SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS ORDINARIOS Y SINGULARES

MARIA FERNANDA CABA MARQUEZ

KATHERINE GOMOEZ DOMINGUEZ

JUAN DAVID

GISELL MARIA MAFIOL SANCHEZ

HEIDY JOHANA PEÑA LOPEZ

MARGEINIS TERAN ANGULO

DOCENTE: SANDRA LUZ LORA CASTRO

GRUPO: ED1

UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC

FACULTAD DE INGENIERIA

2015

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCION

2. SOLUCION ENTORNO A PUNTO ORDINARIOS Y SINGULARES

2.1. EJERCICIOS

2.2. COEFICIENTES POLINOMIALES

2.3. EJERCICIOS

3. CONCLUCION

4. BIBLIOGREAFIA

1. INTRODUCCION

2. SOLUCION ENTORNO A PUNTO ORDINARIOS.

Aunque el método de series de potencias puede usarse en ecuaciones lineales de cualquier orden, sus aplicaciones más relevantes se refieren a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma

a (X ) y} + b left (X right ) {y} ^ {´} + c left (X right ) y= ¿, [1]

Donde a (x), b (x) y c (x) son funciones analíticas de x. En realidad, en la mayoría de las aplicaciones esas funciones son polinomios. Para determinar cuándo el método de series de potencias será efectivo, reescribimos la ecuación anterior en la forma

y} + p left (X right ) {y} ^ {´} + q left (X right ) y=¿, [1]

Con el coeficiente principal 1 y p (x) = b (x) /a (x) y q (x) = c (x) /a (x). Nótese que p (x) y q (x) en general no tienen porqué ser analíticas en los puntos que a (x) se anula. Por ejemplo, en la ecuación

xy} + {y} ^ {´} + xy =0 [1¿

Todos los coeficientes son funciones analíticas en todos los puntos pero si lo escribimos en la

forma resulta que p (X )=1xnoes analitica en X=0

El punto x = x0 se denomina punto ordinario de la ecuación diferencial (3) si las funciones p (x) y q (x) son analíticas en x0. En caso contrario, el punto recibe el

nombre de punto singular.

2.1. EJERCICIOS

1. Encontrar la solución de:

2 y} + {xy} ^ {´} + y =¿

En forma de serie de potencias en torno al punto ordinario x = 0.

Solución: Consideramos

y ( x )=∑n=0

∞

anXn

Y los correspondientes desarrollos en serie para y0 (x) y y00 (x) dados por

y´ (x )=∑n=1

∞

nan Xn−1 , y} left (x right ) = sum from {n=2} to {∞} {n left (n-1 right ) {a} rsub {n}} {X} ^ {n-2¿

Sustituimos estas series de potencias en nuestra ecuación

∑n=2

∞

2n(n−1)an Xn−2+∑

n=1

∞

nan Xn+∑

n=0

∞

an xn=0

Y escribimos las tres series de forma que el término general de cada una de ellas sea una constante multiplicada por xk.

∑k=0

∞

2n (k+2 ) (k+1 )ak+2 Xk+∑k=1

∞

k akXk+∑

k=0

∞

ak xk=0

Separamos los términos correspondientes a xo.y agrupamos los coeficientes de xk.obteniendo

4 a2+a0+∑k=1

∞

[2 (k+2 ) (k+1 )ak +2+k ak¿+ak ] xk=0¿

Igualando a cero los coeficientes de la serie de potencias, resulta que 4a2 + a0 = 0

ak+2= −12(k+2)

ak k≥1

De esta manera,

a2=−122 a0a3=

−12∗3

a1 (k=1 )

a4=−12∗4

a2=1

22∗2∗4a0 ( k=2 )a5=

−12∗5

a3=1

22∗3∗4a1 (k=3 )

a6=−12∗6

a4=−1

26∗3 !a6 (k=4 )a7=

−12∗7

a5=−1

23∗3∗5∗7a1 (k=5 )

a8=−12∗8

a6=−1

28∗4 !a0 (k=6 )

Considerando a0 y a1 como constantes arbitrarias, se obtiene

a2n=(−1)n

22n∗n !a0n≥1

a2n+1=(−1)n

2n ¿¿

De aquí resultan dos soluciones linealmente independientes

y1 (x )=∑n=0

∞ (−1)n

22n∗n !x2n y2 ( x )=∑

n=0

∞ (−1)n

22[1∗3∗5… (2n+1 )]x2n+1

Y por consiguiente la solución general de nuestra ecuación viene dada por

y (x) = a0y1 (x) + a1y2 (x).

Ejemplo 2

y ' '+xy=0a=0

y=∑n=0

∞

Cn xn y '=∑

n=1

∞

Cn xn−1 y '=∑

n=2

∞

Cn (n−1 ) xn−2

∑n=2

∞

Cn (n−1 ) xn−2+x∑n=0

∞

Cn xn=0

∑n=2

∞

Cn (n−1 ) xn−2+∑n=0

∞

Cn xn+1=0

2C2+∑n=3

∞

Cn (n−1 ) xn−2+∑n=0

∞

Cn xn+1=0

Ahora definimos la constante k para los términos agrupados en la primera sumatoria

k=n−2Despejamosnn=k+2

k=1

Para la segunda sumatoria

k=n+1Despejamosnn=k−1

k=1

Sustituimos los valores de n por k

2C2+∑k=3

∞

( k+2 ) ( k+1 ) xn−2C k +2 xk+¿∑

k=1

∞

C k−1 xk=0¿

2C2+∑k=3

∞

( k+2 ) ( k+1 ) xn−2C k +2 xk+¿C k−1 x

k=0¿

2C2+∑k=3

∞

[ ( k+2 ) ( k+1 )C k+ 2+C k−1 ] xk=0

Para que la ecuación sea igual a = debemos hacer que 2C2=0 y que lo que está multiplicando a la k también lo sea

2C2=0⇒C2=0

(k+2 ) (k+1 )C k+2+Ck−1=0

Despejando la anterior ecuación podemos hallar los valores que nos permitirán encontrar los valores de C k

C2=0k=1,…,n

k=1C 3=−C 0

2∗3

k=2C4=−C1

3∗4

k=3C5=−C2

4∗5=0

k=4C6=−C3

5∗6C6=

C0

2∗3∗5∗6

k=5C7=−C 4

5∗6C7=

C1

3∗4∗6∗7

k=6C8=−C5

7∗8=0

k=7C9=−C6

8∗9C9=

−C0

2∗3∗5∗6∗8∗9

En base a esto ya podemos afirmar una ley de formación para hallar Cn

y=C0+C 1−C0 x

3

2∗3−C1 x

4

3∗4+

C0 x6

2∗3∗5∗6+

C1 x7

3∗4∗6∗7−

C0 x9

2∗3∗5∗6∗8∗9−

C0 x10

3∗4∗6∗7∗9∗10+…

Ahora procedemos a sacar factor común para mostrar la solución en términos de 2 soluciones para mostrar una solución aproximada

y=C0(1− x3

2∗3+

C0 x6

2∗3∗5∗6−

C 0x9

2∗3∗5∗6∗8∗9+…)

y=C1(x− x4

3∗4+

C1 x7

3∗4∗6∗7−

C0x10

3∗4∗6∗7∗9∗10+…)

El último paso es opcional y lo usamos para evaluar de una mejor forma la convergencia de los puntos aunque lo único que haremos será reescribir la ecuación anterior

y=C0(1+∑k=1

∞ (−1 )k (1∗4∗7∗…∗(3k−2 ) )(3k )!

x3k )C0(1+∑

k=1

∞ (−1 )k ( 2∗5∗8∗…∗(3 k−1 ) )(3 k+1 )!

x3 k+1)

EJEMPLO 3

La ecuación diferencial x y + (sen x)y = tiene un punto ordinario en x=0 , puesto que

Q ( x )=(sen x)x

Se puede desarrollar en la serie de potencias

Q ( x )=1− x2

3 !+ x4

5 !− x6

7 !+…

Que converge para todos los valores finitos de x.

2.2. SOLUCION ENTORNO A PUNTO SINGULARES.

En la sección precedente vimos que no hay mucha dificultad en encontrar una solución en serie de potencias de

a (X ) y} + b left (X right ) {y} ^ {´} + c left (X right ) y=0 [1 ¿

En torno a un punto ordinario x = x0. Sin embargo, cuando x = x0 es un punto singular, no siempre es posible encontrar una solución de la forma

y ( x )=∑n=0

∞

an (x−x0 )n[1]

Veremos que, en algunos casos, si podemos obtener una solución de la forma

y (x )=∑n=0

∞

an(x−x0)n+r[1]

Donde r es una constante a determinar.

Por ejemplo, si consideramos la ecuación diferencial 6 x2 y +5x {y} ^ {´} + ( {x} ^ {2} -1)y= que tiene un punto singular en x = 0, esta ecuación no tienen ninguna solución de la forma

y ( x )=∑n=0

∞

anXn[1]

No obstante, se puede demostrar que existen dos soluciones en serie de la forma

y ( x )=∑n=0

∞

anXn+1 /2 y ( x )=∑

n=0

∞

an Xn−1/3[1]

Un punto singular, x = x0, de la ecuación (3) es un punto singular regular si tanto (x − x0) p (x) como (x − x0) 2 q (x) son analíticas en x0 y es un punto singular irregular en caso contrario

2.3. EJERCICIOS.

Ejemplo 1

Los puntos x = 0 y x = −1 son, ambos, puntos singulares de la ecuación diferencial

x2(x+1)2 y+( {x} ^ {2} -1) {y} ^ {´} +2y=

Si examinamos

p ( x )= x−1x2 ¿¿

Podemos observar que x = 0 es un punto singular irregular, mientras que x = −1 es un punto singular regular. Antes de establecer un resultado de existencia de soluciones en serie en torno a un punto singular regular, necesitamos la siguiente definición. Definición: Si x0 es un punto singular regular de y” + p (x) y´ + q (x) y = 0, entonces llamamos ecuación inicial de ese punto a la ecuación

r (r − 1) + p0r + q0 = 0

Donde

p0= limx →x0

(x−x0) p ( x ) y q0= limx→x0

(x−x0)2q (x)

Las raíces de la ecuación inicial se llaman exponentes (índices) de la singularidad x0.

En general, si x0 es un punto singular regular de (3), entonces las funciones (x − x0) p (x) y (x − x0) 2 q (x) son analíticas en x0; es decir, los desarrollos (x − x0) p (x) = p0 + p1 (x − x0) + p2 (x − x0) 2 + ··· (x − x0) 2 q (x) = q0 + q1 (x − x0) + q2 (x − x0) 2 + ··· son válidos en intervalos que tengan radio de convergencia positivo. Después de sustituir

y (x )=∑n=0

∞

an(x−x0)n+r

En la ecuación y simplificar, la ecuación inicial es la ecuación cuadrática en r que resulta de igualar a cero el coeficiente total de la menor potencia de (x − x0). Para estudiar la existencia de soluciones en serie en torno a puntos singulares regulares, y al igual que hicimos en la sección precedente, restringiremos nuestra atención al caso en el que x0 = 0 es un punto singular regular de la ecuación. El siguiente teorema nos garantiza la existencia de al menos una solución en serie de la forma anterior a la vez que proporciona, en algunos casos, la expresión de una segunda solución linealmente independiente

Teorema Soluciones en serie de Frobenius

Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación y” + p (x) y´ + q (x) y = 0 y sean r1 y r2 las raíces, con r1 ≥ r2, de la ecuación inicial asociada.

Entonces:

(a) Para x > 0, existe una solución de la forma

y1 (x )=∑n=0

∞

an (x−x0 )n+1a0≠0

Correspondiente a la raíz mayor r1.

(b) Si r1 − r2 no es cero ni un entero positivo, entonces existe una segunda solución linealmente independiente para x > 0 de la forma

y2 (x )=∑n=0

∞

bn (x−x0 )n+2b0≠0

Correspondiente a la raíz menor r2.

Ejemplo 2

a2 ( x ) y ' '+a1 (x ) y '+a0 ( x ) y=0

y ' '+P ( x ) y '+Q ( x ) y=0

y=∑n=0

∞

Cn ( x−a )n x=a

( x−a )P ( x ) y ( x−a )2Q ( x )

(x2−4 )2 y ' '+( x−2 ) y '+ y=0

y ' '+ (x−2 )(x2−4 )2

y '+ y(x2−4 )2

=0

Factorizamos

(x2−4 )2=( x−2 )2 ( x−2 )2

Los coeficientes polinomiales se hacen 0 cuando x=2 x=−2

y ' '+ x−2( x−2 )2 ( x−2 )2

y '+ y( x−2 )2 ( x−2 )2

=0

y ' '+ y '( x−2 ) ( x−2 )2

+ y( x−2 )2 ( x−2 )2

=0

P ( x )= 1(x−2 ) ( x−2 )2

Q ( x )= 1( x−2 )2 (x−2 )2

( x−2 ) P ( x )=( x−2 )∗1

( x−2 ) ( x+2 )2= 1

( x−2 )2⊙

( x−2 )2Q ( x )=( x−2 )2∗1

( x−2 )2 (x+2 )2=

1( x−2 )2

⊙}punto singular regular( x+2 )P ( x )=

( x+2 )∗1( x−2 ) (x+2 )2

= 1( x−2 ) (x−2 )

⊗

( x+2 )2Q ( x )=( x+2 )2∗1

( x−2 )2 ( x+2 )2=

1(x−2 )2

⊙ }punto singular irregularAhora se evalúa la multiplicidad de los puntos para verificar por medio de otro método, en el cual tomaremos en cuenta el grado y en base a eso decidiremos si es irregular o regular.

y ' '+ y '( x−2 )1 ( x−2 )2

+ y( x−2 )2 ( x−2 )2

=0

x=2⇒ punto singular regular x=−2⇒ punto singular irregular

Ejemplo 3

(1−x2 ) y ' '−2 y '+15 y=0

x=1 x=−1

y ' '− 2 y '

1−x2 + 15 y1−x2=0

y ' '− 2 y '

(1−x ) (1−x )+ 15 y

(1−x ) (1−x )=0

x=1⇒ punto singular regular

x=−1⇒ punto singularregular

Ejemplo 4

x3 y ' '−2 x y '+6 y=0

x=0

y ' '−2 xx3 y '+6 y

x3 =0

y ' '− 2x2 y '+

6 yx3 =0

x=0⇒ punto singular irregular

Ejemplo 5

x y ' '−2 x y '−6 y=0

x=0

x y ' '−2 y '−6xy=0

x=0⇒ punto singular regular

3. CONCLUCION.

4. BIBLIOGRAFIA.

[1] Soluciones en torno a puntos ordinarios y singulares. Consultado. [En línea]. http://personal.us.es/niejimjim/tema05.pdf