me += =

Moda = 7

d. Sealar en el grfico anterior el decil segundo y el percentil 65 explicando su significado.

Decil segundo = 4,3 (el 20% de las notas estn por debajo de 4,3) Percentil 65 = 7 (el 65% de las notas estn por debajo de 7)