Soluciones a las actividades de cada...

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 42

Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lien-zo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Parahacerlo necesita saber su volumen (¿cuánta cera gastará?) y su superfi-cie total (¿cuánto le costará pintarlas?).

1 Escribe la expresión del volumen de los cuatro objetos en función de r o de l.Averigua su valor para r = 6 cm y para l = 10 cm.

VCILINDRO

= π · r2 · 20 = π · 36 · 20 = 720π cm3

VESFERA

= πr3 = π · 63 = 288π cm3

VCUBO

= l 3 = 103 = 1 000 cm3

VPARALELEPÍPEDO

= 20l2 = 20 · 102 = 2 000 cm3

43

43

20 c

m

20 c

m

r

r

l

l

Pág. 1

Unidad 2. Polinomios y fracciones algebraicas


2 Escribe la expresión de la superficie total de estos cuatro objetos en funciónde r o de l. Averigua su valor para r = 6 cm y para l = 10 cm.

ACILINDRO

= 2πr2 + 2πr · 20 = 2πr2 + 40πr = 72π + 240π = 312π cm2

AESFERA

= 4πr2 = 4π · 36 = 144π cm2

ACUBO

= 6l2 = 6 · 102 = 600 cm2

APARALELEPÍPEDO

= 2l2 + 4l · 20 = 2l2 + 80l = 200 + 800 = 1 000 cm2

PÁGINA 43

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 Opera y simplifica.

(5x2 – 4x + 2) · [(2x3 – 3x + 2) – (2x + 1)(x2 – 2x)]

(5x2 – 4x + 2) · [(2x3 – 3x + 2) – (2x + 1)(x2 – 2x)] =

= (5x2 – 4x + 2) [(2x3 – 3x + 2) – (2x3 – 4x2 + x2 – 2x)] =

= (5x2 – 4x + 2) [3x2 – x + 2] =

= 15x4 – 5x3 + 10x2 – 12x3 + 4x2 – 8x + 6x2 – 2x + 4 =

= 15x4 – 17x3 + 20x2 – 10x + 4

2 Extrae factor común en 35x5 – 42x4 + 14x3.

35x5 – 42x4 + 14x3 = 7x3(5x2 – 6x + 2)

3 Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (7x2 – 3)2

b) (2x + 3x2)2

c) ( x – )( x + )d) ( x2 + 2x)( x2 – 2x)a) (7x2 – 3)2 = 49x4 – 42x2 + 9

b) (2x + 3x2)2 = 4x2 + 12x3 + 9x4

c) ( x – )( x + ) = 3x2 – 2

d) ( x2 + 2x)( x2 – 2x) = 5x4 – 4x2√5√5

√2√3√2√3

√5√5

√2√3√2√3

Pág. 2



4 Expresa en forma de producto:

a) 36x4 + 60x3 + 25x2 b) 36x4 – 60x3 + 25x2

c) 144x4 – x2 d) 3x4 – 4x2 (recuerda que 3 = ( )2)

e) 3x4 – x3 + 2x2 f ) 3x2 – 5

a) (6x2 + 5x)2 b) (6x2 – 5x)2

c) (12x2 + x)(12x2 – x) d) ( x2 + 2x)( x2 – 2x)e) ( x2 – x)2 f ) ( x + )( x – )

PÁGINA 44

1 Efectúa las siguientes divisiones y expresa el resultado así:P (x) = Q(x) · C (x) + R(x)

Indica en qué casos la división es exacta y, por tanto, el dividendo se hafactorizado:a) (x5 – 7x4 + x3 – 8) : (x2 – 3x + 1)b)(4x5 + 20x4 – 18x3 – 28x2 + 28x – 6) : (x2 + 5x – 3)c) (6x4 + 3x3 – 2x) : (3x2 + 2)d)(45x5 + 120x3 + 80x) : (3x2 + 4)

a) x5 – 7x4 + x3 – 8 x2 – 3x + 1

– x5 + 3x4 – x3 x3 – 4x2 – 12x – 32

–4x4

4x4 – 12x3 + 4x2

–12x3 + 4x2

12x3 – 36x2 + 12x

–32x2 + 12x

+32x2 – 96x + 32

–84x + 24

x5 – 7x4 + x3 = (x2 – 3x + 1)(x3 – 4x2 – 12x – 32) – 84x + 24

b) 4x5 + 20x4 – 18x3 – 28x2 + 28x – 6 x2 + 5x – 3

–4x5 – 20x4 + 12x3 4x3 – 6x + 2

–6x3

6x3 + 30x2 – 18x

2x2 + 10x

–2x2 – 10x + 6

0

La división es exacta.

4x5 + 20x4 – 18x3 – 28x2 + 28x – 6 = (x2 + 5x – 3)(4x3 – 6x + 2)

√5√3√5√3√2√3

√3√3

√24

√3

Pág. 3



c) 6x4 + 3x3 – 2x 3x2 + 2

–6x4 – 4x2 2x2 + x – 4/3

3x3 – 4x2

–3x3 – 2x

–4x2 – 4x

4x2 + 8/3

–4x + 8/3

6x4 + 3x2 – 2x = (3x2 + 2)(2x2 + x – 4/3) – 4x + 8/3

d) 45x5 + 120x3 + 80x 3x2 + 4

–45x5 – 60x3 15x3 + 20x

60x3

–60x3 – 80x

0

La división es exacta.

45x5 + 120x3 + 80x = (3x2 + 4)(15x3 + 20x)

PÁGINA 45

2 Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones:

a) (5x4 + 6x2 – 11x + 13) : (x – 2)

b)(6x5 – 3x4 + 2x) : (x + 1)

c) (3x4 – 5x3 + 7x2 – 2x + 13) : (x – 4)

d)(6x4 + 4x3 – 51x2 – 3x – 9) : (x + 3)

a) COCIENTE: 5x3 + 10x2 + 26x + 41

RESTO: 95

b) COCIENTE: 6x4 – 9x3 + 9x2 – 9x + 11

RESTO: –11

c) COCIENTE: 3x3 + 7x2 + 35x + 138

RESTO: 565

d) COCIENTE: 6x3 – 14x2 – 9x + 24

RESTO: –816 4 –51 –3 –9

–3 –18 42 27 –726 –14 –9 24 |–81

3 –5 7 –2 134 12 28 140 552

3 7 35 138 |565

6 –3 0 0 2 0–1 –6 9 –9 9 –11

6 –9 9 –9 11 |–11

5 0 6 –11 132 10 20 52 82

5 10 26 41 |95

Pág. 4



3 En cada una de las divisiones efectuadas en el ejercicio anterior, expresa elresultado de estas dos formas distintas:

P(x) = (x – a) · C (x) + R = C (x) +

a) 5x4 + 6x2 – 11x + 13 = (x – 2)(5x3 + 10x2 + 26x + 41) + 95

= 5x3 + 10x2 + 26x + 41 +

b) 6x5 – 3x4 + 2x = (x + 1)(6x4 – 9x3 + 9x2 – 9x + 11) – 11

= 6x4 – 9x3 + 9x2 – 9x + 11 –

c) 3x4 – 5x3 + 7x2 – 2x + 13 = (x – 4)(3x3 + 7x2 + 35x + 138) + 565

= 3x3 + 7x2 + 35x + 138 +

d) 6x4 + 4x3 – 51x2 – 3x – 9 = (x + 3)(6x3 – 14x2 – 9x + 24) – 81

= 6x3 – 14x2 – 9x + 24 –

PÁGINA 461 El polinomio x4 + 3x3 – 2x2 – 10x – 12 es divisible por x – a para dos valo-

res enteros de a. Localízalos y da el cociente en ambos casos.

a = 2

COCIENTE: x3 + 5x2 + 8x + 6

a = –3

COCIENTE: x3 – 2x – 4

2 Comprueba que el polinomio x4 + x3 + 7x2 + 2x + 10 no es divisible por x – a para ningún valor entero de a.

Probaremos con los divisores de 10 que sean negativos. No lo haremos con los po-sitivos porque, al ser todos los coeficientes del polinomio positivos, no conseguire-mos, en ningún caso, encontrar un resto cero.

1 1 7 2 10–10 –10 90 –970 9 680

1 –9 97 –968 |9 690

1 1 7 2 10–5 –5 20 –135 665

1 –4 27 –133 |675

1 1 7 2 10–2 –2 2 –18 32

1 –1 9 –16 |42

1 1 7 2 10–1 –1 0 –7 5

1 0 7 –5 |15

1 3 –2 –10 –12–3 –3 0 6 12

1 0 –2 –4 | 0

1 3 –2 –10 –122 2 10 16 12

1 5 8 6 | 0

81x + 3

6x4 + 4x3 – 51x2 – 3x – 9x + 3

565x – 4

3x4 – 5x3 + 7x2 – 2x + 13x – 4

11x + 1

6x5 – 3x4 + 2xx + 1

95x – 2

5x4 + 6x2 – 11x + 13x – 2

Rx – a

P (x)x – a

Pág. 5



PÁGINA 47

3 Utiliza la regla de Ruffini para hallar P (a) en los siguientes casos:

a) P (x) = 7x4 – 5x2 + 2x – 24, a = 2, a = –5, a = 10

b)P (x) = 3x3 – 8x2 + 3x, a = –3, a = 1, a = 8

a)

P (2) = 72

P (–5) = 4 216

P (10) = 69 496

b)

P (–3) = –162

P (1) = –2

P (8) = 1 048

PÁGINA 48

Cálculo mental

Di si 0, 1, –1, 2 o –2 son raíces de los siguientes polinomios:

a) x3 – 4x b) x4 – x3 – 2x2

c) x3 + x2 – 25x – 25 d) x5 – 5x3 + 4x

a) Son raíces: 0, 2 y –2

b) Son raíces: 0, –1 y 2

c) Son raíces: –1

d) Son raíces: 0, 1, –1, 2 y –2

3 –8 3 08 24 128 1 048

3 16 131 |1 048

3 –8 3 01 3 –5 –2

3 –5 –2 |–2

3 –8 3 0–3 –9 51 –162

3 –17 54 |–162

7 0 –5 2 –2410 70 700 6 950 69 520

7 70 695 6 952 |69 496

7 0 –5 2 –24–5 –35 175 –850 4 240

7 –35 170 –848 |4 216

7 0 –5 2 –242 14 28 46 96

7 14 23 48 |72

Pág. 6



PÁGINA 49

1 Factoriza los siguientes polinomios:

a) 3x2 + 2x – 8 b)3x5 – 48xc) 2x3 + x2 – 5x + 12 d)x3 – 7x2 + 8x + 16

e) x4 + 2x3 – 23x2 – 60x f ) 9x4 – 36x3 + 26x2 + 4x – 3

a) x = = =

3x2 + 2x – 8 = 3 x – (x + 2) = (3x – 4)(x + 2)

b) 3x5 – 48x = x (3x4 – 48) = 3x (x4 – 16) = 3x (x2 + 4)(x2 – 4) =

= 3x (x + 2)(x – 2)(x2 + 4)

c) Probamos con los divisores enteros de 12 y no encontramos ningún resto cero.

No podemos factorizar el polinomio 2x3 + x2 – 5x + 12.

d) x2 – 3x – 4 = 0

x = = =

x3 – 7x2 + 8x + 16 = (x – 4)2(x + 1)

e) x4 + 2x3 – 23x2 – 60x = x (x3 + 2x2 – 23x – 60)

x2 + 7x + 12 = 0

x = = =

x4 + 2x3 – 23x2 – 60x = x (x – 5)(x + 4)(x + 3)

f )

9x2 – 1 = 0 8 x = ±

9x2 – 1 = (3x + 1)(3x – 1)

9x4 – 36x3 + 26x2 + 4x – 3 = (x – 1)(x – 3)(3x + 1)(3x – 1)

13

9 –36 26 4 –31 9 –27 –1 3

9 –27 –1 3 | 03 27 0 –3

9 0 –1 | 0

–4–3

–7 ± 12

–7 ± √49 – 482

1 2 –23 –605 5 35 60

1 7 12 | 0

4–1

3 ± 52

3 ± √9 + 162

1 –7 8 164 4 –12 –16

1 –3 –4 | 0

2 1 –5 12–3 –6 15 –30

2 –5 10 |–18

)43(

4/3–2

–2 ± 106

–2 ± √4 + 4 · 8 · 36

Pág. 7



PÁGINA 50

Cálculo mental

Halla el máx.c.d. y el mín.c.m. de los siguientes pares de polinomios:

a) x2 – 1 y (x + 1)2 b) x2 + x y x2 – xc) x3 – x y x2 – 1 d) x2 + 1 y x2

a) máx.c.d. [x2 – 1, (x + 1)2] = x + 1

mín.c.m. [x2 – 1, (x + 1)2] = (x + 1)2(x – 1)

b) máx.c.d. [x2 + x, x2 – x] = x

mín.c.m. [x2 + x, x2 – x] = x (x – 1)(x + 1)

c) máx.c.d. [x3 – x, x2 – 1] = (x + 1)(x – 1) = x2 – 1

mín.c.m. [x3 – x, x2 – 1] = x (x + 1)(x – 1) = x3 – x

d) máx.c.d. [x2 + 1, x2] = 1

mín.c.m. [x2 + 1, x2] = x2(x2 + 1)

1 Razona si existe alguna relación de divisibilidad entre los siguientes pares depolinomios:

a) P (x) = x3 – 7x2 y Q (x) = x3 – 7xb)P (x) = x3 – 7x2 y Q (x) = x2 – 7xc) P (x) = x4 – 3x – 10 y Q (x) = x – 2

a)No existe ninguna relación de divisibilidad.

b)Q (x) divide a P (x).

c)

Q (x) divide a P (x).

2 Busca dos polinomios de tercer grado que sean divisibles por x – 5 y x. Hallasu máx.c.d. y su mín.c.m.

Por ejemplo:

x (x – 5)(x – 2) = x3 – 7x2 + 10x

x (x – 5)x = x3 – 5x2

máx.c.d. [x3 – 7x2 + 10x, x3 – 5x2] = x (x – 5)

mín.c.m. [x3 – 7x2 + 10x, x3 – 5x2] = x2(x – 5)(x – 2)

°¢£

P (x) = (x – 2)(x3 + 2x2 + 4x + 5)Q (x) = x – 2

1 0 0 –3 –102 2 4 8 10

1 2 4 5 | 0

°¢£

P (x) = x2(x – 7)Q (x) = x (x – 7)

°¢£

P (x) = x2(x – 7)Q (x) = x (x2 – 7)

Pág. 8



3 P (x) = (x – 2)2x2. Busca un polinomio de tercer grado, Q (x), que cumpla lasdos condiciones siguientes:

a) máx.c.d. [P (x), Q (x)] = x2 – 2xb)mín.c.m. [P (x), Q (x)] = (x – 2)2x2 (x + 5)

P (x) = (x – 2)2x2

Si máx.c.d. [P (x), Q (x)] = x2 – 2x = x (x – 2) y

mín.c.m. [P (x), Q (x)] = (x – 2)2 x2(x + 5),

debe ser Q (x) = x (x – 2)(x + 5)

4 Di cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles. Descompón en facto-res los que no lo sean.

a) x2 – 3x + 2 b)x2 – 5x + 6

c) 3x2 + 5x d)3x2 – 5x – 2

e) 3x2 – 5x + 3 f ) 3x3 – 5x2 + 3x

a) x = = = x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1)

b) x = = = x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)

c) 3x2 + 5x = x (3x + 5)

d) x = = = 3x2 – 5x – 2 = (x – 2)(3x + 1)

e) x = No tiene solución.

3x2 – 5x + 3 es irreducible.

f ) 3x3 – 5x2 + 3x = x (3x2 – 5x + 3)

3x2 – 5x + 3 es irreducible (apartado e)).

5 Calcula el máx.c.d. y el mín.c.m. de cada pareja de polinomios:

a) P (x) = x2 – 9, Q (x) = x2 – 6x + 9

b)P (x) = x3 – 7x2 + 12x, Q (x) = x4 – 3x3 – 4x2

c) P (x) = x (x – 3)2(x + 5), Q (x) = x3(x – 3)(x2 + x + 2)

a) P (x) = (x + 3)(x – 3) Q (x) = (x – 3)2

máx.c.d. [P (x), Q (x)] = x – 3

mín.c.m. [P (x), Q (x)] = (x – 3)2(x + 3)

b) P (x) = x (x2 – 7x + 12) = x (x – 4)(x – 3) Q (x) = x2(x – 4)(x + 1)

máx.c.d. [P (x), Q (x)] = x (x – 4)

mín.c.m. [P (x), Q (x)] = x2(x – 4)(x – 3)(x + 1)

c) P (x) = x (x – 3)2(x + 5) Q (x) = x3(x – 3)(x2 + x + 2)

máx.c.d. [P (x), Q (x)] = x (x – 3)

mín.c.m. [P (x), Q (x)] = x3(x – 3)2(x + 5)(x2 + x + 2)

5 ± √25 – 366

2–1/3

5 ± 76

5 ± √25 + 246

32

5 ± 12

5 ± √25 – 242

21

3 ± 12

3 ± √9 – 82

Pág. 9



PÁGINA 51

Cálculo mental

1 Simplifica estas fracciones:

a) b) c)

d) e) f )

a) b) c)

d) x – 3 e) f )

2 Di si cada par de fracciones son equivalentes o no.

a) y b) y c) y

a) = = 8 Son equivalentes.

b) ? 8 x2 ? (x – 1)2. No son equivalentes.

c) = = . Sí son equivalentes.

1 Simplifica las siguientes fracciones:

a) b)

c) d)

a) = =

b) =

c) = =

d) = = = xx + 4

x (x – 2)(x – 3)(x – 2)(x – 3)(x + 4)

x (x2 – 5x + 6)x3 – x2 – 14x + 24

x3 – 5x2 + 6xx3 – x2 – 14x + 24

x2 + 1x2

(x + 3)(x2 + 1)x2(x + 3)

x3 + 3x2 + x + 3x3 + 3x2

(x – 3)(x + 3)x (x + 2)

(x – 3)2 x (x + 3)(x – 3)x2(x + 2)

x – 32x2 – 1

2x (x – 3)2x (2x2 – 1)

2x2 – 6x4x3 – 2x

x3 – 5x2 + 6xx3 – x2 – 14x + 24

x3 + 3x2 + x + 3x3 + 3x2

(x – 3)2 x (x + 3)(x – 3) x2 (x + 2)

2x2 – 6x4x3 – 2x

x + 1x2 – 1

x + 1(x – 1)(x + 1)

1x – 1

x – 1x

xx – 1

xx2

1x

x – 3x2 – 3x

x + 1x2 – 1

1x – 1

x – 1x

xx – 1

xx2

x – 3x2 – 3x

x – 4x

x – 2x – 3

1x – 1

1x + 1

2x + 1

x3 – 4x2

x3x2 – 2xx2 – 3x

x2 – 6x + 9x – 3

x + 1x2 – 1

x + 1(x + 1)2

2xx2 + x

Pág. 10



2 Comprueba si cada par de fracciones son equivalentes:

a) y b) y

a) = = = = . Son equivalentes.

b) = = = = ?

No son equivalentes.

PÁGINA 52

Cálculo mental

1 Reduce a común denominador:

a) y

b) y

c) y

a) ;

b) ;

c) = ;

2 Opera.

a) – b) +

c) · d) :

a) b)

c) 2(x – 2) d) xx + 5

3x – 1x2 – 1

1x2

xx – 5

x2

x2 – 25x2 – 4

x2x

x + 2

2x2 – 1

3x + 1

3x

3x + 1x2

2x2 – 1

3(x – 1)x2 – 1

3(x – 1)(x + 1)(x – 1)

x(x – 1)(x + 1)

5(x + 1)(x – 1)(x + 1)

3xx2

3x + 1x2

2x2 – 1

3x + 1

x(x + 1)(x – 1)

5x – 1

3x

3x + 1x2

x – 33x – x2

x – 3x2 – 3x

x – 3x (x – 3)

1x

(x + 5)2

x (x + 5)2(x + 5)2

x3 + 10x2 + 25x

3x – 33x

x – 1x

(x + 1)(x – 1)x (x + 1)

x (x2 – 1)x (x2 + x)

x3 – xx3 + x2

x – 33x – x2

(x + 5)2

x3 + 10x2 + 25x3x – 3

3xx3 – xx3 + x2

Pág. 11



3 Efectúa las operaciones y simplifica el resultado.

a) – b) –

c) · d) – +

e) : f ) : –

a) – = = =

b) – = = =

c) · = = 5(x – 3)

d) – + = =

= =

e) : = =

f ) : – = : = = –x3x3(x – 1)–(x – 1))x – 1 – x

x (x – 1)(x2

x – 1)1x – 1

1x(x2

x – 1

2(2x + 1)x2

(2x + 1) · 2 · (2x – 1)x2(2x – 1)

x2

4x – 22x + 12x – 1

5x2 – 3x – 1x (x – 2)

3x2 – 7x + 2 – x – 3 + 2x2 + 5xx (x – 2)

(3x – 1)(x – 2) – (x + 3) + x (2x + 5)x (x – 2)

2x + 5x – 2

x + 3x2 – 2x

3x – 1x

5(x – 2)(x + 3)(x – 3)(x + 3)(x – 2)

x2 – 9x – 2

5x – 10x + 3

–3x2 – 1

3(x – 1 – x)x2 – 1)x (x – 1) – x2

x2 – 1(3x)x2

x2 – 1x

x + 1(3x

x2 + x – 5x2 + 3x

2x2 + x – x2 – 5x2 + 3x

(2x + 1) · x – (x2 + 5)x2 + 3x

x2 + 5x2 + 3x

2x + 1x + 3

)1x – 1

1x(x2

x – 1x2

4x – 22x + 12x – 1

2x + 5x – 2

x + 3x2 – 2x

3x – 1x

x2 – 9x – 2

5x – 10x + 3

)x2

x2 – 1x

x + 1(3x

x2 + 5x2 + 3x

2x + 1x + 3

Pág. 12


2Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 53

R A C T I C A

O p e r a c i o n e s c o n p o l i n o m i o s

1 Opera y simplifica las siguientes expresiones:

a) 3x (2x – 1) – (x – 3)(x + 3) + (x – 2)2

b) (2x – 1)2 + (x – 1)(3 – x) – 3(x + 5)2

c) (x – 3)2 – (3x – 1)(3x + 1) – (4x3 + 35)

a) 6x2 – 3x – x2 + 9 + x2 – 4x + 4 = 6x2 – 7x + 13

b) 4x2 – 4x + 1 – x2 + 4x – 3 – 3x2 – 30x – 75 = –30x – 77

c) (x2 – 6x + 9) – (9x2 – 1) – (4x3 + 35) =

= x2 – 8x + 12 – 3x2 + – x3 – = – x3 – x2 – 8x +

2 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

a) (2y + x)(2y – x) + (x + y)2 – x (y + 3)

b)3x (x + y) – (x – y)2 + (3x + y)y

c) (2y + x + 1)(x – 2y) – (x + 2y)(x – 2y)

a) 4y2 – x2 + x2 + 2xy + y2 – xy – 3x = 5y2 + xy – 3x

b) 3x2 + 3xy – x2 + 2xy – y2 + 3xy + y2 = 2x2 + 8xy

c) 2yx – 4y2 + x2 + 2xy + x – 2y – x2 + 4y2 = x – 2y

3 Multiplica cada expresión por el mín.c.m. de los denominadores y sim-plifica:

a) – +

b) – +

a) 20 – + =

= 12x2 + 60x – 5(4x2 + 4x + 1) + 10(x2 – 16) =

= 12x2 + 60x – 20x2 – 20x – 5 + 10x2 – 160 = 2x2 + 40x – 165

b) 3(8x4 + 15x2 – 2) – 2(9x4 + 12x2 + 4) + 5(4x2 – 9) =

= 24x4 + 45x2 – 6 – 18x4 – 24x2 – 8 + 20x2 – 45 = 6x4 + 41x2 – 59

](x – 4)(x + 4)2

(2x + 1)2

43x (x + 5)

5[(2x + 3)(2x – 3)

6(3x2 + 2)2

15(8x2 –1)(x2 + 2)

10

(x – 4)(x + 4)2

(2x + 1)2

43x (x + 5)

5

23

53

43

353

43

13

43

13

13

43

13

13

43

P

Pág. 1



4 Halla el cociente y el resto de cada una de estas divisiones:

a) (7x2 – 5x + 3) : (x2 – 2x + 1)

b) (2x3 – 7x2 + 5x – 3) : (x2 – 2x)

c) (x3 – 5x2 + 2x + 4) : (x2 – x + 1)

a) 7x2 – 5x + 3 x2 – 2x + 1

–7x2 + 14x – 7 7 COCIENTE: 7

9x – 4 RESTO: 9x – 4

b) 2x3 – 7x2 + 5x – 3 x2 – 2x

–2x3 + 4x2 2x – 3

–3x2

3x2 – 6x COCIENTE: 2x – 3

–x – 3 RESTO = –x – 3

c) x3 – 5x2 + 2x + 4 x2 – x + 1

–x3 + x2 – x x – 4

–4x2 + x

4x2 – 4x + 4 COCIENTE: x – 4

–3x + 8 RESTO: –3x + 8

5 Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes:

a) (3x5 – 2x3 + 4x – 1) : (x3 – 2x + 1)

b) (x4 – 5x3 + 3x – 2) : (x2 + 1)

c) (4x5 + 3x3 – 2x) : (x2 – x + 1)

a) 3x5 – 2x3 + 4x – 1 x3 – 2x + 1

–3x5 + 6x3 – 3x2 3x2 + 4

4x3 – 3x2

–4x3 + 8x – 4 COCIENTE: 3x2 + 4

–3x2 + 12x – 5 RESTO: –3x2 + 12x – 5

b) x4 – 5x3 + 3x – 2 x2 + 1

–x4 – x2 x2 – 5x – 1

–5x3 – x2

5x3 + 5x

–x2 + 8x

x2 + 1 COCIENTE: x2 – 5x – 1

8x – 1 RESTO: 8x – 1

Pág. 2



c) 4x5 + 3x3 – 2x x2 – x + 1

–4x5 + 4x4 – 4x3 4x3 + 4x2 + 3x – 1

4x4 – x3

–4x4 + 4x3 – 4x2

3x3 – 4x2

–3x3 + 3x2 – 3x

–x2 – 5x

x2 – x + 1 COCIENTE: 4x3 + 4x2 + 3x – 1

–6x + 1 RESTO: –6x + 1

6 Divide y comprueba que:

Dividendo = divisor Ò cociente + resto

(x3 – 5x2 + 3x + 1) : (x2 – 5x + 1)

x3 – 5x2 + 3x + 1 x2 – 5x + 1

–x3 + 5x2 – x x

2x + 1

(x2 – 5x + 1)x + 2x + 1 = x3 – 5x2 + x + 2x + 1 = x3 – 5x2 + 3x + 1

7 Expresa las siguientes divisiones de la forma D = d · c + r.

a) (6x3 + 5x2 – 9x) : (3x – 2)

b) (x4 – 4x2 + 12x – 9) : (x2 – 2x + 3)

c) (4x4 + 2x3 – 2x2 + 9x + 5) : (–2x3 + x – 5)

a) 6x3 + 5x2 – 9x 3x – 2

–6x3 + 4x2 2x2 + 3x – 1

9x2

–9x2 + 6x

–3x

3x – 2

–2

6x3 + 5x2 – 9x = (3x – 2)(2x2 + 3x – 1) – 2

b) x4 – 4x2 + 12x – 9 x2 – 2x + 3

–x4 + 2x3 – 3x2 x2 + 2x – 3

2x3 – 7x2

–2x3 + 4x2 – 6x

–3x2 + 6x

3x2 – 6x + 9

0

x4 – 4x2 + 12x – 9 = (x2 – 2x + 3)(x2 + 2x – 3)

Pág. 3



c) 4x4 + 2x3 – 2x2 + 9x + 5 –2x3 + x – 5

–4x4 +2x2 – 10x –2x – 1

2x3 – x

–2x3 + x – 5

0

4x4 + 2x3 – 2x2 + 9x + 5 = (–2x3 + x – 5)(–2x – 1)

F a c t o r c o m ú n e i d e n t i d a d e s n o t a b l e s

8 Expresa como cuadrado de un binomio.

a) 16x2 + 1 – 8xb)36x2 + 25y2 + 60xyc) 9x4 + y2 + 6x2yd)y4 – 2y2 + 1

a) (4x – 1)2 b) (6x + 5y)2

c) (3x2 + y)2 d) (y2 – 1)2

9 Expresa como producto de dos binomios.

a) 49x2 – 16 b)9x4 – y2

c) 81x4 – 64x2 d)25x2 – 3

e) 2x2 – 100 f ) 5x2 – 2

a) (7x + 4)(7x – 4) b) (3x2 + y)(3x2 – y)

c) (9x2 + 8x)(0x2 – 8x) d) (5x + )(5x – )e) ( x + 10)( x – 10) f ) ( x + )( x – )

10 Saca factor común e identifica los productos notables como en el ejem-plo.

• 2x4 + 12x3 + 18x2 = 2x2(x2 + 6x + 9) = 2x2(x + 3)2

a) 20x3 – 60x2 + 45xb)27x3 – 3xy2

c) 3x3 + 6x2y + 3y2xd)4x4 – 81x2y2

a) 5x (4x2 – 12x + 9) = 5x (2x – 3)2

b) 3x (9x2 – y2) = 3x (3x + y)(3x – y)

c) 3x (x2 + 2xy + y2) = 3x (x + y)2

d) x2(4x2 – 81y2) = x2(2x + 9y)(2x – 9y)

√2√5√2√5√2√2

√3√3

Pág. 4



R e g l a d e R u f f i n i . A p l i c a c i o n e s

11 Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguien-tes divisiones:

a) (5x3 – 3x2 + x – 2) : (x – 2) b) (x4 – 5x3 + 7x + 3) : (x + 1)

c) (–x3 + 4x) : (x – 3) d)(x4 – 3x3 + 5) : (x + 2)

a) COCIENTE: 5x2 + 7x + 15

RESTO: 28

b) COCIENTE: x3 – 6x2 + 6x + 1

RESTO: 2

c) COCIENTE: –x2 – 3x – 5

RESTO: –15

d) COCIENTE: x3 – 5x2 + 10x – 20

RESTO: 45

12 Utiliza la regla de Ruffini para calcular P (3), P (–5) y P (7) en los si-guientes casos:

a) P (x) = 2x3 – 5x2 + 7x + 3 b)P (x) = x4 – 3x2 + 7

a)

P (3) = 33

P (–5) = –407

P (7) = 493

b)

P (3) = 61

P (–5) = 557

1 0 –3 0 7–5 –5 25 –110 550

1 –5 22 –110 | 557

1 0 –3 0 73 3 9 18 54

1 3 6 18 | 61

2 –5 7 37 14 63 490

2 9 70 | 493

2 –5 7 3–5 –10 75 –410

2 –15 82 | –407

2 –5 7 33 6 3 30

2 1 10 | 33

1 –3 0 0 5–2 –2 10 –20 40

1 –5 10 –20 | 45

–1 0 4 03 –3 –9 –15

–1 –3 –5 | –15

1 –5 0 7 3–1 –1 6 –6 –1

1 –6 6 1 | 2

5 –3 1 –22 10 14 30

5 7 15 | 28

Pág. 5



P (7) = 2 261

13 Averigua cuáles de los números 1, –1, 2, –2, 3, –3 son raíces de los poli-nomios siguientes:

a) P (x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 b)Q (x) = x3 – 3x2 + x – 3

☞ Recuerda que a es raíz de P(x) si P(a) = 0.

a)

Son raíces de P (x): 1, –2 y 3.

b)

3 es una raíz de Q (x) (no probamos con 2 y –2 porque no son divisores de –3).

14 Comprueba si los polinomios siguientes son divisibles por x – 3 o x + 1.

a) P1(x) = x3 – 3x2 + x – 3

b)P2(x) = x3 + 4x2 – 11x – 30

c) P3(x) = x4 – 7x3 + 5x2 – 13

a)

P1 es divisible por x – 3.

b)

P2 es divisible por x – 3.

1 4 –11 –303 3 21 30

1 7 10 | 0

1 4 –11 –30–1 –1 –3 14

1 3 –14 | –16 ? 0

1 –3 1 –3–1 –1 4 –5

1 –4 5 | –8 ? 0

1 –3 1 –33 3 0 3

1 0 1 | 0

1 –3 1 –3–3 –3 18 –57

1 –6 19 | –60 ? 0

1 –3 1 –33 3 0 3

1 0 1 | 0

1 –3 1 –3–1 –1 4 –5

1 –4 5 | –8 ? 0

1 –3 1 –31 1 –2 –1

1 –2 –1 | –4 ? 0

1 –2 –5 6–3 –3 15 –30

1 –5 10 | –24 ? 0

1 –2 –5 63 3 3 –6

1 1 –2 | 0

1 –2 –5 6–2 –2 8 –6

1 –4 3 | 0

1 –2 –5 62 2 0 –10

1 0 –5 | –4 ? 0

1 –2 –5 6–1 –1 3 2

1 –3 –2 | 8 ? 0

1 –2 –5 61 1 –1 –6

1 –1 –6 | 0

1 0 –3 0 77 7 49 322 2 254

1 7 46 322 | 2 261

Pág. 6



c)

P3 es divisible por x + 1. No puede ser divisible por x – 3 porque 13 no es múl-tiplo de 3.

PÁGINA 54

15 El polinomio x4 – 2x3 – 23x2 – 2x – 24 es divisible por x – a para dosvalores enteros de a. Búscalos y da el cociente en ambos casos.

Es divisible por x + 4. Es divisible por x – 6.

COCIENTE: x3 – 6x2 + x – 6 COCIENTE: x3 + 4x2 + x + 4

16 Prueba si el polinomio –x4 + 3x2 – 16x + 6 es divisible por x – a paraalgún valor entero de a.

Es divisible por x + 3.

17 Si P (x) = 3x3 – 11x2 – 81x + 245, halla los valores P (8,75), P (10,25)y P (–7) con ayuda de la calculadora.

Describe el proceso como en el ejemplo:

8.75m3*Ñ-11=*Ñ-81=*Ñ+245={|≠«…°“°}P (8,75) = 703,828...

10,25 m 3 *Ñ- 11 =*Ñ- 81 =*Ñ+ 245 = {‘¢°£Ÿ|«¢|……}P (10,25) = 1 489,73

7 ± m 3 *Ñ- 11 =*Ñ- 81 =*Ñ+ 245 = {∫∫–|∞\}P (–7) = –756

–1 0 3 –16 6–3 3 –9 18 –6

–1 3 –6 2 | 0

1 –2 –23 –2 –246 6 24 6 24

1 4 1 4 | 0

1 –2 –23 –2 –24–4 –4 24 –4 24

1 –6 1 –6 | 0

1 –7 5 0 –13–1 –1 8 –13 13

1 –8 13 –13 | 0

Pág. 7



F a c t o r i z a c i ó n d e p o l i n o m i o s

18 Factoriza los siguientes polinomios:

a) x2 + 4x – 5 b)x2 + 8x + 15

c) 7x2 – 21x – 280 d)3x2 + 9x – 210

a) x2 + 4x – 5 = 0 8 x = –5, x = 1

x2 + 4x – 5 = (x + 5)(x – 1)

b) x2 + 8x + 15 = 0 8 x = –5, x = –3

x2 + 8x + 15 = (x + 5)(x + 3)

c) 7x2 – 21x – 280 = 0 8 x = 8, x = –5

7x2 – 21x – 280 = 7(x – 8)(x + 5)

d) 3x2 + 9x – 210 = 0 8 x = –10, x = 7

3x2 + 9x – 210 = 3(x + 10)(x – 7)

19 Busca, en cada caso, una raíz entera y factoriza, después, el polinomio:

a) 2x2 – 9x – 5 b)3x2 – 2x – 5

c) 4x2 + 17x + 15 d)–x2 + 17x – 72

a) 2x2 – 9x – 5 = (x – 5)(2x + 1)

b) 3x2 – 2x – 5 = (x + 1)(3x – 5)

c) 4x2 + 17x + 15 = (x + 3)(4x + 5)

d) –x2 + 17x – 72 = –(x – 8)(x – 9)

20 Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los si-guientes polinomios:

a) 3x3 – 12x b)4x3 – 24x2 + 36xc) 45x2 – 5x4 d)x4 + x2 + 2x3

e) x6 – 16x2 f ) 16x4 – 9

a) 3x3 – 12x = 3x (x2 – 4) = 3x (x + 2)(x – 2)

b) 4x3 – 24x2 + 36x = 4x (x2 – 6x + 9) = 4x (x – 3)2

c) 45x2 – 5x4 = 5x2(9 – x2) = 5x2(3 + x)(3 – x)

d) x4 + x2 + 2x3 = x2(x2 + 1 + 2x) = x2(x + 1)2

e) x6 – 16x2 = x2(x4 – 16) = x2(x2 + 4)(x2 – 4) = x2(x2 + 4)(x + 2)(x – 2)

f ) 16x4 – 9 = (4x2 + 3)(4x2 – 3) = (4x2 + 3)(2x + )(2x – )

21 Completa la descomposición en factores de los polinomios siguientes:

a) (x2 – 25)(x2 – 6x + 9)

b) (x2 – 7x )(x2 – 13x + 40)

a) (x2 – 25)(x2 – 6x + 9) = (x + 5)(x – 5)(x – 3)2

b) (x2 – 7x )(x2 – 13x + 40) = x (x – 7)(x – 8)(x – 5)

√3√3

Pág. 8



22 Descompón en factores y di cuáles son las raíces de los siguientes poli-nomios:

a) x3 + 2x2 – x – 2 b)3x3 – 15x2 + 12xc) x3 – 9x2 + 15x – 7 d)x4 – 13x2 + 36

a) x3 + 2x2 – x – 2 = (x – 1)(x + 1)(x + 2)

Sus raíces son 1, –1 y –2.

b) 3x3 – 15x2 + 12x = 3x (x – 1)(x – 4)

Sus raíces son 0, 1 y 4.

c) x3 – 9x2 + 15x – 7 = (x – 1)2(x – 7)

Sus raíces son 1 y 7.

d) x4 – 13x2 + 36 = 0 8 x = 2; x = –2; x = 3; x = –3

x4 – 13x2 + 36 = (x – 2)(x + 2)(x – 3)(x + 3)

Sus raíces son 2, –2, 3 y –3.

23 Factoriza los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces:

a) x3 – 2x2 – 2x – 3 b)2x3 – 7x2 – 19x + 60

c) x3 – x – 6 d)4x4 + 4x3 – 3x2 – 4x – 1

a) x3 – 2x2 – 2x – 3 = (x – 3)(x2 + x + 1)

Raíz: 3

b) 2x3 – 7x2 – 19x + 60 = (x + 3)(x – 4)(2x – 5)

Raíces: –3, 4 y

c) x3 – x – 6 = (x – 2)(x2 + 2x + 3)

Raíz: 2

1 0 –1 –62 2 4 6

1 2 3 | 0

2 –7 –19 60–3 –6 39 –60

2 –13 20 | 04 8 –20

2 –5 | 0

52

1 –2 –2 –33 3 3 3

1 1 1 | 0

1 –9 15 –71 1 –8 7

1 –8 7 | 01 1 –7

1 –7 | 0

3 –15 121 3 –12

3 –12 | 04 12

3 | 0

1 2 –1 –21 1 3 2

1 3 2 | 0–1 –1 –2

1 2 | 0

Pág. 9



d) 4x4 + 4x3 – 3x2 – 4x – 1 =

= (x – 1)(x + 1)(4x2 + 4x + 1) =

= (x – 1)(x + 1)(2x + 1)2

Raíces: 1, –1 y –

F r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s

24 Comprueba, en cada caso, si las fracciones dadas son equivalentes:

a) y b) y

c) y d) y

a) Sí son equivalentes, porque 3(x – 4) = 3x – 12.

b) No son equivalentes, ya que 2(x2 + x) ? 2x2.

c) Sí son equivalentes, porque (x + y)(x – y) = x2 – y2.

d) Sí son equivalentes, porque (2x – 2)x = 2x2 – 2x.

25 Descompón en factores y simplifica.

a) b)

c) d)

e) f )

a) = =

b) = =

c) = =

d) = =

e) = =

f ) = = x – 3y2y

xy (x – 3y)2xy2

x2y – 3xy2

2xy2

1x + 3

x – 2(x – 2)(x + 3)

x – 2x2 + x – 6

xx + y

x (x + y)(x + y)2

x2 + xyx2 + 2xy + y2

x – 5x + 5

(x – 5)2

(x + 5)(x – 5)x2 + 25 – 10x

x2 – 25

1x – 2

x + 2(x + 2)(x – 2)

x + 2x2 – 4

x – 3x + 3

(x – 3)(x + 3)(x + 3)(x + 3)

x2 – 9(x + 3)2

x2y – 3xy2

2xy2x – 2

x2 + x – 6

x2 + xyx2 + 2xy + y2

x2 + 25 – 10xx2 – 25

x + 2x2 – 4

x2 – 9(x + 3)2

22x – 2

xx2 – x

1x – y

x + yx2 – y 2

x2

x2 + x2x

13

x – 43x – 12

4 4 –3 –4 –11 4 8 5 1

4 8 5 1 | 0–1 –4 –4 –1

4 4 1 | 0

12

Pág. 10



26 Reduce a común denominador y opera.

a) – + b) – +

c) – d) +

a) – + = =

b) – + = =

c) – = =

d) + = =

27 Efectúa.

a) + – 1 b) –

c) – d) –

a) + – 1 =

b) – = =

c) – = =

d) – = =

28 Opera.

a) · b) ·

c) : d) :

a) · = b) · =

c) : = d) : = 4x2 + 6x2x2 – x – 3

x + 12x + 3

2x2x – 3

3xx2 – 1

x + 13x

1x – 1

2xx2 – 1

xx + 1

2x – 1

2x2 + x3x – 3

2x + 1x – 1

x3

x + 12x + 3

2x2x – 3

x + 13x

1x – 1

xx + 1

2x – 1

2x + 1x – 1

x3

–9 – xx2 + 4x + 3

(x – 3)(x + 3) – x (x + 1)(x + 1)(x + 3)

xx + 3

x – 3x + 1

x2 – 3x + 9x2 – 3x

x2 – 3(x – 3)x (x – 3)

3x

xx – 3

6 – x2 – x3x2

6 – x (x + 1)3x2

x + 13x

2x2

x2 + 6 – 2x2x

3x

x2

xx + 3

x – 3x + 1

3x

xx – 3

x + 13x

2x2

3x

x2

4xx2 – 4

2x + 4 + 2x – 4(x – 2)(x + 2)

2x + 2

2x – 2

1x2 – x

x – x + 1x (x – 1)

1x

1x – 1

2x + 63x2

6 – x + 3x3x2

1x

13x

2x2

54x

2 – 1 + 44x

1x

14x

12x

2x + 2

2x – 2

1x

1x – 1

1x

13x

2x2

1x

14x

12x

Pág. 11



29 Opera y simplifica si es posible.

a) : · b) – :

a) : · = · = =

b) – : = : = =

30 Descompón en factores el dividendo y el divisor, y, después, simplifica.

a) b)

c) d)

a) = =

b) = =

c) = =

d) = =

PÁGINA 55

I E N S A Y R E S U E LV E

31 Sustituye, en cada caso, los puntos suspensivos por la expresión adecua-da para que las fracciones sean equivalentes:

a) = b) =

c) = d) =

a) = b) =

c) = d) = 2(x + 2)x2 + 4x + 4

2x + 2

x (x + 3)x2 – 9

xx – 3

x2

x (2x + 1)x

2x + 1x

x + 1x2 – xx2 – 1

…x2 + 4x + 4

2x + 2

…x2 – 9

xx – 3

x2

…x

2x + 1…

x + 1x2 – xx2 – 1

P

x + 6x – 1

(x + 6)(x – 7)(x – 1)(x – 7)

x2 – x – 42x2 – 8x + 7

x3

x (x2 – 3x + 2)3(x2 – 3x + 2)

x3 – 3x2 + 2x3x2 – 9x + 6

x – 4x2

(x + 1)(x – 4)x2(x + 1)

x2 – 3x – 4x3 + x2

xx – 3

x (x – 2)(x – 3)(x – 2)

x2 – 2xx2 – 5x + 6

x2 – x – 42x2 – 8x + 7

x3 – 3x2 + 2x3x2 – 9x + 6

x2 – 3x – 4x3 + x2

x2 – 2xx2 – 5x + 6

4x2 – 4

4xx (x + 2)(x – 2)

x – 2x)2x + 4 – 2x

x (x + 2)(x – 2x)2

x + 22x(

x + 12

(x + 1)x2x

x2

x + 1x

x2)1

x + 11x(

x – 2x)2

x + 22x(x

2)1x + 1

1x(

Pág. 12



32 Halla, en cada caso, el mínimo común múltiplo y el máximo común divi-sor de los polinomios siguientes:

a) x2; x2 – x; x2 – 1

b)x – 3; x2 – 9; x2 – 6x + 9

c) x + 2; 3x + 6; x2 + x – 2

d)2x; 2x + 1; 4x2 – 1

a)

b)

c)

d)

33 Resuelto en el libro de texto.


a) – : + b) ·

c) x + : x – · (x – 1) d) · :

a) – : + = : = = = 3 – x

b) · = =

c) x + : x – · (x – 1) = : · (x – 1) =

= · (x – 1) =

d) · : = · = 2(x – 1)x2

x – 1x

2x)1

x – 11x(2

x

x2 + 1x + 1

x2 + 1x2 – 1

)x2 – 1x

x2 + 1x(])1

x()1x([

(x + 1)2

x (x – 1)(x + 1)(x + 1)(x – 1)

(x – 1)2 · xx2 – 1

xx + 1

(x – 1)2

(3 – x)(3 + x)3 + x

9 – x2

3x3 + x3x

9 – x2

3x)13

1x()x

33x(

)1x – 1

1x(2

x])1x()1

x([x2 – 1

xx + 1

(x – 1)2)13

1x()x

33x(

máx.c.d. [2x, 2x + 1, 4x2 – 1] = 1mín.c.m. [2x, 2x + 1, 4x2 – 1] = 2x (4x2 – 1)

°§¢§£

2x2x + 14x2 – 1 = (2x + 1)(2x – 1)

máx.c.d. [x + 2, 3x + 6, x2 + x – 2] = x + 2mín.c.m. [x + 2, 3x + 6, x2 + x – 2] = 3(x + 2)(x – 1)

°§¢§£

x + 23x + 6 = 3(x + 2)x2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1)

máx.c.d. [x – 3, x2 – 9, x2 – 6x + 9] = x – 3mín.c.m. [x – 3, x2 – 9, x2 – 6x + 9] = (x – 3)2(x + 3)

°§¢§£

x – 3x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)x2 – 6x + 9 = (x – 3)2

máx.c.d. [x2, x2 – x, x2 – 1] = 1mín.c.m. [x2, x2 – x, x2 – 1] = x2(x – 1)(x + 1)

°§¢§£

x2

x2 – x = x (x – 1)x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)

Pág. 13



35 Efectúa.

a) + –

b) – –

c) – +

a) + – =

= + – =

= =

= =

= =

b) – – =

= – – =

= =

c) – + =

= – + =

= =

= = 8x3 + 10x2 – 9x – 12x (4x2 – 1)

4x3 + 8x2 – 2x2 – 4x – 4x + 4x3 + 4x2 – x – 12x (4x2 – 1)

(2x2 + 4x)(2x – 1) – 4x + (x + 1)(4x2 – 1)2x (4x2 – 1)

(x + 1)(2x + 1)(2x – 1)2x (2x + 1)(2x – 1)

4x2x (2x + 1)(2x – 1)

2x (x + 2)(2x – 1)2x (2x + 1)(2x – 1)

x + 12x

24x2 – 1

x + 22x + 1

–x2 – 4x + 113(x + 2)(x – 1)

6x – 15x + 15 – x2 + 5x – 43(x + 2)(x – 1)

(x – 4)(x – 1)3(x + 2)(x – 1)

15(x – 1)3(x + 2)(x – 1)

6x3(x + 2)(x – 1)

x – 43x + 6

5x + 2

2xx2 + x – 2

2x3 + x + 2x4 – x2

2x3 + x + 2x2(x2 – 1)

x3 – 2x2 – x + 2 + x3 + 2x2 + x2 + 2x – x2

x2(x2 – 1)

(x – 2)(x2 – 1) + (x + 2)(x2 + x) – x2

x2(x2 – 1)

x2

x2(x – 1)(x + 1)(x + 2)(x + 1)xx2(x – 1)(x + 1)

(x – 2)(x – 1)(x + 1)x2(x – 1)(x + 1)

1x2 – 1

x + 2x2 – x

x – 2x2

x + 12x

24x2 – 1

x + 22x + 1

x – 43x + 6

5x + 2

2xx2 + x – 2

1x2 – 1

x + 2x2 – x

x – 2x2

Pág. 14




a) 1 – – 1

b) – :

c) 4 – –

a) 1 – – 1 = · – 1 = – 1 =

= = = =

b) – : = : = : = =

c) 4 – – = 4 – · = 4 – =

37 Efectúa.

a) + –

b) + – 3

c) – –

a) + – = + – =

= =

b) + – 3 = + – =

= =

c) – – = – – =

= =

38 Resuelto en el libro de texto.

–2x2 – xx2 – 9

2x – 3 – x2 – 4x – 3 – x2 + x + 6x2 – 9

(x + 2)(x – 3)x2 – 9

(x + 1)(x + 3)x2 – 9

2x – 3x2 – 9

x + 2x + 3

x + 1x – 3

2x – 3x2 – 9

7x – 6(x – 1)2

x2 + 2x2 + 3x – 2x – 3 – 3(x2 – 2x + 1)(x – 1)2

3(x – 1)2

(x – 1)2(2x + 3)(x – 1)

(x – 1)2x2

(x – 1)22x + 3x – 1

x2

x2 – 2x + 1

x2 + 4xx2 – 1

x2 + 2x + 1 + 3x – 3 – x + 2x2 – 1

x – 2x2 – 1

3(x – 1)x2 – 1

(x + 1)2

x2 – 1x – 2x2 – 1

3x + 1

x + 1x – 1

x + 2x + 3

x + 1x – 3

2x – 3x2 – 9

2x + 3x – 1

x2

x2 – 2x + 1

x – 2x2 – 1

3x + 1

x + 1x – 1

4x2 – 1x2

1x2

2x – 1x2

12x – 1)1

x22x(1

2x – 1

xx + 3

x2

x (x + 3)3x2

3x (x + 3)

3x2

x + 3 – xx (x + 3)

3x2)1

x + 31x(

–3x + 3

–3xx (x + 3)

x2 – x2 – 3xx (x + 3)

x2 – x (x + 3)x (x + 3)

x2

x (x + 3)x2

x + 3)x – x + 1x(x2

x + 3)x – 1x(

)1x2

2x(1

2x – 1

3x2)1

x + 31x(

x2

x + 3)x – 1x(

Pág. 15



39 Calcula m para que el polinomio

P (x) = x3 – mx2 + 5x – 2

sea divisible por x + 1.

P (x) = x3 – mx2 + 5x – 2 será divisible por x + 1 si P (–1) = 0.

P (–1) = (–1)3 – m (–1)2 + 5(–1) – 2 = 0

–1 – m – 5 – 2 = 0 8 m = –8

40 El resto de la siguiente división es igual a –8:

(2x4 + kx3 – 7x + 6) : (x – 2)

¿Cuánto vale k ?

LLamamos P (x) = 2x4 + kx3 – 7x + 6.

El resto de la división P (x) : (x – 2) es P(2), luego:

P (2) = –8 8 2 · 24 + k · 23 – 7 · 2 + 6 = –8 8

8 32 + 8k – 14 + 6 = –8 8 8k = –32 8 k = –4

41 Halla el valor que debe tener m para que el polinomio

mx3 – 3x2 + 5x + 9m

sea divisible por x + 2.

Llamamos P(x) = mx3 – 3x2 + 5x + 9m. Dicho polinomio ha de ser divisible porx + 2, luego el resto ha de ser 0:

P(–2) = 0 8 m (–2)3 – 3(–2)2 + 5 · (–2) + 9m = 0 8

8 –8m – 12 – 10 + 9m = 0 8 m = 22

42 Comprueba si existe alguna relación de divisibilidad entre los siguientespares de polinomios:

a) P (x) = x4 – 4x2 y Q (x) = x2 – 2x

b)P (x) = x2 – 10x + 25 y Q (x) = x2 – 5x

c) P (x) = x3 + x2 – 12x y Q (x) = x – 3

a)Q (x) es divisor de P (x).

b)No hay relación de divisibilidad.

c)Q (x) es divisor de P (x).

°¢£

P (x) = x (x – 3)(x + 4)Q (x) = x – 3

°¢£

P (x) = (x – 5)2

Q (x) = x (x – 5)

°¢£

P (x) = x2(x – 2)(x + 2)Q (x) = x (x – 2)

Pág. 16



PÁGINA 56

43 Tenemos un polinomio P (x) = (x – 1)2(x + 3). Busca un polinomio desegundo grado, Q (x), que cumpla las dos condiciones siguientes:

a) máx.c.d. [P (x), Q (x)] = x – 1

b)mín.c.m. [P (x), Q (x)] = (x – 1)2(x2 – 9)

Q (x) = (x – 1)(x – 3)

44 Calcula el valor de k para que el polinomio

P (x) = x3 – x2 + x + k

sea múltiplo de Q (x) = x2 + 1.

x3 – x2 + x + k x2 + 1

–x3 – x x – 1

–x2 + k

x2 + 1

k + 1

Ha de ser k + 1 = 0 8 k = –1

T r a d u c c i ó n a l l e n g u a j e a l g e b r a i c o

45 Traduce a lenguaje algebraico empleando una sola incógnita:

a) El cociente entre dos números pares consecutivos.

b)Un número menos su inverso.

c) El inverso de un número más el inverso del doble de ese número.

d)La suma de los inversos de dos números consecutivos.

a) b) x – c) + d) +

46 Expresa mediante polinomios el área y el volumen de este ortoedro.

Área = 2[(x + 4)(x – 2) + x (x – 2) + x (x + 4)] = 6x2 + 8x – 16

Volumen = (x + 4)(x – 2)x = x3 + 2x2 – 8x

x + 4x – 2

x

1x – 1

1x

12x

1x

1x

2x2x + 2

Pág. 17



47 Expresa, en función de x, el área total de este tronco de pirámide.

Área lateral = 4 · (x + 1) = 4(x + 1)2

Área de las bases = x2 + (x + 2)2

Área total = 4(x + 1)2 + x2 + (x + 2)2 = 6x2 + 12x + 8

48 Un grifo tarda x minutos en llenar un depósito. Otro grifo tarda 3 mi-nutos menos en llenar el mismo depósito. Expresa en función de x la parte deldepósito que llenan abriendo los dos durante un minuto.

+

49 Se mezclan x kg de pintura de 5 €/kg con y kg de otra de 3 €/kg. ¿Cuálserá el precio de 1 kg de la mezcla? Exprésalo en función de x e y.

50 En un rectángulo de lados x e y inscribi-mos un rombo. Escribe el perímetro del rombo enfunción de los lados del rectángulo.

El lado del rombo es l = =

Perímetro = 4 = 2

51 Expresa algebraicamente el área de la parte coloreada utilizando x e y.

Área cuadrado grande = y2

Área cuadrado pequeño = (y – 2x)2

Área parte sombreada = y2 – (y – 2x)2 = 4xy – 4x2

y

x

√x2 + y2)√x2 + y212(

√x2 + y212

x y√(—)2 + (—)22 2

x

y

5x + 3yx + y

1x – 3

1x

](x + 2 + x)2[

x + 2

x + 1

x

Pág. 18



52 Dos pueblos, A y B, distan 60 km. De A sale un coche hacia B con velo-cidad v. Al mismo tiempo sale otro de B en dirección a A con velocidad v + 3. Expresa en función de v el tiempo que tardan en encontrarse.

t =

53 En el rectángulo ABCD de lados AB = 3 cm y BC = 5 cm, hemos ins-crito el cuadrilátero A'B'C'D' haciendo AA' = BB' = CC' = DD' = x.

Escribe el área de A'B'C'D' en función de x.

Sabiendo que = = 5 – x y = = 3 – x, se tendrá:

El área del triángulo B'CC' es .

El área del triángulo A'AD' es .

El área del triángulo B'BA' es .

El área del triángulo D'DC' es .

El área del rectángulo ABCD es 3 · 5 = 15 cm2.

APARALELOGRAMO

= 15 – 2 · + 2 · = 15 – [x (5 – x) + x (3 – x)] =

= 15 – (–2x2 + 8x) = 2x2 – 8x + 15

]x (3 – x)2

x (5 – x)2[

x (3 – x)2

x (3 – x)2

x (5 – x)2

x (5 – x)2

C'DA'BB'CAD'

A

B C

D

A'

B'

C'

D'

602v + 3

Pág. 19



54 En el triángulo de la figura conocemos BC—

=10 cm, AH

—= 4 cm. Por un punto D de la altura,

tal que AD—

= x, se traza una paralela MN a BC.Desde M y N se trazan perpendiculares a BC.

a) Expresa MN—

en función de x. (Utiliza la semejanza de los triángulos AMNy ABC ).

b)Escribe el área del rectángulo MNPQ mediante un polinomio en x.

a) Por la semejanza de triángulos:

= 8 = 8 = 8 = x

b) = 4 – x

ARECTÁNGULO

= · = x (4 – x) = 10x – x2

PÁGINA 57

E F L E X I O N A S O B R E L A T E O R Í A

55 Escribe en cada caso un polinomio de segundo grado que tenga por raíces:

a) 7 y –7 b)0 y 5 c) –2 y –3 d)4 (doble)

Por ejemplo:

a) (x – 7)(x + 7) = x2 – 49 b) x (x – 5) = x2 – 5x

c) (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6 d) (x – 4)2 = x2 – 8x + 16

56 Escribe, en cada caso, un polinomio que cumpla la condición dada:

a) De segundo grado sin raíces.

b)Que tenga por raíces –1, 0 y 3.

c) De tercer grado con una sola raíz.

Por ejemplo:

a) x2 + 1

b) x (x + 1)(x – 3) = x3 – 2x2 – 3x

c) x (x2 + 1) = x3 + x

R

52

52

MPMN

MP

52

MN10 · x4

MNBC · xAH

MNMNx

BCAH

A

B H QP C

xDM N

4 cm

10 cm

A

B H QP C

xDM N

Pág. 20



57 Las raíces de P (x) son 0, 2 y –3.

a) Escribe tres divisores de P (x) de primer grado.

b)Escribe un divisor de P (x) de segundo grado.

a) x; x – 2; x + 3

b) Por ejemplo: x (x – 2)

58 Inventa dos polinomios de segundo grado que cumplan la condición in-dicada en cada caso:

a) mín.c.m. [P (x), Q (x)] = x2(x – 3)(x + 2)

b)máx.c.d. [P (x), Q (x)] = 2x + 1

a) Por ejemplo: P (x) = x2; Q (x) = (x – 3)(x + 2)

b) Por ejemplo: P (x) = x (2x + 1); Q (x) = (2x + 1)(x – 2)

59 ¿Cuál es el mín.c.m. de los monomios A = 2b; B = a2b2; C = 5a2?

Escribe otros tres monomios D, E, F tales que:

mín.c.m. (A, B, C, D, E, F ) = 10a2b2

mín.c.m. (A, B, C ) = 10a2b2

Tomamos, por ejemplo:

D = 2b2 E = 5a F = 10ab

mín.c.m. (A, B, C, D, E, F ) = 10a2b2

60 a) Si la división P (x) : (x – 2) es exacta, ¿qué puedes afirmar del valorP (2)?

b)Si –5 es una raíz del polinomio P (x), ¿qué puedes afirmar de la divisiónP (x) : (x + 5)?

c) ¿En qué resultado te has basado para responder a las dos preguntas anterio-res?

a) Si la división es exacta, el resto es 0, luego P (2) = 0.

b) La división P (x) : (x + 5) es exacta, el resto es 0.

c) En el teorema del resto.

61 Prueba que el polinomio x2 + (a + b)x + ab es divisible por x + a y porx + b para cualquier valor de a y b. ¿Cuál será su descomposición factorial?

x2 + (a + b )x + ab = (x + a)(x + b )

1 a + b ab–b –b –ab

1 a | 0

1 a + b ab–a –a –ab

1 b | 0

°§¢§£

A = 2bB = a2b2

C = 5a2

Pág. 21



62 En una división conocemos el dividendo, D (x), el cociente, C (x), y elresto, R (x).

D (x) = x3 – 3x2 + 5x – 1; C (x) = x – 3; R (x) = 7x – 7

Calcula el divisor.

D = d · c + R 8 = divisor

D – R = x3 – 3x2 + 5x – 1 – 7x + 7 = x3 – 3x2 – 2x + 6

El divisor es x2 – 2.

63 ¿Cuál es la fracción inversa de ? Justifícalo.

Inversa =

El producto de ambas debe ser igual a 1:

· = 1

R O F U N D I Z A

64 Saca factor común en las siguientes expresiones:

a) 3x (x – 3) – (x + 1)(x – 3)

b) (x + 5)(2x – 1) + (x – 5)(2x – 1)

c) (3 – y)(a + b) – (a – b)(3 – y)

☞ El factor común es un binomio.

a) (x – 3)[3x – (x + 1)] = (x – 3)(2x – 1)

b) (2x – 1)[(x + 5) + (x – 5)] = (2x – 1)(2x)

c) (3 – y)[(a + b) – (a – b )] = (3 – y)(2b)

65 Descompón en factores x3 – a3 y x3 + a3.

☞ Prueba si son divisibles por x – a o por x + a.

x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2) x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2)

1 0 0 a3

–a –a a2 –a3

1 –a a2 | 0

1 0 0 –a3

a a a2 a3

1 a a2 | 0

P

2x + 13 – x

3 – x2x + 1

2x + 13 – x

3 – x2x + 1

1 –3 –2 63 3 0 –6

1 0 –2 | 0

Dividendo – RestoCociente

Pág. 22



66 Factoriza las siguientes expresiones como en el ejemplo.

• ax2 – ay + bx2 – by = a(x2 – y) + b(x2 – y) = (x2 – y)(a + b)

a) ax – ay + bx – byb)2x2y + y + 2x2 + 1

c) 3x2y + xy + 3xy2 + y2

d)2ab3 – ab + 2b2 – 1

a) a(x – y) + b (x – y) = (x – y)(a + b )

b) y (2x2 + 1) + (2x2 + 1) = (2x2 + 1)(y + 1)

c) xy (3x + 1) + y2(3x + 1) = (3x + 1)(xy + y ) = (3x + 1)(x + 1)y

d) ab (2b2 – 1) + (2b2 – 1) = (2b2 – 1)(ab + 1)

67 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) b) c)

a) = =

b) = =

c) = =

68 Efectúa y simplifica.

a) – 1

b) :

c) + – +

a) – 1 = = =

b) : = = = =

c) + – + = =

= = = –2–2abab

a2 + b2 – a2 – b2 – 2abab

1 + a2 – 1 – (a + b )2 + b2

abba

1 + (a + b)2

abab

1ab

a2

b2a2(a2 – b2)b2(a2 – b2)

a4 – a2b2

a2b2 – b4(a2 – ab )(a2 + ab )(ab + b2)(ab – b2)

ab – b2

a2 + aba2 – abab + b2

1x

(2x + y )(x – y )x (x – y)(2x + y ))3x – 2x – y

2x + y(2x + yx2 – xy)3x

2x + y(2x + yx2 – xy

ba

1 + (a + b)2

abab

1ab

ab – b2

a2 + aba2 – abab + b2

)3x2x + y(2x + y

x2 – xy

a2(2b – x)ax + a2 + 2b

2a2b (2b – x)2b (ax + a2 + 2b )

4a2b2 – 2a2bx2abx + 2a2b + 4b2

ba

3ab2(a – 2b )3a2b (a – 2b )

3a2b2 – 6ab3

3a3b – 6a2b2

xy5

xy (2x – y )5(2x – y )

2x2y – xy2

10x – 5y

4a2b2 – 2a2bx2abx + 2a2b + 4b2

3a2b2 – 6ab3

3a3b – 6a2b22x2y – xy2

10x – 5y

Pág. 23




a) – –

b) + +

c) –

d) 1 – : –

a) – – =

= =

= = = 1

b) + + =

= =

= =

= = = = b

c) – = · =

= · = = 2

d) 1 – : – = : =

= : = : =

= = – = y – x2x

x – y2x

2y (x + y)(x – y)–4xy (x + y )

–4xy(x + y)(x – y)

2yx + y]x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2

(x + y)(x – y)[2yx + y

](x – y )2 – (x + y )2

(x + y)(x – y)[)x + y – x + yx + y()x + y

x – yx – yx + y()x – y

x + y(4xy2xy

x2 – y2

2xyx2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2

x2 – y2

x2 – y2

2xy](x + y )2 – (x – y )2

x2 – y2[x2 – y2

2xy)x – yx + y

x + yx – y(

b (x2 – 1)x2 – 1

bx2 – bx2 – 1

bx2 – 2bx + b + 2bx – 2bx2 – 1

b (x2 – 2x + 1) + 3bx2 + 3bx – 3bx2 – bx – 2bx2 – 1

b (x – 1)(x – 1) + 3bx (x + 1) – (3bx2 + bx + 2b )x2 – 1

3bx2 + bx + 2b1 – x2

3bxx – 1

bx – bx + 1

a2 – 9b2

a2 – 9b22a2 + 6ab – 3ab + 9b2 – a2 – 3ab – 18b2

a2 – 9b2

2a(a + 3b ) – 3b (a – 3b ) – (a2 + 3ab + 18b2)a2 – 9b2

a2 + 3ab + 18b2

a2 – 9b23b

a + 3b2a

a – 3b

)x + yx – y

x – yx + y()x – y

x + y(x2 – y2

2xy)x – yx + y

x + yx – y(

3bx2 + bx + 2b1 – x2

3bxx – 1

bx – bx + 1

a2 + 3ab + 18b2

a2 – 9b23b

a + 3b2a

a – 3b

Pág. 24


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