03 solucion en torno a puntos singulares regulares
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MATEMÁTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA
ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 3: SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES EN
SERIE DE POTENCIAS.
SOLUCIÓN EN TORNO A PUNTOS
SINGULARES REGULARES.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Julio de 2015.
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 1
3.6.- SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN TORNO A PUNTOS
SINGULARES REGULARES (MÉTODO DE FROBENIUS1).
Si 0xx es un punto singular regular de la ecuación 0)()()( 012 yxayxayxa , existe
al menos una solución en serie de la forma
0
0
0
00 )()()(n
rn
n
n
n
n
r xxaxxaxxy
donde el número r es una constante a determinar. La serie convergerá al menos en algún
intervalo Rxx 00 .
Ecuación indicial.
0)1( 00 qrprr
00 )(
x
xPxp ; )()( 00 lim0
xpxxpxx
0
2
0 )(
x
xQxq ; )()( 2
00 lim0
xqxxqxx
Casos de raíces indiciales.
Al usar el método de Frobenius, se suelen distinguir tres casos de acuerdo con la naturaleza
de las raíces indiciales. Para simplificar, supongamos que 1r y 2r son las soluciones reales
de la ecuación indicial y que, cuando corresponda, 1r denote la mayor de las raíces.
i. Caso I. Raíces que no difieren en un entero.
Si 1r y 2r son distintas y no difieren en un entero, existen dos soluciones linealmente
independientes de la ecuación 0)()()( 012 yxayxayxa y son de la forma
0
11
n
rn
n xay , 00 a
0
22
n
rn
n xby , 00 b
1 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917). Matemático alemán. Conocido por sus contribuciones a la teoría
de las ecuaciones diferenciales, la teoría de grupos y la primera prueba completa del teorema de Cailey –
Hamilton de análisis matricial.
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 2
Ejemplo 3.5.
En la ecuación diferencial: 02)1(3)3(2 yyxyxx , demuestre que las raíces
indiciales no difieren en un entero. Use el método de Frobenius para obtener, en torno al
punto singular regular 00 x , dos soluciones en serie linealmente independientes. Forme
la solución general en x0 .
Solución.
Determinación de puntos singulares:
Los puntos singulares se obtienen anulando el coeficiente de y (la segunda derivada).
0)3(2 xx
0)3( xx
0x
3x
0x y 3x son puntos singulares.
02)1(3)3(2 yyxyxx
0)3(2
2
)3(2
)1(3
y
xxy
xx
xy
0)3(
1
)3(2
)1(3
y
xxy
xx
xy
)3(2
)1(3)(
xx
xxP
)3(
1)(
xxxQ
Grado de x en )(xP : 1
Grado de x en )(xQ : 1
x = 0 es un punto singular regular.
Grado de 3x en )(xP : 1
Grado de 3x en )(xQ : 1
x = –3 es un punto singular regular.
Índices de singularidad.
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 3
0)1( 00 qrprr
00 )(
x
xPxp
0
0)3(2
)1(3
xxx
xxp
0
0)3(2
)1(3
xx
xp
21
0 p
0
2
0 )(
x
xQxq
0
2
0)3(
1
xxx
xq
0
03
xx
xq
00 q
0)1(21 rrr
0212 rrr
0232 rr
0r
23r
Puesto que x = 0 no es un punto ordinario, se debe escribir la solución de la ecuación
diferencial en la forma:
0
)(n
rn
n xaxy
Las derivadas involucradas son:
Primera derivada:
0
1)()(n
rn
nxarnxy
Segunda derivada:
0
2)1()()(n
rn
nxarnrnxy
Obsérvese que a diferencia de las derivadas obtenidas en las soluciones en torno a puntos
ordinarios, en este caso el límite inferior de la sumatoria no cambia, pues los argumentos de
las mismas son distintos de cero para cada n.
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 4
Siendo la ecuación diferencial: 02)1(3)3(2 yyxyxx , se tiene que al sustituir
tanto )(xy como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:
02)()1(3)1()()3(200
1
0
2
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxarnxxarnrnxx
Los coeficientes de cada sumatoria se deben ingresar a las sumas para formar parte de sus argumentos. En primer lugar se aplica
la propiedad distributiva donde aplique:
02)()33()1()()62(00
1
0
22
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxarnxxarnrnxx
02)(3)(3)1()(6)1()(200
1
0
1
0
2
0
22
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxarnxarnxxarnrnxxarnrnx
02)(3)(3)1()(6)1()(200
1
00
1
0
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxarnxarnxarnrnxarnrn
Se agrupan las sumatorias atendiendo al exponente de x. En este caso sólo tenemos como exponentes rn y 1 rn .
0)](3)1()(6[]2)(3)1()(2[0
1
0
n
rn
n
n
rn
n xarnrnrnxarnrnrn
Para igualar los exponentes se recurre a un cambio de variable. En la primera sumatoria hacemos kn (con el objeto que
aparezca como exponente rk ) y en la segunda sumatoria hacemos kn 1 , apareciendo como exponente rk también.
0)]1(3)11()1(6[]2)(3)1()(2[1
1
0
k
rk
k
k
rk
k xarkrkrkxarkrkrk
Obsérvese que en la primera sumatoria, el límite inferior se mantiene, pues kn , y si n parte de cero para esta sumatoria,
entonces k también lo hará, mientras que para la segunda sumatoria, cuando 0n , el valor que toma k es –1 por ser kn 1 ,
por lo tanto esta segunda sumatoria partirá desde –1 en lugar de cero.
Seguidamente se efectúan las simplificaciones a que haya lugar:
0)]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2[1
1
0
k
rk
k
k
rk
k xarkrkrkxarkrkrk
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 6
Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la segunda sumatoria el término correspondiente a 1k . De
esta manera, la segunda sumatoria partirá de cero, al igual que la primera:
0)]1(3)()1(6[)]11(3)1()11(6[]2)(3)1()(2[0
1
1
11
0
k
rk
k
r
k
rk
k xarkrkrkxarrrxarkrkrk
0)]1(3)()1(6[)](3)1()(6[]2)(3)1()(2[0
1
1
0
0
k
rk
k
r
k
rk
k xarkrkrkxarrrxarkrkrk
Al agrupar las sumatorias:
0)](3)1()(6[})]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2{[ 1
0
0
1
r
k
rk
k
rk
k xarrrxarkrkrkxarkrkrk
0)](3)1()(6[})]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2{[ 1
0
0
1
r
k
rk
kk xarrrxarkrkrkarkrkrk
Todos los términos del miembro izquierdo de la ecuación deben ser nulos, por lo tanto:
0)]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2[ 1 kk arkrkrkarkrkrk
0)(3)1()(6 rrr
La primera ecuación conducirá a la fórmula de recurrencia, con la cual se podrán obtener todos los coeficientes de los términos
en la suma solución y la segunda conducirá a la determinación de los exponentes de singularidad, los cuales proporcionarán las
dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial.
Fórmula de recurrencia.
Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo subíndice:
kk arkrkrkarkrkrk ]2)(3)1()(2[)]1(3)()1(6[ 1
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 7
kk arkrkrk
rkrkrka
)1(3)()1(6
2)(3)1()(21
0k Ecuación de recurrencia.
Raíces de la ecuación indicial:
03)1(6 rrr
0366 2 rrr
096 2 rr
Se resuelve la ecuación se segundo grado anterior:
0)32(3 rr
0)32( rr
0r
23r
0r y 23r son los exponentes de singularidad.
Se ha demostrado que los exponentes de singularidad son distintos, además no difieren en un entero.
Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones linealmente independientes. Cada
exponente de singularidad conducirá a una solución de la ecuación diferencial.
Para 0r , la fórmula de recurrencia se escribe como:
kk akkk
kkka
)1(3)1(6
23)1(21
Al desarrollar la ecuación anterior:
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 8
kk akk
kka
336
2522
2
1
La factorización conduce a la siguiente expresión:
kk akk
kka
)()1(6
)()2(2
21
21
1
La cual al ser simplificada da como resultado:
kk ak
ka
)1(3
21
0k
0k
01)10(3
2)0(aa
01
1.3
)2(aa
1k
12)11(3
2)1(aa
12
2.3
)1(aa
02
1.3
)2(
2.3
)1(aa 022
1.2.3
)2()1(aa
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 9
2k
23)12(3
2)2(aa
23
3.3
)0(aa 03 a
0ka 3k Término enésimo.
0
1 )(k
rk
k xaxy
0r
0
1 )(k
k
k xaxy
Se desarrollan los tres primeros términos de la sumatoria solución ( 2,1,0k ), pues a partir
del cuarto ( 3k ) el valor del coeficiente es nulo:
3
2
2101 )(k
k
k xaxaxaaxy
Al sustituir las constantes conocidas ( 1a y 2a ) y el término enésimo en la ecuación
anterior:
3
2
091
032
01 )0()()()(k
kxxaxaaxy
)1()( 2
91
32
01 xxaxy
2
91
32
1 1)( xxxy
Para 23r , la fórmula de recurrencia se escribe como:
kk akkk
kkka
)1(3)()1(6
2)(3)1()(2
23
23
23
23
23
23
1
kk akkk
kkka
)(3)()(6
2)(3)()(2
25
23
25
23
21
23
1
Al desarrollar la ecuación anterior:
kk akk
kka
15216
122
2
1
La factorización conduce a la siguiente expresión:
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 10
kk akk
kka
)()1(6
)()1(2
25
21
1
La cual al ser simplificada da como resultado:
kk ak
ka
)(6
)(2
25
21
1
, la cual puede ser escrita como:
kk ak
ka
)52(3
121
0k
La forma anterior es conveniente porque evita trabajar con números racionales y en su lugar
se trabaja con enteros.
0k
01)]5)0(2[3
1)0(2aa
01
)5(3
)1(aa
01
5.3
)1(aa
1k
12)]5)1(2[3
3)1(2aa
12
)7(3
)1(aa
02
5.3
)1(
)7(3
)1(aa 022
7.5.3
1).1(aa
2k
133)]3)2(2[3
1)2(2
aa 23
)9(3
)3(aa
023
7.5.3
1).1(
)9(3
)3(aa 033
9.7.5.3
3.1).1(aa
3k
144)]5)3(2[3
1)3(2
aa 34
)11(3
)5(aa
034
9.7.5.3
3.1).1(
)11(3
)5(aa
03311.9.7.5.3
5.3.1).1(aa
Para determinar el término enésimo, debe observarse la alternancia en el signo de los
coeficientes. La existencia de la alternancia implica que los términos de la sumatoria deben
estar multiplicados por un factor de la forma k)1( ó 1)1( k .
En el numerador los términos sucesivos comienzan en –1 y se van incrementando de 2 en 2,
por lo cual se tiene una progresión aritmética cuyo primer término es –1 y cuya razón es 2 y
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 11
su término enésimo es: 32)2()1(1 kkck , mientras que en el denominador los
términos sucesivos comienzan en 5 y se van incrementando de 2 en 2, por lo cual se tiene
una progresión aritmética cuyo primer término es 5 y cuya razón es 2 y su término enésimo
es: 32)2()1(5 kkck .
El término enésimo de los coeficientes de la suma es:
0)32.....(11.9.7.5.3
)32.....(5.3.1).1()1( a
k
ka
k
k
k
1k
Para que el producto de factores pueda llegar hasta 32 k , debe pasar por 32 k , por lo
cual se copian los términos precedentes a 32 k :
0)32()12()12()32.....(11.9.7.5.3
)32.....(5.3.1).1()1( a
kkkk
ka
n
k
k
La simplificación de términos conduce a:
0)32()12()12(3
3.1).1()1( a
kkka
k
k
k
0)32()12()12(3
3).1()1( a
kkka
k
k
k
01
1
)32()12()12(3
1)1( a
kkka
k
k
k
1k Término enésimo.
0
2 )(k
rk
k xaxy
23r
0
22
3
)(k
k
k xaxy
La ecuación del término enésimo está definida para 1k , por lo tanto, se desarrolla el
primer término de la sumatoria:
1
022
3
2
3
)(k
k
k xaxaxy
Al sustituir el término enésimo en la sumatoria:
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 12
1
01
1
022
3
2
3
)32()12()12(3
1)1()(
k
k
k
k xakkk
xaxy
11
1
002)32()12()12(3
)1()(
2
3
2
3
kk
kk
kkk
xaxaxy
Ahora, se verifica si el término 2
3
0 xa es obtenido a partir de la sumatoria, con el objeto de
insertarlo en la misma. Vemos que efectivamente, cuando 0k , el argumento de la
sumatoria se reduce a 2
3
0 xa . La solución entonces se puede escribir como:
01
1
02)32()12()12(3
)1()(
2
3
kk
kk
kkk
xaxy
01
1
2)32()12()12(3
)1()(
2
3
kk
kk
kkk
xxy
Solución general de la ecuación diferencial:
)()()( 2211 xyCxyCxy
01
1
2
2
91
32
1)32()12()12(3
)1()1()(
2
3
kk
kk
kkk
xCxxCxy
Ejemplo 3.6.
En la ecuación diferencial: 0)13(2)14(2 2 yxyxxyx , demuestre que las
raíces indiciales no difieren en un entero. Use el método de Frobenius para obtener, en
torno al punto singular regular 00 x , dos soluciones en serie linealmente independientes.
Forme la solución general en x0 .
Solución.
Determinación de puntos singulares:
Los puntos singulares se obtienen anulando el coeficiente de y (la segunda derivada).
02 2 x
02 x
0x
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 13
x = 0 es un punto singular.
0)13(2)14(2 2 yxyxxyx
02
)13(2
2
)14(22
yx
xy
x
xxy
013
2
142
yx
xy
x
xy
x
xxP
2
14)(
2
13)(
x
xxQ
Grado de x en )(xP : 1
Grado de x en )(xQ : 2
x = 0 es un punto singular regular.
Índices de singularidad.
0)1( 00 qrprr
00 )(
x
xPxp
0
02
14
xx
xxp
0
02
14
x
xp
21
0 p
0
2
0 )(
x
xQxq
0
2
2
0
13
xx
xxq
00 13
x
xq
10 q
01)1(21 rrr
01212 rrr
01232 rr
2r
21r
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 14
Puesto que x = 0 no es un punto ordinario, se debe escribir la solución de la ecuación
diferencial en la forma:
0
)(n
rn
n xaxy
Las derivadas involucradas son:
0
1)()(n
rn
n xarnxy
0
2)1()()(n
rn
n xarnrnxy
Obsérvese que a diferencia de las derivadas obtenidas en las soluciones en torno a puntos
ordinarios, en este caso el límite inferior de la sumatoria no cambia, pues los argumentos de
las mismas son distintos de cero para cada n.
Siendo la ecuación diferencial 0)13(2)14(2 2 yxyxxyx , se tiene que al
sustituir tanto )(xy como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:
0)13(2)()14()1()(200
1
0
22
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxxarnxxxarnrnx
Los coeficientes de cada sumatoria se deben ingresar a las sumas para formar parte de sus
argumentos. En primer lugar se aplica la propiedad distributiva donde aplique:
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 15
0)26()()4()1()(200
12
0
22
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxxarnxxxarnrnx
026)()(4)1()(2000
1
0
12
0
22
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxaxxarnxxarnxxarnrnx
026)()(4)1()(200
1
00
1
0
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxaxarnxarnxarnrn
Se agrupan las sumatorias atendiendo al exponente de x. En este caso sólo tenemos como exponentes rn y 1 rn .
0]6)(4[]2)()1()(2[0
1
0
n
rn
n
n
rn
n xarnxarnrnrn
Para igualar los exponentes se recurre a un cambio de variable. En la primera sumatoria hacemos kn (con el objeto que
aparezca como exponente rk ) y en la segunda sumatoria hacemos kn 1 , apareciendo como exponente rk también.
0]6)1(4[]2)()1()(2[1
1
0
k
rk
k
k
rk
k xarkxarkrkrk
Obsérvese que en la primera sumatoria, el límite inferior se mantiene, pues kn , y si n parte de cero para esta sumatoria,
entonces k también lo hará, mientras que para la segunda sumatoria, cuando 0n , el valor que toma k es 1 por ser kn 1 , por
lo tanto esta segunda sumatoria partirá desde 1 en lugar de cero.
Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la primera sumatoria el término correspondiente a 0k . De
esta manera, la primera sumatoria partirá de uno, al igual que la segunda:
0]6)1(4[]2)()1()(2[]2)1(2[1
1
1
0
k
rk
k
k
rk
k
r xarkxarkrkrkxarrr
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.
Matemáticas IV (008-2824). 16
Al agrupar las sumatorias:
0}]6)1(4[]2)()1()(2{[]2)1(2[1
10
k
rk
k
rk
k
r xarkxarkrkrkxarrr
0}]6)1(4[]2)()1()(2{[]2)1(2[1
10
k
rk
kk
r xarkarkrkrkxarrr
Todos los términos del miembro izquierdo de la ecuación deben ser nulos, por lo tanto:
02)1(2 rrr
0]6)1(4[]2)()1()(2[ 1 kk arkarkrkrk
La primera ecuación conducirá a la determinación de los exponentes de singularidad, los cuales proporcionaran las dos
soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial. y la segunda conducirá a la fórmula de recurrencia, con la cual
se podrán obtener todos los coeficientes de los términos en la suma solución.
Raíces de la ecuación indicial:
02)1(2 rrr 0222 2 rrr
0232 2 rr
Se resuelve la ecuación se segundo grado anterior:
0)()2(221 rr
2r
21r
2r y 21r son los exponentes de singularidad.
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 17
Se ha demostrado que los exponentes de singularidad son distintos, además no difieren en
un entero.
Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones
linealmente independientes. Cada exponente de singularidad conducirá a una solución de la
ecuación diferencial.
Fórmula de recurrencia.
Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo
subíndice:
1]6)1(4[]2)()1()(2[ kk arkarkrkrk
12)()1()(2
6)1(4
kk a
rkrkrk
rka 1k Ecuación de recurrencia.
Para 2r , la fórmula de recurrencia se escribe como:
12)2()12()2(2
6)21(4
kk a
kkk
ka
12)2()1()2(2
6)1(4
kk a
kkk
ka
Al desarrollar la ecuación anterior:
12 52
104
kk a
kk
ka
La factorización conduce a la siguiente expresión:
1)52(
)52(2
kk a
kk
ka
La cual al ser simplificada da como resultado:
1
2 kk a
ka 1k Ecuación de recurrencia.
1k
111)1(
2 aa 01
1
2aa
2k
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 18
122)2(
2 aa 12
2
2aa
02
1
2
2
2aa 02
1.2
2.2aa 0
2
21.2
2aa
3k
133)3(
2 aa 23
3
2aa
0
2
31.2
2
3
2aa 0
3
31.2.3
2aa
Para determinar el término enésimo, debe observarse la alternancia en el signo de los
coeficientes. La existencia de la alternancia implica que los términos de la sumatoria deben
estar multiplicados por un factor de la forma k)1( ó 1)1( k .
0!
2)1( a
ka
kk
k 1k Término enésimo.
0
1 )(k
rk
k xaxy
2r
0
2
1 )(k
k
k xaxy
Se desarrolla el primer término de la sumatoria solución ( 0k ), pues la fórmula del
término enésimo es válida para 1k .
1
22
01 )(k
k
k xaxaxy
Al sustituir el término enésimo en la sumatoria.
1
2
0
2
01!
2)1()(
k
kk
k xak
xaxy
1
2
0
2
01!
2)1()(
k
kkk
k
xaxaxy
Ahora, se verifica si el término 2
0 xa es obtenido a partir de la sumatoria, con el objeto de
insertarlo en la misma. Vemos que efectivamente, cuando 0k , el argumento de la
sumatoria se reduce a 2
0 xa . La solución entonces se puede escribir como:
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 19
0
2
01!
2)1()(
k
kkk
k
xaxy
0
2
1!
2)1()(
k
kkk
k
xxy
Para 21r , la fórmula de recurrencia se escribe como:
1
21
21
21
21
2)()1()(2
6)1(4
kk a
kkk
ka
1
21
23
21
23
2)()()(2
6)(4
kk a
kkk
ka
Al desarrollar la ecuación anterior:
12 52
4
kk a
kk
ka
La factorización conduce a la siguiente expresión:
1)52(
4
kk a
kk
ka
La cual al ser simplificada da como resultado:
152
4
kk a
ka
1
2
52
2
kk a
ka 1k Ecuación de recurrencia.
1k
11
2
15)1(2
2
aa 0
2
152
2aa
0
2
1)3(
2aa
2k
12
2
25)2(2
2
aa 1
2
254
2aa
1
2
2)1(
2aa
0
22
2)3(
2
)1(
2aa
0
4
2)1).(3(
2aa
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 20
3k
13
2
35)3(2
2
aa 2
2
356
2aa
2
2
31
2aa
0
42
3)1).(3(
2
1
2aa
0
6
3)1).(1).(3(
2aa
Para determinar el término enésimo, debe observarse la alternancia en el signo de los
coeficientes. La existencia de la alternancia implica que los términos de la sumatoria deben
estar multiplicados por un factor de la forma k)1( ó 1)1( k .
0
21
)52)...(1).(1).(3(
2)1( a
ka
kk
k
1k Término enésimo.
0
2 )(k
rk
k xaxy
21r
0
22
1
)(k
k
k xaxy
Se desarrolla el primer término de la sumatoria solución ( 0k ), pues la fórmula del
término enésimo es válida para 1k .
1
022
1
2
1
)(k
k
k xaxaxy
Al sustituir el término enésimo en la sumatoria.
1
0
21
022
1
2
1
)52)...(1).(1).(3(
2)1()(
k
kk
k xak
xaxy
1
21
002)52)...(1).(1).(3(
2)1()(
2
1
2
1
k
kkk
k
xaxaxy
Puesto que existen productos sucesivos en el argumento de la sumatoria [(-3).(-1).(1)…..]
no se debe verificar si el término precedente ( 21
0
xa ) es obtenido a partir de ella, pues no es
viable insertarlo en la misma. La solución entonces se puede escribir como:
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 21
1
21
02)52)...(1).(1).(3(
2)1()(
2
1
2
1
k
kkk
k
xxaxy
1
21
2)52)...(1).(1).(3(
2)1()(
2
1
2
1
k
kkk
k
xxxy
Solución general de la ecuación diferencial:
)()()( 2211 xyCxyCxy
1
21
2
0
2
1)52)...(1).(1).(3(
2)1(
!
2)1()(
2
1
2
1
k
kkk
k
kkk
k
xxC
k
xCxy
Ejemplo 3.7.
En la ecuación diferencial: 02)1(3)3(2 yyxyxx , demuestre que las raíces
indiciales no difieren en un entero. Use el método de Frobenius para obtener, en torno al
punto singular regular 00 x , dos soluciones en serie linealmente independientes. Forme
la solución general en x0 .
Solución.
Determinación de puntos singulares:
Los puntos singulares se obtienen anulando el coeficiente de y (la segunda derivada).
0)3(2 xx
0)3( xx
0x
3x
0x y 3x son puntos singulares.
02)1(3)3(2 yyxyxx
0)3(2
2
)3(2
)1(3
y
xxy
xx
xy
0)3(
1
)3(2
)1(3
y
xxy
xx
xy
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 22
)3(2
)1(3)(
xx
xxP
)3(
1)(
xxxQ
Grado de x en )(xP : 1
Grado de x en )(xQ : 1
x = 0 es un punto singular regular.
Grado de 3x en )(xP : 1
Grado de 3x en )(xQ : 1
x = –3 es un punto singular regular.
Índices de singularidad.
0)1( 00 qrprr
00 )(
x
xPxp
0
0)3(2
)1(3
xxx
xxp
0
0)3(2
)1(3
xx
xp
21
0 p
0
2
0 )(
x
xQxq
0
2
0)3(
1
xxx
xq
0
03
xx
xq
00 q
0)1(21 rrr
0212 rrr
0232 rr
0r
23r
Puesto que x = 0 no es un punto ordinario, se debe escribir la solución de la ecuación
diferencial en la forma:
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 23
0
)(n
rn
n xaxy
Las derivadas involucradas son:
Primera derivada:
0
1)()(n
rn
nxarnxy
Segunda derivada:
0
2)1()()(n
rn
nxarnrnxy
Obsérvese que a diferencia de las derivadas obtenidas en las soluciones en torno a puntos
ordinarios, en este caso el límite inferior de la sumatoria no cambia, pues los argumentos de
las mismas son distintos de cero para cada n.
Siendo la ecuación diferencial: 02)1(3)3(2 yyxyxx , se tiene que al sustituir
tanto )(xy como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:
02)()1(3)1()()3(200
1
0
2
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxarnxxarnrnxx
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 24
Los coeficientes de cada sumatoria se deben ingresar a las sumas para formar parte de sus argumentos. En primer lugar se aplica
la propiedad distributiva donde aplique:
02)()33()1()()62(00
1
0
22
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxarnxxarnrnxx
02)(3)(3)1()(6)1()(200
1
0
1
0
2
0
22
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxarnxarnxxarnrnxxarnrnx
02)(3)(3)1()(6)1()(200
1
00
1
0
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n xaxarnxarnxarnrnxarnrn
Se agrupan las sumatorias atendiendo al exponente de x. En este caso sólo tenemos como exponentes rn y 1 rn .
0)](3)1()(6[]2)(3)1()(2[0
1
0
n
rn
n
n
rn
n xarnrnrnxarnrnrn
Para igualar los exponentes se recurre a un cambio de variable. En la primera sumatoria hacemos kn (con el objeto que
aparezca como exponente rk ) y en la segunda sumatoria hacemos kn 1 , apareciendo como exponente rk también.
0)]1(3)11()1(6[]2)(3)1()(2[1
1
0
k
rk
k
k
rk
k xarkrkrkxarkrkrk
Obsérvese que en la primera sumatoria, el límite inferior se mantiene, pues kn , y si n parte de cero para esta sumatoria,
entonces k también lo hará, mientras que para la segunda sumatoria, cuando 0n , el valor que toma k es –1 por ser kn 1 ,
por lo tanto esta segunda sumatoria partirá desde –1 en lugar de cero.
Seguidamente se efectúan las simplificaciones a que haya lugar:
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 25
0)]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2[1
1
0
k
rk
k
k
rk
k xarkrkrkxarkrkrk
Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la segunda sumatoria el término correspondiente a 1k . De
esta manera, la segunda sumatoria partirá de cero, al igual que la primera:
0)]1(3)()1(6[)]11(3)1()11(6[]2)(3)1()(2[0
1
1
11
0
k
rk
k
r
k
rk
k xarkrkrkxarrrxarkrkrk
0)]1(3)()1(6[)](3)1()(6[]2)(3)1()(2[0
1
1
0
0
k
rk
k
r
k
rk
k xarkrkrkxarrrxarkrkrk
Al agrupar las sumatorias:
0)](3)1()(6[})]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2{[ 1
0
0
1
r
k
rk
k
rk
k xarrrxarkrkrkxarkrkrk
0)](3)1()(6[})]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2{[ 1
0
0
1
r
k
rk
kk xarrrxarkrkrkarkrkrk
Todos los términos del miembro izquierdo de la ecuación deben ser nulos, por lo tanto:
0)]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2[ 1 kk arkrkrkarkrkrk
0)(3)1()(6 rrr
La primera ecuación conducirá a la fórmula de recurrencia, con la cual se podrán obtener todos los coeficientes de los términos
en la suma solución y la segunda conducirá a la determinación de los exponentes de singularidad, los cuales proporcionarán las
dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial.
Fórmula de recurrencia.
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 26
Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo subíndice:
kk arkrkrkarkrkrk ]2)(3)1()(2[)]1(3)()1(6[ 1
kk arkrkrk
rkrkrka
)1(3)()1(6
2)(3)1()(21
0k Ecuación de recurrencia.
Raíces de la ecuación indicial:
03)1(6 rrr
0366 2 rrr
096 2 rr
Se resuelve la ecuación se segundo grado anterior:
0)32(3 rr
0)32( rr
0r
23r
0r y 23r son los exponentes de singularidad.
Se ha demostrado que los exponentes de singularidad son distintos, además no difieren en un entero.
Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones linealmente independientes. Cada
exponente de singularidad conducirá a una solución de la ecuación diferencial.
Para 0r , la fórmula de recurrencia se escribe como:
Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.
Matemáticas IV (008-2824). 27
kk akkk
kkka
)1(3)1(6
23)1(21
Al desarrollar la ecuación anterior:
kk akk
kka
336
2522
2
1
La factorización conduce a la siguiente expresión:
kk akk
kka
)()1(6
)()2(2
21
21
1
La cual al ser simplificada da como resultado:
kk ak
ka
)1(3
21
0k
0k
01)10(3
2)0(aa
01
1.3
)2(aa
1k
12)11(3
2)1(aa
12
2.3
)1(aa
02
1.3
)2(
2.3
)1(aa 022
1.2.3
)2()1(aa
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 28
2k
23)12(3
2)2(aa
23
3.3
)0(aa 03 a
0ka 3k Término enésimo.
0
1 )(k
rk
k xaxy
0r
0
1 )(k
k
k xaxy
Se desarrollan los tres primeros términos de la sumatoria solución ( 2,1,0k ), pues a partir
del cuarto ( 3k ) el valor del coeficiente es nulo:
3
2
2101 )(k
k
k xaxaxaaxy
Al sustituir las constantes conocidas ( 1a y 2a ) y el término enésimo en la ecuación
anterior:
3
2
091
032
01 )0()()()(k
kxxaxaaxy
)1()( 2
91
32
01 xxaxy
2
91
32
1 1)( xxxy
Para 23r , la fórmula de recurrencia se escribe como:
kk akkk
kkka
)1(3)()1(6
2)(3)1()(2
23
23
23
23
23
23
1
kk akkk
kkka
)(3)()(6
2)(3)()(2
25
23
25
23
21
23
1
Al desarrollar la ecuación anterior:
kk akk
kka
15216
122
2
1
La factorización conduce a la siguiente expresión:
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 29
kk akk
kka
)()1(6
)()1(2
25
21
1
La cual al ser simplificada da como resultado:
kk ak
ka
)(6
)(2
25
21
1
, la cual puede ser escrita como:
kk ak
ka
)52(3
121
0k
La forma anterior es conveniente porque evita trabajar con números racionales y en su lugar
se trabaja con enteros.
0k
01)]5)0(2[3
1)0(2aa
01
)5(3
)1(aa
01
5.3
)1(aa
1k
12)]5)1(2[3
3)1(2aa
12
)7(3
)1(aa
02
5.3
)1(
)7(3
)1(aa 022
7.5.3
1).1(aa
2k
133)]3)2(2[3
1)2(2
aa 23
)9(3
)3(aa
023
7.5.3
1).1(
)9(3
)3(aa 033
9.7.5.3
3.1).1(aa
3k
144)]5)3(2[3
1)3(2
aa 34
)11(3
)5(aa
034
9.7.5.3
3.1).1(
)11(3
)5(aa
03311.9.7.5.3
5.3.1).1(aa
Para determinar el término enésimo, debe observarse la alternancia en el signo de los
coeficientes. La existencia de la alternancia implica que los términos de la sumatoria deben
estar multiplicados por un factor de la forma k)1( ó 1)1( k .
En el numerador los términos sucesivos comienzan en –1 y se van incrementando de 2 en 2,
por lo cual se tiene una progresión aritmética cuyo primer término es –1 y cuya razón es 2 y
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 30
su término enésimo es: 32)2()1(1 kkck , mientras que en el denominador los
términos sucesivos comienzan en 5 y se van incrementando de 2 en 2, por lo cual se tiene
una progresión aritmética cuyo primer término es 5 y cuya razón es 2 y su término enésimo
es: 32)2()1(5 kkck .
El término enésimo de los coeficientes de la suma es:
0)32.....(11.9.7.5.3
)32.....(5.3.1).1()1( a
k
ka
k
k
k
1k
Para que el producto de factores pueda llegar hasta 32 k , debe pasar por 32 k , por lo
cual se copian los términos precedentes a 32 k :
0)32()12()12()32.....(11.9.7.5.3
)32.....(5.3.1).1()1( a
kkkk
ka
n
k
k
La simplificación de términos conduce a:
0)32()12()12(3
3.1).1()1( a
kkka
k
k
k
0)32()12()12(3
3).1()1( a
kkka
k
k
k
01
1
)32()12()12(3
1)1( a
kkka
k
k
k
1k Término enésimo.
0
2 )(k
rk
k xaxy
23r
0
22
3
)(k
k
k xaxy
La ecuación del término enésimo está definida para 1k , por lo tanto, se desarrolla el
primer término de la sumatoria:
1
022
3
2
3
)(k
k
k xaxaxy
Al sustituir el término enésimo en la sumatoria:
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 31
1
01
1
022
3
2
3
)32()12()12(3
1)1()(
k
k
k
k xakkk
xaxy
11
1
002)32()12()12(3
)1()(
2
3
2
3
kk
kk
kkk
xaxaxy
Ahora, se verifica si el término 2
3
0 xa es obtenido a partir de la sumatoria, con el objeto de
insertarlo en la misma. Vemos que efectivamente, cuando 0k , el argumento de la
sumatoria se reduce a 2
3
0 xa . La solución entonces se puede escribir como:
01
1
02)32()12()12(3
)1()(
2
3
kk
kk
kkk
xaxy
01
1
2)32()12()12(3
)1()(
2
3
kk
kk
kkk
xxy
Solución general de la ecuación diferencial:
)()()( 2211 xyCxyCxy
01
1
2
2
91
32
1)32()12()12(3
)1()1()(
2
3
kk
kk
kkk
xCxxCxy
Ejercicios propuestos.
En los ejercicios siguientes, demuestre que las raíces indiciales no difieren en un entero.
Use el método de Frobenius para obtener, en torno al punto singular regular 00 x , dos
soluciones en serie linealmente independientes. Forme la solución general en x0 .
1. 02 2 yyxyx 2. 029 2 yyx
3. 0)1(3)1(2 yyxyxx 4*. 02)1(3)3(2 yyxyxx
5*. 04)2()4( yyxyxx 6*. 0)41()3(39 2 yxyxxyx
7*. 0)71()1(2 2 yyxxyxx 8. 04)21(2 yyxyx
9. 02)2(3 yyxyx 10. 02)1(32 2 yyxxyx
11*. 05)21(52 yyxyx 12. 04)21(2 2 yxyxyx
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 32
13. 0)1(3 2 yxyxyx 14**. 0)13(2)14(2 2 yxyxxyx
15. 05)21(2 yyxyx 16. 02 yxyyx
ii. Caso II. Raíces que difieren en un entero positivo.
Si Nrr 21 , donde N es un entero positivo, existen dos soluciones linealmente
independientes de la ecuación 0)()()( 012 yxayxayxa de la forma
0
11
n
rn
n xay , 00 a
0
122ln)(
n
rn
n xbxxyCy , 00 b
donde C es una constante que puede ser cero.
En los ejercicios siguientes, demuestre que las raíces indiciales difieren en un entero. Use el
método de Frobenius para obtener, en torno al punto singular regular 00 x (a menos que
se diga otra cosa), dos soluciones en serie linealmente independientes. Forme la solución
general en x0 .
17. 03)51()1( yyxyxx
18. 0)1()1(2 yxyxxyx
19. 02)1(2)2( yyxyxx Alrededor de 2x
iii. Caso III. Raíces indiciales iguales.
Si 21 rr , siempre existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación
0)()()( 012 yxayxayxa , de la forma
0
11
n
rn
n xay , 00 a
1
121ln)(
n
rn
nxbxxyy , 00 b
Nota: Sin pérdida de generalidad, hacer 100 ba .
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 33
RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
3.6.- SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES.
Caso I. Raíces que no difieren en un entero.
1. xy 1 ; 2
1
2
xy 2. 3
2
1 xy ; 3
1
2 xy
3.
12
1
114
)1(1
n
nn
n
xy ; 2
1
2
1
2 xxy
4.
11
1
1)32()12()12(3
)1( 2
3
2
3
nn
nn
nnn
xxy ; 2
9
1
3
22 1 xxy
5.
1
31!23
)52.....(1).1).(3()32( 21
21
nn
n
n
xnnxy ; 2
2
12 21 xxy
6*. 3
4
3
1
51
1 xxy ;
1
2)23()53(!3
)1( 3
1
3
1
nn
nn
nnn
xxy
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2
2)14.....(11.7.3!..2
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nn
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Caso II. Raíces que difieren en un entero positivo.
17.
1
21
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1
21
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18. xy 1 ;
1
1
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)1(ln
n
nn
nn
xxyy
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 34
19. )2(11 xy ;
2
25
12)1(2
)2()1()1()2()2(ln
nn
nn
nn
xnxxyy
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 35
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